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2007年6月24日 (日)

ブラウン運動と伊藤積分(2)

前記事の続きです。

NN≡C([0,∞);RN),すなわち[0,∞)で定義され,RNに値をとる連続関数の全体とします。

 

そして,{t}をN次元ブラウン運動とすると,その定義によって,全体として確率が1のΩの元ω∈Ωに対し,t(ω)はtの連続関数ですから,t(ω)はΩからNへの写像であると見ることができます。

 

この写像:Ω→WN:ω∈Ω{t(ω)}t∈[0,∞)Nを,.(ω)と表わすことにすれば,.(ω)={t(ω)}t∈[0,∞)です。

 

上述の"確率が1のΩの元ω∈Ωに対して"という意味は,"P(ω∈Ω:.(ω)N)=1に属するωに対して"と表現できます。

任意の1,2Nに対して,d(1,2)≡∑n=02-n(sup0≦t≦n|1(t)-2(t)|∧1)と置けば,Nはdを距離とする完備距離空間になります。

 

そして,その位相的ボレルσ加法族(Nの全ての開集合を含む最小のσ加法族)を(N)とし,各.(ω)Nに対して集合関数μB(F)をμB(F)≡P(-1(F))=P(ω∈Ω:.(ω)∈F);F∈(N)によって定義すれば,このμBは(N,(N))上の分布になります。

 

この分布をN次元ウィーナー測度と言います。

特に,P(0)=1;∈RNなるN次元ブラウン運動{t(ω)}t∈[0、∞)が与えられたとき,対応するμB(・)を,Px(・)と表わすことにします。

 

Nに対し座標関数:t()≡(t)(0()≡(0)=)を取ると,tは確率空間(N,(N),Px)で定義された∈RNから出発するブラウン運動です。

ここでは,逆にブラウン運動を構成するに当たって,これをこの空間(N,(N))に実現することを考えます。

 

つまり,確率空間(N,(N),Px)における確率過程として,ブラウン運動というものが本当に存在することを示したいと思います。

 

言わばブラウン運動の存在定理の証明を以下において試みます。

そのため,まず,より広い空間ΩN(RN)[0,∞)≡{ωω(・)∈ΩN[0,∞)→RN}を用意します。

 

座標関数t(ω)≡ω(t),ω∈ΩNにより,ωの有限個の座標を指定することによって,ΩNの部分集合が定まります。

 

これを筒集合と呼びます。

 

すなわち,k=1,2,..に対して,0≦t1<t2<..<tk;B1,B2,..,Bk(RN)を取ったとき,{ω∈ΩN:t1(ω)∈B1,t2(ω)∈B2,..,tk(ω)∈Bk}の形の部分集合のことを筒集合と呼ぶわけです。

筒集合の有限和の全体は,明らかに有限加法族です。この有限加法族を含む最小のσ加法族をNと書くことにします。

 

そしてN,N)上の確率測度を作るわけですが,これを実行する手続きにおいて「コルモゴロフの拡張定理(Kolmogorov)」を利用します。

 

与えられた確率空間(Ω,,P)上で,[0,∞)をパラメータとする確率過程{t}に対し,その有限次元分布μt1,t2,..tnは,μt1,t2,..tn(B1×B2×..×Bn)≡P((t1)∈B1,(t2)∈B2,..,(tn)∈Bn)で定められます。

 

そして,逆に分布の族{μt1,t2,..,tn}:0<t1<t2<..<tn ,n=1,2,..が与えられたとき,それらを有限次元分布とする確率過程が存在するために課せられる条件が,次の「コルモゴロフの拡張定理」の整合性条件です。

つまり,"μt1,t2,..,ti-1,ti+1,..,tn(B1×B2×..×Bi-1×Bi+1×..×Bn)=μt1,t2,..,ti-1,ti,ti+1,..,tn(B1×B2×..×Bi-1×RN×Bi+1×..×Bn);i=1,2,..,n;B1,B2,..,Bn(RN)"なる条件が「コルモゴロフの拡張定理」が成立するための整合性条件です。

(定理3.1):「コルモゴロフの拡張定理」

上述の整合性条件を満たす分布の族t1,t2,..,tn}:0<t1<t2<..<tn ,n=1,2,..が与えられているとする。

 

このとき,N,N)上に確率測度Pが唯1つ存在して,確率過程{t}の有限次元分布はμt1,t2,..,tnに等しい。

これを証明するためには,次の補題が必要です。

(補題)P1,P2,..が,それぞれ(RN,(RN)),(R2N,(R2N)),..,上の確率測度で,Pn+1(B×RN)=Pn(B)を満たすならば,((RN),((RN)))上の確率測度Pが存在して,P(B)=Pn(B),B∈(RnN)を満たす。

(証明) 写像πn:(RN)→(RN)nを,ω=(ω1,ω2,..,ωn,..)∈(RN)→ πn(ω)≡(ω1,ω2,..,ωn)∈(RN)n で定義すると,C≡{πn-1(B):B∈(RnN),n=1,2,..}は(RN)上の1つの有限加法族を定義します。

 

(※なぜなら,φ∈(RnN)に対しπn-1(φ)=φによりφ∈Cです。    (∵φ×RM=φ)

 

また,πn-1(B)∪πn-1(Bc)=πn-1(B∪Bc)=πn-1(RnN)=(RN)です。故に,(πn-1(B))c=πn-1(Bc),よって,"A∈C⇒Ac∈C"も成立します。

 

また,A1,A2∈Cなら,あるB1,B2(RnN)が存在してA1=πn-1(B1),A2=πn-1(B2)と書けますから,A1∪A2=πn-1(B1)∪πn-1(B2)=πn-1(B1∪B2)で,B1∪B2(RnN)より,A1∪A2∈Cであるからです。※)

F∈Cに対してP(F)≡Pn(B),F=πn-1(B),B∈(RnN):P(F)≡Pnn(F))(あるいはP(πn-1(B))=Pn(B))と定義するとき,PはC上で有限加法的です。

(※なぜなら,n≧kに対してπn,k((ω1,ω2,..,ωn))≡(ω1,ω2,..,ωk)∈RkNと定義すると,仮定Pn+1(B×RN)=Pn(B)により,∀B0(R(n-1)N)に対してπn,n-1-1(B0) ∈RnNです。

 

nn,n-1-1(B0))=Pn-1(B0)etc.であり,明らかに∀B0(RkN)に対してπn,k-1(B0)∈RnNでPnn,k-1(B0))=Pk(B0)です。そして明らかにπn-1n,k-1(B0))=πk-1(B0)です

したがって,F1,F2,..,Fk∈CでFi∩Fj=φ(i≠j)なるものを取ると,i=1,2,..,kの全てのiについて共通のnが存在してFi=πn-1(Fi0);Fi0(RnN),Fi0∩Fj0=φ(i≠j)であるとしてよく,

 

P(∪i=1ki)=P(∪i=1kπn-1(Fi0))=P(πn-1(∪i=1ki0))=Pn(∪i=1ki0)=∑i=1kn(Fi0)=∑i=1kP(πn-1(Fi0))=∑i=1kP(Fi),つまりP(∪i=1ki)=∑i=1kP(Fi)ですから,PはCの上で有限加法的です。※)

(注)有限加法的測度がσ加法族の上で完全加法的測度に拡張できることは自明なので敢えてそれを証明はしません。

次にFk↓φのときにP(Fk)→ 0 as k→∞を示します。(つまりP(φ)=0 を証明します。)

そのために,limk→∞P(Fk)=ε>0 と仮定します。一般性を失うことなくFk=πk-1(Fk0);Fk0(RkN)とします。

また,Pk(RkN,(RkN))の確率測度なので,上に与えられたε>0 に対してPk(Fk0-Ak0)<ε/2k+1なるコンパクト集合Ak0が存在します。(これの理由はルベーグ測度論を参照してください。)

 

したがって,定義からP(πk-1(Fk0-Ak0))<ε/2k+1です。

そこで,Bk≡∩i=1kπi-1(Ai0)⊂Fkとおくと,P(Fk)-P(Bk)=P(πk-1(Fk0)-Bk)≦Σi=1kP(πk-1(Fk0)-πi-1(Ai0))≦Σi=1kP(πi-1(Fi0)-πi-1(Ai0))=Σi=1kP(πi-1(Fi0-Ai0))<ε/2よりlimk→∞P(Bk)>ε/2>0 が得られます。

ところが,ω(ω1(k),ω2(k),..)∈Bk=∩i=1kπi-1(Ai0)⊂Fkとすると,πk(ω)=(ω1(k),ω2(k),..,ωk(k))∈πk(Bk)=∩i=1ki0ですから,k=1,2,..,のうちでk1jω1(k1j)が収束するような自然数の添字の部分列,k2jをk1jの部分列でω(k2j)が収束する部分列というように次々に添字の数列を取ってゆけば,liml→∞(ω1(k1j),ω2(k2j),..,ωl(klj))∈∩i=1li0=πl(Bl),l=1,2,..,となります。

 

そこで,(ω1(kll),ω2(kll),..,ωl(kll))を取れば,これはl→ ∞ に対して収束します。

liml→∞ωj(kllωjとすると,liml→∞(ω1(k1j),ω2(k2j),..,ωl(klj))=(ω1,ω2,..,ωi)∈πi(Bi),i=1,2,..,ですから,(ω1,ω2,..)∈Bk,k=1,2,.. for ∀k,すなわち∩k=1k⊂∩k=1kであって∩k=1k≠φです。

 

つまり,lim k→∞k≠φとなるので,lim k→∞k≠φです。したがって,これはFk↓φ,すなわちlim k→∞k=φに矛盾します。

 

これは,limk→∞P(Fk)=ε>0 という仮定が正しくないことを示していますから,Fk↓φならlimk→∞P(Fk)=0 です。それ故,P(φ)=0 です。

そこで,補題の結論P(B)=Pn(B)を,P(πn-1(B))=Pn(B)の意味と解釈することにより,上記の補題が成り立つことが証明されました。(補題の証明終わり)

(定理3.1の証明)≡[0,∞)に対しτ≡(1,t2,..),i,i=1,2,..を取り,Pnτ(B)≡μt1,t2,..,tn(B),B∈(RnN)と定義すれば,整合性条件によってPnτは補題の条件Pn+1τ(B×RN)=Pnτ(B)を満たします。

 

そこで,これは((RN),((RN)))上の確率測度Pτを一意的に定義します。

  

 πτ(ω)≡(ω(t1),ω(t2),..,ω(tn),..),ω∈(RN),(ω10,ω20,..)≡(ω(t1),ω(t2),..)∈(RN)k(ω0)≡(ω10,ω20,..,ωk0)とおくと,Pτ・π-1k=μt1,t2,..,tkです。

ここで,≡σ{(πτ)-1(B);B∈((RN)),τ,τは可算集合)}とし,P((πτ) -1(B))=Pτ(B)とすると,このP,あるいはP・(πτ) -1上の確率測度を一意的に定義することを示します。

B=τ1)-1(B10)=(πτ2)-1(B20),Bi0((RN)),i=1,2とするとき,あるB30((RN))があって,B=(πτ1∪τ2)-1(B30)なので,ττ'⊂とするときPτ(B)=Pτ'(B)が言えればいいのですが,実はこれはPτ・π-1k=μt1,t2,..,tkから明らかです。

Pの可算加法性については,Bnτn)-1(Bn0),Bn0((RN))とし,Bnは互いに素な集合とすると,Bn0も互いに素で,∪n=1τnτは可算集合です。

 

そこで,P(∪n=1n)=P(∪n=1τn)-1(Bn0))=Pτ(∪n=1n0)=Σn=1τ(Bn0)=Σn=1P((πτn)-1(Bn0))=Σn=1P(Bn)が確かに成立します。(証明終わり)

次に,νを(RN,(RN))上のある確率測度とし,∈RN,t>0 に対して,g(t,)≡(2πt)-N/2 exp{-||2/(2t)}とします。

 

このとき,"00<t1<t2<..<tnに対しμt0,t1,..,tn(B0×B1×..×Bn )≡∫B0×B1×..×Bnν(d0i=1Ng(ti-ti-1,ii-1)d12..dnと置けば,μt0,t1,..,tnは整合性条件を示す。"という命題が成立することを示します。

簡単のためにN=1で証明します。

∫dti{2π(ti-ti-1)}-1/2{2π(ti+1-ti)}-1/2exp[-(xi-xi-1)2/{2(ti-ti-1)}-(xi+1-xi)2/{2(ti+1-ti)}]={2π(ti+1-ti-1)}-1/2 exp[-(xi+1-xi-1)2/{2(ti+1-ti-1)}]を示せばよいわけですが,具体的に計算すれば間単に示すことができるので,詳細な計算は省略します。

"(定理3.1)=「コルモゴロフの拡張定理」と上記の具体的な確率測度の式によって,(ΩN,N)上に確率測度Pが存在し{t}の有限次元分布はμt0,t1,..,tnとなっていること,がわかります。

 

さらにその定義によりtsは平均がゼロ,共分散行列が(t-s)EのN次元ガウス型確率変数です。またtsは各u≦sに対してuと独立になっています。しかしt(ω);ω∈ΩNは必ずしもtの連続関数になっていません。

また,一般にWNNの元ではありません。これを証明します。

(証明)⊂[0,∞)に対して,S≡σ(t:t∈)とし,*≡∪S:可算Sとおきます。

 

このとき,An*なら∃n⊂[0,∞):可算,AnSn,(n=1,2,..)ですから,*≡∪n=1nとすると*も可算集合です。

 

それ故.∪n=1nS*なので*はσ加法族です。しかも,*は全ての筒集合,すなわち{ω∈ΩN: t1(ω)∈B1,t2(ω)∈B2,..,tk(ω)∈Bk}={ω(・)∈ΩN:ω(t1)∈B1,ω(t1)∈B1,..,ω(tk)∈Bk} ( 0≦t1<t2<..<tk;B1,B2,..,Bk(RN))の形の部分集合全体を含みますから*Nです。

そして,もしWNNであるとすると,ある可算集合[0,∞)が存在してWNS=σ(t:t∈)となります。

 

したがって,N≡C([0,∞);RN)=([0,∞)で定義され,RNに値をとる連続関数の全体)がSの元ですから,∈WNのときに∀t∈についてt()=t('),すなわち,(t)='(t)ならば,t()とt(')より,(t)と'(t)はSの元として全く同じものを表わしている,ことになりますから'∈WNとならなければなりません。

しかしながら,(t)='(t) for ∀t∈でもは単なる可算集合ですから,'(t)が以外の点t∈[0,∞)で不連続な場合もあるのでこれは'∈WNと矛盾します。つまり,一般にWNNではありません。(証明終わり)

途中ですが今日はここまでとします。

参考文献:長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

 

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110. 複雑系・確率過程・非線型・非平衡」カテゴリの記事

コメント

 こんにちは,hirotaさん、TOSHIです。コメントありがとうございます。

 確かに相当不自然です。有理点の数は可算個なのでそのルベーグ測度は 0 である、と閉集合の無限個の和集合は開集合になることがある、というのを一緒にしたような、天邪鬼さに見えます。

 ところで私の天邪鬼さは一応、反権力,反権威的なもの=反モラル,反秩序(古くは造反有理とか「犯罪は革命的である」)とかですが、支配的(dominant)なものや支配的なイデオロギーとモラルには逆らう,というある種の一貫性は持っているつもりです。

 古くは、公徳心などという誰を指して公共とか国とか呼ぶのかが不明な、公共の利益とか国益などという言葉は大嫌いで、まあ、今でもそうですが、社会的秩序を乱すことや軽犯罪を犯すことに理があるとしていました。

 ある種アナーキズム=無政府主義かな。。

 だから、ゴミ屋敷ほどではないけど、公道にすすんでゴミをポイ捨てすることなどを人に隠れてではなく、こちらのほうが正しいという顔で堂々とやっていて、注意されたら逆にやりこめる、などという罪なことをしていた時期もありましたが、今はそこまで露骨なことはやっていません。
              TOSHI
            

投稿: TOSHI | 2007年11月13日 (火) 13時19分

完全加法に拡張できない有限加法測度の例を(今ごろ)説明しますと、
まず、有限加法族としては [ 0 , 1 ) 内で半開区間 [ a , b ) = { x | a ≦ x < b }, 0 ≦ a < b ≦ 1 の有限個の和を考えます。
そして、測度は b = 1 の半開区間を含む場合は 1, 含まない場合は 0 とします。
これは有限加法測度で [ 0 , 1 ) の測度は 1 となりますが、[ 0 , 1 ) を [ 1 - 1/n , 1 - 1/( n + 1 ) ), n = 1 ~ ∞ に分割すると測度の和は 0 となって一致しないので、完全加法測度に拡張できません。
どうです、よほどの天邪鬼でないと考え付かないような不自然さでしょう。(一般常識に逆らった発言に触発されて、私も天邪鬼度を自慢してみました。独創性の方が聞こえが良いけど)

投稿: hirota | 2007年11月12日 (月) 13時02分

 どもこんにちはhirotaさん、TOSHIです。いつもコメントありがとうございます。

>そういう不自然な例を作るのが苦労だったわけで、普通は考えなくても良い話です。

 なるほど数学屋はそうした不自然な定義まで想定しているのですね。そういえば昔高校の数学で部分和の数列Snが与えられていて一般項anを求めるような数列の問題で、S0が0にならないように,つまりわざわざS1≠a1のような初項a1を与えているような問題があったのを思い出してしまいました。
TOSHI


            TOSHI

投稿: TOSHI | 2007年9月19日 (水) 16時45分

もちろん、極限値を確率測度として定義すれば、完全加法測度を作れるでしょうが、極限値が有限加法測度での値と一致しない場合は「有限加法測度を含んだ完全加法測度」ではないことになります。
そういう不自然な例を作るのが苦労だったわけで、普通は考えなくても良い話です。

投稿: hirota | 2007年9月19日 (水) 11時56分

 ども、こんばんは。hirotaさん。TOSHIです。

 厳密なことはよくわかりませんが、単に有限加法的測度による確率測度の級数の部分和は上を1で押さえられた単調増加数列である,あるいは正項級数で上に有界なので、対象のすべての集合がその有限加法的測度で可測というか確率測度の値が定義できる限り無限に加えても有限値に収束すると思われるので、その極限値を無限個の集合の和でσ集合の元である集合の確率測度として定義すれば、拡張できるのではないかと考えたのです。まあ、反例があるのなら抗弁できませんけど。。。。

             TOSHI

投稿: TOSHI | 2007年9月18日 (火) 00時32分

>有限加法的測度が・・・拡張できることは自明
完全加法測度に拡張できるには、条件があったんじゃないですか?(定義範囲内での完全加法性)
この場合、条件が満たされるのは自明でしょうが。
(完全加法に拡張できない有限加法測度の例を今作ってみたけど、苦労してしまった)

投稿: hirota | 2007年9月16日 (日) 03時26分

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