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2007年6月 4日 (月)

ニュートンの万有引力の法則での疑問点

専門学校での昔の講義録の中から,ニュートンの万有引力の法則についての話題です。 

ニュートンの万有引力の法則というのは,"質量がMとmの2つの物体が距離rだけ離れているときには,それらの間にはF=GMm/r2の大きさの引力が働く。"という皆様よくご存知の法則です。

ただ普通に教科書の内容だけを講義していてもつまらないので,当時,その場の生徒たちに,思い付いたことをその都度クイズのように問いかけていました。

 

これに関する講義のときには,

  

もしも,r=0 だと,この式では無限大の引力が働くはずだ。

 

 例えば机の上に何か物を置いておくと,それらの重心の間の距離は完全にゼロではないけど,そのくっついている小さな部分だけに着目すると,その間の距離rはゼロだから無限大の万有引力が働くので凄い力でくっついているはずだろう?

 

それなのに,どうして手で軽く持ち上げたり,引っ張ったくらいで,簡単に離れるのだろうか?」

 

という内容の質問を投げかけました。

それに対して,ちゃんと答えた生徒は案の定1人もいませんでした。

 

でも,ひょっとしたら,こんなことは当たり前過ぎて,馬鹿馬鹿しくて答える気にもならなかったのかも知れませんが。。。。

まあ,少し本格的に勉強した人なら,質点同士ならいざ知らず,通常の物体なら大きさがあって,万有引力の法則の引力の大きさの式:F=GMm/r2の分母にある距離rとしては,物体の重心間の距離rを代入するのが正しい法則であることを知っているでしょう。

そして,万有引力定数Gというのは非常に小さい値で,身近なところでは太陽,地球,月のような天体のように,Mまたはmがとても大きい物体の引力でなければ,観測にかかるものではないことは常識です。

 

我々が,地球上の物体に働くg=9.8m/s2という物体の重力落下の加速度を実感するのも,落下物体の質量mが小さくても地球の質量Mが非常に大きいからであることも知っています。

 

Mもmも小さい机の上に置いてある2つの物くらいでは,その間に働く引力などは,自然に存在している静止摩擦力よりもはるかに小さいので,それらが引き寄せられたりはしないことも,よく知っています。

しかし,元々の万有引力の法則というのは,2つの物体を共に質点であると理想化したときに働く法則です。

 

通常の大きさのある物体というのは,剛体や弾性体のように連続体近似できる場合も含めて,実は質点系,つまり,多くの質点粒子の集まりで与えられるものです。

したがって,その"物体=多くの質点の集まり"に働く力というのは個々の質点の間に働く引力の合力です。

 

(もちろん,第3法則によって,2つ以上の物体があっても,それぞれの物体内の内力の総和はそれぞれゼロなのですが。。。)

 

そして,2つの物体が接触しているときには,その外表面の微小部分での両物体の質点間の距離は本当にゼロですから,その間の引力は非常に大きいので,他の部分の引力がいくら小さくても,それらの合力は非常に大きくて離そうとしても離れないのではないか?

 

これを不思議に思わないのか?

 

という疑問を投げかけたわけです。

まあ,万有引力の法則の引力;F=GMm/r2の距離rとしては物体の重心の間の距離rを代入するのが正しい法則である,という命題が成立するのが何故か?ということを証明したことがある人には自明なことだと思います。

 

この命題を,実際に素朴な質点間の万有引力の法則から体積積分などによって証明する際,引力ΔF=GΔMΔm/r2が無限大になることがないのは,右辺の分母r2がゼロ,または無限小のとき分子のGΔMΔmもゼロ,または無限小だからですね。

 

というわけで,答えは簡単なものです。

 

分母の単位は長さの2乗ですが,分子の単位は質量が体積に比例するので長さの6乗に比例します。

 

6乗割る2乗は4乗ですから,ΔFは距離の4乗の大きさの値です。

 

ですから,結果的に両物体間の距離rがゼロなら,その部分に働く引力の寄与はゼロなんですね。 

 

そして,ΔFを体積積分した結果としての合力,つまり実際にこの接触している物体間に働く引力(重力)Fについては,当然,その単位は長さの2乗に反比例するものになります。

 

このときの長さというのは,両物体の"平均距離=重心間の距離"で与えられますから,ゼロではなく有限な値になります。質量の積がゼロでなくても,これは全く問題なしです。

私自身の答えは今述べた通りで,授業でもそういう答でお茶を濁しましたが,もっと違う説明があれば教えて頂けるとありがたいですね。 

ちょっと週末の飲み疲れで頭が働かないので,軽い話ですみませんが,今日はこの程度にします。

  

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コメント

>無限に広い領域
http://slashdot.jp/science/article.pl?sid=03/10/11/206229
WMAPの観測結果から、宇宙構造が「ポアンカレの正十二面体空間」という仮説が出ているので、有限かも。
>連続固有値と次元
連続固有値の場合、固有値に対応する正規直交基底で展開できるわけではないので、固有値の個数が次元と一致する必要はない。
>ヒルベルト空間の実在
数学的実在としては、ヒルベルト空間は証明済。
物理的には、ヒルベルト空間を使ってる量子力学自体の成否次第、または量子力学がヒルベルト空間をどう使うか次第。(無限個の線型な重ね合わせを扱う以上、他に無いと思うが)
たぶん、「量子力学が証明されてない」と言いたいんだろうから、外した指摘でしょうが、量子力学がどのような修正を受けても、ヒルベルト空間を使わなくなるのは想像できない。

投稿: hirota | 2007年9月10日 (月) 11時57分

ここは、TOSHIさんのページですから、お得意の凡人さんの独自の理論の表明はご自分のブログを立てておやりになるべきでしょう。これは何度言ったか分からないですね。それから、固有値の数が加算無限個であることと、「連続固有値」とは少しニュアンスが異なると思います。
いずれにせよ。いつまでも居座っていてはTOSHIさんに失礼ですよ。

投稿: T_NAKA | 2007年9月 9日 (日) 16時26分

T_NAKAさん、コメント有難うございました。

ところで、
>>古典力学・古典論における連続量とは、意味が違うと思いますし、
>というのは、私も同感ですが、
と申していた件について、浅はかな考え方からではありますが、補足させていただきます。
T_NAKAさんも、
>(ご存知でしょうが、標準的量子力学では「固有値=測定値」ですね。)
とコメントされていますが、標準的な量子力学では、「固有値=測定値」は、固有値の重複を考えなければ、ヒルベルト空間の次元数と一致する筈ですので、ヒルベルト空間の次元が無限次元の場合は、固有値は加算無限個となるので、測定値は「実数」と同程度に連続する訳ではないと思いまし、ヒルベルト空間の完備性という観点から見ても問題があるのではないかと思います。
また、標準的な量子力学で扱われている、無限次元のヒルベルト空間の実在性も、完全に証明されている訳ではないと思います。
上記の意味で、11元人さんの「古典力学・古典論における連続量とは、意味が違う」という主張に賛同させて頂いた訳であります。

投稿: 凡人 | 2007年9月 9日 (日) 12時36分

>11元人さん、凡人さん

量子力学において、「いかなる場合でも物理量が離散的である」とは言われていません。
もし、「いかなる場合でも物理量が離散的である」と思われていたら、啓蒙本・解説本の誤読ですね。
無限に広い領域に存在している自由粒子ではエネルギーは連続値をとります。
井戸型ポテンシャルや調和振動子モデルのように、束縛ポテンシャルの中で初めてエネルギーは離散値になることをご理解願います。
位置に関しては束縛ポテンシャル内で限定はされることになりますが、連続値のままです。
(ご存知でしょうが、標準的量子力学では「固有値=測定値」ですね。)
これは初歩的な問題です。一度、量子力学の基本的な問題を解いていただけばすぐ分かることです。

投稿: T_NAKA | 2007年9月 9日 (日) 04時32分

11元人さん
>古典力学・古典論における連続量とは、意味が違うと思いますし、
というのは、私も同感ですが、だからといって、
>量子力学・量子論では、物理量は、離散的であることが特徴です。
と断言してしまう事には賛成出来ません。
>このあたりは、TOSHIさんなど、もう少し詳しい人のフォローをいただきたいところですね。
私もそのように思います。


投稿: 凡人 | 2007年9月 8日 (土) 18時38分

>>離散固有値は、文字通り離散的な値をとりますが、連続固有値はそうではありません。
>>少なくとも、この事について11元人さんは考慮されていなかったと思えたので、指摘させていただいた次第です。

そういうものもあるのですが、それは、古典力学・古典論における連続量とは、意味が違うと思いますし、量子力学・量子論では、物理量は、離散的であることが特徴です。

ただ、このあたりは、TOSHIさんなど、もう少し詳しい人のフォローをいただきたいところですね。

投稿: 11元人 | 2007年9月 8日 (土) 18時09分

11元人さん、私は、
>現在の標準的な場の量子論は、特殊相対論と量子力学を基礎にしています。
>そこでは、運動量・エネルギーや電流・電荷などの物理量については、最小限の基底の存在を設定しています。
という内容に対して指摘をいたしましたが、標準的な量子力学では、離散固有値と連続固有値というものがあります。
離散固有値は、文字通り離散的な値をとりますが、連続固有値はそうではありません。
少なくとも、この事について11元人さんは考慮されていなかったと思えたので、指摘させていただいた次第です。
詳しくは、『新版量子論の基礎』(清水明氏、サイエンス社)などの書籍をご覧下さい。

投稿: 凡人 | 2007年9月 8日 (土) 03時17分

こんばんは

>>指摘するのを漏らしていましたが、また、詳細な説明は省かせていただきますが、上記のコメントは、半分程度しか正しくないような気がするのですが、私の誤りでしょうか?

具体的に、どんな理由で?

現在の「場の量子論」は、いわゆる「電磁場・ゲージ場の量子論」ですが、電磁場やゲージ場は、特殊相対論(ミンコフスキー時空)を基礎にした理論です。
特殊相対論は、運動量・エネルギーの理論と思います。

一般相対論+量子論では、「重力場の量子論」ですし、こちらは、リーマン時空を基礎にした、時空の理論だと思います。

投稿: 11元人 | 2007年9月 7日 (金) 23時51分

TOSHIさん
貴重な経験に基いたコメントをいただき、有難うございました。

hirotaさん
hirotaさんの仮説の真偽の程は、私には全く分かりませんが、興味深いコメント有難うございました。

11元人さん
>現在の標準的な場の量子論は、特殊相対論と量子力学を基礎にしています。
>そこでは、運動量・エネルギーや電流・電荷などの物理量については、最小限の基底の存在を設定しています。
指摘するのを漏らしていましたが、また、詳細な説明は省かせていただきますが、上記のコメントは、半分程度しか正しくないような気がするのですが、私の誤りでしょうか?

投稿: 凡人 | 2007年9月 3日 (月) 20時27分

M 理論は非可換時空でないと作れないとか聞いてますから、時空も量子化する予定じゃないですか?(量子化=非可換化)
なんで、こんな話になってるんだろう? そのへんの物をくっつけても r = 0 にならないと書いただけなのに・・

投稿: hirota | 2007年9月 3日 (月) 10時32分

 凡人さん、11元人さん、コメントありがとうございます。TOSHIです。

 なんだかずいぶんむずかしいことを話題にしているなあと感心しています。

 ここらへんの話は微視的因果律と関連して2006年9月21日の記事「電子を大きさのない点であると考える背景」なんかでも書いています。

 ループ重力理論って竹内さんの本を立ち読みしたことがあるだけですが「時空の量子化=第3量子化」のアイデアだけなら、別にそれが最初というわけではなくて湯川、片山の素領域や中野の剛体模型もあるけど、僕や僕らの時代を含めてその前後から今まで素粒子に関わったことがある人なら教官も学生もみんなアイデアとして考えたことがない人は、まずいないと思いますね。ただそのアイデアを理論化するには障害が多すぎて敬遠してきただけでしょう。

 僕自身も院生の時代に現在のようなコンピュータで計算するための便法じゃなくて、時空を格子化して本格的な格子の量子論の定式化を同級生と共同で研究したこともあります。

 弦理論は粒子が点ではなくてひもだと述べてるわけで背景時空の次元はいじっているけど別に時空を量子化しているわけではないでしょうね。

 まあ、その他、たとえばエネルギー運動量と時空座標というのは双対概念なので時空を量子化するとエネルギーや運動量には上限ができるのでくりこみは不要になりますね。

 重力場というのは一般に非線形なので自由場でも量子化はむずかしいです。いずれにしてもまだまだ遠い道のりで一般相対論などが99%正しいとしてインフレーションや大統一理論,QCDなどはまだ90%までいってないでしょう。

               TOSHI

投稿: TOSHI | 2007年9月 3日 (月) 02時03分

>どちらにせよ、超ひも理論やループ量子重力理論で扱うスケールでは、通常の素粒子と時空粒子との区別が無くなるものと思われます。
『ループ量子重力理論』(竹内薫著、工学社)のP131によると、超ひも理論は、(たしか連続な?)背景時空を仮定しているとの事なので、「時空粒子」と呼べるようなものは、理論的に登場できないと思います。(TOSHIさん、これで宜しかったでしょうか?)
ループ量子重力理論やツイスター理論では、スピンネットワークが、11元人さんが仰られている「時空粒子」に相当すると思いますので、「時空粒子」は理論的に登場すると思いますが、「通常の素粒子と時空粒子との区別が無くなる」という仮説は、大胆過ぎるような気がします。
(「時空粒子」が仮想粒子対の事を指しているのであれば、話しは別ですが。)

投稿: 凡人 | 2007年9月 2日 (日) 21時52分

究極的には、物質・エネルギー(相互作用)と空間・時間とが統合されると思います。

現在のゲージ場の量子論(=特殊相対論+量子力学を基礎)では、物質(レプトン、クォーク)とエネルギー(電磁場、弱い力の場、強い力の場)は統合されていますが、空間・時間は、物質・エネルギーの入れ物ということで区別され、統合されていません。

特殊相対論では、物質・エネルギーと空間・時間の関係が、もともと、そういうものですから。

重力場の量子論(=一般相対論+量子論)では、物質・エネルギーと空間・時間とが統合されるでしょう。

一般相対論では、物質・エネルギーの存在と、空間・時間の状態とが相互関係をもちますから。

量子力学は、不確定性原理(ゆらぎ)と関係します。

ゲージ場の量子論では、物質・エネルギーの消滅・生成が出てきます。

重力場の量子論では、空間・時間の消滅・生成が出てきます。

投稿: 11元人 | 2007年9月 2日 (日) 20時22分

>>ところで、湯川博士が提唱した、「素領域」理論は、私の理解では、時空に最小単位があると仮定した理論であるため、超ひも理論のさきがけというより、ツイスター理論やループ重力理論のさきがけではないでしょうか?
>>なお、超ひも理論のさきがけは、南部博士が提唱した、ひも理論ではないでしょうか?


湯川秀樹博士の「素領域」は、1940年代の提案なので、60年くらい前です。

ひも理論は、1970年代からです。

素粒子がなんであるか、時代によって変わります。

超ひも理論では、通常のレプトン、クォークなどの物質粒子だけでなく、ヒッグス粒子(真空粒子)、光子、ウィーク・ボゾン、グルーオン、グラビトンなどのゲージ粒子までも、根源的には有限な大きさの「超ひも」としています。

レプトンやクォークは、現在のところ物質の最小単位ですが、ヒッグス粒子やゲージ粒子は、空間・時間の素粒子と関係ありそうです(超対称性理論では、この両者の区別がなくなります)。

ループ量子重力理論の時空の最小単位も、一種の素粒子でしょう。

どちらにせよ、超ひも理論やループ量子重力理論で扱うスケールでは、通常の素粒子と時空粒子との区別が無くなるものと思われます。

「素領域」は、超ひも理論とループ量子重力理論の両方に関わるもの、といえましょう。

投稿: 11次元 | 2007年9月 2日 (日) 19時43分

素粒子の「大きさ」は、「物理量」から除外されている訳ですね。
また、「ゼロでない有限の単位(基底)」というのは、プランク定数の事をさしている訳ですね。
それであれば分かりました。ご説明、有難うございました。
ところで、湯川博士が提唱した、「素領域」理論は、私の理解では、時空に最小単位があると仮定した理論であるため、超ひも理論のさきがけというより、ツイスター理論やループ重力理論のさきがけではないでしょうか?
なお、超ひも理論のさきがけは、南部博士が提唱した、ひも理論ではないでしょうか?

投稿: 凡人 | 2007年9月 2日 (日) 17時51分

こんにちは

>>という記述は、矛盾していると思われますが、いかがでしょうか?

現在の標準的な場の量子論は、特殊相対論と量子力学を基礎にしています。

そこでは、運動量・エネルギーや電流・電荷などの物理量については、最小限の基底の存在を設定しています。

それが、光子や電子などの素粒子というわけですが、光子や電子などの大きさは明確に決定していません。

しかし、計算の便宜上、そういう素粒子を「点」とみなしているのです(そこは、ニュートン力学で、天体などを「質点」という点とみなしていたことと変わっていない)。

というより、現在の量子力学や場の量子論における計算では、運動量・エネルギーなどについては、最低限の基底を考える必要があるのですが、光子や電子などの素粒子の大きさを考える必要がない、という感じでしょう。

現在の標準理論(QCD、GWS)が扱っているスケール(10の-20乗・メートルくらい)までは、「くりこみ」などの手法をとることで、上手くいっているのです。

ただ、湯川秀樹博士は、40年以上前から、そういう考えに異論をとなえ、素粒子は、小さいけど、有限の大きさをもっているという「素領域」を提唱しています(現在の超ひも理論のさきがけ)。

ところで、空間・時間の大きさも、最小限の基底のようなものがある、という話は、一般相対論+量子論の量子重力理論で初めて出て来る話で、特殊相対論+量子論の現在の場の量子論では、空間・時間の大きさも無限小であることを仮定していると思われます。

投稿: 11元人 | 2007年9月 2日 (日) 12時19分

11元人さん、細かい(?)事を申して申し訳ありませんが、
>一方、そうした物理量について、非常に小さいけど、ゼロでない有限の単位(基底)が存在する、という考えに基づいて組み立てられているのが量子力学・量子論といえます。

>しかし、現在の量子力学・量子論においても、素粒子の大きさをゼロの点と仮定しているところがあり、それによる、いろいろな問題があるようです(やはり、いろいろな物理量が発散していしまう)。
という記述は、矛盾していると思われますが、いかがでしょうか?

投稿: 凡人 | 2007年9月 1日 (土) 15時31分

hirotaさん、こんにちは

>>分子・原子の構造を考えたら、r = 0 なんて不可能。
>>てのは、どうですか?

それでは、古典力学・古典論の話でなく、量子力学・量子論の話になっています。

ニュートン力学、マクスウェル電磁気学、アインシュタインの相対論などの古典論では、物質、運動量・エネルギー、電荷・電流、空間・時間などの物理量は、際限なく小さくなれる、という仮定に基づいています。

無限小になれるということは、逆に無限大になってしまうこともありえます(距離や空間・時間の大きさをゼロにすれば、電磁力や重力などの大きさは無限大になってしまう)。

一方、そうした物理量について、非常に小さいけど、ゼロでない有限の単位(基底)が存在する、という考えに基づいて組み立てられているのが量子力学・量子論といえます。

しかし、現在の量子力学・量子論においても、素粒子の大きさをゼロの点と仮定しているところがあり、それによる、いろいろな問題があるようです(やはり、いろいろな物理量が発散していしまう)。

それで、素粒子を大きさゼロの点でなく、有る程度大きさのある「ひも」や「膜」であると仮定すると、現在の量子論の問題点の多くが回避できるといいます(それで作られるのが、「超ひも理論」や「M理論」です)。

投稿: 11元人 | 2007年9月 1日 (土) 12時40分

分子・原子の構造を考えたら、r = 0 なんて不可能。
てのは、どうですか?

投稿: hirota | 2007年8月30日 (木) 14時46分

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