北朝鮮で選挙

　北朝鮮で選挙があって投票率が99.82％だというので驚いた。100％じゃないのかよ。。。こりゃ大変だ。投票しなかった0.18％は刑務所行きか,収容所行きかと心配ですね。

　ヒトラーがいたナチス時代のドイツも選挙の投票率は100％だったと思ったが違ったかな。

　まあ,病気とか天災とか不可抗力と認められたら許されるのかな？日本でよかったですねえ。丸川さん。

　日本もマスコミを中心に選挙に行け,投票しろと結構うるさいけど,投票は権利であって義務じゃあない。まあ,時の政権にとっては投票率が低いほうが有利で野党にとっては逆らしい。

　そして大方の世論操作では「投票しない人間に政府や公共団体や代議員の政治に意見を言う資格はない。」などのキャンペーンがなされているらしいが,そんなことはない,投票しようがしまいが文句を言う資格はある。

　それに何年に数回かの選挙やその投票だけが政治活動であって,しかも何万票分の一,何十万票分の一じゃ,いかにも淋しい。

　かといって自分で議員というボランティアを一生の仕事としようというのも大変ですしね。

　しかも日本の現実じゃボランティアというには程遠いから,これから税金に巣くっている官僚などを本来の公僕にするという官僚のボランティア化も含めて体制変革から手がけるといって政党のようなものを作って政権を取ってから,シコシコとやろうとしても大変です。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

遅い粘性流(５)(Stokes近似)

遅い粘性流の項目を終わりにするに当たって1982年5月の覚書きノートから「Ｉ.Ｉmai(今井功)の方法(1972)によるストークス(Stokes)方程式の一般解」を紹介します。

まず,非圧縮性流体の定常流のストークス方程式と連続方程式はη△ｖ＝gradｐ (1),divｖ＝0 (2)と表わされます。

そこで,今 △φ＝0 を満足するあるベクトル場:φ (3)によってｐ＝2ηdivφ (4)と表わされたとします。

このとき(1),(2)の１つの解ｖ₁は次式で与えられます。すなわち,ｖ₁＝grad(ｒφ)－2φ (5) です。これが実際に解であることはｖ＝ｖ₁を直接(1),(2)に代入することで確かめられます。

次に一般解をｖとして,ｖ'≡ｖ－ｖ₁とおけば,△ｖ'＝0 ,divｖ'＝0 となります。第２の式によって,ｖ'＝rotＡなるＡが存在します。

そして第１の式から,△ｖ'＝rot(△Ａ)＝0 なので,ある関数χが存在して△Ａ＝gradχと書けます。

ここで,△Ψ＝－χなるΨによって,ゲージ変換:Ａ'＝Ａ＋gradΨを施せば △Ａ'＝0 とできることがわかります。

以上から,一般解ｖはｖ＝ｖ₁＋rotＡ(6),△Ａ＝0 (7)と表わすことができることがわかります。

そこで,χ≡－Ａ/2, △Φ＝0 (8)なるχ,Φを用いてφ'＝φ＋gradΦ＋rotχ(9)とおけば,△φ'＝△φ＝0 ,divφ'＝divφ(10)が成立し,grad(ｒφ')－2φ'＝ｖ₁＋grad{ｒgradΦ－2Φ＋ｒrot(－Ａ/2)}＋rotＡ (11)と書けます。

したがって,ｒgradΦ－2Φ－(ｒ/2)rotＡ＝一定となるような調和関数Φが存在すれば,φ'をｖ₁＝grad(ｒφ)－2φ(15)のφの代わりに用いてｖ＝grad(ｒφ')－2φ'とすることで,一般解ｖが与えらます。

今,Φ＝Σ_lΦ_l,Ａ＝Σ_lＡ_l (12)と,Φ,Ａをl次の体球関数Φ_l,Ａ_l(調和関数であってｘ,ｙ,ｚのｌ次の同次式):Φ_l＝Σ_mｃ_lmｒ^lＹ_lm(θ,φ),Ａ_l＝Σ_mｄ_lmｒ^lＹ_lm(θ,φ))で展開すれば,(ｌ－2)Φ_l＝(ｒ/2)rotＡ_l＋const.δ_l0(13)が得られます。

そこで,Ａ₂≠0 でもｒrotＡ₂＝0 のケースには,ｌ≠2なるｌに対するΦ_lとしてΦ_l＝ｒrotＡ_l/{2(ｌ－2)}と取れば,求めるΦ＝Σ_lΦ_lが存在することがわかります。

すなわち,Φ＝(1/2)Σ_l≠2[ｒrotＡ_l/(ｌ－2)] (14) です。

さらにｒrotＡ₂≠0 のケースでも(9)とは別のφ'の選び方でｖ＝grad(ｒφ')－2φ' (5)'の形に帰着できることが予想されます。

今井功 著「流体力学」(1973)(裳華房)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

小田実逝く

　38年前,私が19歳のときに社会運動を始めた機会となり,最初に影響を受けた元ベ平連＝「ベトナムに平和を！市民連合」代表の巨星＝小田実(おだまこと)氏が75歳で亡くなったらしいです。

　　　合掌！

　まあ,市民連合の市民というのは"ブルジョア"ですが,そういう意味の「市民連合」ではなかったと思います。

　同じ頃,市民運動を名乗って東京工大でビラを配っていたらしい「菅直人」という俗物とは対極に位置していますね。

　　　　　　。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

遅い粘性流(４)(Oseen近似)

1982年6月の覚書きノートから抜粋して,1928年のゴールドスタイン(S.Goldstein)の方法により,球を過ぎる一様流に対する定常オセーン近似の解について記述します。

半径ａの小球のまわりの線型粘性流の速度ベクトルをｖ(ｒ)で表わし,lim_|r|→∞ｖ＝Ｕｉとします。

ｖ＝Ｕｉ＋ｕとおけば,ｕに対するオセーン近似(Oseen近似)の方程式と連続の方程式は,Ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＝－gradｐ/ρ＋η△ｕ/ρ (1),divｕ＝0 (2)と表わされます。ρは密度,ηは第一粘性率です。

小球の中心を原点とし,ｒ＝|ｒ|とおけばｕに対する境界条件は,ｕ＝－Ｕｉ at ｒ＝ａ (3),ｕ＝0 at ｒ＝∞ (4),ｐ＝ｐ_∞(一定) at ｒ＝∞　(5)と書けます。

(1),(2)より,△ｐ＝0 (6)なのでｐ＝ρＵ(∂Φ/∂ｘ)(あるいは,ｐ＝ρＵ(∂Φ/∂ｘ)＋ｐ_∞ (7),かつ△Φ＝0 (8)を満たす関数Φ(ｒ)が存在します。

なぜなら,一般にｐ＝ρＵ(∂Φ/∂ｘ)なら,∂(△Φ)/∂ｘ＝0 より,Ｆをｙ,ｚの任意関数として△Φ＝Ｆ(ｙ,ｚ)と書けます。

特にΦ≡{1/(ρＵ)}∫_-∞^xｐ(ｘ',ｙ,ｚ)ｄｘ'と置くと,ｒ→ ∞ に対してｐ → ｐ_∞(一定)より∂ｐ/∂ｘ → 0 ですから,ρＵ△Φ＝(∂ｐ/∂ｘ)＋∫_-∞^x [(∂²ｐ/∂ｙ²)＋(∂²ｐ/∂ｚ²)]＝(∂ｐ/∂ｘ)－[(∂ｐ(ｘ',ｙ,ｚ)/∂ｘ')]_-∞^x＝0 が成立するからです。

ここで,特にｕ≡－gradΦ (9)とおけば(7),(8),(9)は明らかに(1),(2)の１つの解であることがわかります。

そこで,一般解を求めるためにｕ'をｕ≡－gradΦ＋ｕ'(10)で定義します。また,ｋ＝ρＵ/(2η) (11)とおきます。

このとき,(1),(2)は,それぞれ[△－2ｋ(∂/∂ｘ)]ｕ'＝0 (12),divｕ'＝0 (13)となります。

渦度ωをω≡rotｕ＝rotｕ' (14)で定義すると,[△－2ｋ(∂/∂ｘ)]ω＝0 (15)が成立します。

ところで,ｘ軸(θ＝0)の周りで流れは完全に対称なので,この軸を含む任意の平面に関して流速ベクトルは左右対称であり,その平面を横切るような流速成分は存在しません。

したがって,ｕ_φ＝0 であり渦線は極軸(θ＝0)のまわりの円環を形成することがわかります。

すなわち,ωは上述の平面に垂直な成分のみを持つのでｉω＝0 ,つまりω_ｘ＝0 (16) です。

故に,div(rot)＝0 より(∂ω_y /∂ｙ)＋(∂ω_z /∂ｚ)＝0 (17)を得ます。そこで,ｘと(ｙ²＋ｚ²)^1/2のみ,つまりｒcosθとｒsinθのみの関数χ(ｒ,θ)が存在してω_y ＝－∂χ /∂ｚ,ω_z ＝－∂χ /∂ｙ (18)と書けます。すなわち,ω＝－rot(χｉ)です。

(15)より,∂[{△－2ｋ(∂/∂ｘ)}χ]/∂ｚ＝0,∂[{△－2ｋ(∂/∂ｘ)}χ]/∂ｙ＝0 なので,{△－2ｋ(∂/∂ｘ)}χ＝ｇ(ｘ)と書けます。

ここで,ｄｆ/ｄｘ＝－ｅ^2kx∫ｇ(ｘ)ｅ^-2kxｄｘ;ｇ(ｘ)≠0 なるｆ(ｘ)に対してχ'≡χ＋ｆ(ｘ)と置けば{△－2ｋ(∂/∂ｘ)}χ'＝0 とできるので,一般性を失うことなく{△－2ｋ(∂/∂ｘ)}χ＝0 (19)としてよいことになります。

ところで,rotω＝rot(rotｕ')＝grad(divｕ')－△ｕ'＝－△ｕ'ですが,一方,ω＝－rot(χｉ)よりrotω＝－grad{div(χｉ)}＋(△χ)ｉです。

これと,{△－2ｋ(∂/∂ｘ)}χ＝0 (19)よりrotω＝－∂(gradχ－2ｋχｉ)/∂ｘ (20)を得ます。また,[△－2ｋ(∂/∂ｘ)]ｕ'＝0 (12)よりrotω＝－2ｋ(∂ｕ'/∂ｘ) (21)も成立します。

そこで,(20),(21)より∂{ｕ'－gradχ/(2ｋ)＋χｉ}/∂ｘ＝0 (22)なので,ｕ'≡ gradχ/(2ｋ)－χｉ＋Ａ(ｙ,ｚ)と書けます。

ところで,divｕ'＝0,rotｕ'＝－rot(χｉ),[△－2ｋ(∂/∂ｘ)]ｕ'＝0,{△－2ｋ(∂/∂ｘ)}χ＝0 なので,divＡ＝0,rotＡ＝0,△Ａ＝0 となります。

Ａはｙ,ｚだけの関数なので,ｙ,ｚだけの関数ψ(ｙ,ｚ)が存在してＡ＝－gradψ,△ψ＝(∂²ψ/∂ｙ²)＋(∂²ψ/∂ｚ²)＝0 と書けます。

そして,ｕ＝－gradΦ＋ｕ' (10)よりｕ＝－grad(Φ＋ψ)＋gradχ/(2ｋ)－χｉとして良いことになります。∂ψ/∂ｘ＝0 ですからｐ＝ρＵ(∂Φ/∂ｘ) (7)はｐ＝ρＵ{∂(Φ＋ψ)/∂ｘ} (7)'と書けます。

また.△Φ＝0 (8)も△(Φ＋ψ)＝0 (8)'と書けます。それ故,ベクトルＡ＝－gradψは解にとって本質的な量ではないので落としてもかまいません。

したがって,(22)よりｕ'＝ gradχ/(2ｋ)－χｉ(23),あるいはｕ＝－gradΦ＋gradχ/(2ｋ)－χｉ(24)と書いてよいことになります。

ところで,χ'≡ｅ^{-k x}χ ⇔ χ≡ｅ^kxχ'(25)によってχ'を定義すれば{△－2ｋ(∂/∂ｘ)}χ＝0 (19)によってχ'に対してヘルムホルツの方程式(△－ｋ²)χ'＝0 (26)が成立します。

次に解を極座標系(ｒ,θ,φ)で表わすことを考えます。ｒ,θ,φ方向単位ベクトルをそれぞれｅ_r,ｅ_θ,ｅ_φと置きます。

任意関数ｆについてｄｆ＝(gradｆ)ｄｒ＝(gradｆ)(ｄｒｅ_r＋ｒｄθｅ_θ＋ｒsinθｄφｅ_φ)なので,gradｆ＝(∂ｆ/∂ｒ)ｅ_r＋(1/ｒ)(∂ｆ/∂θ)ｅ_θ＋{1/(ｒsinθ)}(∂ｆ/∂φ)ｅ_φです。 

また,ｉ＝ｅ₁＝(ｅ_r,ｅ_θ,ｅ_φ)^t(cosθ,－sinθ,0),ｊ＝ｅ₂＝(ｅ_r,ｅ_θ,ｅ_φ)^t(sinθcosφ,cosθcosφ,－sinφ),ｋ＝ｅ₃＝(ｅ_r,ｅ_θ,ｅ_φ)^t(sinθsinφ,cosθsinφ,cosφ)となります。

それ故,(ｉ,ｊ,ｋ)＝(ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)≡(ｅ_r,ｅ_θ,ｅ_φ)Ｔで変換行列Ｔを定義すれば,^t(ｕ_r,ｕ_θ,ｕ_φ)＝Ｔ^t(ｕ₁,ｕ₂,ｕ₃)となります。

それ故,ｕ＝－gradφ＋gradχ/(2ｋ)－χｉ(24)を極座標表示すると

ｕ_r＝－(∂Φ/∂ｒ)＋{1/(2ｋ)}(∂χ/∂ｒ)－χcosθ＝－(∂Φ/∂ｒ)＋{ｅ^kx/(2ｋ)}(∂χ'/∂ｒ)－(ｅ^kx/2)χ'cosθ(27),

ｕ_θ＝－(1/ｒ)(∂Φ/∂θ)＋{1/(2ｋｒ)}(∂χ/∂θ)＋χsinθ＝－(1/ｒ)(∂Φ/∂θ)＋{ｅ^kx/(2ｋｒ)}(∂χ'/∂θ) ＋(ｅ^kx/2)χ'sinθ(28),ｕ_φ≡0 (29)となります。

また,Φ,χ'をｒ,θで表わすと次式のようになります。

Φ＝Σ_n=0^∞(Ａ_n/ｒⁿ⁺¹)Ｐ_n(cosθ) (30),χ'＝Σ_n=0^∞[Ｂ_nχ_n(ｋｒ)Ｐ_n(cosθ)] (31)です。ここに,χ_n(ｚ)≡(2ｎ＋1){π/(2ｚ)}^1/2Ｋ_n+1/2(ｚ) (32)です。

境界条件(3),(4)は,次のようになります。ｕ_r＝－Ｕcosθ,ｕ_θ＝－Ｕsinθ at ｒ＝ａ (33),ｕ_r＝ｕ_θ＝0 at ｒ＝∞ (34)です。

(33)を用いると,半径ａの球全体に働く抵抗ＤをΦとρ,Ｕのみを使って表現することができます。

以下にそれを証明します。

ニュートン・ストークスの公式によれば応力テンソルＰ_ijはＰ_ij＝－ｐδ_ij＋2ηｅ_ij (35)で与えられます。

ここで,ｅ_ijは歪み速度テンソルでｅ_ij≡(∂ｖ_i/∂ｘ_j＋∂ｖ_j/∂ｘ_i)/2＝(∂ｕ_i/∂ｘ_j＋∂ｕ_j/∂ｘ_i)/2 (36)で定義されます。

そして,ｎを球面の外向き法線として,応力をｆ≡ｆ(ｎ)で表わすとｆはｆ_i＝Ｐ_ijｎ_j (37)で与えられます。

球面の外向き法線方向は常にｒ方向に一致するので,(35),(37)よりｆ_r＝Ｐ_rr＝－ｐ＋2ηｅ_rr (38),ｆ_θ＝Ｐ_θr＝Ｐ_rθ＝2ηｅ_rθ (39),ｆ_φ＝Ｐ_φr＝Ｐ_rφ＝2ηｅ_rφ (40)となります。

直交曲線座標に関する定理を,線素ｄｒ,ｒｄθ,ｒsinθｄφに適用すると,ｅ_rr,ｅ_rθ,ｅ_rφは次のように表わされます。

ｅ_rr＝∂ｕ_r/∂ｒ (41),ｅ_rθ＝[(1/ｒ)(∂ｕ_r/∂θ)＋ｒ{∂(ｕ_θ/ｒ)/∂ｒ}]/2 (42),ｅ_rφ＝[{1/(ｒsinθ)}(∂ｕ_r/∂φ)＋ｒ{∂(ｕ_φ/ｒ)/∂ｒ}]/2≡0 (43)です。よって,ｆ_φ＝Ｐ_rφ≡0 です。

そして,抵抗Ｄは次式で与えられます。

Ｄ＝∫_r=a[Ｐ_rr^t(cosθ,sinθcosφ,sinθsinφ)＋Ｐ_rθ^t(－sinθ,cosθcosφ,cosθsinφ)]ｄＳ (44) です。

ｆ_r＝Ｐ_rrおよびｆ_θ＝Ｐ_rθは角変数φを含まないので,明らかにＤ₂＝Ｄ₃＝0 です。

そして,ゼロではない唯一の抵抗成分Ｄ₁を改めてＤと書けば,Ｄ＝2πａ²∫₀^πｄθsinθ(Ｐ_rrcosθ－Ｐ_rθsinθ) (45)となります。

ここで,まず圧力ｐをφ,χで表現すると,ｐ＝ρＵ(∂Φ/∂ｘ)＝ρＵ{cosθ(∂Φ/∂ｒ)－(sinθ/ｒ)(∂Φ/∂θ)} (46)です。

また,(27),(41)よりｅ_rr＝∂ｕ_r/∂ｒ＝－(∂²Φ/∂ｒ²)＋{1/(2ｋ)}(∂²χ/∂ｒ²)－(∂χ/∂ｒ)cosθです。

△Φ＝0 より,－(∂²Φ/∂ｒ²)＝(2/ｒ)(∂Φ/∂ｒ)＋{1/(ｒ²sinθ)}{sinθ(∂Φ/∂θ)}です。

また,{△－2ｋ(∂/∂ｘ)}χ＝0 から,{1/(2ｋ)}(∂²χ/∂ｒ²)＝{－1/(ｋｒ)}(∂χ/∂ｒ)－{1/(2ｋｒ²sinθ)}{sinθ(∂χ/∂θ)}＋(∂χ/∂ｒ)cosθ－(sinθ/ｒ)(∂χ/∂θ)ですから,結局次式が得られます。

ｅ_rr＝(－2/ｒ)[－(∂Φ/∂ｒ)＋{1/(2ｋ)}(∂χ/∂ｒ)－χcosθ]－{1/(ｒsinθ)}(∂/∂θ)[(－1/ｒ)(∂Φ/∂θ)＋{1/(2ｋｒ)}(∂χ/∂θ)}＋χsinθ],つまりｅ_rr＝－2ｕ_r/ｒ－{1/(ｒsinθ)}{∂(ｕ_θsinθ)/∂θ}＝2Ｕcosθ/ａ－2Ｕcosθ/ａ≡0 (47)となります。

また,(27),(28),(42)よりｅ_rθ＝[(1/ｒ)(∂ｕ_r/∂θ)＋ｒ{∂(ｕ_θ/ｒ)/∂ｒ}]/2＝{－ｕ_θ/ｒ(∂ｕ_θ/∂ｒ)＋(1/ｒ)(∂ｕ_r/∂θ)}/2は次のように変形されます。

ここで,ノートには詳細な計算過程が記されていますが,ｅ_rθについてもｅ_rr＝∂ｕ_r/∂ｒの場合と同様なので,詳細は割愛します。

結局,ｅ_rθ＝ρＵ{(∂Φ/∂ｒ)sinθ＋(cosθ/ｒ)(∂Φ/∂θ)} (48) となります。

(38),(39),および(47),(48)によりＰ_rrcosθ－Ｐ_rθsinθ＝－ρＵ(∂Φ/∂ｒ) (49)となります。

そこで,小球が流れの向きに受ける抵抗力の大きさは,Ｄ＝2πａ²∫₀^πｄθsinθ(Ｐ_rrcosθ－Ｐ_rθsinθ) (45)によりＤ＝－2πａ²∫_-1¹ｄ(cosθ)[ρＵ(∂Φ/∂ｒ)] (50)となります。

そして,Φ＝Σ_n=0^∞(Ａ_n/ｒⁿ⁺¹)Ｐ_n(cosθ) (30)によれば∂Φ/∂ｒ＝－Σ_n=0^∞{(ｎ＋1)Ａ_nＰ_n(cosθ)/ｒⁿ⁺²}なので,Ｐ_n(cosθ)の直交性により,結局Ｄ＝4πρＵＡ₀ (51)なる重要な式が得られました。

以下は,もうノートには記載されていなくて手元にはゴールドスタイン(S.Goldstein)の論文しかないので概略のみ記述します。

ｕが境界条件:ｕ_r＝－Ｕcosθ,ｕ_θ＝－Ｕsinθ at ｒ＝ａ (33),ｕ_r＝ｕ_θ＝0 at ｒ＝∞ (34)を満たすという条件から次式を得ます。

Φ＝Σ_n=0^∞(Ａ_n/ｒⁿ⁺¹)Ｐ_n(cosθ) (30),χ'≡ｅ^{-k x}χ (25),χ'＝Σ_n=0^∞[Ｂ_nχ_n(ｋｒ)Ｐ_n(cosθ)] (31) (ただしχ_n(ｚ)≡(２ｎ＋1){π/(2ｚ)}^1/2Ｋ_n+1/2(ｚ))における係数Ａ_nとＢ_nの関係が得られ,Ａ₀＝{π/(4ｋ²)}Σ_m=0^∞{(2ｍ＋1)Ｂ_m}です。

つまり,ｋ＝ρＵ/(2η) (11),Ｄ＝4πρＵＡ₀ (51)から,Ｄ＝(2π²η/ｋ)Σ_m=0^∞{(2ｍ＋1)Ｂ_m},あるいは抵抗係数をＣ_D≡Ｄ/(ρπａ²Ｕ²/2)とおいて,Ｃ_D＝{2π/(ｋａ)²}Σ_m=0^∞{(2ｍ＋1)Ｂ_m /Ｕ}となります。

レイノルズ数ＲはＲ＝ρＵＬ/η＝ＵＬ/ν＝2ρＵａ/η＝4ｋａとなるので,境界条件によってＢ_nの満たすべき条件から,球Bessel関数χ_n(ｋａ)を近似計算して抵抗係数Ｃ_Dを求め,(ｋａ)あるいはＲのべきで展開します。

それによって,この論文の結論となる近似式:Ｃ_D＝(24/Ｒ)[1＋3Ｒ/16－19Ｒ²/1280＋71Ｒ³/20480－30179Ｒ⁴/34406400＋122519Ｒ⁵/560742400＋...] (52)が得られます。

しかし,先に指摘したようにオセーン近似は遅い流れに対する単なる近似であり,そして近似としても重大な欠点を持っています。

それ故,この展開式(52)はオセーン近似の範囲内では正しくてもナビエ・ストークス方程式に基づく厳密な抵抗係数とはＲの高次の項で一致しません。

したがって,この式のＲの高次の展開項はある意味では意味がないと考えられます。

ナビエ・ストークス方程式に基づく厳密解によれば,これと同一の流体系での抵抗係数Ｃ_DとしてＣ_D＝(24/Ｒ)[1＋3Ｒ/16＋(9Ｒ²/160)(logＲ＋γ＋2log2/3－323/360)＋27Ｒ³logＲ/640＋Ｏ(Ｒ³)] (53)なる表式が得られています。ここにγはEulerの定数γ＝0.57721...です。

これを見ると,近似式(52)は第２項,つまりＲの１次までしか厳密解を正しく表現していないことがわかります。

参考文献：Sydney.Goldstein,B.A.,Ph.D.St.John's College,Cambridge."Steady Flow of Viscous Fluid Spherical Obstacle at Small Reynolds Numbers"(Communicated by H.Jeffreys,F.R.S.-Received December31,1928) Proc.Roy.Soc.A 123,pp225-235,巽友正 著「流体力学」(1982)(培風館)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

遅い粘性流(３)(Oseen近似)

非圧縮かつ密度が一様な単成分ニュートン流体の運動方程式はナビエ・ストークス方程式ρ(∂ｖ/∂ｔ)+ρ(ｖ・grad)ｖ＝－gradｐ＋η△ｖと"連続の方程式＝質量保存の方程式"divｖ＝0 で与えられます。

ここでρは流体の密度,ｖ＝ｖ(ｒ,ｔ)は流体の速度,ｐは圧力,ηは第一粘性率です。そして,特に∂ｖ/∂ｔ≡0 で流速ｖが時刻ｔによらないとし,無限遠において流れが一様ｖ＝Ｕｉ(ｒ＝|ｒ|→ ∞)となる流体系を考えます。

レイノルズ数(Reynolds number)Ｒが小さい遅い粘性流について,ストークス近似(Stokes近似)ではナビエ・ストークス方程式の右辺の粘性項と比較して"左辺第二項＝慣性項"全体を無視しましたが,今回はより高次の近似を考えるため,一様流に対する摂動をｖ'とします。

すなわち,ｖ＝Ｕｉ＋ｖ'によってｖ'を定義します。明らかにｖ'＝0 at |ｒ|→∞ です。

そこでｖ'の２次以上を無視すると,定常ナビエ・ストークス方程式は Ｕ(∂ｖ'/∂ｘ)＝－gradｐ/ρ＋η△ｖ'/ρ (1)となり,連続方程式はdivｖ'＝0 (2) となります。

この近似をオセーン(Oseen)近似といいます。

以下,ストークス近似のときと同様,半径ａの小球の中心を原点とし,そのまわりの遅い流れについての境界値問題を考察します。

ｖに対する境界条件がｖ＝0 at ｒ＝|ｒ|＝ａ；ｖ＝Ｕｉ,ｐ＝ｐ_∞ at ｒ＝∞ なので,ｖ'に対する境界条件はｖ'＝－Ｕｉ at ｒ＝ａ (3),ｖ'＝ 0 at ｒ＝∞ (4),ｐ＝ｐ_∞ at ｒ＝∞ (5) となります。

しかしながら,(3)から明らかなように球の付近では,摂動の仮定であるＵ＞＞|ｖ'|という条件が全く成立しません。

したがって,そこではむしろストークス近似の方が妥当な近似になります。オセーン近似というのは実際にはこうした欠点があるということを承知の上での近似であることに留意しておくことは重要です。

以下では,ストークス近似と同様な方法でｖ'の解を求めることを試みることにします。

まず,(1)の発散を取り,(2)を適用すると△ｐ＝0 (6) となります。したがってｐは軸対称な調和関数です。ｘ軸を極軸に取るとｐは次式で与えられます。ｐ＝ｐ_∞＋Σ_l=0^∞(Ａ_l/ｒ^l+1)Ｐ_l(cosθ)(7) です。

一方,オセーン近似の方程式:Ｕ(∂ｖ'/∂ｘ)＝－gradｐ/ρ＋η△ｖ'/ρ (1)は次のように変換することによって非斉次のヘルムホルツ方程式に帰着します。

すなわち,ｖ'≡ｖ~ｅ^kx,ｋ＝ρＵ/(2η) (8)とおけば,∂ｖ'/∂ｘ＝ｅ^kx{(∂ｖ~/∂ｘ)＋ｋｖ~},△ｖ'＝ｅ^kx{△ｖ~＋2ｋ(∂ｖ~/∂ｘ)＋ｋ²ｖ~}となります。

それ故,△ｖ'－(ρＵ/η)(∂ｖ'/∂ｘ)＝ｅ^kx(△－ｋ²)ｖ~ですから,結局,オセーン近似の方程式は,非斉次ヘルムホルツ方程式:(△－ｋ²)ｖ~＝(ｅ^-kx/η)gradｐ (9) になります。

一方,連続方程式:divｖ＝0 はｖ~の式ではdivｖ~＝－ｋｖ~_x (10) と表現されます。

また, ｖ~に対する境界条件は次のようになります。すなわち, ｖ~＝－Ｕｅ^-kxｉ at ｒ＝ａ (11),およびｖ~＝ 0 at ｒ＝∞ (12) です。

ヘルムホルツ演算子(△－ｋ²)に対する第一種グリーン関数を次の２つの式を満足するＧ(ｒ,ｒ')によって定義します。

すなわち,(△－ｋ²)Ｇ(ｒ,ｒ')＝δ(ｒ－ｒ') (13), Ｇ(ｒ,ｒ')＝0 at ｒ＝ａ,∞ (14) です。また,対称性:Ｇ(ｒ',ｒ)＝Ｇ(ｒ,ｒ')を要求します。

グリーンの公式によれば,∫_Ｖ(ｕ△ｖ－ｖ△ｕ)ｄＶ＝∫_Ｓ[ｕ(∂ｖ/∂ｎ)－ｖ(∂ｕ/∂ｎ)]ｄＳですから,∫_Ｖ[ｕ(△－ｋ²)ｖ－ｖ(△－ｋ²)ｕ]ｄＶ＝∫_Ｓ[ｕ(∂ｖ/∂ｎ)－ｖ(∂ｕ/∂ｎ)]ｄＳです。

故に,∫_Ｖ[ｖ~(△－ｋ²)Ｇ－Ｇ(△－ｋ²)ｖ~]ｄＶ＝∫_Ｓ[ｖ~(∂Ｇ/∂ｎ)－Ｇ(∂ｖ~/∂ｎ)]ｄＳが成立します。

グリーン関数の性質(13),(14)と対称性,そしてｖ~が(9)～(12)の解であることから次式が成立します。

ｖ~(ｒ)＝(1/η)∫_r'=a^r'=∞Ｇ(ｒ,ｒ')ｅ^-kr'cosθ'grad'ｐ(ｒ')ｄ³ｒ'＋ｉＵ∫_r'=∞ｅ^-kr'cosθ'{∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｒ'}ｄＳ'(15)です。

　次に,第一種グリーン関数Ｇ(ｒ,ｒ')を具体的に求めます。

よく知られているように,球対称であって,無限遠でゼロとなるようなヘルムホルツ演算子のグリーン関数は,湯川ポテンシャル－ｅ^-k|r-r'|/(4π|ｒ－ｒ'|)で与えられます。

つまり,(△－ｋ²)(ｅ^-k|r-r'|/|ｒ－ｒ'|)＝－4πδ(ｒ－ｒ')です。

そこで(13),(14)を満足するグリーン関数は,この湯川ポテンシャルに斉次ヘルムホルツ方程式(△－ｋ²)ψ(ｒ)＝0 の特殊解でｒ＞ａの領域で特異点を持たないものを加えることで得られるはずです。

そこで,ヘルムホルツ方程式:(△－ｋ²)ψ(ｒ)＝0 を解きます。ｒ'を極軸に取りｒのｒ'に対する偏角をωとするとＧ(ｒ,ｒ')は極軸に関して対称であり湯川ポテンシャルもまたそうです。

そこで,ψ(ｒ)も極軸に関して対称であるべきなのでψ(ｒ)＝ψ(ｒ, ω)とおけば,△ψ＝(1/ｒ²)[(∂/∂ｒ){ｒ²(∂ψ/∂ｒ)}]＋{1/(ｒ²sinω)}[(∂/∂ω){sinω(∂ψ/∂ω)}]となります。 

特に,ψ(ｒ,ω)≡Ｒ(ｒ)Ω(ω)とおいて(△－ｋ²)ψ(ｒ,ω)＝0 の変数分離の解を求めます。

このとき,(△－ｋ²)ψ＝0 は(1/ｒ²)[(ｄ/ｄｒ){ｒ²(ｄＲ/ｄｒ)}] Ω＋(Ｒ/ｒ²)(1/sinω)[(ｄ/ｄω){sinω(ｄΩ/ｄω)}]－ｋ²ＲΩ＝0 となります。

それ故,(1/sinω)[(ｄ/ｄω){sinω(ｄΩ/ｄω)}]＋λΩ＝0,(ｄ/ｄｒ){ｒ²(ｄＲ/ｄｒ)}－(ｋ²ｒ²＋λ)Ｒ＝0 が得られます。

この固有値λに対する固有値問題のω部分Ωについてのλに属する固有解の全てはΩ_λ(ω)＝Ω_l(ω)＝Ｐ_l(cosω),λ＝ｌ(ｌ＋1) (ただしｌ＝0,1,2...)で与えられます。

そこで,動径部分はｄ²Ｒ_l/ｄｒ²＋(2/ｒ)(ｄＲ_l/ｄｒ)－{ｋ²＋ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｒ_l＝0 を満たします。

これの解Ｒ_l(ｒ)は線形常微分方程式の解を与える公式集によれば,Ｒ_l(ｒ)＝Ｊ_l+1/2(ｋｒ)/ｒ^1/2です。

右辺のＪ_νはν次のベッセル関数であり,この表現は球ベッセル関数と呼ばれています。

あるいは,Ｂ,Ｃを任意定数としてＲ_l(ｒ)＝ＢＩ_l+1/2(ｋｒ)/ｒ^1/2＋ＣＫ_l+1/2(ｋｒ)/ｒ^1/2とも書けます。

ここにＩ_ν,Ｋ_νはそれぞれν次の第一種,第二種の変形ベッセル関数です。

これらのうちで,ｒ→∞ で有限な解はＫ_l+1/2(ｋｒ)/ｒ^1/2の定数倍で与えられるので,結局ψ(ｒ,ω)＝Σ_l=0^∞{ｃ_lＫ_l+1/2(ｋｒ)/ｒ^1/2}Ｐ_l(cosω)と表わすことができます。

かくして,Ｇ(ｒ,ｒ')＝－ｅ^-k|ｒ-r'|/(4π|ｒ－ｒ'|)＋Σ_l=0^∞{ｃ_lＫ_l+1/2(ｋｒ)/ｒ^1/2}Ｐ_l(cosω)(ｒ≧ａ)です。

ここで,以前のストークス近似でも記述したようにｒ＝(ｒ,θ,φ),ｒ'＝(ｒ',θ',φ')なら,cosω＝cosθcosθ'＋sinθsinθ'cos(φ－φ'),Ｐ_l(cosω)＝Ｐ_l(cosθ)Ｐ_l(cosθ')＋2Σ_m=1^l{(ｌ－ｍ)!/(ｌ＋ｍ)!}Ｐ^m_l(cosθ)Ｐ^m_l(cosθ')cos{ｍ(φ－φ')}が成立します。

これらの公式とＰ_l,Ｐ^m_lの直交性を用いて,ｒ＝ａでＧ(ｒ,ｒ')＝0 となるような係数ｃ_lを求めます。 

まず,ｅ^-k|ｒ-r'|/|ｒ－ｒ'|を変形ベッセル関数とルジャンドル多項式の積の級数に展開すると,ｅ^-k|ｒ-r'|/|ｒ－ｒ'|＝(ｒｒ')^-1/2Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)Ｉ_l+1/2(ｋｒ)Ｋ_l+1/2(ｋｒ')}Ｐ_l(cosω)(ａ≦ｒ＜ｒ'),およびｅ^-k|ｒ-r'|/|ｒ－ｒ'|＝(ｒｒ')^-1/2Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)Ｉ_l+1/2(ｋｒ')Ｋ_l+1/2(ｋｒ)}Ｐ_l(cosω) (ａ≦ｒ'＜ｒ) となります。

それ故,Ｇ(ｒ,ｒ')＝[－1/{4π(ｒｒ')^1/2}]Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)Ｐ_l(cosω){Ｉ_l+1/2(ｋｒ)Ｋ_l+1/2(ｋｒ')－Ｉ_l+1/2(ｋａ)Ｋ_l+1/2(ｋｒ')Ｋ_l+1/2(ｋｒ)/Ｋ_l+1/2(ｋａ)} (ａ≦ｒ＜ｒ') (16-1),

および,Ｇ(ｒ,ｒ')＝[－1/{4π(ｒｒ')^1/2}]Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)Ｐ_l(cosω){Ｉ_l+1/2(ｋｒ')Ｋ_l+1/2(ｋｒ)－Ｉ_l+1/2(ｋａ)Ｋ_l+1/2(ｋｒ')Ｋ_l+1/2(ｋｒ)/Ｋ_l+1/2(ｋａ)} (ａ≦ｒ'＜ｒ) (16-2) を得ます。

これは確かにｒ,ｒ'について対称です。

求める第一種のグリーン関数が(16-1,2)式によって完全に求まったので,ｖ~(ｒ)＝(1/η)∫_r'=a^r'=∞Ｇ(ｒ,ｒ')ｅ^-kr'cosθ'grad'ｐ(ｒ')ｄ³ｒ'＋ｉＵ∫_r'=∞ｅ^-kr'cosθ'{∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｒ'}ｄＳ' (15) に従ってｖ~(ｒ)を求めます。

まず,(15)の右辺第二項(剰余項)を計算します。

ｅ^-kacosθ'＝{π/(2ｋａ)}^1/2Σ_l=0^∞(－1)^l(2ｌ＋1)Ｐ_l(cosθ')Ｉ_l+1/2(ｋａ)であり,一方[Ｉ_l+1/2(ｋｒ)/ｒ^1/2}'＝－(1/2)ｒ^3/2Ｉ_l+1/2(ｋｒ)＋ｋｒ^-1/2Ｉ'_l+1/2(ｋｒ),[Ｋ_l+1/2(ｋｒ)/ｒ^1/2}'＝－(1/2)ｒ^3/2Ｋ_l+1/2(ｋｒ)＋ｋｒ^-1/2Ｋ'_l+1/2(ｋｒ)です。

そして,Ｉ'_ν(ｚ)Ｋ_ν(ｚ)－Ｉ_ν(ｚ)Ｋ'_ν(ｚ)＝1/ｚを用いると,{∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｒ'}_r'=a＝[－1/{4πａ(ａｒ)^1/2}]Σ_l=0^∞[(2ｌ＋1)Ｐ_l(cosω)Ｋ_l+1/2(ｋｒ)/Ｋ_l+1/2(ｋａ)]なので,次式が得られます。

すなわち,Ｕ∫_r'=∞ｅ^-kr'cosθ'{∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｒ'}ｄＳ'＝ａ²Ｕ∫₀^2πｄφ'∫_-1¹ｄ(cosθ'){∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｒ'} _r'=aより,(15)の"右辺第二項(剰余項)"＝Ｕ∫_r'=∞ｅ^-kr'cosθ'{∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｒ'}ｄＳ'＝－Ｕ{π/(2ｋ)}^1/2Σ_l=0^∞[(－1)^l(2ｌ＋1)Ｐ_l(cosθ){Ｉ_l+1/2(ｋａ)/Ｋ_l+1/2(ｋａ)}{Ｋ_l+1/2(ｋｒ)/ｒ^1/2}] (17)を得ます。

ここで,計算においては三角関数とルジャンドル多項式の直交性を用いました。

(15)式の右辺第一項を求めるために,ｐ＝ｐ_∞＋Σ_l=0^∞(Ａ_l/ｒ^l+1)Ｐ_l(cosθ).(7)からgradｐを求めます。

これは既に前記事で得られた表式と同じです。

∂ｐ/∂ｘ＝－Σ_l=0^∞{(ｌ＋1)Ａ_l/ｒ^l+2}Ｐ_l+1(cosθ)(18),∂ｐ/∂ｙ＝－Σ_l=0^∞(Ａ_l/ｒ^l+2)Ｐ¹_l+1(cosθ)cosφ(19),∂ｐ/∂ｚ＝－Σ_l=0^∞{(ｌ＋1)Ａ_l/ｒ^l+2}Ｐ¹_l+1(cosθ)sinφ (20) ですね。

ｖ~(ｒ)を与える(15)式の右辺第一項の表式は(1/η)∫_r'=a^r'=∞Ｇ(ｒ,ｒ')ｅ^-kr'cosθ'grad'ｐ(ｒ')ｄ³ｒ'＝(1/η)∫₀^2πｄφ'∫_-1¹ｄ(cosθ')∫_a^∞ｄｒ'ｒ'²[{π/(2ｋａ)}^1/2Σ_l=0^∞(－1)^l(2ｌ＋1)Ｐ_l(cosθ')Ｉ_l+1/2(ｋａ)]Ｇ(ｒ,ｒ')grad'ｐ(ｒ')です。

これに,(16)のＧ(ｒ,ｒ'),および(18)～(20)のgrad'ｐ(ｒ')の表現式を代入します。

というところで当時は力尽きて未完となっています。

ここから先は当時会社の先輩で契約社員だったＮ大理工学部助手(当時)のＭ前(Ｍさき)さんに頼んで,Ｎ大の図書館からこの計算についての1928年のゴールドスタイン(Goldstein)の論文のコピ－を取ってきてもらって,フォローしています。

その内容についてのノートは1982年の6月という２年後に移行しています。そこで切りがいいので今日はここまでにします。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

遅い粘性流(２)(Stokes近似)

前記事の続きです。

次に(10),(11),(12)の∂ｐ/∂ｘ,∂ｐ/∂ｙ,∂ｐ/∂ｚの表現を用いてｖ(ｒ)＝∫_r'=a^r'=∞Ｇ(ｒ,ｒ')gradｐ(ｒ')ｄ³ｒ'＋ｉηＵ∫_r'=∞∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｒ'ｄＳ' (8) の右辺第一項を求めます。

ｘ成分は,ｖ_x－Ｕ(1－ａ/ｒ)＝{1/(2η)}Σ_l=0^∞{2(ｌ＋1)Ａ_lＰ_l+1(cosθ)/(2ｌ＋3)}[∫₀^r{ｒ'^l+1/ｒ^l+2－ａ^2l+1/(ｒｒ')^l+2}(1/ｒ'^l)ｄｒ'＋∫_r^∞{ｒ^l+1/ｒ'^l+2－ａ^2l+1/(ｒｒ')^l+2}(1/ｒ'^l)ｄｒ']です。

この積分を実行すると,ｖ_x＝Ｕ(1－ａ/ｒ)＋{1/(2η)}Σ_l=0^∞{(ｌ＋1)Ａ_lＰ_l+1(cosθ)/(2ｌ＋1)}{(ｒ²－ａ²)/ｒ^l+2} (15) となります。

同様に,ｖ_y＝{1/(2η)}Σ_l=0^∞{(ｌ＋1)Ａ_lＰ¹_l+1(cosθ)cosφ/(2ｌ＋1)}{(ｒ²－ａ²)/ｒ^l+2}(16),およびｖ_z＝{1/(2η)}Σ_l=0^∞{(ｌ＋1)Ａ_lＰ¹_l+1(cosθ)sinφ/(2ｌ＋1)}{(ｒ²－ａ²)/ｒ^l+2}(17)を得ます。

圧力ｐの一般形:ｐ＝ｐ_∞＋Σ_l=0^∞(Ａ_l/ｒ^l+1)Ｐ_l(cosθ) (9)と,今求めたばかりのｖに対する(15),(16),(17)の表式により,境界条件(4),(5)と△ｐ＝0 (3)を満たす圧力ｐとポアソン方程式:η△ｖ＝gradｐ (1)の解として流速ｖが得られたことになります。

しかし,これらが連続の方程式:divｖ＝∂ｖ_x/∂ｘ＋∂ｖ_y/∂ｙ＋∂ｖ_z/∂ｚ＝0 (2)を満たすかどうかはわかりません。

そこで,具体的に(15),(16),(17)のdivｖを計算し,それをゼロとおくことによって係数Ａ_lの満足すべき条件を求めます。

泥臭い計算によって,∂ｖ_x/∂ｘ＝ａＵcosθ/ｒ²＋{1/(2η)}Σ_l=0^∞(ｌ＋1)Ａ_l[{－ｌｒ²＋(ｌ＋2)ａ²}cosθＰ_l+1(cosθ)＋(ｒ²－ａ²)sin²θ{ｄＰ_l+1(cosθ)/ｄ(cosθ)}]/{(2ｌ＋1)ｒ^l+3},

∂ｖ_y/∂ｙ＝{1/(2η)}Σ_l=0^∞Ａ_l[{－ｌｒ²＋(ｌ＋2)ａ²}sinθcosφＰ¹_l+1(cosθ)＋(ｒ²－ａ²)(cosθsinθcosφ{ｄＰ¹_l+1(cosθ)/ｄ(cosθ)}－(sinφ/sinθ)Ｐ¹_l+1(cosθ))]/{(2ｌ＋1)ｒ^l+3},

∂ｖ_z/∂ｚ＝{1/(2η)}Σ_l=0^∞Ａ_l[{－ｌｒ²＋(ｌ＋2)ａ²}sinθsinφＰ¹_l+1(cosθ)＋(ｒ²－ａ²)(cosθsinθsinφ{ｄＰ¹_l+1(cosθ)/ｄ(cosθ)}－(cosφ/sinθ)Ｐ¹_l+1(cosθ))]/{(2ｌ＋1)ｒ^l+3}

が得られます。

sinθ{ｄＰ_l+1(cosθ)/ｄ(cosθ)}＝Ｐ¹_l+1(cosθ),sinθ{ｄＰ¹_l+1(cosθ)/ｄ(cosθ)}＝(cosθ/sinθ)Ｐ¹_l+1(cosθ)－(ｌ＋1)(ｌ＋2)Ｐ_l+1(cosθ)を用いて変形します。

すると,divｖ＝ａＵcosθ/ｒ²＋(1/η)Σ_l=0^∞Ａ_l[sin²θ{ｄＰ_l+1(cosθ)/ｄ(cosθ)}＋(ｌ＋1)cosθＰ_l+1(cosθ)]/{(2ｌ＋1)ｒ^l+1}となります。

さらに,公式(1－ｚ²){ｄＰ_l(ｚ)/ｄｚ}＋ｌｚＰ_l(ｚ)＝ｌＰ_l-1(ｚ)によって,sin²θ{ｄＰ_l+1(cosθ)/ｄ(cosθ)}＋(ｌ＋1)cosθＰ_l+1(cosθ)＝(ｌ＋1)Ｐ_l(cosθ)です。

結局,divｖ＝ａＵcosθ/ｒ²＋(1/η)Σ_l=0^∞(ｌ＋1)Ａ_lＰ_l(cosθ)/{(2ｌ＋1)ｒ^l+1}＝0 (18)を得ます。

これが成立するためには,2Ａ_l/(3η)＝－ａＵδ_l1,つまりＡ_l＝－(3/2)ηａＵδ_l1(19)となるのが必要十分です。

したがって,ｐ＝ｐ_∞－(3/2)ηａＵcosθ/ｒ²＝ｐ_∞－(3/2)ηａＵｘ/ｒ³ (20)です。

また,ｕ≡ｖ_x＝Ｕ(1－ａ/ｒ)－{ａＵ/(4ｒ)}(1－ａ²/ｒ²)(3cos²θ－1)＝Ｕ－{ａＵ/(4ｒ)}(3＋ａ²/ｒ²)－{3ａＵｘ²/(4ｒ³)}(1－ａ²/ｒ²)(21),ｖ≡ｖ_y＝－{3ａＵ/(4ｒ)}(1－ａ²/ｒ²)cos²θsinθcosφ＝－{3ａＵｘｙ/(4ｒ³)}(1－ａ²/ｒ²) (22),ｗ≡ｖ_z＝－{3ａＵ/(4ｒ)}(1－ａ²/ｒ²)cos²θsinθsinφ＝－{3ａＵｘｚ/(4ｒ³)}(1－ａ²/ｒ²) (23)も得られます。

かくして,方程式(1)～(5)は完全に解かれ,解は一意的であることも示されました。

方程式が解かれたので,この解を利用して流体が球に及ぼす力を求めることができます。

この力は球面上に働く応力(単位面積当たりに働く力;法線および接線応力)を小球面にわたって積分することで求めることができます。

まず,一般的な応力テンソルＰ_ijを考えます。運動がナビエ・ストークスの方程式に従う流体は,応力テンソルが次のニュートン・ストークスの法則に従う線形ニュートン流体です。

すなわち,応力テンソルＰ_ijはＰ_ij＝(－ｐ＋ζｅ_ll)δ_ij＋2η(ｅ_ij－ｅ_llδ_ij/3) (ｉ,ｊ＝1,2,3はそれぞれｘ,ｙ,ｚ成分に対応) (24)で与えられます。

ここで,ｐは圧力,η,ζはそれぞれ第一粘性率,第二粘性率であり,ｅ_ij≡(∂ｖ_i/∂ｘ_j＋∂ｖ_j/∂ｘ_i)/2は歪み速度テンソルです。

非圧縮性流体では連続の方程式としてdivｖ＝ｅ_lｌ＝0 が成立するので,(24)はＰ_ij＝－ｐδ_ij＋η(∂ｖ_i/∂ｘ_j＋∂ｖ_j/∂ｘ_i) (25)となります。

応力ｆと応力テンソルＰ_ijの関係はｆ_i＝Ｐ_ijｎ_j(ｊはアインシュタインの規約に従うダミー添字)で与えられます。

また,ｎは応力ｆの働くべき面の外向き法線ベクトルで,小球面上ではｎ≡(ｎ_x,ｎ_y, ｎ_z)＝ｒ/ｒ＝(ｘ/ｒ,ｙ/ｒ,ｚ/ｒ)_r=a＝(cosθ,sinθcosφ,sinθsinφ)と表わされます。

小球全体に働く力Ｄは応力ｆによってＤ＝∫ｆｄＳで与えられます。ところが流れはｘ軸に関して対称(ｕはｙ,ｚの偶関数),ｖ,ｗはｙ,ｚの奇関数)ですから,∫ｆ₂ｄＳ＝∫ｆ₃ｄＳ＝0 となるはずです。

実際,ｆ₂＝Ｐ_2jｎ_j,ｆ₃＝Ｐ_3jｎ_jなので,解からｆ₂(－ｎ)＝－ｆ₂(ｎ),ｆ₃(－ｎ)＝－ｆ₃(ｎ)あるいはＰ_2j,Ｐ_3jがｎ_jの偶関数であることが示されます。

まず,－ｐδ_2j,－ｐδ_3jですが,ｐ＝ｐ_∞－(3/2)ηａＵｘ/ｒ³は明らかにｙ,ｚの偶関数であり,よって－ｐδ_2j,－ｐδ_3jはｙ,ｚの偶関数です。さらにｎ_jのｊ＝1,つまりｘについてはこれらはゼロなのでもちろん偶関数です。

また,ｖ＝ｖ_y＝ｖ₂,ｗ＝ｖ_z＝ｖ₃はｘ,ｙ,ｚの奇関数ですから明らかに∂ｖ₂/∂ｘ_j,∂ｖ₃/∂ｘ_jはｎ_jの偶関数です。

さらに,∂ｖ_j/∂ｘ₂,∂ｖ_j/∂ｘ₃についてはｊ＝1だけの問題になりますが,ｕはｘの偶関数ですから∂ｕ/∂ｙ,∂ｕ/∂ｚもｎ_jの偶関数です。以上からｆ₂(－ｎ)＝－ｆ₂(ｎ),ｆ₃(－ｎ)＝－ｆ₃(ｎ)が確証されました。

したがって,Ｄはｘ成分のみ,つまり抵抗成分のみを有すると考えられます。

これをＤで表わすと,Ｄ＝∫Ｐ_1jｎ_jｄＳ＝∫Ｐ_rxｄＳ；Ｐ_rx≡Ｐ_1jｎ_j＝Ｐ₁₁(ｘ/ｒ)＋Ｐ₁₂(ｙ/ｒ)＋Ｐ₁₃(ｚ/ｒ)＝－ｐcosθ＋η[(ｘ_j/ｒ)(∂ｖ_x/∂ｘ_j)＋(ｘ_j/ｒ)(∂ｖ_j/∂ｘ₁)] (26)となります。

そして,∂ｕ/∂ｒ＝{3ａＵ/(4ｒ²)}[(1＋cos²θ)＋ａ²(1－3cos²θ)/ｒ²],∂ｕ/∂θ＝{3ａＵcosθsinθ/(2ｒ)}(1－ａ²/ｒ²)です。

一方,∂/∂ｘ＝cosθ(∂/∂ｒ)－(sinθ/ｒ)(∂/∂θ),∂/∂ｙ＝sinθcosφ(∂/∂ｒ)＋(cosθcosφ/ｒ)(∂/∂θ)－{sinφ/(ｒsinθ)}(∂/∂φ),∂/∂ｚ＝sinθsinφ(∂/∂ｒ)＋(cosθsinφ/ｒ)(∂/∂θ)＋{cosφ/(ｒsinθ)}(∂/∂φ)です。

そこで,∂ｕ/∂ｘ＝{3ａＵcosθ/(4ｒ²)}[(3cos²θ－1)＋ａ²(3－5cos²θ)/ｒ²],∂ｕ/∂ｙ＝{3ａＵsinθcosφ/(4ｒ²)}[(3cos²θ＋1)＋ａ²(1－5cos²θ)/ｒ²],∂ｕ/∂ｚ＝{3ａＵsinθsinφ/(4ｒ²)}[(3cos²θ＋1)＋ａ²(1－5cos²θ)/ｒ²]となります。

それ故,(ｘ_j/ｒ)(∂ｖ_x/∂ｘ_j)＝{3ａＵ/(4ｒ²)}[(1＋cos²θ)＋ａ²(1－3 cos²θ)/ｒ²]＝∂ｕ/∂ｒ (27)が得られます。

同様に,∂ｖ/∂ｘ＝{3ａＵsinθcosφ/(4ｒ²)}[(3cos²θ－1)＋ａ²(1－5cos²θ)/ｒ²],∂ｗ/∂ｘ＝{3ａＵsinθsinφ/(4ｒ²)}[(3cos²θ－1)＋ａ²(1－5cos²θ)/ｒ²] (28)より,(ｘ_j/ｒ)(∂ｖ_j/∂ｘ₁)＝{3ａＵ/(4ｒ²)}[(3cos²θ－1)＋ａ²(1－5cos²θ)/ｒ²]です。

(20),(25),(27),(28)から,ｆ₁＝ｐ_1jｎ_j＝－ｐ_∞cosθ＋{(3/2)ηａＵ/ｒ²)}[3cos²θ＋ａ²(1－3cos²θ)/ｒ²] (29)です。特に,球面上(ｒ＝ａ)では,ｆ₁|r=a＝－ｐ_∞cosθ＋(3/2)ηＵ/ａ＝(1/ａ){－ｐ_∞ｘ＋(3/2)ηＵ}r=a (30)です。

結局,Ｄ＝∫r=aｆ₁ｄＳ＝2πａ²∫_-1¹ｄ(cosθ)ｆ₁＝6πηａＵ (31)を得ました。すなわち,球は流れの向きに大きさ6πηａＵの力を受けるという有名なストークスの法則が得られました。

実は,これほど苦労して偏微分方程式の境界値問題としてマニュアル通りに解かなくても,Lambや今井功氏の流体力学の教科書にもあるように,さまざまな物理的考察や手法を交えた工夫を用いることよって,より簡単に解を求めることができます。

しかし,当時は物理的な意味などをあまり考えることなく,なるべく式に忠実に数理的に解いても同じ答えがちゃんと得られるか？に興味があって,あえて泥臭い計算をしたのでした。

こうした偏微分方程式の境界値問題をマニュアル通りに解くという泥臭い計算は,その後確か,気象学関係で雲などによる光の散乱の散乱断面積を計算する必要があって,実行しこともありました。

すなわちり,ボルン,ウォルフ著の「光学の原理」にもある"光＝電磁波"の古典的なミイ(Mie)散乱の散乱断面積の式を確認する際にもやったという記憶があります。

ところで,最後にストークスの法則のガリレイの相対性原理との関係を記述しておきます。

すなわち,先の"流体＋小球"の系を一様な相対速度ｕで動く並進座標系から見た場合を考えます。

元の座標系での位置ベクトルをｒ,新しい系での同じ点の位置ベクトルをｒ'で表わします。

便宜上ｔ＝0 で両系が一致すると仮定するとｒとｒ'の関係はガリレイ変換:ｒ'＝ｒ－ｕｔ (32)で与えられます。

位置ｒに存在している流体素片の速度ｖ(ｒ)はラグランジュ微分Ｄｒ/ｄｔに等しいので,ｖ'(ｒ')≡Ｄｒ'/ｄｔ＝Ｄｒ/ｄｔ－Ｄ(ｕｔ)/ｄｔ＝ｖ(ｒ)－ｕ,すなわち,ｖ'(ｒ')＝ｖ(ｒ)－ｕ (33)です。

一方,小球は元の系では静止していたので,新しい系では－ｕなる速度を有します。

また,ｘ'_j＝ｘ_j－ｕ_jｔより∂/∂ｘ_j＝(∂ｘ'_k/∂ｘ_j)∂/∂ｘ'_k ＋(∂ｔ/∂ｘ_j)∂/∂ｔ＝∂/∂ｘ_jです。それ故,∂²/∂ｘ_k∂ｘ_j＝∂²/∂ｘ'_k∂ｘ'_jです。特に△＝△'かつgrad＝grad'です。

さらに流速のオイラー微分は,∂ｖ(ｒ,ｔ)/∂ｔ＝∂ｖ(ｒ'＋ｕｔ,ｔ)/∂ｔ－(ｕ・grad')ｖ(ｒ'＋ｕｔ,ｔ)となります。

そこで,ナビエ・ストークスの方程式:ρ(∂ｖ/∂ｔ)＋ρ(ｖ・grad)ｖ＝－gradｐ＋η△ｖを,新しい座標系で見ると,ρ{∂(ｖ－ｕ)/∂ｔ}＋ρ{(ｖ－ｕ)・grad'}(ｖ－ｕ)＝－grad'ｐ＋η△'(ｖ－ｕ)です。

ところで,先に見たようにｖ'＝ｖ－ｕです。また,圧力ｐ(ｒ,ｔ)は運動学的な量ではないのでガリレイ変換のスカラーです。すなわちｐ'(ｒ',ｔ)＝ ｐ(ｒ,ｔ)です。

結局,ρ(∂ｖ'/∂ｔ)＋ρ(ｖ'・grad')ｖ'＝－grad'ｐ'＋η△'ｖ'となります。

よって,新しい系でもナビエ・ストークスの方程式の形は保存されます。また,連続の方程式が保存されること:div'ｖ'＝0 も自明です。

したがって,ガリレイ変換(32),(33)に対してナビエ・ストークスの方程式が保存されるので,ニュートン流体に対してはガリレイの相対性原理が成立します。

また,境界条件が与えられた場合にもガリレイの相対性原理が無矛盾であることは自明です。

それ故,ストークス近似の流体方程式の組:η△ｖ＝gradｐ (1),divｖ＝0 (2) において,無限遠で静止した流体中を一様速度－ｕ＝－Ｕｉで運動する小球がある系に対する流体速度の解は,既に求めた(21)～(23)式のｖに－ｕを加えたもので与えられることがわかります。

以上の考察から,静止流体中を速度Ｕｉで運動する小球があるような系に対して,境界条件:ｖ＝Ｕｉ at ｒ＝ａ (34),ｖ＝0 ,ｐ＝ｐ_∞ at ｒ＝∞ (35)を満足する(1),(2)の解は次式で与えられます。

すなわち,ｐ＝ｐ_∞－(3/2)ηａＵｘ/ｒ³ (36),また,ｕ≡ｖ_x＝{ａＵ/(4ｒ)}(3＋ａ²/ｒ²)＋{3ａＵｘ²/(4ｒ³)}(1－ａ²/ｒ²) (37),ｖ≡ｖ_y＝{3ａＵｘｙ/(4ｒ³)}(1－ａ²/ｒ²) (38),ｗ≡ｖ_z＝{3ａＵｘｚ/(4ｒ³)}(1－ａ²/ｒ²) (39)です。また,Ｄ＝－6πηａＵ (40)も自明です。

つまり小球は進行方向に正反対の向きに大きさ6πηａＵの抵抗を受けることになります。

ここで,レイノルズ数:Ｒ＝ρＵＬ/η＝ＵＬ/νにおいて通常は代表長さＬとして小球の直径ｄ＝2ａを選びます。

このとき無次元化された抵抗係数Ｃ_D≡Ｄ/(ρＵ²Ｓ/2)＝Ｄ/(ρＵ²πａ²/2)をストークスの抵抗法則で表わすとＣ_D＝24/Ｒとなります。

しかし,こうしたストークス近似が可能で抵抗が運動速度に比例するというストークスの抵抗法則が有効なレイノルズ数Ｒの範囲は非常に狭く,この法則はせいぜいＲ～100前後でしか成立しません。

通常の雨滴落下や冷却塔の温排気の凝結した水滴落下の終末速度の計算などにおいても,経験上はほとんど適用不可能であることがわかっています。

次は,もう少しはましな近似であるオセーン近似(Oseen近似)の計算をする予定です。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

遅い粘性流(１)(Stokes近似)

学生時代は素粒子論が専門でしたが,就職難の1977年に流体の数値シミュレーションが主体の会社に入ってからは,必要に迫られて流体力学と数値計算の勉強をするようになり,これが第２の専門となりました。

応用物理学はやったことがなかったし,仕事もひととおりの公式類を知っていれば特に支障はなかったのですが,持ち前の好奇心もあって入社して数年間は流体力学関係の勉強をしました。

もっとも,当時はプログラマー残酷時代といわれる時代で,残業も半端ではなく,暇があると酒を飲んで発散していました。

それでも,寝る前などに細々と勉強して書き綴ったのが,この記事のネタ本である1980年当時の覚書きノートです。

もっとも,私は,昔から勉強が好きだったというわけではありませんでした。

最近,TOKIOの山口達也君が父親役をやっているドラマで,"受験の神様"と呼ばれる女子中学生に「あなたは勉強したいの,それとも受験がしたいの？」と問われてキョトンとしているシーンがありましたが,「勉強＝受験」であった頃は成績は悪くなかったけど,強いられる感じの勉強は好きではありませんでした。 

試験の点数がいいとか速く解けるか?ということで他人との競争に負けるのは大して気にならなかったし,答案が不完全とかケアレスミスなども二の次でしたが,いざ自分が取り掛かった問題が解けないとか理解できないということは我慢できない性格でした。

試験ではそうはいかないでしょうが,わからないときは持ち帰って,ちゃんと解けて,理解できるまでは粘ったという記憶があります。 

未だに「高々知っているか知らないかの違いじゃないか」というような記憶するだけの知識レベルについては,あまり興味はないのですが,自然現象に限らず社会現象についても,なぜそうなるのか？というような合理性を追求することについては,理解できて解決できないと我慢できないという傾向は少なからず残っています。

その他,言わせてもらえば,語学のような学問は,会話で英語などの外国語とかが読めたり話せたりするだけであれば,その国のネイティブな幼児のほうがより優れていると思えますから,バイリンガルであることにこそ,その意味があると思っています。

社会人になってみると,無理に勉強しなくてもよいし,むしろ勉強や研究をする機会が少なくなりましたが,逆に好奇心だけでいろいろとやってみようという気になりました。 

余談はさておき,流体運動の現象というのはこの地球上の表面では薄い層を除いて大部分の領域では粘性が無視できるレイノルズ数(Reynolds number)の大きい流れが主体です。

こうした領域では完全流体の近似が成り立ちます。そして多くは乱流に移行する現象になっています。

しかし,ここでは,1980年当時の覚書きノートから,非圧縮かつ密度が一様な単成分流体のナビエ・ストークスの方程式(Navier-Stokes equation)において,レイノルズ数が比較的小さくストークス(Stokes)近似やオセーン(Oseen)近似が有効なケースについて流体中の球状物体に及ぼされる力＝抵抗力を計算してみます。

今日はまず古典的なストークス近似の扱いからはじめます。

非圧縮,かつ密度が一様な単成分ニュートン流体のナビエ・ストークスの方程式はρ(∂ｖ/∂ｔ)+ρ(ｖ・grad)ｖ＝－gradｐ＋η△ｖで与えられます。

また,この場合の"連続の方程式＝流体質量保存)の方程式"はdivｖ＝0 です。ここでρは流体の密度,ｖ＝ｖ(ｒ,ｔ)は流体速度,ｐは圧力,ηは第一粘性率です。

そして,レイノルズ数をＲ≡ρＵＬ/η＝ＵＬ/νで定義します。ν＝η/ρは動粘性係数と呼ばれ,ＵとＬは,それぞれ流れを特徴付ける代表流速と代表長さです。

レイノルズ数:Ｒが小さい場合は遅い粘性流として,ナビエ・ストークスの方程式の流速の２乗程度の"左辺第２項＝慣性項"は非常に小さいので,"右辺の項＝粘性項"と比較して省略する近似が可能で,これをストークス近似といいます。

特に,流速ｖが時刻ｔに依らない定常流に対する定常ストークス近似の問題は,η△ｖ＝gradｐ (1)とdivｖ＝0 (2)を連立させて解く問題になります。

まず,(1)式の発散を取り(2)を適用すれば,△ｐ＝0 (3)を得ますからｐは調和関数であることがわかります。

無限遠で,ｖが一様速度ｕに,圧力ｐがｐ_∞(一定)となる非圧縮性流体中に小半径ａの球を静止固定させた系において,Ｕ≡|ｕ|が小さい低レイノルズ数の線型粘性流に対し定常ストークス近似を適用します。

ｕの向きをｘ軸の正の向きに取り,また小球の中心を原点にとります。さらに極座標(ｒ,θ,φ)に対してはｘ軸を極軸に取ります。

境界条件は次のように与えられます。ｖ＝0 at ｒ＝|ｒ|＝ａ (4),ｖ＝Ｕi,ｐ＝ｐ_∞　at ｒ＝∞ (5)です。

△ｐ＝0 (3)の解ｐ(ｒ)を(1)に代入すると,(4),(5)の境界条件に対して(1),(2)の解を求める問題は,右辺が既知となったポアソン(Poisson)方程式に対する条件付きのディリクレ問題となります。

ここで,η△Ｇ(ｒ,ｒ')＝δ(ｒ－ｒ') (6),Ｇ(ｒ,ｒ')＝0 at ｒ＝ａ, ∞ (7) によって演算子η△に対する第一種のグリーン関数Ｇ(ｒ,ｒ')を定義すると,(1)の解は次式で与えられます。

ｖ(ｒ)＝∫_r'=a^r'=∞Ｇ(ｒ,ｒ')grad'ｐ(ｒ')ｄ³ｒ'＋ｉηＵ∫_r'=∞{∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｒ'}ｄＳ' (8)です。

なぜなら,グリーンの公式:∫_Ｖ{ｖ(ｒ)△Ｇ(ｒ,ｒ')－Ｇ(ｒ,ｒ')△ｖ(ｒ)}ｄ³ｒ＝∫_Ｓ{ｖ(ｒ)∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｎ－Ｇ(ｒ,ｒ')∂ｖ(ｒ)/∂ｎ}ｄＳにおいて,両辺にηを乗じη△ｖ(ｒ)＝gradｐ(ｒ),η△Ｇ(ｒ,ｒ')＝δ(ｒ－ｒ')を代入すれば,Ｓ上ではＧ(ｒ,ｒ')＝0 なのでｖ(ｒ')＝∫_ＶＧ(ｒ,ｒ')gradｐ(ｒ)ｄ³ｒ＋η∫_Ｓ{∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｎ}ｄＳとなるからです。

ここで,積分変数をｒ'としてｒとｒ'を交換すればｖ(ｒ)＝∫_Ｖ'Ｇ(ｒ',ｒ)gradｐ(ｒ')ｄ³ｒ'＋η∫_Ｓ'{∂Ｇ(ｒ',ｒ)/∂ｎ'}ｄＳ'です。

さらにグリーン関数の対称性からＧ(ｒ',ｒ)＝Ｇ(ｒ,ｒ')であり,よって明らかに∂Ｇ(ｒ',ｒ)/∂ｎ'＝∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｎ'ですから,結局ｖ(ｒ)＝∫_Ｖ’Ｇ(ｒ,ｒ')grad'ｐ(ｒ')ｄ³ｒ'＋η∫_Ｓ'{∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｎ'}ｄＳ'が得られます。

ただし,Ｖ'はｒ'＝ａとｒ'＝∞で囲まれる同心球の領域はｒ'＝ａとｒ'＝∞ の同心球面を示しており,∂/∂ｎ'はｒ'＝ａでは内向き,ｒ'＝ ∞では外向きの法線方向の微分係数を示しています。

したがって(6),(7)を満足するＧ(ｒ,ｒ')を求めれば,解ｖ(ｒ)が得られることになります。

そこで,まず,△ｐ＝0.を満足する解ｐ(ｒ)を求めます。

系の極軸に対する対称性からｐはｒとcosθのみの球関数によって表わされます。

ｒ→ ∞でｐ＝ｐ_∞となる解の一般形はｐ＝ｐ_∞＋Σ_l=0^∞(Ａ_l/ｒ^l+1)Ｐ_l(cosθ) (9)で与えられます。ここでＰ_l(ｚ)はルジャンドル多項式(Legendre多項式)です。

次に,gradｐ＝ｉ(∂ｐ/∂ｘ)＋ｊ(∂ｐ/∂ｙ)＋ｋ(∂ｐ/∂ｚ)を極座標に変換します。

ｘ軸を極軸としているので,∂/∂ｘ＝cosθ(∂/∂ｒ)＋(sin²θ/ｒ){∂/∂(cosθ)},∂/∂ｙ＝sinθcosφ(∂/∂ｒ)－(cosθsinθcosφ/ｒ){∂/∂(cosθ)}－{sinφ/(ｒsinθ)}(∂/∂φ),∂/∂ｚ＝sinθsinφ(∂/∂ｒ)－(cosθsinθsinφ/ｒ){∂/∂(cosθ)}－{cosφ/(ｒsinθ)}(∂/∂φ)です。

故に,∂ｐ/∂ｘ＝－Σ_l=0^∞{(ｌ＋1)Ａ_l/ｒ^l+2}Ｐ_l+1(cosθ) (10),∂ｐ/∂ｙ＝－Σ_l=0^∞(Ａ_l/ｒ^l+2)Ｐ¹_l+1(cosθ)cosφ (11) です。

ただし,Ｐ¹_l+1(cosθ)≡sinθ{ｄＰ_l+1(cosθ)/ｄ(cosθ)}＝{(ｌ＋1)/sinθ}{Ｐ_l(cosθ)－cosθＰ_l+1(cosθ)}を用いています。

また,∂ｐ/∂ｚ＝－Σ_l=0^∞{(ｌ＋1)Ａ_l/ｒ^l+2}Ｐ¹_l+1(cosθ)sinφ (12) です。

(実際のノートには泥臭い計算の詳細があるのですが,ここでは割愛しています。)

次に(6),(7)を満足する第一種グリーン関数Ｇ(ｒ,ｒ')を求めます。

良く知られているように,△(1/|ｒ－ｒ'|)＝－4πδ(ｒ－ｒ')です。

そこで,ｒ≧ａの全領域でｒ＝ｒ'を除いて特異点を持たず有限確定値を取るポアソン方程式の任意のグリーン関数は,－1/(4π|ｒ－ｒ'|)にラプラス方程式の一般解を加えることによって得られます。

ただし,この場合の極軸(対称軸)はｒとｒ'を結ぶ有向直線です。

これはグリーン関数の対称性によるものです。そこで,Ｇ(ｒ,ｒ')＝{－1/(4πη)}{1/|ｒ－ｒ'|－Σ_l=0^∞(ｃ_l/ｒ^l+1)Ｐ_l(cosω)}(ｒ≧ａ)と書けます。

ωはｒとｒ'のなす角です。ｒ＝(ｒ,θ,φ),ｒ'＝(ｒ',θ',φ')なら,cosω＝cosθcosθ'＋sinθsinθ'cos(φ－φ'),cosω＝(ｒ,ｒ')/(|ｒ||ｒ'|)が成立します。

また,式Ｐ_l(cosω)＝Ｐ_l(cosθ)Ｐ_l(cosθ')＋2Σ_m=1^l{(ｌ－ｍ)!/(ｌ＋ｍ)!}Ｐ^m_l(cosθ)Ｐ^m_l(cosθ')cos{ｍ(φ－φ')}も成立します。

1/|ｒ－ｒ'|＝1/(ｒ²＋ｒ'²－2ｒｒ'cosω)^1/2をＰ_l(cosω)で展開すると,ｒ＝ａでＧ(ｒ,ｒ')＝0 となるような展開係数ｃ_lがＰ_l(ｚ)の直交性から一意的に定まります。

これは静電気学における鏡像の原理と同じ結果を与えます。つまりアポロニウスの定理により,Ｇ(ｒ,ｒ')の表現式において右辺第二項の級数和－Σ_l=0^∞(ｃ_l/ｒ^l+1)Ｐ_l(cosω)はｒ'と同一の向きで半径がａ²/ｒ'の位置に大きさ－ａ/ｒ'の源を持つニュートン・ポテンシャルに一致します。

すなわち,Ｇ(ｒ,ｒ')＝{－1/(4πη)}[1/(ｒ²＋ｒ'²－2ｒｒ'cosω)^1/2－(ａ/ｒ'){1/(ｒ²＋ａ⁴/ｒ'²－2ｒａ²/ｒ'cosω)^1/2}]です。

そこで,Ｇ(ｒ,ｒ')＝{－1/(4πη)}Σ_l=0^∞{ｒ^l/ｒ'^l+1－ａ^2l+1/(ｒｒ')^l+1}Ｐ_l(cosω)(ａ≦ｒ＜ｒ'),Ｇ(ｒ,ｒ')＝{－1/(4πη)}Σ_l=0^∞{ｒ'^l/ｒ^l+1－ａ^2l+1/(ｒｒ')^l+1}Ｐ_l(cosω) (ａ≦ｒ'＜ｒ) (13) となります。

(13)によって,(6),(7)を満足するグリーン関数が完全に決定されたのでｖ(ｒ)＝∫_r'=a^r'=∞Ｇ(ｒ,ｒ')gradｐ(ｒ')ｄ³ｒ'＋ｉηＵ∫_r'=∞{∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｒ'}ｄＳ' (8)に従って速度ｖ(ｒ)を求めます。

まず,右辺第二項,すなわちｖ_xの剰余的な項を計算します。 

以下の計算では,Ｐ_l(ｚ)の直交性∫_-1¹ｄｚＰ_l(ｚ)Ｐ_l'(ｚ)＝2δ_ll'/(2ｌ＋1)や,∫_-1¹ｄｚ{Ｐ^m_l(ｚ)}²＝{2/(2ｌ＋1)}{(ｌ＋ｍ)!/(ｌ－ｍ)!},∫₀^2πｄφ'cos{ｍ(φ－φ')}＝0 ,∫₀^2πｄφ'cos{ｍ(φ－φ')}cos{ｍ'(φ－φ')}＝∫₀^2πｄφ'sin{ｍ(φ－φ')}sin{ｍ'(φ－φ')}＝πδ_mm'等の公式を用います。

ηＵ∫_r'=∞{∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｒ'}ｄＳ'において,∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｒ'を考えると(13)の右辺の級数展開で,この積分への寄与がゼロでないものはｌ＝0 に対応する項のみなので次式が得られます。

すなわち,ηＵ∫_r'=∞{∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｒ'}ｄＳ'＝－Ｕ・lim_R→∞[Ｒ²{－1/Ｒ²＋ａ/(ｒＲ²)}]＝Ｕ(1－ａ/ｒ)です。

途中ですが疲れたので今日はここまでにします。

Priestleyの実験とCoulombの法則

　コーヒー・ブレイクとして,今日は1982年２月の私の覚書きノートから,ごく軽い話題を１つ取り上げます。

　すなわち,プリーストリーの実験(Priestleyの実験)の結果からクーロンの法則(Coulombの法則)を説明することを考えます。

問題提起としては次のようになります。

"一様に帯電した金属球殻の内部には電気力が存在しないとする。

または,球内の任意の位置に(球殻と絶縁された中空に)帯電体を入れたとき,球殻の電荷分布はそれによって影響を受けないとする。

こうした事実＝内部の帯電体が如何なる電気力も受けないという事実,あるいは,Priestleyの実験結果だけに基づいて,

２つの電荷の間に働く電気力があるとすれば,その力の方向は２つの電荷を結ぶ向きであり,力の大きさはそれらの間の距離ｒの２乗に反比例する,という法則を証明できるか？"　です。

まず,金属球殻についてのこの問題とは全く関係なく周りに全く何もない空間内に,２つの単位電荷１,２がそれぞれ位置ベクトルｒ₁,ｒ₂で表わされる位置にあるとします。

このとき,２が１によって受ける力Ｆ₂₁は作用反作用の法則から,ｒ₂－ｒ₁に平行,または反平行な向きを持ち,力の大きさはそれらの間の距離|ｒ₂－ｒ₁|のみに依存すると考えられます。

つまり,ｆをある関数としてＦ₂₁＝ｆ(|ｒ₂－ｒ₁|)(ｒ₂－ｒ₁)となるはずです。

そこで,単位電荷１を固定して,その位置を原点にとると,ｒ＝ｒ₂－ｒ₁にある単位電荷２が１によって受ける力ＦをＦ＝ｆ(ｒ)ｒと表わすことができます。

このとき,力Ｆの回転を取ると,(∇×Ｆ)_i＝ε_ijk∂_j(ｆ(ｒ)ｘ_k)＝ε_ijk{δ_jkｆ＋(ｘ_jｘ_k)ｄｆ/ｄｒ}＝0 となりますから,rotＦ＝∇×Ｆ＝0 です。つまり,Ｆは保存力です。

したがって,ポテンシャルＵ(ｒ)が存在してＦ＝－gradＵ(ｒ)＝－∇Ｕ(ｒ)と書くことができます。

(今だったらポアンカレの補題によって"閉形式は完全形式である。"などと,少しは気のきいたことを書いたかもしれないですね。(2006年10/21の記事「ポアンカレの補題」参照))

次に,面電荷密度σを有する半径ａの一様球殻がある場合の電気力を与えるポテンシャルをφ(ｒ)とすれば,φ(ｒ)はＵ(ｒ)により,φ(ｒ)＝σ∫_r'＝ａｄＳ'Ｕ(|ｒ－ｒ'|)と表わされるはずです。ｄＳ'は球殻の面積要素です。

これは,謂ゆるポテンシャルの重ね合わせの原理ですね。

ここで,この球殻の球の中心を原点とし極角θをｒ'のｒに対する偏角とすれば,φ(ｒ)＝2πａ²σ∫_-1¹ｄ(cosθ)Ｕ({ｒ²＋ａ²－2ｒａcosθ}^1/2)＝(2πａσ/ｒ)∫_-r+a^r+aＲＵ(Ｒ)ｄＲとなります。

最初から,ｒだけの関数であろうと予想してポテンシャルをφ(ｒ)と書いた通り,右辺はｒのみの関数になっています。

そして,"仮定＝Priestleyの実験結果"によれば, 0＝－gradφ＝－∇φ＝－(ｄφ/ｄｒ)(ｒ/ｒ)(ｒ＜ａ),よってｄφ/ｄｒ＝0 です。

したがって,ｄ²(ｒφ)/ｄｒ²＝ｄ(ｒｄφ/ｄｒ＋φ)/ｄｒ＝ｄφ/ｄｒ＝0 となることが必要であるとわかりました。

そこで,Ｖ(Ｒ)≡ＲＵ(Ｒ)と置くとｒφ(ｒ)＝2πａσ∫_-r+a^r+aＶ(Ｒ)ｄＲより,Ｖ'(ｒ＋ａ)－Ｖ'(－ｒ＋ａ)＝0 が成立します。ただしＶ'(ｒ)≡ｄＶ/ｄｒです。

よって,ｄＶ/ｄｒ＝(定数)です。そこでＣ₀,Ｃ₁を積分定数としてＶ(ｒ)＝ｒＵ(ｒ)＝Ｃ₀ｒ＋Ｃ₁,つまりＵ(ｒ)＝Ｃ₀＋Ｃ₁/ｒと書くことができます。

Ｖ(ｒ)＝ｒＵ(ｒ)＝Ｃ₀ｒ＋Ｃ₁を,ｒφ(ｒ)＝2πａσ∫_-r+a^r+aＶ(Ｒ)ｄＲに代入すると,φ(ｒ)＝(定数)になりますから確かに恒等的にｄφ/ｄｒ＝0 です。

したがって,Ｆ(ｒ)＝－gradＵ(ｒ)＝－∇Ｕ(ｒ)＝(Ｃ₁/ｒ²)・(ｒ/ｒ)∝ ｎ/ｒ² (ただしｎ≡ｒ/ｒ)が得られました。

すなわち,電気力Ｆ(ｒ)の方向はｒと同じで大きさは距離ｒの２乗に反比例します。

ただし,Ｆ(ｒ)が引力か斥力か？は,これだけからはまだ不明です。

PS:クーロンの法則を実験的に発見したのは名称の通りクーロン(Coulomb)であるとされています。

しかし,プリーストリ－(Priestley)が"静電気力は距離の二乗に反比例する"という性質を予測して本記事のような実験をしたのは彼よりも前のことです。

また,プリーストリーより後ですがクーロンより前に独立に精密な定量的実験をしてこの法則を検証したのはキャベンディッシュ(Chavendish)でした。

時代が時代ならプリーストリー・キャベンディッシュ(Priestry-Chavendish)の法則となっていたかも知れませんね。

キャベンディッシュ(Chavendish)は万有引力(重力)の法則においても逆二乗則が成り立つことを実験的に検証しました。

実験の詳細については,例えば「ＦＮの高校物理(キャベンディッシュの重力実験)」を参照してください。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

中性子の磁気モーメント

今日は昔の学生時代を思い出して少し素粒子論を復習してみよう

と思います。

　現在ではハドロン(Hadron)を構成するクォーク(Quark)の

フレーバー(Flavor)の自由度は,２種類ずつ３世代あって,

アップ(up),ダウン(down);チャーム(charm),ストレンジ

(strange);ボトム(bottom),トップ(top)の６種類があると

されていますが,

　"核子＝陽子ｐ or 中性子ｎ"を構成するだけなら,

"アップ＝ｕ"と"ダウン＝ｄ"の２種類だけで十分です。

　核子と,その核力を媒介する主要な粒子であるπ中間子を

ｕとｄ,あるいはこれらの反粒子の複合粒子として記述する

には,２次元特殊ユニタリ群:ＳＵ(2),すなわち,アイソスピン

(Isotopic spin;荷電スピン)の群の表現を考えるだけで

十分です。

　"核子＝陽子ｐ or 中性子ｎ"は,ｕとｄの３体で構成される

バリオン(Baryon;(重粒子)であり,スピンが1/2のFermi粒子

(Fermion)です。

　そして素電荷ｅを電荷の単位とすると,陽子ｐは電荷が１

であり,中性子ｎは,電荷がゼロである,ということによって

特徴付けられています。

　そして電荷をＱ,アイソスピンベクトルをＩ,バリオン数をＢと

すると,Ｑ＝Ｉ₃＋Ｂ/2という等式が成立します。

　核子はそのアイソスピンＩがＩ＝1/2で,陽子はＩ₃＝1/2,中性子

はＩ₃＝－1/2の固有状態です。

　ただし,ストレンジネス(Strangeness):Ｓまで考慮に入れると,

Ｑ＝Ｉ₃＋Ｙ/2；Ｙ≡Ｓ＋Ｂとなります。

　Ｙはハイパーチャージ(Hyperchage)といわれる量です。

　私くらいの世代の学生時代なら,丁度卒業の頃くらいにチャーム

(Charm)を与える(Ｊ/ψ)粒子が発見されたわけですから,わかって

いたのはこの程度までです。

　ちなみにスピンがゼロの擬スカラー粒子であるπ中間子に

　ついては,Ｂ＝0,Ｉ＝1であり,π^±,π⁰は,それぞれ,

　Ｉ₃＝±1,0 の固有状態です。

　一般に各素粒子はユニタリ群の既約表現の１つ１つに対応

　していて,超選択則(Superselection rule)により,崩壊現象

　を除けば異なる既約表現間の遷移は禁止されていると考え

　ます。

　一方,クォークｕ,ｄのスピンは1/2で,それらの電荷Ｑは,

 ｅを単位として,それぞれ,2/3,－1/3です。

　ということは,Ｂ＝1/3なので,Ｑ＝Ｉ₃＋Ｂ/2からｕ,ｄ

　のアイソスピンはＩ＝1/2で,それぞれはＩ₃がＩ₃＝1/2,

　－1/2の固有状態であるとしてよいことがわかります。

　ＳＵ(2)群の２次元基本表現を表わすクォーク３体で構成される

　複合粒子＝核子について,３体が合成された直積表現の既約表現へ

　の分解は,　２×２×２＝２＋２＋４　となります。

(因みにストレンジネス:Ｓまで含めたＳＵ(3)だと,

３×３×３＝１＋８＋８＋10　になります。）

さて,まず,２体での既約分解が,２×２＝１＋３となるのは自明です。

つまり,Ｔ_ij＝Ｔ_[i,j]＋Ｔ_{i,j};Ｔ_[i,j]≡1/2(Ｔ_ij－Ｔ_ji)(反対称＝1)

Ｔ_{i,j}≡1/2(Ｔ_ij＋Ｔ_ji)(対称＝3)　ですね。

　そして,２×２＝１＋３ から,さらに３体では,

２×２×２＝(１＋３)×２＝２＋(２＋４)という既約分解

を得ます。

　まず,右辺の最初の２はアイソスピン 0 と 1/2を合成して

アイソスピン 1/2を作ることに相当します。

　次の２はアイソスピン１と1/2を合成してアイソスピン1/2を

つくることです。

右辺の最後の４はアイソスピン 1と1/2を合成してアイソスピン

3/2をつくることに相当します。

　アイソスピン3/2はＴ_ijkを完全対称にすることで得られますから

Ｔ_[i,j,k]です。

　このテンソルの成分の数はｉ,ｊ,ｋ＝1,2の全ての組み合わせ

の数,つまり,２個から重複を許して３個を選ぶ組み合わせ

なので確かに４個あります。

　これは核子ではなくて,π-ｐあるいはπ-ｎ共鳴であり,

質量が,およそ,1230MeVのΔ粒子(デルタ)を表わしています。

一方,２×２×２＝２＋(２＋４)の右辺の最初の２はＴ_[I,j]k,

すなわち,(1/2)(Ｔ₁₂₁－Ｔ₂₁₁)と(1/2)(Ｔ₁₂₂－Ｔ₂₁₂)を表わして

います。

よって右辺の残りの２はＴ_{I,j}K－Ｔ_[I,j,k]で与えられます。

これらのゼロでない独立な成分は,(1/3)(2Ｔ₁₁₂－Ｔ₁₂₁－Ｔ₂₁₁)

と(1/3)(2Ｔ₂₂₁－Ｔ₂₁₂－Ｔ₁₂₂)の２つです。

そして,陽子ｐと中性子ｎは,この最後に示した方のＩ₃＝1/2,

－1/2の既約表現に対応するとされています。

　これらはｕ,ｄという記号をそのままｕ,ｄを示す状態の波動関数

として表現すれば,規格化も含めて,

ｐ＝(1/6)^1/2(2ｕｕｄ－ｕｄｕ－ｄｕｕ),

ｎ＝(1/6)^1/2(2ｄｄｕ－ｄｕｄ－ｕｄｄ)

となります。

　ところで,こうした理論によるとアイソスピンとスピンが共に3/2

のΔ⁺⁺ 粒子において,スピン成分がｓ_z＝＋3/2の状態は,

Δ⁺⁺_↑＝ｕ_↑ｕ_↑ｕ_↑となります。

これはフレーバー自由度,スピン自由度について共に

完全対称です。

　ハドロンのクォークによる複合粒子としての表現が"軌道角運動量

がゼロの基底状態＝Ｓ状態"で与えられるという仮定によれば,

Δ⁺⁺_↑はクォークの交換に対して位置座標の交換を含めて完全対称

な状態関数で表現されることになります。

　しかし,これはFermi統計,つまり多粒子系の状態はFermi粒子の

交換に対して反対称であるべきである,という要請に矛盾します。

そこで,実際の理論では,もう１つ別の自由度であるカラー(Color)

というものを導入し,カラー自由度については１重項(無色:Singlet)

であること,つまりクォークの交換についてカラー自由度について

完全反対称の状態にあるとして,この矛盾を解消しています。

そこで,今問題としている陽子:

ｐ＝(1/6)^1/2(2ｕｕｄ－ｕｄｕ－ｄｕｕ)と,

中性子:ｎ＝(1/6)^1/2(2ｄｄｕ－ｄｕｄ－ｕｄｄ)

について考えると,これらは１番目と２番目のクォークの交換

について対称です。

　しかし,カラー自由度については完全反対称ですから,スピン

の自由度についても１番目と２番目のクォークの交換について

対称であることが要求されます。

そこでスピン1/2に対する回転群ＳＵ(2)の既約表現についても

同じ変換性を持つ表現で,

|↑＞＝(1/6)^1/2(2↑↑↓－↑↓↑－↓↑↑)と,

|↓＞＝(1/6)^1/2(2↓↓↑－↓↑↓－↑↓↓)

を採用します。

陽子のスピンアップ状態としては,

ｐ_↑＝(1/6)(2ｕｕｄ－ｕｄｕ－ｄｕｕ)(2↑↑↓－↑↓↑－↓↑↑)

と表現すればいいのでは？と推測されます。

そこで,結局アイソスピンとスピンの両方を考慮したときに,

クォークの交換に対して完全対称でなければならないことから

|ｐ_↑＞＝(1/18)^1/2[ｕｕｄ(2↑↑↓－↑↓↑－↓↑↑)＋cyclic]

＝(1/18)^1/2[2ｕ_↑ｕ_↑ｄ_↓－ｕ_↑ｕ_↓ｄ_↑－ｕ_↓ｕ_↑ｄ_↑)＋cyclic]

と表現さるべきであることが結論されます。

　同様に,

|ｎ_↑＞＝(1/18)^1/2[ｄｄｕ(2↑↑↓－↑↓↑－↓↑↑)＋cyclic]

＝(1/18)^1/2[2ｄ_↑ｄ_↑ｕ_↓－ｄ_↑ｄ_↓ｕ_↑－ｄ_↓ｄ_↑ｕ_↑)＋cyclic]

です。

　これらはかつて流行したことのあるフレーバー・スピン対称性;

ＳＵ(6)の対称な,56重項既約表現に対応するものです。

余談ですが,このＳＵ(6)というのは,対称性の帰結として

角運動量保存則が従う現実世界が等方的であるという性質,

つまり現実の空間での回転群:ＳＵ(2)～ＳＯ(3)というスピン

角運動量に関わる対称性と,フレーバーという内部空間,

アイソスピンならアイソ空間(荷電空間)での回転対称性

を含むＳＵ(3)のフレーバー対称性を合成したものです。

こうした現実空間と仮想内部空間を混合した対称性というのは,

非相対論で成り立つ近似的なものです。

　こうした混合対称性は相対論まで含めた４次元時空という実空間

に対しては厳密には成立し得ないことが定理として証明されて

います。

,

ただし,例外があって超対称性はこの限りではありません。
(※ワインバーグの「場の量子論」邦訳第５巻参照※)

クォークは電子などのレプトン(Lepton;軽粒子)と同じく,

構造を持たないスピンが1/2の素粒子なので,その磁気回転比

ｇは,ｇ＝２で近似することができます。

そこで,クォークで構成された複合粒子の磁気モーメント

(磁気能率)をμとし,電荷を持つ構成粒子によって,これを評価

すると,ｚ成分は,

μ_z＝Σ_i{ｅ_iｈ_c/(2Ｍ_iｃ)}(ｌⁱ_z＋ｇｓⁱ_z)

で与えられると考えられます。

ここで,ｅ_i,Ｍ_i,ｌⁱ,ｓⁱは,それぞれｉ番目の構成粒子の電荷,質量

軌道角運動量,スピンです。

　また,ｈ_c≡ｈ/(2π)はPlanck定数,ｃは光速です。

ｓⁱ_z＝σⁱ₃/2と書き,Ｍ_d  ～ Ｍ_uとすると,

μ_z|ｐ_↑＞＝ｅｈ_c/(2Ｍ_uｃ)(1/18)^1/2

[{(10/3)ｕ_↑ｕ_↑ｄ_↓＋(1/3)ｕ_↑ｕ_↓ｄ_↑＋(1/3)ｕ_↓ｕ_↑ｄ_↑}

＋{(10/3)ｕ_↑ｄ_↓ｕ_↑＋(1/3)ｕ_↓ｄ_↑ｕ_↑＋(1/3)ｕ_↑ｄ_↑ｕ_↓}

＋..]となります。

したがって,普通に期待値として陽子の磁気モーメント

μ^p_z＝＜ｐ_↑|μ_z|ｐ_↑＞を計算すれば,
μ^p_z＝{ｅｈ_c/(2Ｍ_uｃ)}×3×(1/18)×[(5/3)×4＋(－1/3)＋(－1/3)]

＝ｅｈ_c/(2Ｍ_uｃ) が得られます。

同様に中性子では,

μⁿ_z＝＜ｎ_↑|μ_z|ｎ_↑＞＝{ｅｈ_c/(2Ｍ_uｃ)}×3×(1/18)

×[(－4/3)×4＋(2/3)＋(2/3)]＝(－2/3){ｅｈ_c/(2Ｍ_uｃ)}

が得られます。
 

したがって,理論的には,中性子と陽子の磁気モーメントの比

として,μⁿ/μ^p  ～ (－2/3)という結果を得ます。

実験によると,Bohr磁子μ^B＝ｅｈ_c/(2ｍ_pｃ)を単位として,核子

の磁気モーメントは,陽子pがおよそ2.79で,中性子ｎが－1.91

であることがわかっています。

　つまり,μ^p ～ 2.79μ^B,μⁿ ～ －1.91μ^Bです。

　実測値では,中性子と陽子の磁気モーメントの比は,

μⁿ/μ^p ～ －1.91/2.79 ～ (－2/3)で与えられること

になります。

それ故,先の理論的考察は実験事実を正しく評価しています。

　普通,電荷を持たない物体では角運動量があっても,電流がない

ので磁気モーメントはゼロですから,これは中性子が総体として

の電荷はゼロでも,内部に電荷密度の分布を持つ構造がある証拠

を与えていると考えられます。

さらに,μ^p がBohr磁子μ^Bの2.79倍であることが,陽子の質量ｍ_p

がクォークの質量Ｍ_uの2.79倍程度であることを示唆している

と考えるなら,up,downクォークの質量がＭ_u ～ Ｍ_d ～ 330MeV

であろうというクォーク質量の推定値も得られます。

　参考となる書籍が,徒歩では行けないちょっと離れたトランク

ルームにあり,おまけに風邪で外出もままならないので,ほとんど

記憶に頼って計算したので,合理的な結果を得るまでかなり計算

間違いを繰り返して苦労しました。

参考文献：S.Weinberg著(青山秀明他共訳)「場の量子論5」

(超対称性；構成と超対称標準模型)(吉岡書店)

ランキングへ　← クリックして投票してください。

(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。

(ブログ村科学ブログランキング）

 物理学

ｅ とπの超越性

　木曜からの風邪がだんだんひどくなり,セキが止まらないので仕方なく近くの滝野川病院で診察を受け,薬をもらいました。

　近くなのに病院まで歩いていけなくてタクシーを拾いました。普通は風邪くらいなら市販薬を飲んで寝るだけなのですが,手術の予後で体力回復が万全でないので心配になったのです。

　それにしても私はこのところ病院づいていますね。

しかし,もらった薬は食後に飲むように指定されていて,自宅には米以外の食料がなかったので病院のすぐそばにあったスーパーでいろいろと食料を買いましたが,自宅まで歩けないのでまた仕方なくタクシーに乗りました。

でも自宅に帰ってもおかゆさえ食べる気にならず,まあいいやと食前だけど薬を飲んだところ,プラシーボかもしれないが,さすがは病院の薬であるせいなのか,すぐに症状は軽減されました。

最近,ブログネタもないので,本の受け売りですが,以前の2007年5月27日の記事「代数的数と超越数」の続きとして,ｅとπの超越性の証明でも書いておきます。

(ｅの超越性の証明)

ｅが代数的数であると仮定すると,ａ₀＋ａ₁ｅ＋..＋ａ_nｅⁿ＝0 を満たす整数の組ａ₀,ａ₁,..,ａ_nが存在します。ｎ≧1,ａ₀ａ_n≠0 です。

ところで,ｆ(ｘ)をｍ次の多項式,ｔを複素数とし積分路を0とｔを結ぶ直線としてｔの関数Ｉ(ｔ)をＩ(ｔ)≡ｅ^t∫₀^tｅ^-xｆ(ｘ)ｄｘで定義し,部分積分を繰り返すと,Ｉ(ｔ)＝ｅ^tｆ(0)－ｆ(ｔ)＋ｅ^t∫₀^tｅ^-x(ｄｆ/ｄｘ)ｄｘ＝ｅ^tΣ_j=0^mｆ^(j)(0)－Σ_j=0^mｆ^(j)(ｔ)が得られます。

ｆ(ｘ)をｆ(ｘ)≡ｘ^p-1(ｘ－1)^p..(ｘ－ｎ)^pとします。

ｐは十分大きい素数です。

Ｊ≡－{ａ₀Ｉ(0)＋ａ₁Ｉ(1)＋..＋ａ_nＩ(ｎ)}とおくと,Ｊ＝－(ａ₀＋ａ₁ｅ＋..＋ａ_nｅⁿ)Σ_j=0^mｆ^(j)(0)＋ａ₀Σ_j=0^mｆ^(j)(0)＋ａ₁Σ_j=0^mｆ^(j)(1)＋..＋ａ_nΣ_j=0^mｆ^(j)(ｎ) ＝ａ₀Σ_j=0^mｆ^(j)(0)＋ａ₁Σ_j=0^mｆ^(j)(1)＋..＋ａ_nΣ_j=0^mｆ^(j)(ｎ)となります。

ただし,ｍ＝degｆ＝ｎｐ＋ｐ－1であり,0≦ｊ≦ｍなるｊに対してｆ^(j)(ｘ)はｘ^p-1,(ｘ－1)^p．．,(ｘ－ｎ)^pの各々をそれぞれｌ₀,ｌ₁,..,ｌ_n回ずつ(Σ_i=0l_i＝ｊ)微分した項の積和ですから,右辺の各ｆ^(j)(ｋ)(ｋ＝0,1,2,..,ｎ)は全て整数であり,それゆえＪも整数です。

そして,ｊ＜ｐなら明らかにｆ^(j)(ｋ)＝0 (ｋ＝1,2,..,ｎ)でｊ＜ｐ－1ならｆ^(j)(0)＝0 です。

ところで,ｋ≧ｌのときｋ(ｋ－1)..(ｋ－ｌ＋1)/ｌ!はｌ!で割り切れるので整係数多項式ｇ(ｘ)のｌ回導関数の係数はすべてｌ!で割り切れます。したがってｊ≧ｐのときｆ^(j)(ｘ)の係数はｊ!で割り切れ,よって全てｐ!で割り切れます。

したがって,ｆ^(j)(ｋ)はｊ＝ｐ－１かつｋ＝0 の場合を除いて,ｐ!で割り切れます。ところが,ｆ^(p-1)(0)＝(－1)^p(ｐ－1)!(ｎ!)^pであり,これは(ｐ－1)!では割り切れますが,ｐが十分大きいときｐでは割り切れません。

それ故,Ｊはゼロでない整数であり,(ｐ－1)!で割り切れます。よって,|Ｊ|≧(ｐ－1)!です。

一方,0≦ｘ≦ｋ,0≦ｋ≦ｎのとき,|ｘ|,|ｘ－1|,..,|ｘ－ｎ|≦2ｎなので |Ｉ(ｋ)|＝|∫₀^kｅ^k-xｆ(ｘ)ｄｘ|≦ｋｅ^k(2ｎ)^ｍです。

それ故,|Ｊ|≦|ａ₀||Ｉ(0)|＋|ａ₁||Ｉ(1)|＋..＋|ａ_n||Ｉ(ｎ)|≦(2ｎ)^ｍΣ_k=0ⁿ|ａ_k|ｋｅ^kです。ｍ＝ｎｐ＋ｐ－1ですから,ｐに無関係な定数ｃ＞0 が存在し,|Ｊ|＜ｃ^p が成立します。

ところが,Stirlingによれば,ｐが大きいとき,(ｐ－1)!～ｐ^pｅ^-pですから,素数ｐを大きくすると,やがて(ｐ－1)!＞ｃ^pとなります。

そこで,２つの不等式|Ｊ|≧(ｐ－1)!と|Ｊ|＜ｃ^p は両立しませんから,これは矛盾です。したがって,ｅが代数的数であるとした仮定が間違いであり,ｅは超越数であることがわかります。(証明終わり)

(πの超越性の証明)：

πを代数的数であると仮定すると,iπも代数的数です。ここでθ＝iπの共役：つまりθ＝iπの最小多項式における相異なるｎ個の根の組をθ₁＝θ,θ₂,..,θ_d；ｄ≡degθとします。

このとき等式(Euler's formula)ｅ^iπ＋1＝0 より,(ｅ^θ1＋1)(ｅ^θ2＋1)..(ｅ^θd＋1)＝0 となります。

そして左辺を展開すると,Σ_i=1,2,..,n^δi=0,1ｅ^{δ1θ1＋δ2θ2＋..＋δdθd}＝0 となります。

2^d個のδ₁θ₁＋δ₂θ₂＋..＋δ_dθ_d (δ_i＝0または１)のうちで 0 でないものがｎ個あったとし,それらをα₁,α₂,..,α_nをとします。

また,ｎ＜ｊ≦2^d に対してはα_j＝0 とします。そうすると,ｑ＋ｅ^α1＋ｅ^α2＋..＋ｅ^αn＝0 が得られます。ここで,ｑ≡2^d－ｎ＞0です。

ここで,ｅの超越性の証明と同様に,Ｉ(ｔ)＝ｅ^t∫₀^tｅ^-xｆ(ｘ)ｄｘを考え,今度はｆ(ｘ)≡ｌ^npｘ^p-1(ｘ－α₁)^p..(ｘ－α_n)^pとします。

ただしｐは十分大きい素数で,ｌはlθ₁,lθ₂,．．,lθ_d ,したがってlα₁,lα₂,．．,lα_n が代数的整数となるような整数です。

ここで,βが代数的整数であるとは,代数的数βの整数係数の最小多項式がその最高次の係数＝１の形つまり整数係数のモニックになることをいいます。

そして,Ｊ≡－{Ｉ(α₁)＋Ｉ(α₂)＋．．＋Ｉ(α_n)}とおくとＪ＝－(ｅ^α1＋ｅ^α2＋..＋ｅ^αn)Σ_j=0^mｆ^(j)(0)＋Σ_j=0^mｆ^(j)(α₁)＋Σ_j=0^mｆ^(j)(α₂)＋..＋Σ_j=0^mｆ^(j)(α_n)＝ｑΣ_j=0^mｆ^(j)(0)＋Σ_j=0^mｆ^(j)(α₁)＋Σ_j=0^mｆ^(j)(α₂)＋..＋Σ_j=0^mｆ^(j)(α_n), ｍ＝ｎｐ＋ｐ－1です。

多項式ｆ(ｘ)の各係数はlα₁,lα₂,..,lα_nの整数係数の対称式,したがって,lθ₁,lθ₂,．．,lθ_dの整数係数の対称式です。

ところが,lα₁,lα₂,．．,lα_nを根とするモニックの最小多項式をＰ(ｘ)とすると,Ｐ(ｘ)＝(ｘ－lα₁)(ｘ－lα₂)..(ｘ－lα_n)＝ｘⁿ－ｓ₁ｘ^n-1＋ｓ₂ｘ^n-2－..＋(－1)ｓ_nであって,ｓ₁,ｓ₂,．．,ｓ_nはlα₁,lα₂,．．,lα_nの基本対称式であり,lα₁,lα₂,..,lα_nが代数的数なのでこれらは整数です。

しかもlα₁,lα₂,．．,lα_nの全ての整数係数の対称式は基本対称式の整数係数の多項式として表わせることは明らかなので,ｆ(ｘ)の各係数は整数になります。

したがって,ｆ^(j)(0)も整数です。また,Σ_k=1ⁿｆ^(j)(α_k)(ｊ≧0)もlα₁,lα₂,..,lα_nの整数係数の対称式なので,上と同じ論旨から,これは整数になります。

そして,ｊ＜ｐなら明らかにｆ^(j)(α_k)＝0 (ｋ＝1,2,..,ｎ)で,ｊ＜ｐ－1ならｆ^(j)(0)＝0 です。したがってｊ≧ｐのとき,ｆ^(j)(ｘ)の係数は全てｐ!で割り切れます。

以上から,ｆ^(j)(α_k)とｊ≠ｐ－１のときのｆ^(j)(0)は,ｐ!で割り切れます。ところが,ｆ^(p-1)(0)＝(－1)^p(ｐ－1)!(lα₁lα₂..,l)^pであり,これは,(ｐ－1)!では割り切れますが,ｐが十分大きいときｐでは割り切れません。

それ故,Ｊはゼロでない整数であって,(ｐ－1)!で割り切れます。よって,|Ｊ|≧(ｐ－1)!です。

一方,0≦ｘ≦α_kまたは,α_k≦ｘ≦0 for 0≦ｋ≦ｎなるｘに対して,Ｍ＝max_k|2α_k|とおくと,|ｘ|,|ｘ－α₁|,..,|ｘ－α_n|≦Ｍなので,|Ｉ(α_k)|＝|∫₀^αkｅ^αk-xｆ(ｘ)ｄｘ|≦|α_k|ｅ^αkｌ^npＭ^ｍです。

それ故,|Ｊ|≦|Ｉ(0)|＋|Ｉ(α₁)|＋..＋|Ｉ(α_n)|≦ｌ^npＭ^ｍΣ_k=0ⁿ|α_k|ｅ^αkと評価できます。ここで,ｍ＝ｎｐ＋ｐ－1ですからｐに無関係な定数ｃ＞0 が存在して|Ｊ|＜ｃ^pが成立します。

ｐが大きいとき,(ｐ－1)!＞ｃ^pとなりますから,２つの不等式|Ｊ|≧(ｐ－1)!と|Ｊ|＜ｃ^p は両立しません。したがってπが代数的数であるとした仮定が間違いでありπは超越数であることがわかります。(証明終わり)

これで,ｅおよびπは超越数であることが証明されました。超越数ですから当然無理数ですが,いささか本末転倒ながらこれらが無理数であることをもっと直接的に証明してみます。

(ｅが無理数であることの証明)：

ｅ＝1＋1/1!＋1/2!＋1/3!＋..ですから,0＜ｎ!ｅ－ｎ!Σ_k=0ⁿ(1/ｋ!) ＝ｎ!Σ_k=n+1^∞(1/ｋ!)≦{1/(ｎ＋1)}(1＋1/2＋1/2²＋．．)＝2/(ｎ＋2)→ 0 as ｎ→∞ が成立します。

ところが,一般にαが有理数でα＝ａ/ｂ(ａ,ｂ∈Ｚ,ｂ＞0)なら,αと異なる全ての有理数ｐ/ｑに対して|ｑα－ｐ|＝|ｑａ－ｐｂ|/ｂ≧1/ｂですから,αにのみ依存する正の定数ｃが存在して,|α－ｐ/ｑ|≧ｃ/ｑとなります。それ故,0＜|ｑ_nα－ｐ_n|→ 0 as ｎ→ ∞ なる整数列{ｐ_n},{ｑ_n}が存在するならαは無理数です。

以上から,ｅは無理数であることが示されました。(証明終わり)

(πが無理数であることの証明)：

実係数の多項式ｆ(ｘ)に対してＦ(ｘ)≡ｆ(ｘ)－ｆ⁽²⁾(ｘ)＋ｆ⁽⁴⁾(ｘ)－ｆ⁽⁶⁾(ｘ)＋..とおきます。ｆ(ｘ)は多項式なので右辺は有限項で終わりＦ(ｘ)も多項式になります。

このとき,{Ｆ'(ｘ)sinｘ－Ｆ(ｘ)cosｘ}'＝{Ｆ"(ｘ) ＋Ｆ(ｘ)}sinｘ＝ｆ(ｘ)sinｘなので,∫₀^πｆ(ｘ)sinｘｄｘ＝Ｆ(0)＋Ｆ(π)と書くことができます。

今,πが有理数であると仮定して,π＝ａ/ｂ(ａ,ｂ∈Ｚ,ｂ＞0)とし,上式でｆ(ｘ)＝(ｂⁿ/ｎ!)ｘⁿ(π－ｘ)ⁿ＝(1/ｎ!)ｘⁿ(ａ－ｂｘ)ⁿとおきます。

ただし,ｎは十分大きい正の整数とします。明らかに,ｊ＜ｎのときｆ^(j)(0)＝0 で,ｊ≧ｎのときは多項式:{ｘⁿ(ａ－ｂｘ)ⁿ}^(j)のすべての係数は,ｊ!したがってｎ!で割り切れます。故に,ｊ≧0なるすべてのｊについてｆ^(j)(0)は整数です。

ところで,ｊ≧0なるすべてのｊについてｆ^(j)(ｘ)＝(－1)^jｆ^(j)(π－ｘ)よりｆ^(j)(π)＝(－1)^jｆ^(j)(0)も整数です。

以上から,∫₀^πｆ(ｘ)sinｘｄｘ＝Ｆ(0)＋Ｆ(π)の右辺{Ｆ(0)＋Ｆ(π)}は整数です。

一方,左辺は,0＜∫₀^πｆ(ｘ)sinｘｄｘ≦(ｂⁿπ²ⁿ/ｎ!)∫₀^πsinｘｄｘ＝2ｂⁿπ²ⁿ/ｎ!＜ｃⁿ/ｎ!です。ｃはｎに依存しない正の定数です。

これからｎ! ≦ｃⁿ ですが,ｎが十分大きいときには成立しません。

以上からπは無理数であることが示されました。(証明終わり)

参考文献：塩川宇賢 著「無理数と超越数」(森北出版)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

揺動散逸定理

　非平衡統計熱力学の１過程としてブラウン運動などに関わる揺動散逸定理(fluctuation dissipation theorem)について述べてみます。

　この定理は誰が起源なのかよく知らないのですが,日本では線型応答理論の一環として統計物理学の重鎮であった久保亮五先生などが関わっていたと記憶しています。

　一般に,ある物理量(示量変数の組):ａ＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)があって,エントロピーＳがａの関数であるとき,系の時間発展はａに対する１階微分方程式で表現されて,それはｄａ_i/ｄｔ＝(ｄａ_i/ｄｔ)_rev＋(ｄａ_i/ｄｔ)_irrのように,可逆な部分(ｄａ_i/ｄｔ)_revと不可逆な部分(ｄａ_i/ｄｔ)_irrの和として与えられます。

　そして,可逆部分はさらに,(ｄａ_i/ｄｔ)_rev＝Σ_j{ａ_i,ａ_j}(∂Ｓ/∂ａ_j)という構造を持つとします。

　ここで,{Ｘ,Ｙ}はポアソン括弧のように,{Ｙ,Ｘ}＝－{Ｘ,Ｙ}という反対称性を持ち,{Ｘ,ｆ}＝Σ_j{Ｘ,ａ_j}(∂ｆ/∂ａ_j)という性質で規定される量であるとします。

こう定義すると,(ｄＳ/ｄｔ)_rev＝Σ_i(∂Ｓ/∂ａ_i)(ｄａ_i/ｄｔ)_rev＝Σ_iΣ_j(∂Ｓ/∂ａ_i){ａ_i,ａ_j}(∂Ｓ/∂ａ_j)＝{Ｓ,Ｓ}＝0 となって,可逆過程ではエントロピーは生成されないことになります。

実際には,断熱可逆変化か,あるいは可逆であって,かつサイクルである場合以外なら,可逆過程でもエントロピーの変化はありますから,これはどう解釈すべきなんでしょうか？

ｄａ_i/ｄｔ＝(ｄａ_i/ｄｔ)_rev＋(ｄａ_i/ｄｔ)_irrは"可逆な部分と不可逆な部分の和である。"というよりもむしろ,"エントロピー非生成部分とエントロピー生成部分の和である。"と事実のままを述べた方がいいのかもしれません。

一方,不可逆部分については現象論的に(ｄａ_i/ｄｔ)_irr＝Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)と表わすことにします。

というのは,ａ_jが示量変数のとき∂Ｓ/∂ａ_jは示強パラメータであり,平衡の近傍では不可逆部分は示強パラメータ,あるいはその空間勾配に比例して進行するからです。

実際,問題としている系を局所平衡状態にある部分系の集まりと考えると,それぞれの部分系の物質密度をρ,単位質量当たりのエントロピーをｓとしたとき,エントロピー密度(ρｓ)の変化は,一般に熱力学の関係式により示強パラメータＦ_iと示量変数ａ_iによって,ｄ(ρｓ)＝Σ_iＦ_iｄａ_iと表わされます。

この表式では確かに示強パラメータは,Ｆ_i＝(∂Ｓ/∂ａ_j)/Ｖと表わされています。

そして今,対象としている系が隣り合う２つの部分系Ａ,Ｂだけから成るとし,Ａ,Ｂが等しい体積Ｖを持つとするとき,各部分系のエントロピーＳ＝Ｖρｓは,Ｘ_i＝Ｖａ_iの関数であると考えられます。

今,Ａ,Ｂのエントロピーを,それぞれＳ^A,Ｓ^Bとし,Ｘ_iがＡからＢにΔＸ_i＝ＶΔａ_iだけ移動するとします。

Ｘ_iが系全体では保存する量であって,初めＡにはＸ_iがＸ_i^AだけＢにはＸ_i^Bだけあったとすると,ＡからＢへのΔＸ_i＝ＶΔａ_iの移動による系全体のエントロピーＳの増分は,ΔＳ＝Ｓ^A(Ｘ_i^A－ΔＸ_i)＋Ｓ^B(Ｘ_i^B＋ΔＸ_i)－[Ｓ^A(Ｘ_i^A)＋Ｓ^B(Ｘ_i^B)]～Σ_i(－∂Ｓ/∂Ｘ_i^A＋∂Ｓ/∂Ｘ_i^B)ΔＸ_i＝Σ_i(－Ｆ^A_i＋Ｆ^B_i)ΔＸ_iとなります。

ここでＦ^A_i,Ｆ^B_iはそれぞれ部分系Ａ,ＢにおけるＦ_iの値を表わしています。

系全体を孤立系と考えると熱力学第二法則によって,ΔＳ＞0 でなければならないので,１つの示量変数Ｘ_i＝Ｖａ_iのみに着目してＡからＢへと微小量ΔＸ_i＞0 の移動が起こるためには,示強パラメータＦ_iについてはＦ^B_i＞Ｆ^A_iであることが必要になります。

このことから,示量変数Ｘ_i＝Ｖａ_iが保存量のときはＸ_iの輸送を引き起こす駆動力となるのは示強パラメータＦ_iの空間勾配であると考えられます。

また,示量変数Ｘ_i＝Ｖａ_iが非保存量のときはΔＳ＝Σ_iＦ_iΔＸ_iにおいてＦ_i＝(∂Ｓ/∂ａ_i)/Ｖ＞0 ならば,ΔＸ_i＝ＶΔａ_i；Δａ_i＞0 なる変化が不可逆過程として進行し得ます。

つまり,一般にｄＳ＝Σ_iＦ_iｄａ_i,Ｆ_i＝(∂Ｓ/∂ａ_i)と書けますが,量ａ_kが保存量のとき,その保存方程式は∂ａ_k/∂ｔ＋∇Ｊ_k＝0 であり,その流れＪ_kは一般にＪ_k＝Σ_jＬ_kj∇Ｆ_jと,示強的な量Ｆ_j＝(∂Ｓ/∂ａ_j)の勾配を駆動力とする形に表わされます。

そこで,ａ_k'≡ａ_kｒとおくと,Ｊ_k＝ａ_kｖ＝ａ_k(ｄｒ/ｄｔ)ですから,ｄａ_k'/ｄｔ＝ｄ(ａ_kｒ)/ｄｔ～Ｊ_k＝Σ_jＬ_kj∇Ｆ_j＝Σ_jＬ_kj∇(∂Ｓ/∂ａ_j)です。

そこで,もしもＳがａ_jの１次関数なら,∇(∂Ｓ/∂ａ_j)～∂Ｓ/∂ａ_j'となり,示量変数ａ_k'の求める時間発展の形式ｄａ_k'/ｄｔ＝Σ_jＬ_kj(∂Ｓ/∂ａ_j')が得られます。しかし正直なところかなり苦しいです。

こうして,はっきりと証明されたわけではないのですが,現象論的発展方程式はｄａ_i/ｄｔ＝{ａ_i,Ｓ}＋Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)と表わされるとします。

これは非平衡な初期条件から平衡状態への緩和を表わしています。

そこでａ(ｔ)の時間発展は初期条件ａ(0)＝ａに対してａ_i(ｔ)＝ａ_i＋ｔ[{ａ_i,Ｓ}＋Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)]＋..で与えられます。

平衡状態においても,一般に巨視的な物理量ａ＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)はゆらいでいます。たまたま,ある時刻にａ(ｔ)がａ(ｔ₀)＝ａという値をとったとして,その後の時間発展を観測します。

ａ(ｔ₀＋ｔ)は初期時刻ｔ₀によってさまざまな値を取りますが,それらの平均を取ったものも現象論的発展と同じになるとします。

すなわち,初期条件ａ(ｔ₀)＝ａが与えられると短い時間では平均的に＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)＞_{ａ(ｔ0)=ａ}＝ａ_i＋ｔ[{ａ_i,Ｓ}＋Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)]となると仮定します。これを線型減衰の仮定と呼びます。

平衡状態におけるゆらぎの時間相関関数＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞を求めるには＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)＞_{ａ(ｔ0)＝ａ}に初期値ａ_k(ｔ₀)＝ａ_kを掛けてａ_kの分布について平均すればいいので,ｔ≧0 に対して＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eq＝＜＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)＞_{ａ(ｔ0)=ａ}ａ_k＞_eq ＝＜ａ_iａ_k＞_eq＋ｔ[＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq＋Σ_jＬ_ij＜(∂Ｓ/∂ａ_j)ａ_k＞_eq]となります。

平衡状態におけるゆらぎに対するボルツマン・アインシュタインの原理,つまり,ボルツマンの原理Ｓ＝k_BlnＷから,逆に微視的状態数ＷがＷ(ａ)＝exp[Ｓ(ａ)/ｋ_B]と書ける,ことを用います。

全状態数をＷとしたときにＷ(ａ)/Ｗが変数ａの状態が実現する確率となりますから,平衡状態での関数ｆ(ａ)の平均値は＜ｆ(ａ)＞_eq＝(1/Ｗ)∫ｄａ₁..ｄａ_nｆ(ａ)exp[Ｓ(ａ)/ｋ_B]で与えられます。

そこで,＜(∂Ｓ/∂ａ_j)ａ_k＞_eq＝∫ｄａ₁..ｄａ_n(∂Ｓ/∂ａ_j)ａ_kexp[Ｓ(ａ)/ｋ_B]＝－ｋ_Bδ_kjとなります。

したがって,＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eq＝＜ａ_iａ_k＞_eq＋ｔ[＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq－ｋ_BＬ_ik]となりますが,右辺の{ａ_i,Ｓ}はｄａ_i/ｄｔの可逆部分です。

ところが,平衡状態では物理量の任意の関数は可逆変化では変化しないので,＜{ｆ(ａ),Ｓ}＞_eq＝0 です。もっともこれはその現象論の範囲で厳密に証明できるわけではないので仮説として導入するわけです。

そして,この式でｆ(ａ)＝ａ_iａ_kを代入すると,＜ａ_j{ａ_iδ_jk,Ｓ}＋ａ_j{ａ_iδ_ijａ_k,Ｓ}＞_eq＝0 :すなわち＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq＝－＜ａ_i{ａ_k,Ｓ}＞_eqが得られます。

そこで、物理変数ａ_i,ａ_kの時間反転対称性に関して次の２つの場合を考えます。：

(Ⅰ)変数ａ_i,ａ_kが共に時間反転に対して対称である場合

このときは＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eq＝＜ａ_i(ｔ₀－ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eqです。さらに平衡状態の定常性から物理量の時間相関は時間差のみに依存しｔ₀には依存しないので＜ａ_i(ｔ₀－ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eq＝＜ａ_i(ｔ₀)ａ_k(ｔ₀＋ｔ)＞_eqです。

以上から,＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eq＝＜ａ_i(ｔ₀)ａ_k(ｔ₀＋ｔ)＞_eqが得られます。

そこで両辺に線型減衰の仮定を適用すると,＜ａ_iａ_k＞_eq＋ｔ[＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq－ｋ_BＬ_ik]＝＜ａ_iａ_k＞_eq＋[＜{ａ_k,Ｓ}ａ_i＞_eq－ｋ_BＬ_ki]となるはずです。

これが実際に成り立つためには,＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq＝＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eqかつＬ_ik＝Ｌ_kiが満たされなければなりません。

前者は＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq＝－＜ａ_i{ａ_k,Ｓ}＞_eqと組み合わせると＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq＝＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq＝0 となります。要するに,ａ_i,ａ_kが共に時間反転に対して対称ならば,その時間微分{ａ_k,Ｓ},{ａ_i,Ｓ}は明らかに時間反転に対して反対称となりますから,時間反転対称なａ_iやａ_kとの積は平衡状態ではゼロとなることを表現しています。

(Ⅱ) 時間反転に対して変数ａ_iが反対称でａ_kが対称の場合

このときは＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eq＝－＜ａ_i(ｔ₀－ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eqです。そこで(Ⅰ)と同様に考えて＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eq＝－＜ａ_i(ｔ₀)ａ_k(ｔ₀＋ｔ)＞_eqとなります。

したがって線型減衰の式から＜ａ_iａ_k＞_eq＋ｔ[＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq－ｋ_BＬ_ik]＝－＜ａ_iａ_k＞_eq－ｔ[＜{ａ_k,Ｓ}ａ_i＞_eq－ｋ_BＬ_ki](ｔ≧0)ですが,これが成り立つためには＜ａ_iａ_k＞＝0 でかつＬ_ik＝－Ｌ_kiが満たされなければなりません。

かくして,変数ａ_i,ａ_kが同じ時間対称性を持つときにはＬ_ik＝Ｌ_ki, 反対の時間対称性を持つときにはＬ_ik＝－Ｌ_kiとなります。

さらに係数Ｌ_ikが時間反転に対して反対称な外部パラメータＡ(Ａは例えば磁場Ｂや速度ｖ)に依存するときには,それぞれＬ_ik(Ａ)＝Ｌ_ki(－Ａ),Ｌ_ik(Ａ)＝－Ｌ_ki(－Ａ)となります。

発展方程式の不可逆部分を熱力学的力∂Ｓ/∂ａで表現する輸送係数Ｌ_ijについての上述の対称性をオンサーガーの相反定理と呼び,この係数Ｌ_ikをオンサーガー係数と呼びます。

さらに発展方程式の不可逆部分はエントロピー生成をするという熱力学第二法則の要請から係数行列(Ｌ_ij)は正値行列です。

なぜなら,ｄＳ/ｄｔ＝(ｄＳ/ｄｔ)_irr＝Σ_i(∂Ｓ/∂ａ_i)(ｄａ_i/ｄｔ)_irr＝Σ_iΣ_j(∂Ｓ/∂ａ_i)Ｌ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)＞0 となるべきことが要求されますが,(∂Ｓ/∂ａ_i)はベクトルとして任意の値を取ると考えてよいからです。

平衡状態での巨視的変数の現象論的な発展方程式がｄａ_i/ｄｔ＝{ａ_i,Ｓ}＋Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)で与えられるので,必然的に存在する"ゆらぎ＝揺動あるいは雑音"Ｒ_i(ｔ)の存在を考慮すると,ａの時間発展は一般的な確率微分方程式ｄａ_i/ｄｔ＝{ａ_i,Ｓ}＋Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)＋Ｒ_i(ｔ)で表わされると考えられます。

ここで通常はゆらぎＲ_i(ｔ)は完全にランダムであり＜Ｒ_i(ｔ)＞＝0 ,＜Ｒ_i(ｔ)Ｒ_j(ｔ')＞_eq＝2Ｄ_ijδ(ｔ－ｔ')なる白色雑音(white noise)で与えられます。

こうすると,時刻ｔにおいて状態ａが実現する確率Ｐ(ａ,ｔ)に対して,次のフォッカー・プランク方程式(Fokker-Planck)が得られます。

∂Ｐ(ａ,ｔ)/∂ｔ＝－Σ_i(∂/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}Ｐ(ａ,ｔ)＋Σ_iΣ_j(∂/∂ａ_i)[－Ｌ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)＋Ｄ_ij(∂/∂ａ_j)]Ｐ(ａ,ｔ)です。

一般に,１次元で考えたとき外力Ｆがないときのゆらぎも含めた粒子の運動は,その速度をｕとするとき,次の"運動方程式＝ランジュバン方程式(Langevin)"ｄｕ/ｄｔ＝－γｕ＋Ｒ(ｔ)/ｍ に従います。

そして,ここでもゆらぎＲ(ｔ)は白色雑音,つまり＜Ｒ(ｔ)＞＝0 ,＜Ｒ(ｔ)Ｒ(ｔ')＞＝2Ｄ_uδ(ｔ－ｔ')を満たしているとします。

このとき,時刻ｔ₁に速度ｕ₁を持っていた粒子が時刻ｔに速度ｕを持つ条件付の確率分布Ｔ(ｕ,ｔ|ｕ₁,ｔ₁)は,(∂/∂ｔ)Ｔ(ｕ,ｔ|ｕ₁,ｔ₁)＝γ(∂/∂ｕ)[ｕ＋(ｋ_BＴ/ｍ)∂/∂ｕ＋(Ｄ_u/ｍ²)∂²/∂ｕ²]Ｔ(ｕ,ｔ|ｕ₁,ｔ₁)という方程式に従うことがわかります。

確率分布が従うこの方程式を,フォッカー・プランク方程式と呼ぶわけですね。

そして,先のａについての運動方程式ｄａ_i/ｄｔ＝{ａ_i,Ｓ}＋Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)＋Ｒ_i(ｔ)を上の１次元速度ｕに対するランジュバン方程式におきかえ,時刻ｔに状態ａが実現する確率分布Ｐ(ａ,ｔ)を上の確率分布Ｔ(ｕ,ｔ|ｕ₁,ｔ₁)におきかえれば,先述のＰ(ａ,ｔ)に対するフォッカー・プランク方程式が得られます。

これが定常解として平衡分布Ｐ_eq(ａ)＝exp[Ｓ(ａ)/ｋ_B](あるいはこの定数倍)を持つためにはｋ_BＬ_ij＝Ｄ_ijとなることが必要条件になります。

つまり,∂Ｐ_eq(ａ)/∂ａ_j＝(1/ｋ_B)(∂Ｓ/∂ａ_j)Ｐ_eq(ａ)なので∂Ｐ(ａ,ｔ)/∂ｔ＝－Σ_i(∂/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}Ｐ(ａ,ｔ)＋Σ_iΣ_j(∂/∂ａ_i)[－Ｌ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)＋Ｄ_ij(∂/∂ａ_j)]Ｐ(ａ,ｔ)においてＰ(ａ,ｔ)＝Ｐ_eq(ａ)とおくと,ｋ_BＬ_ij＝Ｄ_ijが満たされる場合には右辺の第２項はゼロになります。

一方,第１項はΣ_i(∂/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}Ｐ_eq(ａ)＝Ｐ_eq(ａ)[Σ_i(∂/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}＋(1/ｋ_B)Σ_i(∂Ｓ/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}]となりますが,定義によってΣ_i(∂Ｓ/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}＝{Ｓ,Ｓ}＝0 です。

これほど自明ではありませんが,Σ_i(∂/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}＝0 も成立します。

実際,Σ_i(∂/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}＝Σ_i[{1,Ｓ}＋{ａ_i,∂Ｓ/∂ａ_i}]＝Σ_iΣ_i[{1,ａ_j}(∂Ｓ/∂ａ_j)＋{ａ_i,ａ_j}(∂²Ｓ/∂ａ_i∂ａ_j)]＝Σ_iΣ_i{1,ａ_j}(∂Ｓ/∂ａ_j)＝－Σ_iΣ_i,k(∂１/∂ａ_k){ａ_k,ａ_j}(∂Ｓ/∂ａ_j)＝0 となります。１という関数はδ-関数であり,∂１/∂ａ_kは汎関数微分ですね。

そこで,ｋ_BＬ_ij＝Ｄ_ijはＰ_eq(ａ)＝exp[Ｓ(ａ)/ｋ_B]が解になるための必要十分条件であることがわかりました。

それ故,"揺動力＝ゆらぎ"の時間相関関数＜Ｒ_i(ｔ)Ｒ_j(ｔ')＞(白色雑音の2Ｄは揺動力の強さと呼ばれる)と,輸送係数:Ｌ_ijの間には＜Ｒ_i(ｔ)Ｒ_j(ｔ')＞＝2ｋ_BＬ_ijδ(ｔ－ｔ')という関係が成り立ちます。

これはさらに∫₀^∞ｄ(ｔ－ｔ')＜Ｒ_i(ｔ)Ｒ_j(ｔ')＞＝ｋ_BＬ_ij：すなわち∫₀^∞ｄτ＜Ｒ_i(ｔ)Ｒ_j(ｔ＋τ)＞＝ｋ_BＬ_ijと書き直すことができます。

つまり,輸送係数あるいはオンサーガー係数:Ｌ_ijはゆらぎの時間相関関数で与えられます。この法則を揺動散逸定理と呼びます。

こうして,数式的に表現された形の定理が示されても,これが実際の自然現象において物理的にどのような意味を持つのかを理解しなければ,こうした定理の重要性を認識することはできません。

そこで,１例として熱伝導に適用してみます。

平均流速ｖがゼロの１成分流体中の熱伝導方程式はｅを単位質量当たりの内部エネルギーとして∂(ρｅ)/∂ｔ＋∇Ｊ_q＝0 で与えられます。

ここでＪ_qは熱流であり熱拡散の線形近似モデルではＪ_q＝λ∇(1/Ｔ)＝－κ∇Ｔと表わされます。κ＝λ/Ｔ²は熱伝導率と呼ばれています。

この現象論的方程式に対して,これのランジュバン方程式は∂(ρｅ)/∂ｔ＋∇Ｊ_q＝－∇ｑ(ｒ,ｔ)となります。ただしｑ(ｒ,ｔ)は熱流Ｊ_qのゆらぎです。

Ｊ_qは熱流ですから,流体の局所流速をｖ(ｒ,ｔ)とすると,Ｊ_q＝ρｅｖ＝ρｅ(ｄｒ/ｄｔ)です。

示量変数の１つとしてａ＝ρｅｒとすると,ａの不可逆変化部分に対する表式ｄａ_i/ｄｔ＝Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)＋Ｒ_i(ｔ)は,ｄａ_i/ｄｔ＝ｄ(ρｅｒ_i)/ｄｔ～(Ｊ_q)_i＝Σ_jＬ_ij[∂Ｓ/∂(ρｅｒ_j)] ＋Ｒ_i(ｔ)と書けますが,平衡状態ではρＶｄｅ＝ＴｄＳ－ＰｄＶなので体積一定(ｄＶ＝0 )ならＳ＝ρｅＶ/Ｔ＋(定数)です。

それ故,結局(Ｊ_q)_i～Σ_jＬ_ijＶ(∂/∂ｒ_j)(1/Ｔ)となります。これをＪ_q＝λ∇(1/Ｔ)：すなわち(Ｊ_q)_i＝λ(∂/∂ｒ_j)(1/Ｔ)と比較すると,輸送係数＝オンサーガー係数についてＬ_ij＝(λ/Ｖ)δ_ijという表式が得られます。

そこで揺動散逸定理によると,λは平衡状態における揺動熱流ｑ(ｒ,ｔ)の時間相関関数によって表現されることになります。すなわち,揺動熱流ｑ(ｒ,ｔ)の時間相関関数は,∫₀^∞ｄｔ＜ｑ_α(ｒ,ｔ)ｑ_β(ｒ',0)＞_eq＝ｋ_B(λ/Ｖ)δ_αβδ(ｒ－ｒ')と書けます。

そして,熱流Ｊ_q(ｒ,ｔ)のゆらぎｑ(ｒ,ｔ)を体積Ｖの対象領域全体で空間積分したｑ(ｔ)＝∫ｄｒｑ(ｒ,ｔ)という量を定義して,これを時刻ｔでの"熱流のゆらぎ"と呼ぶことにすれば,熱伝導に対する揺動散逸定理の表現は∫₀^∞ｄｔ＜ｑ_α(ｔ)ｑ_β(0)＞_eq＝ｋ_Bλδ_αβと書くことができます。

今は,平均流速がゼロの流体を考えており,平衡状態では＜Ｊ_q(ｒ,ｔ)＞_eq＝0 なので,熱流のゆらぎｑ(ｒ,ｔ)がエネルギー流そのものになります。そこで対流がない流体においての平衡状態ではｑ(ｔ)はエネルギー流を空間全体で積分したもののゆらぎとなります。

この例では,輸送係数＝オンサーガー係数の一種である熱伝導率がミクロな流れｑ(ｔ)の時間相関関数で与えられるということが揺動散逸定理からの重要な帰結と言えます。

19日木曜日夜から風邪気味で,症状自体は軽いのですがあまり筆が進みません。

北原和夫 著「非平衡系の統計力学」(岩波書店)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

労働貴族死す

　　労働貴族の長＝宮本顕冶もとうとう死んだか。。。

　　とりあえず,　合掌！

　東洋思想では生前に何をしたかによらず死ねば皆仏になるらしい

　　　　　　　　

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

ブラウン運動と伊藤積分(10)

　確率積分の話題の続きです。前回はこれを定義しただけですが今回はこれの性質,特に伊藤の公式について説明します。 

次の不等式は,シュヴァルツ(Schwartz)の不等式の一般化です。

(補題9.1):(国田・渡辺の不等式)

  Ｍ,Ｎ∈Ｍ_2,cとする。

  φ(ｓ,ω),ψ(ｓ,ω)は発展的可測で∀ｔ＞0 に対して,∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s＜∞,∫₀^tψ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｎ＞_s＜∞ とする。

このとき,∀ｔ＞0 に対して,|∫₀^tφ(ｓ,ω)ψ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|≦(∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s)^1/2(∫₀^tψ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｎ＞_s)^1/2 (ａ.ｓ)である。 (ａ.ｓ.はalmost surely＝"ほとんど確実に"です。)

(証明)＜Ｍ,Ｎ＞の定義:＜Ｍ,Ｎ＞≡(1/4)(＜Ｍ＋Ｎ＞－＜Ｍ－Ｎ＞)と,その性質：＜ａＭ,Ｎ＞＝ａ＜Ｍ,Ｎ＞によって,＜Ｍ＞＝＜Ｍ,Ｍ＞,＜Ｎ＞＝＜Ｎ,Ｎ＞であり,∀ｒ∈Ｒに対して＜Ｍ＋ｒＮ＞＝＜Ｍ＞＋2ｒ＜Ｍ,Ｎ＞＋ｒ²＜Ｎ＞となります。

したがって,0≦∫_s1^s2ｄ＜Ｍ＋ｒＮ＞_s＝∫_s1^s2ｄ＜Ｍ＞_s＋2ｒ∫_s1^s2ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s＋ｒ²∫_s1^s2ｄ＜Ｎ＞_s ａ.ｓ が全ての実数ｒに対して成立するようにできます。

よって,実数ｒの２次式が常に非負でｒ²の係数が正なので,その判別式は(判別式)≦0 を満足しなければならないことから,不等式|∫_s1^s2ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|²≦(∫_s1^s2ｄ＜Ｍ＞_s)(∫_s1^s2ｄ＜Ｎ＞_s)が得られます。

それ故,φ(ｓ,ω)≡Σ_iφ_i(ω)1_(ti,ti+1),ψ(ｓ,ω)≡Σ_iψ_i(ω)1_(ti,ti+1)∈Ｌ₀に対して,|∫∫₀^tφ(ｓ,ω)ψ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|＝|Σ_iφ_i(ω)ψ_i(ω)∫_ti^ti+1ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|≦Σ_i|φ_i(ω)||ψ_i(ω)|(∫₀^tｄ＜Ｍ＞_s) ^1/2(∫₀^tｄ＜Ｎ＞_s)^1/2≦(Σ_i|φ_i|²∫_ti^ti+1ｄ＜Ｍ＞_s)^1/2(Σ_i|ψ_i|²∫_ti^ti+1ｄ＜Ｎ＞_s)^1/2＝(∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s)^1/2(∫₀^tψ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｎ＞_s)^1/2 (ａ.ｓ)となります。

有界なφ(ｓ,ω),ψ(ｓ,ω)については,再掲(補題：8.3):"Ｌ₀はＬ₂(＜Ｍ＞)内で稠密である"によって,上のようなＬ₀の元で近似することができます。

一般のφ,ψについてはまず有界なもので近似してＬ₀の元で近似すると極限で命題が成立します。

(証明終わり)

(定理9.2)　

(ⅰ) Ｍ,Ｎ∈Ｍ_2,c,ｆ(ｓ,ω)∈Ｌ₂(＜Ｍ＞)のとき,Ｘ_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_sとすると,＜Ｘ,Ｎ＞_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_sであり,かつ任意のＮ∈Ｍ_2,cに対して＜Ｘ,Ｎ＞_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_sを満たすＸ∈Ｍ_2,cでＸ₀＝0 なるものはＸ_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_sに限る。

(ⅱ)Ｉ(ｆ)＝Ｘ_T＝∫₀^Ｔｆ(ｓ,ω)ｄＭ_s：Ｌ₂(0,Ｔ；＜Ｍ＞)→Ｍ_2,c(0,Ｔ)は∀Ｔに対して等距離写像(isometric mapping)である。：すなわちＥ[|Ｘ_T|²]＝Ｅ[∫₀^Ｔ|ｆ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]である。

(証明)(ⅰ)ｆ∈Ｌ₂(＜Ｍ＞)に対してｆ_n∈Ｌ₀でＥ[∫₀^t|ｆ_n(ｓ,ω)－ｆ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]→ 0  as ｎ→ ∞なるものを取ります。

Ｘⁿ_t＝∫₀^tｆ_n(ｓ,ω)ｄＭ_sとおくと,再掲(補題8.7):"Ｅ[Ｘ_Ｔ²]＝Ｅ[＜Ｘ＞_T]＝Ｅ[∫₀^Tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]である。"によって,Ｅ[＜Ｘⁿ－Ｘ＞_t]＝Ｅ[∫₀^t|ｆ_n(ｓ,ω)－ｆ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s] → 0  as ｎ→ ∞,∀ｔです。

一方,|∫ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|≦|∫ｄ＜Ｍ＞_s|^1/2|∫ｄ＜Ｎ＞_s|^1/2ですが,Ｅ[|＜Ｍ,Ｎ＞_t|]＝Ｅ[|∫₀^tｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|]，Ｅ[|＜Ｍ＞_t|]＝Ｅ[|∫₀^tｄ＜Ｍ＞_s|]，Ｅ[|＜Ｎ＞_t|]＝Ｅ[|∫₀^tｄ＜Ｎ＞_s|]より,一般にＥ[|＜Ｍ,Ｎ＞_t|]≦Ｅ[|＜Ｍ＞_t|]^1/2Ｅ[|＜Ｎ＞_t|]^1/2です。

したがって,Ｅ[|＜Ｘⁿ,Ｎ＞_t－＜Ｘ,Ｎ＞_t|]＝Ｅ[|＜Ｘⁿ－Ｘ,Ｎ＞_t|]≦Ｅ[|＜Ｘⁿ－Ｘ＞_t|]^1/2Ｅ[|＜Ｎ＞_t|]^1/2 → 0  as ｎ →∞ ,∀ｔが得られます。

また,＜Ｘⁿ,Ｎ＞_t＝∫₀^tｆ_n(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_sがｆ_n(ｓ,ω)∈Ｌ₀を具体的に書き下すことによって(補題8.5)の証明と同じようにして言えるので,結局＜Ｘ,Ｎ＞_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s ａ.ｓであることがわかります。

　後半の,一意性については,＜Ｘ~,Ｎ＞_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s ａ.ｓ ∀Ｎ∈Ｍ_2,cとすると,＜Ｘ－Ｘ~,Ｎ＞_t＝0 ａ.ｓですから,特にＮ＝Ｘ－Ｘ~とすると＜Ｘ－Ｘ~＞_t＝0 ａ.ｓ,あるいはＥ[|Ｘ_t－Ｘ~_t|²]＝0 よりＸ_t＝Ｘ~_t ａ.ｓとなることから示されます。

(ⅱ)(ⅰ)よりＸ_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_sとおけば,＜Ｘ＞_T＝＜Ｘ,Ｘ＞_T＝∫₀^Tｆ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｘ＞_sであり,＜Ｍ,Ｘ＞_s＝∫₀^sｆ(ｕ,ω)ｄ＜Ｍ＞_uですからｄ＜Ｍ,Ｘ＞_s＝ｆ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ＞_sなので,＜Ｘ＞_T＝∫₀^Tｆ(ｓ,ω) ²ｄ＜Ｍ＞_s＝∫₀^T|ｆ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_sとなります。

　これとＥ[|Ｘ_T|²]＝Ｅ[＜Ｘ＞_T]を合わせると,Ｅ[|Ｘ_T|²]＝Ｅ[∫₀^T|ｆ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]が得られます。(証明終わり)

(系9.3)(ⅰ)Ｍ∈Ｍ_2,c,ｆ,ｇ∈Ｌ₂(＜Ｍ＞),ａ,ｂ∈Ｒに対して∫₀^t{ａｆ(ｓ,ω)＋ｂｇ(ｓ,ω)}ｄＭ_s＝ａ∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_s＋ｂ∫₀^tｇ(ｓ,ω)ｄＭ_s,∀ｔである。

(ⅱ)Ｍ,Ｎ∈Ｍ_2,c,ｆ∈Ｌ₂(＜Ｍ＞)∩Ｌ₂(＜Ｎ＞),ａ,ｂ∈Ｒに対してｆ∈Ｌ₂(＜ａＭ＋ｂＮ＞)で∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄ(ａＭ＋ｂＮ)_s＝ａ∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_s＋ｂ∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＮ_s ,∀ｔである。

(証明) (ⅰ)Ｎ∈Ｍ_2,cのとき,(定理9.2)と二次変分の性質(命題7.8)より,＜∫₀^t(ａｆ＋ｂｇ)ｄＭ_s,Ｎ＞＝∫₀^t(ａｆ＋ｂｇ)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s＝ａ∫₀^tｆｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s＋ｂ∫₀^tｇｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s＝＜ａ∫₀^tｆｄＭ_s,Ｎ＞＋＜ｂ∫₀^tｇｄＭ_s,Ｎ＞です。

　そしてＮは任意なので,例えばＮ＝∫₀^t(ａｆ＋ｂｇ)ｄＭ_s－ａ∫₀^tｆｄＭ_s－ｂ∫₀^tｇｄＭ_sと取ることによって,∫₀^t{ａｆ(ｓ,ω)＋ｂｇ(ｓ,ω)}ｄＭ_s＝ａ∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_s＋ｂ∫₀^tｇ(ｓ,ω)ｄＭ_s ,∀ｔが得られます。

(ⅱ)ｆ∈Ｌ₂(＜ａＭ＋ｂＮ＞)なることについては,再掲(補題9.1):"Ｍ,Ｎ∈Ｍ_2,cとしφ(ｓ,ω),ψ(ｓ,ω)は発展的可測で,∀ｔ＞0 に対して∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s＜∞,∫₀^tψ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｎ＞_s＜∞ とする。このとき∀ｔ＞0 に対し|∫₀^tφ(ｓ,ω)ψ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|≦(∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s)^1/2(∫₀^tψ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｎ＞_s)^1/2 ａ.ｓである。"と二次変分の性質からいえます。

すなわち,(補題9.1)でφ＝ψ＝ｆとおくと,不等式|∫₀^tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|≦(∫₀^tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s)^1/2(∫₀^tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｎ＞_s)^1/2 ａ.ｓが得られます。

　これと等式ｄ＜ａＭ＋ｂＮ＞_s＝ａ²ｄ＜Ｍ＞_s＋2ａｂｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s＋ｂ²ｄ＜Ｎ＞_sから,ｆ∈Ｌ₂(＜ａＭ＋ｂＮ＞)なることは自明です。

　そして(定理9.2)と(命題7.8)によれば,∀Ｌ∈Ｍ_2,ｃに対して＜∫₀^tｆｄ(ａＭ＋ｂＮ)_s,Ｌ＞＝∫₀^tｆｄ＜(ａＭ＋ｂＮ),Ｌ＞_s＝ａ∫₀^tｆｄ＜Ｍ,Ｌ＞_s＋ｂ∫₀^tｆｄ＜Ｎ,Ｌ＞_s＝＜ａ∫₀^tｆｄＭ＋ｂ∫₀^tｆｄＮ,Ｌ＞が成立するので命題が成り立つことは明らかです。

　(証明終わり)

　次に,局所マルチンゲールに対して確率積分を定義します。 

(定義10.1)：(局所マルチンゲールに対する確率積分)

Ｍ∈Ｍ_ｃ,locとし,Ｍに対しＰ(∫₀^Tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s＜∞)＝1,∀Ｔを満たす発展的可測過程ｆ(ｓ,ω)について確率積分を定義する。

Ｍ∈Ｍ_ｃ,locよりσ_n↑∞ ａ.ｓとなる停止時刻の列{σ_n}が存在して,Ｍ_t∧σn∈Ｍ_2,ｃが成立する。そしてτ_n(ω)≡ｎ∧inf{ｔ≧0：∫₀^tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s≧ｎ}とおけばτ_n↑∞ ａ.ｓである。

　そこでρ_n≡τ_n∧σ_nとしＭⁿ_t≡Ｍ_t∧ρn,ｆⁿ(ｔ,ω)≡ｆ(ｔ,ω)1_{t≦ρn}とおけば,Ｍⁿ_t∈Ｍ_2,ｃ,ｆⁿ(ｔ,ω)∈Ｌ₂(＜Ｍⁿ＞)なので確率積分Ｉ(ｆⁿ)がＩ(ｆⁿ)(ｔ,ω)＝∫₀^tｆⁿ(ｓ,ω)ｄＭⁿ_sと定義できる。

　これはＩ(ｆⁿ)(ｔ,ω)＝Ｉ(ｆ^m)(ｔ,ω),0≦ｔ≦ρ_n,ｎ≦ｍとなることがわかる。

　そして,ｎ→ ∞ に対してσ_n → ∞ なので,Ｉ(ｆ)(ｔ,ω)≡Ｉ(ｆⁿ)(ｔ,ω), 0≦ｔ≦ρ_nとすれば,ｎ→ ∞ の極限で∀ｔについてＩ(ｆ)が定義できる。

　このＩ(ｆ)をｆの確率積分という。

(定理9.2)を局所マルチンゲールに対して書き直したものはＭ∈Ｍ_ｃ,loc ,ｆ(ｓ,ω)をＰ(∫₀^Tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s＜∞)＝1,∀Ｔを満たす発展的可測過程とする。

　このときＸ_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_s,Ｍ∈Ｍ_ｃ,locはＸ₀＝0 で＜Ｘ,Ｎ＞_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s∀ｔ ａ.ｓを満たす唯１の元である。

　となります。

　これの証明は,ｔをｔ∧ρ_nにおきかえると,(定理9.2)の証明と同じなので省略します。

次に,確率積分が普通の積分と同様な概念を表現するものであるということを示す重要な性質を証明します。

　"ｆ(ｓ,ω)がＦ_tに適合して左連続であるとする。このとき,分割Δ:0＝ｓ₀＜ｓ₁＜..＜ｓ_nをとれば,∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_s＝Ｐ-lim_|Δ|→0Σ_iｆ(ｓ_i)(Ｍ_si+1－Ｍ_si)となる。ただし,Ｐ-lim は確率収束極限の意味である。という命題を証明します。

(証明)ｆが有界でｆ∈Ｍ_2,ｃのとき,分割Δ:0＝ｔ₀＜ｔ₁＜..＜ｔ_nに対してｆ^Δ(ｓ,ω)≡Σ_iｆ(ｔ_i,ω)1_(ti,ti+1)(ｓ),ｆ^Δ(0,ω)≡ｆ(0,ω)とおくと,左連続性によってｆ^Δ(ｓ,ω)→ ｆ(ｓ,ω) as Δ→ 0,∀ｓ,ωです。

Ｘ^Δ_t＝∫₀^tｆ^Δ(ｓ,ω)ｄＭ_s＝Σ_iｆ(ｔ_i,ω)(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)であり,Ｅ[∫₀^t|ｆ^Δ(ｓ,ω)－ｆ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]→ 0 よりＥ[|Ｘ^Δ_t－Ｘ_t|²] → 0 as Δ→ 0,∀ｔです。

一般の局所マルチンゲールの場合は(定義10.1)のτ_nを使って局所化すればいいだけです。

(証明終わり)

ここで微積分学における合成関数の微分法則(連鎖公式)の確率解析版とされる伊藤の公式を示すことにします。

その応用は極めて広いものです。

(定義11.1)確率過程Ｘ＝{Ｘ_t}がＸ_t＝Ｘ₀＋Ｍ_t＋Ａ_t,Ｍ∈Ｍ_loc,Ａ∈Ａ(増加過程:Ａ_＋に属する元の差で表わされる過程)で,Ｘ₀はＦ₀-可測関数,ただし,Ｍ₀＝0 ａ.ｓ,Ａ₀＝0 ａ.ｓと表わされるとき,{Ｘ_t}は半マルチンゲールであるという。

また,Ｒ^N値確率過程が半マルチンゲールであるとは,各成分が半マルチンゲールのときをいう。

さらに,Ｍ_t,Ａ_tが連続確率過程であれば{Ｘ_t}は連続な半マルチンゲールであるという。

(定理11.2)(伊藤の公式)

Ｘ_t＝(Ｘ¹_t,Ｘ²_t,..,Ｘ^N_t)を連続な半マルチンゲールとする。すなわち,Ｘⁱ_t＝Ｘⁱ₀＋Ｍⁱ_t＋Ａⁱ_t (ｉ＝1,2,..,Ｎ)とする。

ｆ∈Ｃ²(Ｒ^N)のとき,ｆ(Ｘ_t)は連続な半マルチンゲールであり,ｆ(Ｘ_t)－ｆ(Ｘ₀)＝Σ_i=1^N∫₀^tＤ_iｆ(Ｘ_s)ｄＭⁱ_s＋Σ_i=1^N∫₀^tＤ_iｆ(Ｘ_s)ｄＡ_sⁱ＋(1/2)Σ_i,j=1^N∫₀^tＤ_ijｆ(Ｘ_s)ｄ＜Ｍⁱ,Ｍ^j＞_sと書くことができる。

ただし,Ｄ_iｆ≡∂ｆ/∂ｘ_i,Ｄ_ijｆ≡∂²ｆ/∂ｘ_i∂ｘ_j(ｉ,j＝1,2,．．Ｎ)である。

(証明)τ_n＝inf{ｔ≧0：|Ｘ₀|＞ｎ,or|Ｍ_t|＞ｎ,|Ａ_t|＞ｎ}({　}≠φのとき),τ_n＝∞ ({　}＝φのとき);とおきます。このとき,ｎ→ ∞ に対してτ_n→ ∞ ａ.ｓなので,Ｘ_t∧τn について,この等式を証明すれば十分です。

したがって,Ｘ₀,Ｍ_t,Ａ_tは全て有界,ｆ,Ｄ_iｆ,Ｄ_ijｆも全て有界,かつ一様連続であるとしてかまいません。それ故,ある定数Ｋがあって|ｆ|＋Σ_i|Ｄ_iｆ|＋Σ_i,j |Ｄ_ijｆ|≦Ｋと書くことができます。

Δ:0＝ｔ₀＜ｔ₁＜..＜ｔ_n＝ｔを [0,ｔ]の分割とします。

このとき,テイラー展開の定理により,ｆ(Ｘ_t)－ｆ(Ｘ₀)＝Σ_k=1^n-1(ｆ(Ｘ_tk+1)－ｆ(Ｘ_tk))＝Σ_k=1^n-1Σ_i=1^NＤ_iｆ(Ｘ_tk)(Ｘⁱ_tk+1－Ｘⁱ_tk)＋(1/2)Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^NＤ_ijｆ(ξ_k)(Ｘⁱ_tk+1－Ｘⁱ_tk)(Ｘ^j_tk+1－Ｘ^j_tk),ξ_k＝Ｘ_tk＋θ_k(Ｘ_tk+1－Ｘ_tk), 0≦θ_k≦1と表現できます。

右辺の第１項は|Δ|→0 のとき,確率積分の定義により,Σ_i=1^N∫₀^tＤ_iｆ(Ｘ_s)ｄＭⁱ_{s s}＋Σ_i=1^N∫₀^tＤ_iｆ(Ｘ_s)ｄＡ_sⁱに確率収束します。

一方,右辺の第２項は,(1/2)Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^NＤ_ijｆ(ξ_k)(Ｍⁱ_tk+1－Ｍⁱ_tk)(Ｍ^j_tk+1－Ｍ^j_tk)＋Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^NＤ_ijｆ(ξ_k)(Ｍⁱ_tk+1－Ｍⁱ_tk)(Ａ^j_tk+1－Ａ^j_tk)＋(1/2)Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^NＤ_ijｆ(ξ_k)(Ａⁱ_tk+1－Ａⁱ_tk)(Ａ^j_tk+1－Ａ^j_tk)≡Ｉ₁＋Ｉ₂＋Ｉ₃となります。

Ａ∈Ａより,Ａ≡Ａ^＋－Ａ^－,Ａ^＋,Ａ^－∈Ａ_＋,cとすると,|Σ_k=1^n-1(Ａ_tk+1－Ａ_tk)|≦|Ａ^＋_t|＋|Ａ^－_t|で,sup|Ｍ_tk+1－Ｍ_tk|→ 0,sup|Ａ_tk+1－Ａ_tk|→ 0 なので,|Ｉ₂|≦Ｋsup _k|Ｍ_tk+1－Ｍ_tk|(|Ａ^＋_t|＋|Ａ^－_t|)→ 0 as　|Δ|→ 0 ａ.ｓ,かつ|Ｉ₃|≦Ｋsup|Ａ_tk+1－Ａ_tk|(|Ａ^＋_t|＋|Ａ^－_t|→ 0 as　|Δ|→ 0 ａ.ｓです。

よって,後はＩ₁→(1/2)Σ_i,j=1^N∫₀^tＤ_ijｆ(Ｘ_s)ｄ＜Ｍⁱ,Ｍ^j＞ as　|Δ|→ 0 ａ.ｓを示すことができればいいことになります。

通常の積分と微分との関係では２次の微小量を総和して積分しても１次の微小量になるだけで,|Δ|→ 0 では消えてしまうのでこうした２階導関数の項は出現しません。

実際,上に示したように有界変動の関数ＡはＡ＝Ａ^＋－Ａ^－と有界な単調増加関数の差で表わせるので,その２次の量を積分するとき,その寄与はゼロになります。

しかし,Ｍがブラウン運動のような過程である場合には有界変動の関数ではなくて,その長さが確率１で無限大になることは,ずいぶん前の記事で述べましたが,その場合のＭの２次の量を積分するとき,その寄与はゼロではなくて有限です。

Ｉ₁'＝(1/2)Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^NＤ_ijｆ(Ｘ_tk)(Ｍⁱ_tk+1－Ｍⁱ_tk)(Ｍ^j_tk+1－Ｍ^j_tk)とおくと,|Ｉ₁－Ｉ₁'|≦(1/2)Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^N|Ｄ_ijｆ(ξ_k)－Ｄ_ijｆ(Ｘ_tk)||Ｍⁱ_tk+1－Ｍⁱ_tk||Ｍ^j_tk+1－Ｍ^j_tk|≦(1/2)sup_k|Ｄ_ijｆ(ξ_k)－Ｄ_ijｆ(Ｘ_tk)|[Σ_n,mＱ_t(Ｍⁿ,Δ)^1/2Ｑ_t(Ｍ^m,Δ)^1/2]です。

よって,Ｅ[|Ｉ₁－Ｉ₁'|]≦(1/2)Σ_n,m=1^NＥ[sup_k|Ｄ_ijｆ(ξ_k)－Ｄ_ijｆ(Ｘ_tk)|Ｑ_t(Ｍⁿ,Δ)^1/2Ｑ_t(Ｍ^m,Δ)^1/2]≦(1/2)Σ_n,m=1^NＥ[sup_k|Ｄ_ijｆ(ξ_k)－Ｄ_ijｆ(Ｘ_tk)|²]^1/2(Ｅ[Ｑ_t(Ｍⁿ,Δ)Ｑ_t(Ｍ^m,Δ)])^1/2≦(1/2)Ｅ[sup_k|Ｄ_ijｆ(ξ_k)－Ｄ_ijｆ(Ｘ_tk)|²]^1/2(Σ_n,m=1^NＥ[Ｑ_t(Ｍⁿ,Δ)²]^1/4Ｅ[Ｑ_t(Ｍ^m,Δ)²]^1/4)です。

再掲(補題７.3):"Ｍ＝{Ｍ_t}∈Ｍ_4,ｃとするとき分割Δに依らない定数ｃが存在してＥ[Ｑ_t(Ｍ；Δ)²]≦ｃが成り立つ。"とＥ[sup_k|Ｄ_ijｆ(ξ_k)－Ｄ_ijｆ(Ｘ_tk)|²]^1/2→ 0 as　|Δ|→ 0 によって,右辺→ 0 as |Δ|→ 0 が得られます。

また,Ｉ₁"＝(1/2)Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^NＤ_ijｆ(Ｘ_tk)(＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk+1－＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk)とおくとＥ[|Ｉ₁'－Ｉ₁"|²]＝(1/4)Σ_k=1 ^n-1Ｅ[|Σ_i,j=1^NＤ_ijｆ(Ｘ_tk){(Ｍⁱ_tk+1－Ｍⁱ_tk)(Ｍ^j_tk+1－Ｍ^j_tk)－∫_tk^tk+1ｄ＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_s|²]≦Σ_k=1 ^n-1(Ｋ²/4)Ｅ[|Ｍ_tk+1－Ｍ_tk|⁴＋Σ_i,j=1^N(＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk+1－＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk)²]≦(Ｋ²/4)Ｅ[sup_k|Ｍ_tk+1－Ｍ_tk|²Σ_i=1^NＱ_t(Ｍⁱ,Δ)]＋(Ｋ²/4)Σ_i,j=1^NＥ[sup_k|＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk+1－＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk|(＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk+1－＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk)] → 0 as |Δ|→ 0 です。

すなわち,Ｅ[|Ｉ₁'－Ｉ₁"|²]→ 0 as　|Δ|→ 0 が得られます。

一方,Ｉ₁"＝(1/2)Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^N∫_tk^tk+1Ｄ_ijｆ(Ｘ_tk)ｄ＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_s→(1/2)Σ_i,j=1^N∫₀^tＤ_ijｆ(Ｘ_s)ｄ＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_s as　|Δ|→ 0 ですから,結局,Ｉ₁→(1/2)Σ_i,j=1^N∫₀^tＤ_ijｆ(Ｘ_s)ｄ＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_s in Ｌ(Ω) as　|Δ|→ 0 です。

以上から,∀ｔに対して,ほとんどいたるところで,ｆ(Ｘ_t)－ｆ(Ｘ₀)＝Σ_i=1^N∫₀^tＤ_iｆ(Ｘ_s)ｄＭⁱ_s＋Σ_i=1^N∫₀^tＤ_iｆ(Ｘ_s)ｄＡ_sⁱ＋(1/2)Σ_i,j=1^N∫₀^tＤ_ijｆ(Ｘ_s)ｄ＜Ｍⁱ,Ｍ^j＞_sが成立し,両辺はｔについて連続なので,この等式は確率１で∀ｔに対して成立します。

(証明終わり)

例として原点から出発する１次元ブラウン運動をＸ_t＝Ｂ_tとし,ｆ(ｘ)＝ｘⁿとすると,伊藤の公式から,Ｂ_tⁿ＝ｎ∫₀^tＢ_s^n-1ｄＢ_s＋{ｎ(ｎ－1)/2}∫₀^tＢ_s^n-2ｄｓです。

特にｎ＝2とすれば,Ｂ_t²＝2∫₀^tＢ_sｄＢ_s＋ｔです。

このことはＢ_t²－ｔがマルチンゲールであることを示しています。これは,マルチンゲールの確率積分が,その定義によって常にマルチンゲールであるからです。

こうして,１次元ブラウン運動の確率積分が通常の関数についての積分公式ｔ²＝2∫₀^tｘｄｘとは食い違うことが明確にわかります。

　次の例として,Ａ_t＝－ｔ/2としＸ_t＝Ｂ_t＋Ａ_t＝,ｆ(ｘ)＝exp(ｘ)とするとき,伊藤の公式から,exp(Ｘ_t)－exp(Ｘ₀)＝exp(Ｂ_t－ｔ/2)－exp(Ｂ₀)＝∫₀^t exp(Ｂ_s－ｓ/2)ｄＢ_s＋∫₀^t exp(Ｂ_s－ｓ/2)ｄ(－ｓ/2)＋(1/2)∫₀^t exp(Ｂ_s－ｓ/2)ｄｓです。

したがって,exp(Ｂ_t－ｔ/2)＝1＋∫₀^t exp(Ｂ_s－ｓ/2)ｄＢ_sです。

Ｂ_tはマルチンゲールなので,もちろんその確率積分exp(Ｂ_t－ｔ/2)もマルチンゲールです。

また,Ｅ[exp{iξ(Ｂ_t－Ｂ_s)}]＝exp{－(ｔ－ｓ)ξ²/2}より,ｓ＝0 ,ξ＝－2ｉとおいて,Ｅ[exp(2Ｂ_t)]＝exp(2ｔ),すなわち,Ｅ[exp(2Ｂ_t－ｔ)]＝exp(ｔ)です。

それ故,exp(Ｂ_t－ｔ/2)は２乗可積分マルチンゲールです。

さらにＢ_t＝(Ｂ¹_t,Ｂ²_t,..,Ｂ^N_t)をＮ次元ブラウン運動とし,ｆ(ｘ)＝{(ｘ¹)²＋(ｘ²)²＋..＋(ｘ^N)²}^ｍ/2とするとき,ｍ≧2ならｆ(Ｂ_t)－ｆ(Ｂ₀)＝ｍΣ_i=1^N∫₀^tＢⁱ_s|Ｂ_s|^ｍ-2ｄＢⁱ_s＋(1/2)∫₀^t{Ｎｍ＋ｍ(ｍ－2)}|Ｂ_s|^ｍ-2ｄｓです。

また,Ｎ≧3でｍ＝2－Ｎ,σ_n＝inf{ｔ:|Ｂ_t|≦1/ｎ}とするとき,ｆ(Ｂ_t∧σn)－ｆ(Ｂ₀)＝(2－Ｎ)Σ_i=1^N∫₀^t∧σnＢⁱ_s|Ｂ_s|^-NｄＢⁱ_sですから,Ｂ_tの出発点が 0 でないとき:Ｐ(Ｂ_t＝ｘ₀)＝1,ｘ₀≠0 なるときも含めて,Ｐ(σ_n↑∞　as ｎ→∞)＝1 なので,ｆ(Ｂ_t)－ｆ(Ｂ₀)は局所マルチンゲールです。

今日はここまでにします。 

参考文献：長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

目をそらす姑息な手段

　しかし,この赤城という農相の姑息な手段にもあきれますね。どんな参謀がついているのでしょうか？まあ,それに踊らされる方もどうかと思いますね。

　顔に絆創膏というなんともお粗末なカムフラージュ,本題の方の追求からまわりの目をそらすために,あえて突っ込まれても痛くない別の目立った疑惑を無理矢理作り上げる,という昔からよくある手法ですね。

　「不利なときは戦線を拡大せよ。」という将棋の戦法にも通じますが,これまでも何か不利なことがあってもすぐに別の問題があって興味がそらされてしまうというのがこのところの政界では日常茶飯事ですね。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

準線形計画法(ネットワーク輸送問題)(３)

　さて,本題である私のオリジナル:準線型輸送問題のアルゴリズムに入ります。

３.流量値依存の準線型コスト関数を持つ輸送問題を解くアルゴリズム 

２では,各枝ｅ_mの単位コストｃ_mが流量ｘ_mの値に関係なく,一定であるようなごく一般的な線型輸送問題を扱った。

本節では,ｃ_mの値がｘ_mと共に単調増加し,コスト関数が下に凸の折れ線となるような輸送問題が解けるようにアルゴリズムを拡張する。 

すなわち,各枝は容量制限Ｌ_m≦ｘ_m≦Ｕ_m (Ｌ_m,Ｕ_mは±∞,正,負,0のいずれでも良い)を有するが,この他にｉ＝－ｊ_m,..,0,..,ｋ_mの各値について,ｔ_m,iが存在してｔ_m,i-1≦ｘ_m≦ｔ_m,iの各ｘ_mに対して,単位コストｃ_m,iを持つ。なお,ｔ_m,0＝0 である。

ｅ_mに関わる総コストは,ｘ_m＞ 0 のときは,ｔ_m,lm-1≦ｘ_m≦ｔ_m,lmならばΣ_k=1^lm-1ｃ_m,k(ｔ_m,k－ｔ_m,k-1)＋ｃ_m,lm (ｘ_m－ｔ_m,lm-1)(3-1a)であり,ｘ_m＜ 0 のときは,ｔ_m,-lm-1≦ｘ_m≦ｔ_m,-lmならばΣ_k=0^lmｃ_m,-k(ｔ_m,-k-1－ｔ_m,-k)＋ｃ_m,-lm (ｘ_m－ｔ_m,-lm-1)(3-1ｂ)である。

まず,条件(1-1)と全ての容量制限を満足する１つの初期可能木解が得られたとする。

このとき.この可能木解で現在の各枝ｅ_mの流量ｘ_mの値によって暫定的な上界ｔ_m,kと,下界ｔ_m,k-1,および単位コストｃ_m,kを定めることができるので,とりあえずこれらの値を固定しておく。 

基底枝ｅ_m＝(ｉ,ｊ)に対しては,ｔ_m,k-1≦ｘ_m≦ｔ_m,kにおける単位コストｃ_m,kについて双対基底として,Π_j＋ｃ_m,k＝Π_i(3-2)となるように、{Π_n}(ｎ＝1,2,..,Ｎ)の組を計算する。

　次に,ｅ_m＝(ｉ,ｊ)が非基底のとき,ｘ_m＝ｔ_m.k-1ならばＤ_m＝Π_i－Π_j－ｃ_m,k ,ｘ_m＝ｔ_m.kならばＤ_m＝Π_j－Π_i＋ｃ_m,kとおく。 

固定した暫定的な上界,下界,単位コストに対して,全てのＤ_mがＤ_m≦0 となるまで,通常の主単体法の更新を繰り返す。

全てのＤ_mがゼロ以下となったときには,2-2で記述した論旨によって,暫定的な容量制限内に流量が留まっている限りにおいて,コストは最小になる。

つまり,全てのＤ_mがＤ_m≦0 なら,コスト関数においてｘ_mの±Δ_mの変化と共に変化し得る量Σｃ_m,kmｘ_mが(2-2)式と同様に変形されて,Δ_m＞0 の変化に対して必ず非減少となるからである。

そこで次に,得られた暫定的最小コスト解において,非基底枝ｅ_mに対してｘ_mが下界ｔ_m.km-1に等しい場合には,これを上界と見なして,新しいＤ_mの値としてのＤ_m^*をＤ_m^*＝Π_j－Π_i＋ｃ_m,km-1で与える。

Ｄ_m≦0 より－Ｄ_m＝Π_j－Π_i＋ｃ_m,km≧0 であり,単位コストｃ_m,kはｋに関して単調増加であるからＤ_m^*≦－Ｄ_mであるが,もしＤ_m^*＞0 ならｅ_mは基底に入る枝の候補となる。 

同様にｘ_mが上界ｔ_m.kmに等しい場合には,これを下界と見なして,新しいＤ_mの値としてのＤ_m^*をＤ_m^*＝Π_i－Π_j－ｃ_m,km+1で与える。

Ｄ_m≦0 より－Ｄ_m＝Π_i－Π_j－ｃ_m,km≧0 であり,単位コストｃ_m,kはｋに関して単調増加であるから,やはりＤ_m^*≦－Ｄ_mであるが,もしＤ_m^*＞0 ならｅ_mは基底に入る枝の候補となる。 

もし,以上のような操作で得られたＤ_m^*が,なおゼロ以下ならば既に得られている可能木解が求める最小コスト解である。

なぜなら,(3-1)式を,ｍ＝1からＭまで加えた総コストはΣ_m{Σ_k≦km-1ｃ_m,k(ｔ_m,k－ｔ_m,k-1)＋ｃ_m,kmｔ_m,km-1}＋Σ_ｅm∈ＵＤ_mｔ_m,km－Σ_ｅm∈ＬＤ_mｔ_m,km-1＋Σ_nΠ_nｒn－Σ_{￢ｅm∈Ｔ}Ｄ_mΔ_m(3-3)と書けるから,Ｄ_m≦0 によりΔ_m＞0 に対しては既に最小であり,上述の操作による非基底枝の境界を越えるΔ_m＜0 の方向へのｘ_mの変化に対しては,コスト関数を(3-3)式の形に変形した場合,ｘ_mの変化Δ_m^*＝－Δ_m＞0 についても,なお更新されたＤ_mの値Ｄ_m^*が全てゼロ以下となるからである。

しかも,上に示したように,境界を越える区間変更の操作に対して,Ｄ_mあるいはＤ_m^*は必ず非増加であるから,ある操作で全てのＤ_m^*がゼロ以下なら,続く操作でも常にＤ_m^*がゼロ以下という性質が保持される。

こうした説明からは,得られた解が最小コスト解ではなく,極小コスト解であることしか証明されないように見えるが,単位コスト関数が単調でありコスト関数が滑らかな変動をするため,Δ_mの値が大きく境界を越えた場合でも既述の計算式が若干の修正を除いて保持されることを考慮すると,全てのＤ_m^*がゼロ以下という結果が得られた場合,求める最小コスト解が得られたとして良いことがわかる。

一方,Ｄ_m^*＞0 の枝ｅ_mが発見されれば,それを基底に入る枝として新しい暫定的上界,下界,単位コストを設定し,基底から出る枝を選んで通常の主単体更新の手続きを繰り返せば良い。

実際の計算機におけるアルゴリズムも2-3に示した手順に暫定的上界,下界,単位コストを用いるという僅かな変更を行なうだけで容易に拡張することができる。

Ａ.付録　初期可能木解の便利な求め方

　輸送問題において、主要な課題である更新の手続きに関する方法を考察してきたが､実際のアルゴリズムでは(1-1)式と容量制限を満足する初期可能木解(初期極大木)を求めるのも重要な課題である。

本節では、V.Chvatalの方法を参考にして,一般的で簡単かつ便利な初期可能木解の発見方法を紹介する。

まず,もとのＮ個の節点に番号Ｎ＋1のダミーの人為節点を付加し,さらにもとの節点1,2,..,Ｎと,この人為節点を結ぶＮ本のダミーの人為枝ｅ_M+1,ｅ_M+2,..,ｅ_M+Nを付加する。

流量は,全て非負の値にするため,新しい流量変数をｘ_m'≡ｘ_m－Ｌ_m (ｍ＝1,2,..,Ｍ)(A-1)で与え,上界をＵ_m－Ｌ_mとする。

(1-1)より,ｒ_n＝Σ_ｅm∈Ａnｘ_m－Σ_ｅm∈Ｂnｘ_mであるから,新しい供給量ｒ_n'をｒ_n'＝Σ_ｅm∈Ａnｘ_m'－Σ_ｅm∈Ｂnｘ_m'＝ｒ_n－Σ_ｅm∈ＡnＬ_m＋Σ_ｅm∈ＢnＬ_m (ｎ＝1,2,..,Ｎ)(A-2)と変換して,ｒ_N+1'＝0 とおく。

　人為枝ｅ_M+iはｒ_i'＞0 のとき(ｉ,Ｎ＋1)で,ｒ_i'≦0 のとき(Ｎ＋1,ｉ)とする。

また,全ての枝ｅ_mの単位コストをｐ_m(ｍ＝1,2,..,Ｍ,Ｍ＋1,..,Ｍ＋Ｎ)として,ｅ_mが実枝ならｐ_mに 0 を人為枝なら 1 を与えることにより１つの線型輸送問題ができる。

　この最小コスト輸送問題を,もとの問題(主問題と呼ぶ。)に対して補助問題と呼ぶ。

　補助問題をまとめると,次のように表わせる。: 

　条件:Σ_ｅm∈Ａnｘ_m'－Σ_ｅm∈Ｂnｘ_m'＝ｒ_n'(ｎ＝1,2,..,Ｎ,Ｎ＋1) (A-3); 0≦ｘ_m'≦ Ｕ_m－Ｌ_m (ｍ＝1,2,..,Ｍ)(A-4a);0≦ｘ_m'(ｍ＝Ｍ＋1,..,Ｍ＋Ｎ)(A-4b)

　目的:ｚ＝Σ_m=1^M+Nｐ_mｘ_m'(A-5)を最小化する。

　ただし,ｐ_m＝0 (ｍ＝1,2,..,Ｍ)(A-6a)；ｐ_m＝1(ｍ＝Ｍ＋1,..,Ｍ＋Ｎ)(A-6b)である。

補助問題の初期可能木解はＮ個の基底枝を人為枝ｅ_M+1,ｅ_M+2,．．,ｅ_M+Nとして,それらの流量の初期値をｒ_i'＞0 ならｘ_M+i'＝ ｒ_i'(A-7a),ｒ_i'≦0 ならｘ_M+i'＝－ｒ_i'(A-7b)と設定し,Ｍ個の非基底枝ｅ_m(ｍ＝1,2,..,Ｍ)については,流量をｘ_m'＝0 (ｍ＝1,2,..,Ｍ)(A-8)と設定すれば得られる。

２で示した主単体法の更新を,この補助問題に反復適用して,得られた最小コストｚが正の数ならば,もとの主問題は不可能であって可能解は存在しないが,ｚがゼロとなる場合には主問題の可能解が存在する。

以下,ｚ＝0 の場合のみを考える。

補助問題の最小コスト解では,極大木に属する基底枝はＮ本であるから,少なくとも１本の基底枝は人為節点を端点に持つ人為枝である。

人為枝が１本だけの場合は,残りのＮ－1本の基底枝が元の主問題の基底枝となり,主問題の極大木を形成する可能木解がただちに得られる。

補助問題の基底枝の中に人為枝が２本以上ある場合には,ｚ＝0 よりそれらの人為枝の流量は全てゼロであるはずだから,人為枝の代わりに他のゼロ流量の非基底枝を加えてもｚ＝Σｐ_mｘ_m'に対する解としては,同値なものが得られる。

ここでの補助問題の極大木は,いくつかの実基底枝のみから成る部分木群を,人為節点Ｎ＋1を通る２本ずつの人為枝で結びつけたものとなるが,これらの部分木間の流量はゼロであるから,部分木同士を連結するために基底人為枝の代わりに,流量ゼロの適切な非基底枝をおきかえれば,実枝のみを基底とする主問題の極大木が得られるはずである。

ひとたび人為枝を含まない極大木Ｔが得られれば,補助問題の解の一部分である{ｘ_m'}(ｍ＝1,2,..,Ｍ)の各々に{Ｌ_m}の各々を加えることによって初期可能木解{ｘ_m}を求めることができる。

参考文献 

1.     A.I.Ali,R.V.Helgason and S.Lall:”Primal Simplex Network Codes:State-of-the-Art Implementation Technology.”Networks. Vol.8 (1978) pp315-339

2.     V.Chvatal(Ｖ.フバータル：阪田省二郎,藤野和雄,田口 東 訳)「線形計画法」(上)(下)(啓学出版)(1988)

3.     古林 隆:「線形計画法入門」(産業図書)(1980)

※     以上が1991年頃に仕事上で書いた大したこともない数値計算の１論文です。

実は,この頃私は友人と共同で理進ゼミという大学受験塾を始めて,この塾の講師兼経営者とある会社の嘱託社員の掛け持ちをしていました。

この塾の共同経営者で数学と化学担当講師は,本業が東京理科大事務官だったのですが,彼にこの論文とか「次元控除法によるポアソン方程式の解法」とか,その頃書いた論文を自慢げに見せたところ,「どこかのお金持ちたちが,最近もっとつまらない論文で理科大で博士号を取っている。これくらいの内容なら簡単に理学博士が取れるから推薦してあげよう。」と言われました。 

博士号なんて「足の裏の飯の粒」に過ぎないもので,これは「取らないと気持ち悪いが取っても大したことはない。」という例えですが,当時,私は修士号しか持っていないし,取っておけば将来これを使って詐欺師をやるわけではないが,何かの金儲けの種とかの役に立つかもしれない,という色気を出して彼に頼んでみました。

ただ申請が通っても38万円余りの手数料を取られるという話だったので本当かなという疑問も持ちました。

それで論文がこれだけでは少ないかなと思い,この２つに論文ではないけれど「風速と拡散係数が高さのベキの拡散方程式の解析解」という,かつて窒素酸化物総量規制マニュアルに載せる低煙源拡散式＝JEAモデル(環境庁モデル)を作った際に書いた報文と,それを中国人の研究員と役人に説明したときの英文の資料を加え,さらに1976年の修士論文「三重三元クォーク模型の束縛ポテンシャル」および当時指導教官であったＫ助教授と共に書いた「Quark Molecule」という昔の雑誌への投稿論文を加えて提出しました。

結局,教授会まで行ったけど,その最終審査で論文の数が少ない,という理由で却下されたらしいということだったので,ある意味でお金を取られないのでホッとしたという記憶があります。 

そもそも,問題は論文の数ではなくて中味だろうし,内容を読んでもいないし理解もしてないな,などと思いましたが,論文の内容にもそれほど自信がなかったので別にいいかなと思い直しました。

しかし,彼の話だとお金持ちならもっとつまらない論文でもかまわないらしい,ということだったし,私の内容なら間単に取れるということだった(随分話が違う)ので「私学というか,この世界も所詮はお金か」と改めて感じたものです。

もっとも,自慢じゃないけど私は免許とか資格とか"お上から頂くもの"は全て大嫌いなので,それを取ろうとしたこともほとんどなくて,そういうものは卒業証書以外にはありませんから,基本的には生活費の足しになるという理由以外では博士も不要です。

まあ,私も就職してからは,論文やレポートは専門とは程遠い,流体力学関係か数値計算関係のものばかり書いていました。

そういえば1976年の修士論文「三重三元クォーク模型の束縛ポテンシャル」や「Quark Molecule」も,心ならずも私の本当の専門である量子電磁力学(QED)や場の量子論(QFT)におけるカイラル・カレントに関わるWard-Takahashi identityから生ずるAdler-Jackew anomaly,すなわち,トライアングル・アノマリーとは全く異なる題材のものです。

これらは,当時,本当の専門では修士論文の題材が見つからず,仕方なく丁度その頃発見されたJ/ψ粒子(これは後にチャームの発見と同定されました。)がカラー８重項のグルオンの１つではないか,などと推測をした結果であり,もともとは量子力学のシッフの古いアイデアを流用したものです。

つまり,これらはユニタリ群のカシミア演算子の既約表現に対する固有値の関数としてカラー・クォークや反クォークによるＮ体共鳴としての素粒子の質量公式を導くことにより,現在の技術ではエキゾチック粒子がなぜ発見されないか？という理由を群論的に考察したもので,私にとっては専門違いなので不本意なものでした。

(エキゾチック粒子とは,クォークそれ自身やクォーク４体以上のハドロン,あるいはカラー１重項以外の粒子です。)　

なお,「Quark Molecule」については1976年6月の「素粒子論研究」に掲載されています。

まあ,これを読むことが可能な人には実名がばれてしまうけど別に秘密じゃないから,ばれてもいいです。

私が自分の本当の細かい専門であると自認していた分野は,典型的な例としてはπ⁰ → 2γの崩壊確率として観測される量である量子電磁力学の摂動の１次の発散をくりこんだ結果として現われるアノマリーです。

(もしもカレントがカイラルでなければファりィの定理(Furry)によって,１次のような奇数次の摂動の計算結果は常にゼロになります。)

もっとも,これがカラー・クォークに関する話題と全く無関係というわけではありません。

アノマリーの存在はカラー・クォークのカラーが３色しかなく,したがってカラー対称性がユニタリ群としてはＳＵ(3)に限られることの証拠になっています。

また,トフフト(t'Hooft)によって素粒子の理論がこうしたアノマリーからフリーになるためには,クォークのフレーバーとレプトンの世代数が完全に一致しなければならないことも示されています。

こうした重要な事実も,このアノマリーの存在から言えることです。

(2006年５/11の記事「波動関数の位相と電磁場」参照。。)

ところで,素粒子論とか宇宙論とか純理論的なことをやってきても,そうした知識や経験は,それ専門の研究所か大学ではなくて普通の科学計算のシミュレーションやアセスメントをやる程度の民間会社では全然役に立たないのじゃないか,と思われるかもしれませんが,実際にはしっかりと役に立ちました。

まあ,いろいろとあるのですが,典型例としては４次元時空の非ユークリッド幾何学が中心の一般相対性理論でさえ,ちゃんと利用できるということがあります。

つまり,山や谷などの起伏のあるでこぼこの地表面が境界であるような空間領域での気流などを解析する際に,２次元曲面を表わすためにメトリック・テンソルを使うのが非常に有効な手段となり,気体の運動を測地線の方程式のようなもので表現できることがわかります。

無駄話が長くなりましたが,この項目については終わりにします。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

準線形計画法(ネットワーク輸送問題)(２)

続きです。線形輸送問題のアルゴリズムの１例,を具体的に述べます。これはプログラムそのものを記述したものなので,少々冗長で退屈なものです。

実際にプログラムを組む必要がないなら,必ずしも全てを追跡する必要はないと思います。まあこんな感じのものである,ということで眺めてみてください。

2-3.計算機における実際のアルゴリズム

　計算機で実際に輸送問題を解くアルゴリズムの例としてAli,Helgason,Kennington,Lallによるものを紹介しておく。

　まず,節点の１つ：１を根と呼び固定しておく。

節点ｉの深さｄ_iとは,iから単純経路によって根に到るまでの枝の個数である。ｄ₁＝0 と定義する。

節点ｉの先行点ｐ_iとは,ｉから根までの単純経路上にあって,深さが(ｄ_i－1)の節点のことである。ｐ₁＝0 と定義する。

節点ｊは,ｊから根までの間に節点ｉがあるときｉの継続点と呼ばれる。Ｕ_iをｉの全ての継続点の集合とする。

一方,ｆを節点集合Ｖ＝{1,2,..,Ｎ}からＶの上への１対１の写像であるとする。Ｕ_i≠φでｆ(ｊ)＝ｉのとき,{ｆ(ｋ):ｊ＋1≦ｋ≦ｊ＋|Ｕ_i|}＝Ｕ_i (ただし,|Ａ|は有限集合Ａの元の個数)が成立すれば,この写像ｆを１つの継続点配列と呼ぶ。

１つの継続点配列が与えられたとき,節点ｉの糸ｓ_iとは,この配列でｉに続く節点,つまりｆ(ｊ)＝ｉならｆ(ｊ＋1)のことである。配列の最後の糸は根１であると定義する。

ｉに根付く極大木の最後の節点をｎ_iとすると,ｎ_iは次の条件のうちの１つを満足しなければならない。：(ａ)ｓ_ni＝１(ｂ)ｐ_ｓniは節点ｉから根までの道の上にある。

※(注)つまり,ｓ_ni≠１ならｐ_sni≠0 であり,ｓ_niから根までの道の上でのｓ_niの先行点がｐ_ｓniなので,ｐ_ｓniはもちろんｓ_niから根までを結ぶ道の上にある。

　そしてｓ_niはｎ_iから根１までをつなぐ|Ｕ_ni|個の点のうちのｎ_i以外のどれか１つである。

　しかもｎ_iはｉに根付く極大木の最後の節点だからｓ_niはi→ｎ_i→１という道の上にあり,ｐ_ｓniはｓ_ni→１なる道の上にあるから,結局ｐ_ｓniはｉと根１を結ぶ道の上にあることになる。

次にｅ_klがｉとｐ_iを結ぶ枝であるとする。

ｅ_kl＝(ｐ_i,ｉ)のとき,ｍ_i＝ｋ_i ,ｅ_kl＝(ｉ,ｐ_i)のとき,ｍ_i＝－ｋ_ｉ と定義する。ｅ_kl上の流量はα_iで表わすことにする。

基底に入る枝をｅ_φ＝(ｕ,ｖ)とするとき,更新手順は以下の「アルゴリズム１」および「アルゴリズム２」に示す通りである。

(１)アルゴリズム１

① 初期化

ａ. γ₁とγ₂を初期化する。

ｘ_φ＝Ｌ_φならγ₁＝－1,γ₂＝1；

ｘ_φ＝Ｕ_φならγ₁＝1,γ₂＝－1とおく。

ｂ．Δを臨界値としておく。

Δ＝Ｕ_φ－Ｌ_φ とおく。

ｃ.δ₁とδ₂を初期化する。

δ₁＝ｕ,δ₂＝ｖとおく。

② min(ｄ_u,ｄ_v)より大きい深さラベルを持つｕからｖへの部分経路上の最大許容流量変動Δを決定する。

ａ.最大深さラベルを持つ節点から始める。

ｄ_u－ｄ_v＜0 ならｄ＝ｄ_v－ｄ_u ,μ＝2とおく。ｄ_u－ｄ_v＝0 なら③へ進む。ｄ_u－ｄ_v＞0 ならｄ＝ｄ_u－ｄ_v ,μ＝1とおく。

ｂ．δ,γと計数を設定する。

δ＝δ_μ,γ＝γ_μ,ｋ＝1とする。

ｃ.増加流か減少流か？

ｍ_δγ＞0 ならｅへ進む。

ｄ.増加流

Ｕ_|ｍδ|－α_δ＞Δなら,δ＝ｐ_δとしてｆに進む。さもなければ,Δ＝Ｕ_|ｍδ|－α_δ,λ＝δ,δ＝ｐ_δとしてｆに進む。

ｅ.減少流

α_δ－Ｌ_|ｍδ|＞Δなら,δ＝ｐ_δとする。さもなければ,Δ＝α_δ－Ｌ_|ｍδ|,λ＝δ,δ＝ｐ_δとする。

ｆ.δの深さ＝min(ｄ_u,ｄ_v)

ｋ＜ｄならｋ＝ｋ＋1とおきｃに進む。

ｇ. δ_μの再設定

δ_μ＝δとおく。

③ｕからｖへの残りの道の上での最大許容流量変動Δの決定

ａ.道の終わりか？

δ₁＝δ₂なら,ｗ＝δ₁として終了する。さもなければｋ＝1とおく。

ｂ.δのロード

δ＝δ_k とおく。

ｃ.増加流か減少流か？

ｍ_δγ_k＞0 ならｅへ進む。

ｄ.増加流

Ｕ_|ｍδ|－α_δ＞Δなら,δ_k＝ｐ_δとしてｆに進む。さもなければ,Δ＝Ｕ_|ｍδ|－α_δ,μ＝ｋ,λ＝δ,δ_k＝ｐ_δとしてｆに進む。

ｅ.減少流

α_δ－Ｌ_|ｍδ|＞Δなら,δ_k＝ｐ_δとする。さもなければ,Δ＝α_δ－Ｌ_|ｍδ|,μ＝ｋ,λ＝δ,δ_k＝ｐ_δとする。

ｆ.両側を調べたか？

ｋ＝1ならｋ＝2として,ｂへ進む。さもなければａへ進む。

「アルゴリズム１」の終了時には,最大許容流量変動Δ,出る枝ｅ_|ｍλ|が定まり,ｕからｖへの道はｕからｗの道とｖからｗの道によって与えられる。

これに続く更新のアルゴリズムは次の通りである。

(２)アルゴリズム２

① 全更新が必要か否か？

Δ≠Ｕ_φ－Ｌ_φなら③へ進む。

②更新流の再設定

ａ.閉路に対する初期設定

δ₁＝ｕ,δ₂＝ｖ,ｋ＝1とする。

ｂ.枝ｅ_φの流量更新

ｘ_φ＝Ｕ_φならｘ_φ＝Ｌ_φとする。さもなければｘ_φ＝Ｕ_φとする。

ｃ.パラメータの初期化

δ＝δ_k,γ＝γ_kΔとおく。

ｄ.節点かｗか？

δ＝ｗならｈへ進む。

ｅ.増加流か減少流か？

ｍ_δ＞0 ならβ＝1,ｍ_δ＜0 ならβ＝－1とおく。

ｆ.更新流の再設定

α_δ＝α_δ－γβとおきかえる。

ｇ.次の先行点

δ＝ｐ_δとしｄに進む。

ｈ.ｋ＝1ならｋ＝2とおきｃに進む。さもなければ終了する。

③初期化

ａ.双対変数の変更

σ＝Ｄ_φとおく。

ｂ.入る枝の更新流量は？

ｘ_φ＝Ｕ_φなら,Δ'＝Ｕ_φ－Δ,σ＝－σとする。さもなければ,Δ'＝Ｌ_φ＋Δとする。

C.ｑ,ｑ'の初期化

μ＝1ならｑ＝ｕ,ｑ'＝ｖ,ε＝－φ,σ＝－σとする。さもなければｑ＝ｖ,ｑ'＝ｕ,ε＝φとする。

ｄ.ｉ,ｊ,γの初期化

ｉ＝ｑ,ｊ＝－ｐ,γ＝γ_kΔとおく。

ｅ.λの先行点のセーブ

λ'＝ｐ_λとしておく。

ｆ.ｑ'の深さラベルをセーブ

Ｆ＝ｄ_q'＋1としておく。

④ｉにおける双対変数、流量、枝ラベルの更新

ａ.双対変数の更新

Π_i＝Π_i＋σとおく。

ｂ.流量のセーブ

α'＝α_iとしておく。

ｃ.流量の更新

α_i＝Δ'とする。

ｄ.流れの方向のセーブ

ｍ_i＞0 ならβ＝1, ｍ_i＜0 ならβ＝－1とおく。

ｅ.枝のセーブ

ｍ＝|ｍ_i|と枝番号をセーブする。

ｆ.枝ラベルの更新

ｍ_i＝εとする。

ｇ. ｉの深さｄ_{i ,}およびＦとｄ_iの差をセーブする。

Ｆ'＝ｄ_i,Ｌ＝Ｆ－ｄ_iとしておく。

ｈ. ｉの深さの更新

ｄ_i＝Ｆとする。

⑤ｉの最後の継続点を決定し,双対変数と深さラベルを更新する。

ａ. ｉから始める。

ｚ＝ｉ,ｘ＝ｓ_iとおく。

ｂ. ｘは１つの継続点か否か？

ｄ_x≦Ｆ'なら⑥へ進む。

ｃ.双対変数とｘの深さの更新

Π_x＝Π_x＋σ,ｄ_x＝ｄ_x＋Ｌと更新する。

ｄ.続く糸

ｚ＝ｘ,ｘ＝ｓ_xとしてｂへ進む。

⑥節点ｉに対して,その"逆糸＝親"を発見する。

ａ. ｊから始める。

ｒ＝ｊとおく。

ｂ. ｒは逆糸か？

ｓ_r＝iならば⑦へ進む。

ｃ.続く糸

ｒ＝ｓ_rとしてｂに進む。

⑦先行点順列と糸の更新

ａ.最終更新か？

ｉ＝λならｉに進む。

ｂ. ｊに対する更新流量の決定

Δ'＝α'－γβとおきかえる。

ｃ. ｊの枝ラベルを決める。

ε＝－βｍとする。

ｄ. ｒとｚの糸の更新

ｓ_r＝ｘ,ｓ_z＝ｊとおく。

ｅ. ｉをセーブする。

ｒ＝ｉとおく。

ｆ. ｉの更新

ｉ＝ｊとおく。

ｇ. ｊの更新

ｊ＝ｐ_jとおく。

ｈ. ｉの先行点の更新

ｐ_i＝ｒ,Ｆ＝Ｆ＋1として④へと進む。

ｉ. ｒとｚの糸の更新

ｓ_r＝ｘ,ｓ_z＝ｓ_q'とする。

ｊ. ｑ'の糸の更新

ｓ_q'＝ｑとする。

ｋ. ｑの先行点の更新

ｐ_q＝ｑ'とする。

⑧ｑ'からλ'までの道の上の流量の更新

ａを次のように変えてｂを削除することを除いて②と同じである。

ａ.閉路に対する設定

μ＝1ならδ₁＝λ',δ₂＝ｑ',ｋ＝1とおく。さもなければ,δ₁＝ｑ',δ₂＝λ',ｋ＝1とおく。

以上である。

※     ここまでが,既存の「線型コスト関数に対する輸送問題のアルゴリズム」の１例です。今回はここまでにして,次回は「準線型コスト関数」に対するオリジナルな内容を述べる予定です。

参考文献

1.     A.I.Ali,R.V.Helgason and S.Lall:”Primal Simplex Network Codes:State-of-the-Art Implementation Technology.”Networks. Vol.8 (1978) pp315-339

2.     V.Chvatal(Ｖ.フバータル：阪田省二郎,藤野和雄,田口 東 訳)「線形計画法」(上)(下)(啓学出版)(1988)

3.     古林 隆:「線形計画法入門」(産業図書)(1980)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

準線形計画法(ネットワーク輸送問題)(１)

　書類の整理をしていたところ,昔1991年頃に２番目の会社での社員時代に書いた未発表の数値計算に関する私の論文が見つかったので,それを紹介したいと思います。

これは,当時仕事上で,ある水道局の上水道について圧力損失が最小となるようなネットワークを構成する方法を開発してプログラム化する必要があって,その過程で書いたものです。 

こうしたことについて,当時私は全くの素人だったので,まず,線型計画法の専門書を数冊読みました。

その後,結局,線型問題ではなくて,より実際に近い近似的に２次の問題である準線形な"輸送問題＝最小コスト問題"を解くための当時オリジナル？と思われる"方法＝アルゴリズム"を自力で思いつき,それの論文を書いて某大手の中央研究所に収めました。

ネットワーク自体については,学生時代に専門の量子電磁力学(QED)や場の量子論で摂動計算を行なう必要があり,ファインマン・ダイアグラムを用いて具体的にＳ行列要素の摂動の２次や４次のグラフの計算をしたり,また,そうしたネットワークのグラフの解析性や構造を論じたりしたことはありました。

特にファインマン(Feynman)やダイソン(Dyson)らのくり込み理論においてグラフのツリー構造や"閉路＝ループ"の構造と摂動における運動量積分の発散の次数の関係を求めることにより,くり込み可能性を考察する上で様々なネットワーク・グラフの構造を調べた経験があります。

また,独学ですが主に線形素子から成る直流や交流の電気回路の理論においても,回路グラフなどを学習したことがあります。

それらはこの理論のネットワークとも共通した話なので,この理論には比較的違和感がなく入れました。

当時,本論文の方法を用いて実際にFortranでプログラムを組みましたが,これ自体の内容をプログラムするのは,そもそもこの論文がアルゴリズムの手順を書いたものですから,決して難しいものではありませんでした。

しかし,そのプロセスとして,いろいろな場合を想定して場合分けをする必要性があり,そのために順列,あるいは組合わせの全てを尽くす,という問題が生じました。

これは通常の数学の問題としては高校でも習う単純なものですから,最初は安易に考えていました。

しかし,実際にそれをプログラムにするためにアルゴリズム化しようとしたとき,非常に複雑な問題であることに気付き,結局,このプログラムを完成させるために,本質的内容には関係ないその部分でとても苦労した覚えがあります。 

もちろん,あらゆる場合についてネットワークのコストを全て計算して最小値を求めるというのでは,何の工夫もなく(非)線型計画法など全然必要ないわけですが,(非)線型計画法をうまく利用しても,なおかつ,かなりの場合分けが必要でした。

そして,実際,この順列,あるいは組合わせを尽くす,というプロセスのためには膨大な計算時間を必要とするので,当時利用できた今よりメモリーが少なく,ディスクのサイズも小さくて,CPUによる演算スピードも遅いコンピュータでは,計算時間がかかり過ぎる,というネックがありました。

プログラムの使用メモリ－のサイズを小さくしたり,計算時間を短縮したりするために,さらにいろいろと工夫した覚えがあります。

その後まもなく,私はその会社もやめたので,以後そのプログラムがどうなったかは知りません。 

論文のほうは,原理的には,これをプログラミングすることが可能であることを述べたものです。

私のやる仕事の特徴なのですが,ある意味で"理屈だけでくその役にも立たない"と言われるものの部類に属しています。

つまり,アルゴリズムであるにも関わらず,実用的であるというよりも単に理論的な意味しか持たないかも知れません。 

　論文の正確な表題は「準線形コスト関数を最小化する特殊なネットワーク輸送問題を解決するアルゴリズム」です。以下に論文をそのまま写します。

                        Abstract

Resently,because of the development in linear planning methods and the utility of digital computers with high efficiency, the techniques for solving the problems of minimizing network flow costs have been successfully developed by many investigators.

Most of these studys is due to the primal simplex algorithms.

In this paper,we modify the ordinary primal simplex method to apply the minimal cost network flow problems with more complex cost fuctions that increases with network flow amount on each arc.

1.     序文 

ネットワーク輸送問題,あるいは最小コスト問題は一般的な線型計画問題とは別に,通常の方法で線型方程式を解くことなく解ける問題であるという意味で,線型計画法の特殊な１分野として多くの研究者によって独立に研究されてきている。

もちろん,原理的には一般的な線型計画問題の直接的な応用として解くこともできるが,変数が多いときには輸送問題特有の方法を用いた方が、計算の簡略化,短時間化等でははるかに効率的であって,時間的,コスト的に非常に有利である。 

輸送型の問題としては,単純にＭ個の積み出し地からＮ個の目的地へ製品を輸送するのに必要な最小コストを求めるという,ヒッチコック型の問題が有名である。

しかし,本論文では,需要,供給を与えるＮ個の節点と,これらを任意に連結する独立のコストを持ったＭ個の枝から成る全く一般的な問題を扱うことにする。

各枝ｅ_m＝(ｉ,ｊ)は,節点ｉから節点ｊへの向きを持った流れを持つとする。(ｍ＝1,2,..,Ｍで,ｉ,ｊは1,2,..,Ｎの選ばれた異なる２つの番号である。)

これらの枝の集まりの全てが,実際に輸送可能な全てのルートを表わしている。一方,各節点ｎ(ｎ＝1,2,..,Ｎ)は付随する量ｒ_nを持つ。

ｒ_n＞0 ならｎはｒ_nに等しい供給を与える供給点である。ｒ_n＜0 ならｎは－ｒ_nに等しい需要を与える需要点である。またｒ_n＝0 ならｎは中間点である。つまり,ｒ_nは節点ｎにおける代数的供給量である。

任意の枝ｅ_m＝(ｉ,ｊ)を通過する流れがあるとき,単位流量当たりのコストがｃ_mであるとする。

このとき,最小コスト輸送問題とは,与えられた需要,供給と各枝の容量制限に合致しながら,輸送コストの合計を最小とするために,どの枝を用いて,それら各枝の流量をどのように決定するか？ということを定める問題である。

これらを数式化すると次のようになる。 

各節点ｎに対し,ｎから出て行く枝の集合をＡ_n,ｎに入ってくる枝の集合をＢ_nとするとき,各節点ｎ(ｎ＝1,2,..,Ｎ)に対して,Σ_ｅm∈Anｘ_m＝Σ_ｅm∈Bnｘ_m＋ｒ_n(1-1)が成立しなければならない。

ここに,ｘ_mは枝ｅ_m上の流量である。ｘ_mに適当な大きさの制限がある場合には,その制限式も付加する必要がある。

これらの条件の下で,最小コスト問題はΣ_m=1^Mｃ_mｘ_m(1-2)が最小の値を取ることを要求する。

ここでは,大前提として総需要と総供給の収支のバランスがとれているとする。つまり,Σ_n=1^Nｒ_n＝0 (1-3)と仮定する。

そうでない場合は,適切な需給を持ったダミー終点と各節点からこのダミー終点へのコストゼロの枝群を加えることで,需給バランスのとれているケースに帰着できるので,以下Σ_n=1^Nｒ_n＝0　とする。

　以下では,まず既存の主単体法によって,単純な線型コスト関数を持ち,各枝の流量に上界と下界のある場合の輸送問題を解くアルゴリズムの１例を紹介する。

　次に,本論文の主旨であるところの各枝の流量値の絶対値に依存して増加する単位コスト値を持ち,近似的に流量の２次関数型をした準線型コスト関数を持つ輸送問題へとそのアルゴリズムを拡張する。 

2-1.木と可能木解

①節点ｕとｖの間の道とは,節点ｗ₁,ｗ₂,..,ｗ_kと枝ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_k-1から成るネットワークで,ｕ＝ｗ₁,ｖ＝ｗ_k かつ枝ｅ_iの両端点がｗ_i,ｗ_i+1であるようなものである。

②閉路とは,道に始点と終点を結ぶ枝を１つ加えてできるネットワークである。 

③全ての節点の間に道があるとき,ネットワークは連結であるという。 

④木とは,連結でかつ閉路を含まないネットワークのことである。 

⑤ネットワーク{1,2,..,Ｎ}の"全ての節点を含む木":Ｔを問題としているネットワークの１つの極大木という。

　極大木はＮ－1個の枝を持ち,木に属さない枝の流量を勝手に決めることにより,条件(1-1)を満足する{ｘ_m}の組が決まる。

⑥可能木解とは,極大木Ｔに対応する可能解である。

　つまり、枝ｅ_mに対しＬ_mをその流量の下界,Ｕ_mを流量の上界とするとき,ｅ_mがＴに属さないならｘ_m＝Ｌ_m,またはｘ_m＝Ｕ_mであって,全てのｎについて,条件(1-1)を満足する{ｘ_m}の組(ｍ＝1,2,..,Ｍ)をＴに対する可能木解という。

⑦可能木解が得られたとき,全ての枝のうちで可能木解に対応する極大木に含まれるものはＮ－1本であり,これらの枝を基底という。

　極大木に含まれない枝を非基底という。

2-2.双対変数Π_nの決定と基底に入る枝の選択

　求めるアルゴリズムに到る最初のステップは,各節点ｎに対する双対変数 Π_nとして全ての基底枝ｅ_m＝(ｉ,ｊ)に対し,Π_j＋ｃ_m＝Π_i(2-1)となるような変数:{Π_n}(ｎ＝1,2,..,Ｎ)の組を計算することである。

　Ｎ個の変数Π_nに対し,(2-1)はＮ－1個の方程式系なので,解に定数だけの任意性があるため,例えばΠ_Ｎ＝0 と仮定して極大木の枝に沿って次々にΠ_nを決めることができる。

　次に,ｅ_m＝(ｉ,ｊ)が非基底枝の場合(すなわちｅ_mがＴに属さない場合:￢ｅ_m∈Ｔ)には,ｘ_m＝Ｌ_mのときＤ_m＝Π_i－Π_j－ｃ_mとおき,これらの枝の集合をＬ,ｘ_m＝Ｕ_mのときＤ_m＝Π_j－Π_i＋ｃ_mとおき,これらの枝の集合をＵとする。

　ただしＬ_m＝Ｕ_mのときには,どちらか一方を適当に選ぶ。

　このとき,全てのＤ_mがＤ_m≦0 を満足するなら,現在の可能木解が求める最小コスト解の１つである。

　なぜなら,Σ_ｅm∈Anｘ_m＝Σ_ｅm∈Bnｘ_m＋ｒ_n (1-1)の条件を満たしながら,非基底についてｘ_m＝Ｌ_m＋Δ_m,またはｘ_m＝Ｕ_m－Δ_m (Δ_m＞0)とｘ_mを変化させたとき,(それによって基底のｘ_mは自動的に変化する。)

Σ_ｅm∈T(Π_j－Π_i＋ｃ_m)ｘ_m＝0 だから,総コストは,Σ_m=1^Mｃ_mｘ_m＝Σ_m=1^M(Π_j－Π_i＋ｃ_m)ｘ_mm＋Σ_m=1^M(Π_i－Π_j)ｘ_m＝Σ_ｅm∈T(Π_j－Π_i＋ｃ_m)ｘ_m＋Σ_￢ｅm∈T(Π_j－Π_i＋ｃ_m)ｘ_m＋Σ_iΠ_iΣ_ｅm∈Aiｘ_m－Σ_jΠ_jΣ_ｅm∈Bjｘ_m＝Σ_￢ｅm∈T(Π_j－Π_i＋ｃ_m)ｘ_m＋Σ_nΠ_n(Σ_ｅm∈Aiｘ_m－Σ_ｅm∈Bjｘ_m)＝Σ_ｅm∈UＤ_mＵ_m－Σ_ｅm∈LＤ_mＬ_m＋Σ_nΠ_nｒ_n－Σ_￢ｅm∈TＤ_mΔ_m (2-2)

　そこで,全てのＤ_mがＤ_m≦0 のとき,任意の非基底ｅ_m上のΔ_m＞0 の変化に対して,Σｃ_mｘ_mは現在の状態より必ず非減少となるため,現在の可能木解が１つの最小コスト解となる。

　したがって,逆にＤ_m＞0 の枝ｅ_mがあれば,容量制限を越えることなくｘ_mを変化させることができる場合には,その変化によってコストは必ず減少する。

　つまり,ゼロより大きいＤ_mを持つ枝は基底に入る枝の候補である。

　ところで,Ｄ_m＞0 に対応する基底に入る枝を１つ決めて極大木に付加すると,その時点で１つの閉路ができてしまう。

　基底に入る枝ｅ_mの流量ｘ_mの変化を±Δとすると,Δ＞0 が大きいほどコストの減少は大きいわけであるが,ｘ_mの±Δだけの変化に対して閉路内の基底枝の全てがそれぞれ±Δずつ変化するときに限って,(1-1)式のΣ_ｅm∈Anｘ_m＝Σ_ｅm∈Bnｘ_m＋ｒ_nが満足される。

閉路に属する全ての基底についての容量制限Ｌ_m≦ｘ_m≦Ｕ_m(ｅ_m∈Ｔ)を満足しつつ,最大の値となるようにΔの値を定めることができる。

それにつれて,ｘ_m＝Ｌ_m,またはｘ_m＝Ｕ_mとなって,基底から出て非基底となる１つの枝が得られる。

こうして新しい極大木と可能木解が得られる。

入る枝に対してＤ_m＞0 ,出る枝に対してＤ_m＝0 であるから,このプロセスでコストは減少する。

そこで今度は,再び双対変数 Π_nを更新しなければならない。この手順は次の通りである。

Ｔに入る枝をｅ_φ,Ｔから出る枝をｅ_ψとすると,新しい極大木はＴ＋ｅ_φ－ｅ_ψと書ける。

Ｔ＋ｅ_φ－ｅ_ψから枝ｅ_φを除いたネットワーク(Ｔ＋ｅ_φ－ｅ_ψ)－ｅ_φ＝Ｔ－ｅ_ψは,枝ｅ_φの端点を１つずつ含む２つの互いに素な木から成る。

ｅ_φ＝(ｕ,ｖ)のとき,節点ｕを含む木をＴ_u,ｖを含む木をＴ_vとする。

ｅ_φの単位コストがｃ_φなら,σ＝Π_v－Π_u＋ｃ_φとおいて既知のΠ_nから更新されたΠ_nの値Π_n^*を次式によって求める。

Π_n^*＝Π_n＋σ(ｎ∈Ｔ_u),Π_n^*＝Π_n (ｎ∈Ｔ_v)(2-3)である。

これらが更新の手続きである。

以下,全てのＤ_mがゼロ以下になるまで上の手順を反復すればよい。

※今日はここまでにして続きは後日にします。

参考文献

1.A.I.Ali,R,V.Helgason and H.S.Lall:"Primal Simplex Network Codes:State-of-the-Art Implementation Technology." Networks.Vol.8(1978) pp315-339

2.V.Chvatal(Ｖ.フバータル；阪田省二郎,藤野和雄,田口 東 訳)「線形計画法」(上)(下)(啓学出版)(1988)

3.古林 隆：「線形計画法入門」(産業図書)(1980)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

ブラウン運動と伊藤積分(９)

　次のステップとして確率積分という主題に移ります。 

以下では,フィルター付確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ;Ｆ_t)はＦ_tが右連続であり,かつ次の条件を満たしているものとします。すなわち,Ｎ≡{Ａ∈Ω｜∃Ｂ∈Ｆ：Ａ⊂Ｂ,Ｐ(Ｂ)＝0}⊂Ｆ₀ であるとします。

Ｍ₂(0,Ｔ)≡{Ｍ：Ｅ[|Ｍ_T|²]＜∞;{Ｍ_t}_t∈[0,T]は右連続マルチンゲール},Ｍ_2,c(0,Ｔ)≡{Ｍ∈Ｍ₂(0,Ｔ)：{Ｍ_t}_t∈[0,T]は連続}と置きます。

また,特にσ-加法族の増大系Ｆ_tを強調する場合には,Ｍ₂(0,Ｔ;Ｆ_t),Ｍ₂(Ｆ_t),Ｍ_2,c(0,Ｔ;Ｆ_t),Ｍ_2,c(Ｆ_t)のように表わします。

(系7.6)によれば,∀Ｍ∈Ｍ_2,cに対し,ある＜Ｍ＞∈Ａ_＋,cがあって,Ｍ_t²－＜Ｍ＞_tはマルチンゲールになっています。

Ｍ∈Ｍ_2,cに対してＬ₂(0,Ｔ;＜Ｍ＞)≡{φ:φは発展的可測でＥ[∫₀^Tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]＜∞},Ｌ₂(＜Ｍ＞)≡{φ:φは発展的可測でＥ[∫₀^Tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]＜∞,∀Ｔ}とおきます。