フォノン(２)(調和結晶の古典理論)

　静止格子模型という仮定から１歩進んで格子イオンの運動について次の２つの仮定を与えます。 

１．各イオンの平衡位置は全てブラベー格子点:Ｒであるとします。 

２．運動による各イオンの平衡位置からのずれは格子間距離に比べて十分小さいとします。 

仮定１により,平衡位置がＲである格子イオン(原子)の実際の位置をｒ(Ｒ),これのＲからのずれをｕ(Ｒ)と書きます。すなわち,ｕ(Ｒ)≡ｒ(Ｒ)－Ｒです。

そしてｒだけ離れた１対の固体原子は結晶全体の位置エネルギーにφ(ｒ)だけの寄与をするとします。

このφ(ｒ)は,例えばｒを１対の原子間の距離として,レナード・ジョーンズ型のポテンシャル(Lennard-Jones type potential)φ(ｒ)＝－Ａ/ｒ⁶＋Ｂ/ｒ¹²(Ａ＞0,Ｂ＞0)などで与えられるとします。

もしも,静止格子模型が正しいとして,各原子がブラベー格子点に固定されているなら,結晶全体の位置エネルギーＵは原子の総数をＮとしてＵ＝(1/2)Σ_RR'φ(Ｒ－Ｒ')＝(Ｎ/2)Σ_R≠0φ(Ｒ)で与えられます。

しかし,上の２つの仮定を満たす格子振動があって,平衡位置Ｒからずれた場所ｒ(Ｒ)に各イオンが位置しているという模型であるなら,Ｕ＝(1/2)Σ_RR'φ(ｒ(Ｒ)－ｒ(Ｒ'))＝(1/2)Σ_RR'φ(Ｒ－Ｒ'＋ｕ(Ｒ)－ｕ(Ｒ'))となります。

そして,原子質量をＭとすると結晶全体のハミルトニアンＨはＨ＝Σ_R{ｐ(Ｒ)²/(2Ｍ)}＋Ｕで与えられます。ここで,ｐ(Ｒ)は平衡位置がＲのイオンの運動量を表わしています。

しかし,例えばレナード・ジョーンズ型のポテンシャルφ(ｒ)の具体的な形から,ハミルトニアンＨにおける有益な情報を引き出すのは困難なので,仮定２に基づきｕ(Ｒ)を用いてＵをテイラー展開します。

すなわち,Ｕ＝(Ｎ/2)Σ_R≠0φ(Ｒ)＋(1/2)Σ_RR'{ｕ(Ｒ)－ｕ(Ｒ')}∇φ(Ｒ－Ｒ')＋(1/4)Σ_RR'[{ｕ(Ｒ)－ｕ(Ｒ')}∇]²φ(Ｒ－Ｒ')＋Ｏ(ｕ³)となります。

ここで,ｕの１次の項において,{ｕ(Ｒ)－ｕ(Ｒ')}の係数Σ_R'∇φ(Ｒ－Ｒ')は,Ｒにある原子に他の全ての原子が及ぼす力の符号を変えたものですから,平衡位置にあるという条件から,これはゼロでなければなりません。

そこで,１次の項(1/2)Σ_RR'[ｕ(Ｒ)－ｕ(Ｒ')]∇φ(Ｒ－Ｒ')は消えるので,３次以上の項を無視してゼロでない寄与を残すと,ｕの２次の項だけが残ります。

すなわち,Ｕ＝Ｕ^eq＋Ｕ^harmですが,平衡エネルギーＵ^eq≡(Ｎ/2)Σ_R≠0φ(Ｒ)はただの定数です。

そして,Ｕ^harm≡(1/4)Σ_RR'[{ｕ(Ｒ)－ｕ(Ｒ')}∇]²φ(Ｒ－Ｒ')＝(1/4)Σ_μνRR'[ｕ_μ(Ｒ)－ｕ_μ(Ｒ')]φ_μν(Ｒ－Ｒ')[ｕ_ν(Ｒ)－ｕ_ν(Ｒ')] (φ_μν(ｒ)≡∂²φ/(∂ｒ_μ∂ｒ_ν))です。

動力学においては,定数項は無視してもいいので,Ｕ^harmを全位置エネルギーとみなすことができます。この近似を調和近似と呼びます。 

Ｕ^harmは,さらにＵ^harm＝(1/2)Σ_μνRR'ｕ_μ(Ｒ)Ｄ_μν(Ｒ－Ｒ')ｕ_ν(Ｒ')；Ｄ_μν(Ｒ－Ｒ')≡－φ_μν(Ｒ－Ｒ')＋δ_RR'Σ_R"φ_μν(Ｒ－Ｒ")と書き直すことができます。

しかし,一般にこの調和振動の係数Ｄ_μνを計算で求めるのは容易ではなく,イオンの速度が電子速度よりはるかに小さいという断熱近似を用いてもかなり困難です。

それ故,一般にはＤを決めるのには実験に頼るのですが,金属の場合,これを計算で求める高度な理論があります。 

次に,この調和近似模型を用いて単位体積当たりの固体の比熱:(ｄｕ/ｄＴ)を求めることを考えます。

ただし,同じ文字を使って紛らわしいのですが,ここでの(ｄｕ/ｄＴ)のｕは変位ｕ(Ｒ)ではなくて単位体積当たりの内部エネルギーＵ/Ｖ(Ｖは固体の全体積)です。

各イオンはもはや静止してはいないので,古典的には単位体積あたりの内部エネルギーｕは,各位置にexp[－Ｅ/(ｋ_BＴ)]に比例した重みを与えて平均したものとなります。

すなわち,ｕ＝Ｕ/Ｖ＝(1/Ｖ)[∫ｄΓexp(－βＨ)Ｈ]/ [∫ｄΓexp(－βＨ)]；β≡1/(ｋ_BＴ)です。

ただし,ｄΓは位相体積素片であり,ｄΓ≡Π_Rｄｕ(Ｒ)ｄｐ(Ｒ)＝Π_μRｄｕ_μ(Ｒ)ｄｐ_μ(Ｒ)で定義されます。

内部エネルギーｕはさらに便利な形ｕ＝(－1/Ｖ)∂log[∫ｄΓexp(－βＨ)]/∂βによって表わすこともできます。

　そして,調和近似では,∫ｄΓexp(－βＨ)＝∫ｄΓexp[－β(Σ_R{ｐ(Ｒ)²/(2Ｍ)}＋Ｕ^eq＋Ｕ^harm)]＝exp[－βＵ^eq]{∫Π_Rｄｕ(Ｒ)ｄｐ(Ｒ)exp[－β(Σ_R{ｐ(Ｒ)²/(2Ｍ)}＋(1/2)Σ_μνRR'ｕ_μ(Ｒ)Ｄ_μν(Ｒ－Ｒ’)ｕ_ν(Ｒ'))]となります。

これらのガウス積分を行なうのは非常に簡単で,結果は通常の6Ｎ次元の位相空間における統計力学のエネルギー等分配の法則を求めるのと同じです。

結局,ｕ＝(－1/Ｖ)∂log[∫ｄΓexp(－βＨ)]/∂β＝Ｕ^eq/Ｖ＋3Ｎｋ_BＴ/Ｖ,あるいはｕ＝ｕ^eq/Ｖ＋3ｎｋ_BＴとなります。ｎ＝Ｎ/Ｖは単位体積当たりの原子数です。

そこで,ｎ個の原子から成る固体の比熱ｃ_v＝(ｄｕ/ｄＴ)は極く小さい電子比熱の寄与を無視すると,温度Ｔによらず一定でｃ_v＝3ｎｋ_Bとなるという結果になります。

１イオン当たりの比熱への寄与が,3ｋ_Bであるというこの結果はデュロン・プティの法則(Dulong-Petit law)として知られています。

実際,単種類の原子のイオンからなる固体１モルの原子数はアヴォガドロ数:Ｎ₀＝6.02×10²³で与えられますから,デュロン・プティの法則に従う固体１モルの比熱(モル熱容量)はｃ_v^mol＝3Ｎ₀ｋ_B＝3Ｒ≒5.96cal/(mol・Ｋ)(Ｒ≒8.31Ｊ/(mol・Ｋ)は気体定数)です。

例えば,常温での鉄Ｆe(原子量＝約56)の比熱の実験値は約0.11cal/(g・deg)です。これは,この法則による計算値5.96/56＝0.107cal/(g・deg)とほぼ一致しています。 

しかし,温度が下がっていくと比熱はデュロン・プティの法則による値よりも十分小さくなってゼロに近づき,また高温での比熱-温度曲線もこの法則からはずれていきます。

このうち,高温での比熱の挙動の方は固体の融解現象など,もはやイオンの平衡位置からのずれが微小であるとする調和近似の適用限界を越える状態になるということで古典論でも説明可能ですが,低温での挙動は量子論に頼らないと説明できません。

次の段階である量子論に移行するというのは,格子振動の古典論における 3Ｎ次元の調和振動を3Ｎ個の１次元調和振動子の集まりとして扱うということに相当します。

したがって,ここではその前段階として,まず１次元単原子ブラベー格子の基準振動について解析してみます。

質量Ｍの１組のイオンが距離ａだけ離れて一直線に並んでいてｎを整数とするとき,Ｒ＝ｎａがブラベー格子ベクトルとなるような系を想定します。

ｕ(ｎａ)を平衡位置からの変位とすると,調和的位置エネルギーはＵ^harm＝(Ｋ/2)Σ_n[ｕ(ｎａ)－ｕ((ｎ＋1)ａ)]² (Ｋ＝φ"(ａ))なる形に書けます。

したがって,運動方程式は,Ｍ(ｄ²ｕ(ｎａ)/ｄｔ²)＝－Ｋ[2ｕ(ｎａ)－ｕ((ｎ＋1)ａ)－ｕ((ｎ－1)ａ)]となります。

この方程式で与えられるイオンの鎖は有限な長さを持ち,ｎの数は有限な値Ｎで途切れるはずですが,Ｎが十分大きな値であればこの１次元の鎖の運動は境界条件の取り方には依存しないと考えられますから,ボルン・フォン・カルマンの周期的境界条件ｕ(0)＝ｕ(Ｎａ),ｕ(ａ)＝ｕ((Ｎ＋1)ａ)..etc.を採用します。

解が,ｕ(ｎａ,ｔ)∝exp[i(ｋｎａ－ωｔ)]という単振動の形を持つと仮定すると,ボルン・フォン・カルマンの周期的境界条件はexp[i(ｋＮａ)]＝1 です。

そこで,ｋ=(2πｎ)/(Ｎａ)(ｎは整数)となりますから,独立な解を与えるものとして,ｋは丁度Ｎ個あるとして－π/ａ≦ｋ≦π/ａ (ｎ＝－Ｎ/2,..,0,1,2,..,Ｎ/2)とします。これはｋがちょうど第１ブリルアンゾーンに属していることを意味しています。

そして,運動方程式:Ｍ(ｄ²ｕ(ｎａ)/ｄｔ²)＝－Ｋ[2ｕ(ｎａ)－ｕ((ｎ＋1)ａ)－ｕ((ｎ－1)ａ)]は,－Ｍω²＝－Ｋ[2－exp(－ｉｋａ)＋exp(ｉｋａ)]＝－2Ｋ[1－cos(ｋａ)]となります。

それ故,ｋの与えられた値に対するωの値をω＝ω(ｋ)とすると,ω(ｋ)＝[2Ｋ{1－cos(ｋａ)}/Ｍ]^1/2＝2(Ｋ/Ｍ)^1/2sin(ｋａ/2)です。

実際のイオンの変位を記述する値としては,解の実部,または虚部に対応するｕ(ｎａ,ｔ) ∝ cos(ｋｎａ－ωｔ),または,sin(ｋｎａ－ωｔ)を取ればいいです。

そして,ω＝ω(ｋ)はｋの偶関数なので正の根のみをとれば十分です。こうしてＮ個の異なるｋの値が得られ,その各々は一意的な角振動数ω(ｋ)を持ち,運動方程式はcos(ｋｎａ－ωｔ)とsin(ｋｎａ－ωｔ)に比例する独立な2Ｎ個の解を持つことがわかりました。

方程式は,Ｎ個の格子の変位と運動量に対するものなのでこれで完全に解けたことになります。

そして,これらの解は位相速度ｃ＝ω/ｋ,群速度ｖ＝∂ω/∂ｋで伝播する波を記述しています。

波数ｋ＝2π/λがπ/ａに対して小さいとき,すなわち,波長λが格子間隔ａに比べて大きいときには,ω＝2(Ｋ/Ｍ)^1/2sin(ｋａ/2)～ａ(Ｋ/Ｍ)^1/2|ｋ|となります。

このときには,ωはｋについて線形なので,こうした場合では光波や普通の音波と同じく群速度や位相速度は振動数,あるいは波長には依存しないということになります。

次に,基本単位格子当たりに,２個のイオンが距離ｄだけ離れた平衡位置ｎａとｎａ＋ｄを持つ１次元ブラベー格子を考えます。

２個のイオンは,質量Ｍの同じものでｄ≦ａ/2とします。このとき隣接イオンの間の距離はｄかａ－ｄですが,その間の力はこの距離に依存するものとします。

ここでも,最近接イオン間にのみ力が働くとします。ｄ≦ａ－ｄにより,１対のイオンにかかる力として,距離ｄのイオン間の力の方がａ－ｄに対するイオン間の力より大きいとします。

それ故,Ｕ^harm＝(Ｋ/2)Σ_n[ｕ₁(ｎａ)－ｕ₂(ｎａ)]² ＋(Ｇ/2)Σ_n[ｕ₂(ｎａ)－ｕ₁((ｎ＋1)ａ)]² です。

ただし,ｕ₁(ｎａ)は平衡位置がｎａにあるイオンの変位,ｕ₂(ｎａ)は平衡位置がｎａ＋ｄにあるイオンの変位を表わし,Ｋ＝φ"(ｄ),Ｇ＝φ"(ａ－ｄ)；Ｋ≧Ｇです。

運動方程式は,Ｍ(ｄ²ｕ₁(ｎａ)/ｄｔ²)＝－Ｋ[ｕ₁(ｎａ)－ｕ₂(ｎａ)]－Ｇ[ｕ₁(ｎａ)－ｕ₂((ｎ－1)ａ)],Ｍ(ｄ²ｕ₂(ｎａ)/ｄｔ²)＝－Ｋ[ｕ₂(ｎａ)－ｕ₁(ｎａ)]－Ｇ[ｕ₂(ｎａ)－ｕ₁((ｎ＋1)ａ)]となります。

そして,解の形は基本構造を持たない単純ブラベー格子に対するのと同様な形であると仮定し,ｕ₁(ｎａ)＝ε₁exp[i(ｋｎａ－ωｔ)],ｕ₂(ｎａ)＝ε₂exp[i(ｋｎａ－ωｔ)]であるとします。

これらの解の形式を運動方程式に代入すると,[Ｍω²－(Ｋ＋Ｇ)]ε₁＋[Ｋ＋Ｇexp(－ｉｋａ)]ε₂＝ 0 ,[Ｋ＋Ｇexp(ｉｋａ)]ε₁＋[Ｍω²－(Ｋ＋Ｇ)]ε₁＋ε₂＝ 0 となります。

この斉次方程式が意味のある解を持つための条件は,係数の行列式がゼロになることです。したがって,[Ｍω²－(Ｋ＋Ｇ)]²＝|Ｋ＋Ｇexp(ｉｋａ)|²＝Ｋ²＋Ｇ²＋2ＫＧcos(ｋａ)が成立します。

これを解けば,角振動数ωがω²＝(Ｋ＋Ｇ)/Ｍ±[Ｋ²＋Ｇ²＋2ＫＧcos(ｋａ)]^1/2/Ｍを満たす２つの正の値を取るものが解であることがわかります。

このω＝ω_±に対して,ε₂/ε₁＝±[－{Ｋ＋Ｇexp(ｉｋａ)}]/|Ｋ＋Ｇexp(ｉｋａ)|が対応します。

こうしてＮ個のｋに対して2Ｎ個の基準振動が得られますが,これら２種類の分枝でｋ＜＜π/ａのとき,ω_＋～[2(Ｋ＋Ｇ)/Ｍ]^1/2＋Ｏ[(ｋａ)²],ω_－～[ＫＧ/{2Ｍ(Ｋ＋Ｇ)}]^1/2(ｋａ)となるものを,それぞれ光学的モード,音響的モードと呼びます。

次に,３次元単原子ブラベー格子の基準振動を考えます。調和ポテンシャルＵ^harm＝(1/2)Σ_μνRR'ｕ_μ(Ｒ)Ｄ_μν(Ｒ－Ｒ')ｕ_ν(Ｒ')をＵ^harm＝(1/2)Σ_RR'ｕ(Ｒ)Ｄ(Ｒ－Ｒ')ｕ(Ｒ')のように,係数行列Ｄ≡{(Ｄ_μν)}を用いて行列表示します。

係数Ｄ＝{(Ｄ_μν)}には利用できるいくつかの対称性があります。

すなわち,(ⅰ)Ｄ_μν(Ｒ－Ｒ')＝Ｄ_νμ(Ｒ－Ｒ')

(ⅱ)Ｄ_μν(Ｒ－Ｒ')＝Ｄ_μν(Ｒ'－Ｒ),またはＤ(Ｒ)＝Ｄ(－Ｒ)

および,(ⅲ)Σ_RＤ_μν(Ｒ)＝0 またはΣ_RＤ(Ｒ)＝0 ,これは,全ての格子イオンが同じ平行移動ｕ(Ｒ)＝ｄを受けてもＵ^harmは変化しないという当然の条件です。 

そして,運動方程式はＭ(ｄ²ｕ(Ｒ)/ｄｔ²)＝－Σ_R'Ｄ(Ｒ－Ｒ')ｕ(Ｒ')となります。１次元の場合と同様,解を平面波の形ｕ(Ｒ,ｔ)＝εexp[i(ｋＲ－ωｔ)]で求めます。

やはり,ボルン・フォン・カルマンの周期的境界条件を用いることにして３つの基本ベクトルａ_iの各々について,ｕ(Ｒ＋Ｎ_iａ_i)＝ｕ(Ｒ)(ｉ＝1,2,3)を要請します。Ｎ_iはＮ＝Ｎ₁Ｎ₂Ｎ₃を満足する大きな整数です。

この条件はｂ_iをｂ_iａ_j＝2πδ_ijを満足する逆格子ベクトルとするとき,波数ベクトルｋをｋ＝(ｎ₁/Ｎ₁)ｂ₁＋(ｎ₂/Ｎ₂)ｂ₂＋(ｎ₃/Ｎ₃)ｂ₃ (ｎ_iは整数)に制限することになります。

そして,この３次元のｋも１次元の場合のｋと同じく単位逆格子の中にある,つまり第１ブリルアンゾーンに属するとして異なるＮ個の値を与えるとすることができます。 

ｕ(Ｒ)＝εexp[i(ｋＲ－ωｔ)]を運動方程式:Ｍ(ｄ²ｕ(Ｒ)/ｄｔ²)＝－Σ_R'Ｄ(Ｒ－Ｒ')ｕ(Ｒ')に代入すると,Ｍω²ε＝Ｄ^(ｋ)εが得られます。

ここに,Ｄ^(ｋ)≡Σ_RＤ(Ｒ)exp(－iｋＲ)です。Ｄ(Ｒ)の持つ対称性からＤ^(ｋ)＝(1/2)Σ_RＤ(Ｒ)[exp(－iｋＲ)＋exp(iｋＲ)－1]＝Σ_RＤ(Ｒ)[cos(ｋＲ)－1]＝－2Σ_RＤ(Ｒ)sin²(ｋＲ/2)が得られます。

これからＤ^(ｋ)はｋの偶関数で実行列であることがわかります。またＤ(Ｒ)と同じくＤ^(ｋ)も対称行列です。

Ｄ^(ｋ)は３次の実対称行列なので３つの実固有ベクトルε_s(ｋ)(ｓ＝1,2,3)を持ちます。そして対応する固有値をλ_s(ｋ)とすると,Ｄ^(ｋ)ε_s(ｋ)＝λ_s(ｋ)ε_s(ｋ)と書けてε_s(ｋ)ε_s'(ｋ)＝δ_ss'と規格化できます。

運動方程式Ｍω_s(ｋ)²＝λ_s(ｋ)により,結局,波数ｋを持つ３つの基準振動は偏りε_s(ｋ)と振動数ω_s(ｋ)を持ち,これは固有値からω_s(ｋ)＝(λ_s(ｋ)/Ｍ)^1/2によって与えられるという結果が得られました。

ｋ≡|ｋ|が小さいときは,sin²(ｋＲ/2)～(ｋＲ/2)²ですから,Ｄ^(ｋ)～(－ｋ²/2)Σ_RＤ(Ｒ)(ｋ^Ｒ)²(ｋ^≡ｋ/ｋ)となり,ｃ_s(ｋ)を固有値の平方根に比例する定数としてω_s(ｋ)～ｃ_s(ｋ)ｋと書けます。

そこで,１次元の場合と同じく,３次元でも３つの分枝の各々で角振動数ωはｋについて線形な式として近似されることがわかります。

基本構造を持つ３次元格子については１次元の場合に基本単位格子当たりに２個のイオンを持つ場合のみを考察しました。

より一般に３次元で基本単位格子当たりにｐ個のイオンを持つ場合にも,詳細は省きますが各々のｋに対して3ｐ個の基準振動ω_s(ｋ)(ｓ＝1,2,..,3ｐ)があって,３つの音響的分枝と3(ｐ－1)個の光学的分枝があるように拡張されます。

次に応用として古典的な弾性理論を格子振動の理論に基づいて検討してみます。 

古典的な弾性理論は固体の原子構造を無視して固体を連続体として扱います。そして弾性体としての固体の変形は平衡状態での位置ｒにおける変位の場ｕ(ｒ)で記述されます。

この弾性の古典論では,一般的な固体を線形弾性体と仮定し,固体の弾性エネルギーは変位ｕのｒによる１階微分にのみ依存するとします。

こうした古典的連続弾性体理論はイオン間力の到達距離によって決まる尺度でゆっくり変化する格子変形にだけに着目することにより格子振動の理論から導くことができます。 

まず,調和エネルギーＵ^harm＝(1/2)Σ_RR'ｕ(Ｒ)Ｄ(Ｒ－Ｒ')ｕ(Ｒ')は対称性からＵ^harm＝－(1/4)Σ_RR'[ｕ(Ｒ')－ｕ(Ｒ)]Ｄ(Ｒ－Ｒ')[ｕ(Ｒ')－ｕ(Ｒ)]と書き直すことができます。

そして細胞から細胞へと非常にわずかだけ変化する変位ｕ(Ｒ)のみを考え,連続的な変位の場ｕ(ｒ)はｒが格子点Ｒに一致するときのみｕ(Ｒ)に一致するとします。

もしも,ｕ(ｒ)がＤ(Ｒ－Ｒ')の変化する範囲でほとんど変化しないなら,ｕ(Ｒ')＝ｕ(Ｒ)＋(Ｒ'－Ｒ)∇ｕ(ｒ)|_r=Rと近似できます。 

したがって,Ｕ^harm＝(1/2)Σ_μνστR(∂ｕ_μ(Ｒ)/∂ｘ_σ)(∂ｕ_ν(Ｒ)/∂ｘ_τ)Ｅ_μνστ；Ｅ_μνστ≡(－1/2)Σ_RＲ_σＤ_μν(Ｒ)Ｒ_τが得られます。

そして連続体近似を行なって,Σ_Rを積分に変えるとＵ^harm＝(1/2)Σ_μνστ∫ｄｒ(∂ｕ_μ(ｒ)/∂ｘ_σ)(∂ｕ_ν(ｒ)/∂ｘ_τ)<Ｅ_μνστ>； <Ｅ_μνστ>≡(1/ｖ)Ｅ_μνστ(ｖは基本単位格子の体積)となります。これが古典弾性体論の出発点です。

さらに,<Ｅ_μνστ>の対称性,すなわち結晶の対称性なども格子の調和振動模型から導くことができますが,これについては割愛します。 

2006年11/14の記事「結晶内での弾性波（地震波）」で,

古典弾性体の運動方程式がρ(ｄ²ｕ_μ/ｄｔ²)＝Σ_μν∂σ_μν/∂ｘ_ν；ｕ_στ≡(∂ｕ_σ/∂ｘ_τ＋∂ｕ_τ/∂ｘ_σ)/2,σ_μν＝Σ_στＣ_μνστｕ_στで与えられ,それ故,単位質量当たりの弾性エネルギーは,Ｗ＝(1/2)Σ_μνστＣ_μνστｕ_μνｕ_στで与えられることを書きました。

したがって,ρＣ_μνστ≡(1/4)[<Ｅ_μνστ>＋<Ｅ_μσντ>＋<Ｅ_σμτν>＋<Ｅ_μστν>]と置けば,Ｕ^harm＝∫ρＷｄｒと書けるので,２つの理論は一致することがわかります。 

これで格子振動の調和近似による古典論,を終わり次回は量子論,すなわち,フォノンの理論に入る予定です。 

参考文献：アシュクロフト・マーミン 著(松原武生･町田一成 共訳)「固体物理の基礎(下・Ⅰ)(固体フォノンの諸問題)」(吉岡書店)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/「健康商品の店 タクザイ」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学