ブラウン運動と伊藤積分(２)

前記事の続きです。

Ｗ^NをＷ^N≡Ｃ([0,∞)；Ｒ^N),すなわち[0,∞)で定義され,Ｒ^Nに値をとる連続関数の全体とします。

そして,{Ｂ_t}をＮ次元ブラウン運動とすると,その定義によって,全体として確率が１のΩの元ω∈Ωに対し,Ｂ_t(ω)はｔの連続関数ですから,Ｂ_t(ω)はΩからＷ^Nへの写像であると見ることができます。

この写像:Ω→Ｗ^N:ω∈Ω→{Ｂ_t(ω)}_t∈[0,∞)∈Ｗ^Nを,Ｂ.(ω)と表わすことにすれば,Ｂ.(ω)＝{Ｂ_t(ω)}_{ｔ∈[0,∞)}です。

上述の"確率が１のΩの元ω∈Ωに対して"という意味は,"Ｐ(ω∈Ω:Ｂ.(ω)∈Ｗ^N)＝1に属するωに対して"と表現できます。

任意のｗ₁,ｗ₂∈Ｗ^Nに対して,ｄ(ｗ₁,ｗ₂)≡∑_n=0^∞2^-n(sup_0≦t≦n|ｗ₁(ｔ)－ｗ₂(ｔ)|∧１)と置けば,Ｗ^Nはｄを距離とする完備距離空間になります。

そして,その位相的ボレルσ加法族(Ｗ^Nの全ての開集合を含む最小のσ加法族)をＢ(Ｗ^N)とし,各Ｂ.(ω)∈Ｗ^Nに対して集合関数μ_B(Ｆ)をμ_B(Ｆ)≡Ｐ(Ｂ^-1(Ｆ))＝Ｐ(ω∈Ω:Ｂ.(ω)∈Ｆ);Ｆ∈Ｂ(Ｗ^N)によって定義すれば,このμ_Bは(Ｗ^N,Ｂ(Ｗ^N))上の分布になります。

この分布をＮ次元ウィーナー測度と言います。

特に,Ｐ(Ｂ₀＝ｘ)＝1;ｘ∈Ｒ^NなるＮ次元ブラウン運動{Ｂ_t(ω)}_{ｔ∈[0､∞)}が与えられたとき,対応するμ_B(・)を,Ｐ_x(・)と表わすことにします。

ｗ∈Ｗ^Nに対し座標関数:Ｘ_t(ｗ)≡ｗ(ｔ)(Ｘ₀(ｗ)≡ｗ(0)＝ｘ)を取ると,Ｘ_tは確率空間(Ｗ^N,Ｂ(Ｗ^N),Ｐ_x)で定義されたｘ∈Ｒ^Nから出発するブラウン運動です。

ここでは,逆にブラウン運動を構成するに当たって,これをこの空間(Ｗ^N,Ｂ(Ｗ^N))に実現することを考えます。

つまり,確率空間(Ｗ^N,Ｂ(Ｗ^N),Ｐ_x)における確率過程として,ブラウン運動というものが本当に存在することを示したいと思います。

言わばブラウン運動の存在定理の証明を以下において試みます。

そのため,まず,より広い空間Ω^N≡(Ｒ^N)^[0,∞)≡{ω＝ω(・)∈Ω^N：[0,∞)→Ｒ^N}を用意します。

座標関数Ｘ_t(ω)≡ω(ｔ),ω∈Ω^Nにより,ωの有限個の座標を指定することによって,Ω^Nの部分集合が定まります。

これを筒集合と呼びます。

すなわち,ｋ＝1,2,..に対して,0≦ｔ₁＜ｔ₂＜..＜ｔ_k；Ｂ₁,Ｂ₂,..,Ｂ_k∈Ｂ(Ｒ^N)を取ったとき,{ω∈Ω^N:Ｘ_t1(ω)∈Ｂ₁,Ｘ_t2(ω)∈Ｂ₂,..,Ｘ_tk(ω)∈Ｂ_k}の形の部分集合のことを筒集合と呼ぶわけです。

筒集合の有限和の全体は,明らかに有限加法族です。この有限加法族を含む最小のσ加法族をＢ^Nと書くことにします。

そして(Ω^N,Ｂ^N)上の確率測度を作るわけですが,これを実行する手続きにおいて「コルモゴロフの拡張定理(Kolmogorov)」を利用します。

与えられた確率空間(Ω,Ｂ,Ｐ)上で,[0,∞)をパラメータとする確率過程{Ｘ_t}に対し,その有限次元分布μ_{t1,t2,．．tn}は,μ_{t1,t2,．．tn}(Ｂ₁×Ｂ₂×..×Ｂ_n)≡Ｐ(Ｘ(ｔ₁)∈Ｂ₁,Ｘ(ｔ₂)∈Ｂ₂,..,Ｘ(ｔ_n)∈Ｂ_n)で定められます。

そして,逆に分布の族{μ_t1,t2,..,tn}：0＜ｔ₁＜ｔ₂＜..＜ｔ_n ,ｎ＝1,2,..が与えられたとき,それらを有限次元分布とする確率過程が存在するために課せられる条件が,次の「コルモゴロフの拡張定理」の整合性条件です。

つまり,"μ_{t1,t2,..,ti-1,ti+1,..,tn}(Ｂ₁×Ｂ₂×..×Ｂ_i-1×Ｂ_i+1×..×Ｂ_n)＝μ_{t1,t2,..,ti-1,ti,ti+1,..,tn}(Ｂ₁×Ｂ₂×..×Ｂ_i-1×Ｒ^N×Ｂ_i+1×..×Ｂ_n);ｉ＝1,2,..,ｎ；Ｂ₁,Ｂ₂,..,Ｂ_n∈Ｂ(Ｒ^N)"なる条件が「コルモゴロフの拡張定理」が成立するための整合性条件です。

(定理3.1):「コルモゴロフの拡張定理」

上述の整合性条件を満たす分布の族{μ_t1,t2,..,tn}：0＜ｔ₁＜ｔ₂＜..＜ｔ_n ,ｎ＝1,2,..が与えられているとする。

このとき,(Ω^N,Ｂ^N)上に確率測度Ｐが唯１つ存在して,確率過程{Ｘ_t}の有限次元分布はμ_t1,t2,..,tnに等しい。

これを証明するためには,次の補題が必要です。

(補題)Ｐ₁,Ｐ₂,..が,それぞれ(Ｒ^N,Ｂ(Ｒ^N)),(Ｒ^2N,Ｂ(Ｒ^2N)),..,上の確率測度で,Ｐ_n+1(Ｂ×Ｒ^N)＝Ｐ_n(Ｂ)を満たすならば,((Ｒ^N)^∞,Ｂ((Ｒ^N)^∞))上の確率測度Ｐが存在して,Ｐ(Ｂ)＝Ｐ_n(Ｂ),Ｂ∈Ｂ(Ｒ^nN)を満たす。

(証明) 写像π_n:(Ｒ^N)^∞→(Ｒ^N)ⁿを,ω＝(ω₁,ω₂,..,ω_n,..)∈(Ｒ^N)^∞ → π_n(ω)≡(ω₁,ω₂,..,ω_n)∈(Ｒ^N)ⁿ で定義すると,Ｃ≡{π_n^-1(Ｂ)：Ｂ∈Ｂ(Ｒ^nN),ｎ＝1,2,..}は(Ｒ^N)^∞上の１つの有限加法族を定義します。

(※なぜなら,φ∈Ｂ(Ｒ^nN)に対しπ_n^-1(φ)＝φによりφ∈Ｃです。　　　　(∵φ×Ｒ^M＝φ)

また,π_n^-1(Ｂ)∪π_n^-1(Ｂ^c)＝π_n^-1(Ｂ∪Ｂ^c)＝π_n^-1(Ｒ^nN)＝(Ｒ^N)^∞です。故に,(π_n^-1(Ｂ))^c＝π_n^-1(Ｂ^c),よって,"Ａ∈Ｃ⇒Ａ^c∈Ｃ"も成立します。

また,Ａ₁,Ａ₂∈Ｃなら,あるＢ₁,Ｂ₂∈Ｂ(Ｒ^nN)が存在してＡ₁＝π_n^-1(Ｂ₁),Ａ₂＝π_n^-1(Ｂ₂)と書けますから,Ａ₁∪Ａ₂＝π_n^-1(Ｂ₁)∪π_n^-1(Ｂ₂)＝π_n^-1(Ｂ₁∪Ｂ₂)で,Ｂ₁∪Ｂ₂∈Ｂ(Ｒ^nN)より,Ａ₁∪Ａ₂∈Ｃであるからです。※)

Ｆ∈Ｃに対してＰ(Ｆ)≡Ｐ_n(Ｂ),Ｆ＝π_n^-1(Ｂ),Ｂ∈Ｂ(Ｒ^nN):Ｐ(Ｆ)≡Ｐ_n(π_n(Ｆ))(あるいはＰ(π_n^-1(Ｂ))＝Ｐ_n(Ｂ))と定義するとき,ＰはＣ上で有限加法的です。

(※なぜなら,ｎ≧ｋに対してπ_n,k((ω₁,ω₂,．．,ω_n))≡(ω₁,ω₂,..,ω_k)∈Ｒ^kNと定義すると,仮定Ｐ_n+1(Ｂ×Ｒ^N)＝Ｐ_n(Ｂ)により,∀Ｂ⁰∈Ｂ(Ｒ^(n-1)N)に対してπ_n,n-1^-1(Ｂ⁰) ∈Ｒ^nNです。

Ｐ_n(π_n,n-1^-1(Ｂ⁰))＝Ｐ_n-1(Ｂ⁰)etc.であり,明らかに∀Ｂ⁰∈Ｂ(Ｒ^kN)に対してπ_n,k^-1(Ｂ⁰)∈Ｒ^nNでＰ_n(π_n,k^-1(Ｂ⁰))＝Ｐ_k(Ｂ⁰)です。そして明らかにπ_n^-1(π_n,k^-1(Ｂ⁰))＝π_k^-1(Ｂ⁰)です

したがって,Ｆ₁,Ｆ₂,．．,Ｆ_k∈ＣでＦ_i∩Ｆ_j＝φ(i≠j)なるものを取ると,ｉ＝1,2,．．,ｋの全てのｉについて共通のｎが存在してＦ_i＝π_n^-1(Ｆ_i⁰)；Ｆ_i⁰∈Ｂ(Ｒ^nN),Ｆ_i⁰∩Ｆ_j⁰＝φ(i≠j)であるとしてよく,

Ｐ(∪_i=1^kＦ_i)＝Ｐ(∪_i=1^kπ_n^-1(Ｆ_i⁰))＝Ｐ(π_n^-1(∪_i=1^kＦ_i⁰))＝Ｐ_n(∪_i=1^kＦ_i⁰)＝∑_i=1^kＰ_n(Ｆ_i⁰)＝∑_i=1^kＰ(π_n^-1(Ｆ_i⁰))＝∑_i=1^kＰ(Ｆ_i),つまりＰ(∪_i=1^kＦ_i)＝∑_i=1^kＰ(Ｆ_i)ですから,ＰはＣの上で有限加法的です。※)

(注)有限加法的測度がσ加法族の上で完全加法的測度に拡張できることは自明なので敢えてそれを証明はしません。

次にＦ_k↓φのときにＰ(Ｆ_k)→ 0 as ｋ→∞を示します。(つまりＰ(φ)＝0 を証明します。)

そのために,lim_k→∞Ｐ(Ｆ_k)＝ε＞0 と仮定します。一般性を失うことなくＦ_k＝π_k^-1(Ｆ_k⁰)；Ｆ_k⁰∈Ｂ(Ｒ^kN)とします。

また,Ｐ_kは(Ｒ^kN,Ｂ(Ｒ^kN))の確率測度なので,上に与えられたε＞0 に対してＰ_k(Ｆ_k⁰－Ａ_k⁰)＜ε/2^k+1なるコンパクト集合Ａ_k⁰が存在します。(これの理由はルベーグ測度論を参照してください。)

したがって,定義からＰ(π_k^-1(Ｆ_k⁰－Ａ_k⁰))＜ε/2^k+1です。

そこで,Ｂ_k≡∩_i=1^kπ_i^-1(Ａ_i⁰)⊂Ｆ_kとおくと,Ｐ(Ｆ_k)－Ｐ(Ｂ_k)＝Ｐ(π_k^-1(Ｆ_k⁰)－Ｂ_k)≦Σ_i=1^kＰ(π_k^-1(Ｆ_k⁰)－π_i^-1(Ａ_i⁰))≦Σ_i=1^kＰ(π_i^-1(Ｆ_i⁰)－π_i^-1(Ａ_i⁰))＝Σ_i=1^kＰ(π_i^-1(Ｆ_i⁰－Ａ_i⁰))＜ε/2よりlim_k→∞Ｐ(Ｂ_k)＞ε/2＞0 が得られます。

ところが,ω＝(ω₁^(k),ω₂^(k),..)∈Ｂ_k＝∩_i=1^kπ_i^-1(Ａ_i⁰)⊂Ｆ_kとすると,π_k(ω)＝(ω₁^(k),ω₂^(k),..,ω_k^(k))∈π_k(Ｂ_k)＝∩_i=1^kＡ_i⁰ですから,ｋ＝1,2,..,のうちでｋ_1jをω₁^(k1j)が収束するような自然数の添字の部分列,ｋ_2jをｋ_1jの部分列でω_２^(k2j)が収束する部分列というように次々に添字の数列を取ってゆけば,lim_l→∞(ω₁^(k1j),ω₂^(k2j),..,ω_l^(klj))∈∩_i=1^lＡ_i⁰＝π_l(Ｂ_l),ｌ＝1,2,..,となります。

そこで,(ω₁^(kll),ω₂^(kll),..,ω_l^(kll))を取れば,これはｌ→ ∞ に対して収束します。

lim_l→∞ω_j^(kll＝ω_jとすると,lim_l→∞(ω₁^(k1j),ω₂^(k2j),..,ω_l^(klj))＝(ω₁,ω₂,..,ω_i)∈π_i(Ｂ_i),ｉ＝1,2,..,ですから,(ω₁,ω₂,..)∈Ｂ_k,ｋ＝1,2,.. for ∀ｋ,すなわち∩_k=1^∞Ｂ_k⊂∩_k=1^∞Ｆ_kであって∩_k=1^∞Ｂ_k≠φです。

つまり,lim _k→∞Ｂ_k≠φとなるので,lim _k→∞Ｆ_k≠φです。したがって,これはＦ_k↓φ,すなわちlim _k→∞Ｆ_k＝φに矛盾します。

これは,lim_k→∞Ｐ(Ｆ_k)＝ε＞0 という仮定が正しくないことを示していますから,Ｆ_k↓φならlim_k→∞Ｐ(Ｆ_k)＝0 です。それ故,Ｐ(φ)＝0 です。

そこで,補題の結論Ｐ(Ｂ)＝Ｐ_n(Ｂ)を,Ｐ(π_n^-1(Ｂ))＝Ｐ_n(Ｂ)の意味と解釈することにより,上記の補題が成り立つことが証明されました。(補題の証明終わり)

(定理3.1の証明)Ｔ≡[0,∞)に対しτ≡(ｔ₁,ｔ₂,..),ｔ_i∈Ｔ,ｉ＝1,2,..を取り,Ｐ_n^τ(Ｂ)≡μ_t1,t2,..,tn(Ｂ),Ｂ∈Ｂ(Ｒ^nN)と定義すれば,整合性条件によってＰ_n^τは補題の条件Ｐ_n+1^τ(Ｂ×Ｒ^N)＝Ｐ_n^τ(Ｂ)を満たします。

そこで,これは((Ｒ^N)^∞,Ｂ((Ｒ^N)^∞))上の確率測度Ｐ^τを一意的に定義します。

　π^τ(ω)≡(ω(ｔ₁),ω(ｔ₂),..,ω(ｔ_n),..),ω∈(Ｒ^N)^Ｔ,(ω₁⁰,ω₂⁰,..)≡(ω(ｔ₁),ω(ｔ₂),..)∈(Ｒ^N)^∞,π_k(ω⁰)≡(ω₁⁰,ω₂⁰,..,ω_k⁰)とおくと,Ｐ^τ・π^-1_k＝μ_t1,t2,..,tkです。

ここで,Ｂ≡σ{(π^τ)^-1(Ｂ)；Ｂ∈Ｂ((Ｒ^N)^∞),τ⊂Ｔ,τは可算集合)}とし,Ｐ((π^τ) ^-1(Ｂ))＝Ｐ^τ(Ｂ)とすると,このＰ,あるいはＰ・(π^τ) ^-1がＢ上の確率測度を一意的に定義することを示します。

Ｂ＝(π^τ1)^-1(Ｂ₁⁰)＝(π^τ2)^-1(Ｂ₂⁰),Ｂ_i⁰∈Ｂ((Ｒ^N)^∞),ｉ＝1,2とするとき,あるＢ₃⁰∈Ｂ((Ｒ^N)^∞)があって,Ｂ＝(π^τ1∪τ2)^-1(Ｂ₃⁰)なので,τ⊂τ'⊂ＴとするときＰ^τ(Ｂ)＝Ｐ^τ'(Ｂ)が言えればいいのですが,実はこれはＰ^τ・π^-1_k＝μ_t1,t2,..,tkから明らかです。

Ｐの可算加法性については,Ｂ_n＝(π^τn)^-1(Ｂ_n⁰),Ｂ_n⁰∈Ｂ((Ｒ^N)^∞)とし,Ｂ_nは互いに素な集合とすると,Ｂ_n⁰も互いに素で,∪_n=1^∞τ_n＝τは可算集合です。

そこで,Ｐ(∪_n=1^∞Ｂ_n)＝Ｐ(∪_n=1^∞(π^τn)^-1(Ｂ_n⁰))＝Ｐ^τ(∪_n=1^∞Ｂ_n⁰)＝Σ_n=1^∞Ｐ^τ(Ｂ_n⁰)＝Σ_n=1^∞Ｐ((π^τn)^-1(Ｂ_n⁰))＝Σ_n=1^∞Ｐ(Ｂ_n)が確かに成立します。(証明終わり)

次に,νを(Ｒ^N,Ｂ(Ｒ^N))上のある確率測度とし,ｘ∈Ｒ^N,ｔ＞0 に対して,ｇ(ｔ,ｘ)≡(2πｔ)^-N/2 exp{－|ｘ|²/(2ｔ)}とします。

このとき,"ｔ₀＝0＜ｔ₁＜ｔ₂＜..＜ｔ_nに対しμ_t0,t1,..,tn(Ｂ₀×Ｂ₁×..×Ｂ_n )≡∫_{Ｂ0×Ｂ1×..×Ｂn}ν(ｄｘ₀)Π_i=1^Nｇ(ｔ_i－ｔ_i-1,ｘ_i－ｘ_i-1)ｄｘ₁ｄｘ₂..ｄｘ_nと置けば,μ_t0,t1,..,tnは整合性条件を示す。"という命題が成立することを示します。

簡単のためにＮ＝1で証明します。

∫ｄｔ_i{2π(ｔ_i－ｔ_i-1)}^-1/2{2π(ｔ_i+1－ｔ_i)}^-1/2exp[－(ｘ_i－ｘ_i-1)²/{2(ｔ_i－ｔ_i-1)}－(ｘ_i+1－ｘ_i)²/{2(ｔ_i+1－ｔ_i)}]＝{2π(ｔ_i+1－ｔ_i-1)}^-1/2 exp[－(ｘ_i+1－ｘ_i-1)²/{2(ｔ_i+1－ｔ_i-1)}]を示せばよいわけですが,具体的に計算すれば間単に示すことができるので,詳細な計算は省略します。

"(定理3.1)＝「コルモゴロフの拡張定理」と上記の具体的な確率測度の式によって,(Ω^N,Ｂ^N)上に確率測度Ｐが存在し{Ｘ_t}の有限次元分布はμ_t0,t1,..,tnとなっていること,がわかります。

さらにその定義によりＸ_t－Ｘ_sは平均がゼロ,共分散行列が(ｔ－ｓ)ＥのＮ次元ガウス型確率変数です。またＸ_t－Ｘ_sは各ｕ≦ｓに対してＸ_uと独立になっています。しかしＸ_t(ω);ω∈Ω^Nは必ずしもｔの連続関数になっていません。

また,一般にＷ^NはＢ^Nの元ではありません。これを証明します。

(証明)Ｓ⊂[0,∞)に対して,Ｆ_S≡σ(Ｘ_t：ｔ∈Ｓ)とし,Ｆ^*≡∪_S:可算Ｆ_Sとおきます。

このとき,Ａ_n∈Ｆ^*なら∃Ｓ_n⊂[0,∞):可算,Ａ_n∈Ｆ_Sn,(ｎ＝1,2,．．)ですから,Ｓ^*≡∪_n=1^∞Ｓ_nとするとＳ^*も可算集合です。

それ故.∪_n=1^∞Ａ_n∈Ｆ_S⊂Ｆ^*なのでＦ^*はσ加法族です。しかも,Ｆ^*は全ての筒集合,すなわち{ω∈Ω^N: Ｘ_t1(ω)∈Ｂ₁,Ｘ_t2(ω)∈Ｂ₂,..,Ｘ_tk(ω)∈Ｂ_k}＝{ω(・)∈Ω^N:ω(ｔ₁)∈Ｂ₁,ω(ｔ₁)∈Ｂ₁,．．,ω(ｔ_k)∈Ｂ_k} ( 0≦ｔ₁＜ｔ₂＜..＜ｔ_k；Ｂ₁,Ｂ₂,..,Ｂ_k∈Ｂ(Ｒ^N))の形の部分集合全体を含みますからＦ^*＝Ｂ^Nです。

そして,もしＷ^N∈Ｂ^Nであるとすると,ある可算集合Ｓ⊂[0,∞)が存在してＷ^N∈Ｆ_S＝σ(Ｘ_t：ｔ∈Ｓ)となります。

したがって,Ｗ^N≡Ｃ([0,∞)；Ｒ^N)＝([0,∞)で定義され,Ｒ^Nに値をとる連続関数の全体)がＦ_Sの元ですから,ｗ∈Ｗ^Nのときに∀ｔ∈ＳについてＸ_t(ｗ)＝Ｘ_t(ｗ'),すなわち,ｗ(ｔ)＝ｗ'(ｔ)ならば,Ｘ_t(ｗ)とＸ_t(ｗ')より,ｗ(ｔ)とｗ'(ｔ)はＦ_Sの元として全く同じものを表わしている,ことになりますからｗ'∈Ｗ^Nとならなければなりません。

しかしながら,ｗ(ｔ)＝ｗ'(ｔ) for ∀ｔ∈ＳでもＳは単なる可算集合ですから,ｗ'(ｔ)がＳ以外の点ｔ∈[0,∞)で不連続な場合もあるのでこれはｗ'∈Ｗ^Nと矛盾します。つまり,一般にＷ^N∈Ｂ^Nではありません。(証明終わり)

途中ですが今日はここまでとします。

参考文献：長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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