揺動散逸定理

　非平衡統計熱力学の１過程としてブラウン運動などに関わる揺動散逸定理(fluctuation dissipation theorem)について述べてみます。

　この定理は誰が起源なのかよく知らないのですが,日本では線型応答理論の一環として統計物理学の重鎮であった久保亮五先生などが関わっていたと記憶しています。

　一般に,ある物理量(示量変数の組):ａ＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)があって,エントロピーＳがａの関数であるとき,系の時間発展はａに対する１階微分方程式で表現されて,それはｄａ_i/ｄｔ＝(ｄａ_i/ｄｔ)_rev＋(ｄａ_i/ｄｔ)_irrのように,可逆な部分(ｄａ_i/ｄｔ)_revと不可逆な部分(ｄａ_i/ｄｔ)_irrの和として与えられます。

　そして,可逆部分はさらに,(ｄａ_i/ｄｔ)_rev＝Σ_j{ａ_i,ａ_j}(∂Ｓ/∂ａ_j)という構造を持つとします。

　ここで,{Ｘ,Ｙ}はポアソン括弧のように,{Ｙ,Ｘ}＝－{Ｘ,Ｙ}という反対称性を持ち,{Ｘ,ｆ}＝Σ_j{Ｘ,ａ_j}(∂ｆ/∂ａ_j)という性質で規定される量であるとします。

こう定義すると,(ｄＳ/ｄｔ)_rev＝Σ_i(∂Ｓ/∂ａ_i)(ｄａ_i/ｄｔ)_rev＝Σ_iΣ_j(∂Ｓ/∂ａ_i){ａ_i,ａ_j}(∂Ｓ/∂ａ_j)＝{Ｓ,Ｓ}＝0 となって,可逆過程ではエントロピーは生成されないことになります。

実際には,断熱可逆変化か,あるいは可逆であって,かつサイクルである場合以外なら,可逆過程でもエントロピーの変化はありますから,これはどう解釈すべきなんでしょうか？

ｄａ_i/ｄｔ＝(ｄａ_i/ｄｔ)_rev＋(ｄａ_i/ｄｔ)_irrは"可逆な部分と不可逆な部分の和である。"というよりもむしろ,"エントロピー非生成部分とエントロピー生成部分の和である。"と事実のままを述べた方がいいのかもしれません。

一方,不可逆部分については現象論的に(ｄａ_i/ｄｔ)_irr＝Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)と表わすことにします。

というのは,ａ_jが示量変数のとき∂Ｓ/∂ａ_jは示強パラメータであり,平衡の近傍では不可逆部分は示強パラメータ,あるいはその空間勾配に比例して進行するからです。

実際,問題としている系を局所平衡状態にある部分系の集まりと考えると,それぞれの部分系の物質密度をρ,単位質量当たりのエントロピーをｓとしたとき,エントロピー密度(ρｓ)の変化は,一般に熱力学の関係式により示強パラメータＦ_iと示量変数ａ_iによって,ｄ(ρｓ)＝Σ_iＦ_iｄａ_iと表わされます。

この表式では確かに示強パラメータは,Ｆ_i＝(∂Ｓ/∂ａ_j)/Ｖと表わされています。

そして今,対象としている系が隣り合う２つの部分系Ａ,Ｂだけから成るとし,Ａ,Ｂが等しい体積Ｖを持つとするとき,各部分系のエントロピーＳ＝Ｖρｓは,Ｘ_i＝Ｖａ_iの関数であると考えられます。

今,Ａ,Ｂのエントロピーを,それぞれＳ^A,Ｓ^Bとし,Ｘ_iがＡからＢにΔＸ_i＝ＶΔａ_iだけ移動するとします。

Ｘ_iが系全体では保存する量であって,初めＡにはＸ_iがＸ_i^AだけＢにはＸ_i^Bだけあったとすると,ＡからＢへのΔＸ_i＝ＶΔａ_iの移動による系全体のエントロピーＳの増分は,ΔＳ＝Ｓ^A(Ｘ_i^A－ΔＸ_i)＋Ｓ^B(Ｘ_i^B＋ΔＸ_i)－[Ｓ^A(Ｘ_i^A)＋Ｓ^B(Ｘ_i^B)]～Σ_i(－∂Ｓ/∂Ｘ_i^A＋∂Ｓ/∂Ｘ_i^B)ΔＸ_i＝Σ_i(－Ｆ^A_i＋Ｆ^B_i)ΔＸ_iとなります。

ここでＦ^A_i,Ｆ^B_iはそれぞれ部分系Ａ,ＢにおけるＦ_iの値を表わしています。

系全体を孤立系と考えると熱力学第二法則によって,ΔＳ＞0 でなければならないので,１つの示量変数Ｘ_i＝Ｖａ_iのみに着目してＡからＢへと微小量ΔＸ_i＞0 の移動が起こるためには,示強パラメータＦ_iについてはＦ^B_i＞Ｆ^A_iであることが必要になります。

このことから,示量変数Ｘ_i＝Ｖａ_iが保存量のときはＸ_iの輸送を引き起こす駆動力となるのは示強パラメータＦ_iの空間勾配であると考えられます。

また,示量変数Ｘ_i＝Ｖａ_iが非保存量のときはΔＳ＝Σ_iＦ_iΔＸ_iにおいてＦ_i＝(∂Ｓ/∂ａ_i)/Ｖ＞0 ならば,ΔＸ_i＝ＶΔａ_i；Δａ_i＞0 なる変化が不可逆過程として進行し得ます。

つまり,一般にｄＳ＝Σ_iＦ_iｄａ_i,Ｆ_i＝(∂Ｓ/∂ａ_i)と書けますが,量ａ_kが保存量のとき,その保存方程式は∂ａ_k/∂ｔ＋∇Ｊ_k＝0 であり,その流れＪ_kは一般にＪ_k＝Σ_jＬ_kj∇Ｆ_jと,示強的な量Ｆ_j＝(∂Ｓ/∂ａ_j)の勾配を駆動力とする形に表わされます。

そこで,ａ_k'≡ａ_kｒとおくと,Ｊ_k＝ａ_kｖ＝ａ_k(ｄｒ/ｄｔ)ですから,ｄａ_k'/ｄｔ＝ｄ(ａ_kｒ)/ｄｔ～Ｊ_k＝Σ_jＬ_kj∇Ｆ_j＝Σ_jＬ_kj∇(∂Ｓ/∂ａ_j)です。

そこで,もしもＳがａ_jの１次関数なら,∇(∂Ｓ/∂ａ_j)～∂Ｓ/∂ａ_j'となり,示量変数ａ_k'の求める時間発展の形式ｄａ_k'/ｄｔ＝Σ_jＬ_kj(∂Ｓ/∂ａ_j')が得られます。しかし正直なところかなり苦しいです。

こうして,はっきりと証明されたわけではないのですが,現象論的発展方程式はｄａ_i/ｄｔ＝{ａ_i,Ｓ}＋Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)と表わされるとします。

これは非平衡な初期条件から平衡状態への緩和を表わしています。

そこでａ(ｔ)の時間発展は初期条件ａ(0)＝ａに対してａ_i(ｔ)＝ａ_i＋ｔ[{ａ_i,Ｓ}＋Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)]＋..で与えられます。

平衡状態においても,一般に巨視的な物理量ａ＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)はゆらいでいます。たまたま,ある時刻にａ(ｔ)がａ(ｔ₀)＝ａという値をとったとして,その後の時間発展を観測します。

ａ(ｔ₀＋ｔ)は初期時刻ｔ₀によってさまざまな値を取りますが,それらの平均を取ったものも現象論的発展と同じになるとします。

すなわち,初期条件ａ(ｔ₀)＝ａが与えられると短い時間では平均的に＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)＞_{ａ(ｔ0)=ａ}＝ａ_i＋ｔ[{ａ_i,Ｓ}＋Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)]となると仮定します。これを線型減衰の仮定と呼びます。

平衡状態におけるゆらぎの時間相関関数＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞を求めるには＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)＞_{ａ(ｔ0)＝ａ}に初期値ａ_k(ｔ₀)＝ａ_kを掛けてａ_kの分布について平均すればいいので,ｔ≧0 に対して＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eq＝＜＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)＞_{ａ(ｔ0)=ａ}ａ_k＞_eq ＝＜ａ_iａ_k＞_eq＋ｔ[＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq＋Σ_jＬ_ij＜(∂Ｓ/∂ａ_j)ａ_k＞_eq]となります。

平衡状態におけるゆらぎに対するボルツマン・アインシュタインの原理,つまり,ボルツマンの原理Ｓ＝k_BlnＷから,逆に微視的状態数ＷがＷ(ａ)＝exp[Ｓ(ａ)/ｋ_B]と書ける,ことを用います。

全状態数をＷとしたときにＷ(ａ)/Ｗが変数ａの状態が実現する確率となりますから,平衡状態での関数ｆ(ａ)の平均値は＜ｆ(ａ)＞_eq＝(1/Ｗ)∫ｄａ₁..ｄａ_nｆ(ａ)exp[Ｓ(ａ)/ｋ_B]で与えられます。

そこで,＜(∂Ｓ/∂ａ_j)ａ_k＞_eq＝∫ｄａ₁..ｄａ_n(∂Ｓ/∂ａ_j)ａ_kexp[Ｓ(ａ)/ｋ_B]＝－ｋ_Bδ_kjとなります。

したがって,＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eq＝＜ａ_iａ_k＞_eq＋ｔ[＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq－ｋ_BＬ_ik]となりますが,右辺の{ａ_i,Ｓ}はｄａ_i/ｄｔの可逆部分です。

ところが,平衡状態では物理量の任意の関数は可逆変化では変化しないので,＜{ｆ(ａ),Ｓ}＞_eq＝0 です。もっともこれはその現象論の範囲で厳密に証明できるわけではないので仮説として導入するわけです。

そして,この式でｆ(ａ)＝ａ_iａ_kを代入すると,＜ａ_j{ａ_iδ_jk,Ｓ}＋ａ_j{ａ_iδ_ijａ_k,Ｓ}＞_eq＝0 :すなわち＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq＝－＜ａ_i{ａ_k,Ｓ}＞_eqが得られます。

そこで、物理変数ａ_i,ａ_kの時間反転対称性に関して次の２つの場合を考えます。：

(Ⅰ)変数ａ_i,ａ_kが共に時間反転に対して対称である場合

このときは＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eq＝＜ａ_i(ｔ₀－ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eqです。さらに平衡状態の定常性から物理量の時間相関は時間差のみに依存しｔ₀には依存しないので＜ａ_i(ｔ₀－ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eq＝＜ａ_i(ｔ₀)ａ_k(ｔ₀＋ｔ)＞_eqです。

以上から,＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eq＝＜ａ_i(ｔ₀)ａ_k(ｔ₀＋ｔ)＞_eqが得られます。

そこで両辺に線型減衰の仮定を適用すると,＜ａ_iａ_k＞_eq＋ｔ[＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq－ｋ_BＬ_ik]＝＜ａ_iａ_k＞_eq＋[＜{ａ_k,Ｓ}ａ_i＞_eq－ｋ_BＬ_ki]となるはずです。

これが実際に成り立つためには,＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq＝＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eqかつＬ_ik＝Ｌ_kiが満たされなければなりません。

前者は＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq＝－＜ａ_i{ａ_k,Ｓ}＞_eqと組み合わせると＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq＝＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq＝0 となります。要するに,ａ_i,ａ_kが共に時間反転に対して対称ならば,その時間微分{ａ_k,Ｓ},{ａ_i,Ｓ}は明らかに時間反転に対して反対称となりますから,時間反転対称なａ_iやａ_kとの積は平衡状態ではゼロとなることを表現しています。

(Ⅱ) 時間反転に対して変数ａ_iが反対称でａ_kが対称の場合

このときは＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eq＝－＜ａ_i(ｔ₀－ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eqです。そこで(Ⅰ)と同様に考えて＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eq＝－＜ａ_i(ｔ₀)ａ_k(ｔ₀＋ｔ)＞_eqとなります。

したがって線型減衰の式から＜ａ_iａ_k＞_eq＋ｔ[＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq－ｋ_BＬ_ik]＝－＜ａ_iａ_k＞_eq－ｔ[＜{ａ_k,Ｓ}ａ_i＞_eq－ｋ_BＬ_ki](ｔ≧0)ですが,これが成り立つためには＜ａ_iａ_k＞＝0 でかつＬ_ik＝－Ｌ_kiが満たされなければなりません。

かくして,変数ａ_i,ａ_kが同じ時間対称性を持つときにはＬ_ik＝Ｌ_ki, 反対の時間対称性を持つときにはＬ_ik＝－Ｌ_kiとなります。

さらに係数Ｌ_ikが時間反転に対して反対称な外部パラメータＡ(Ａは例えば磁場Ｂや速度ｖ)に依存するときには,それぞれＬ_ik(Ａ)＝Ｌ_ki(－Ａ),Ｌ_ik(Ａ)＝－Ｌ_ki(－Ａ)となります。

発展方程式の不可逆部分を熱力学的力∂Ｓ/∂ａで表現する輸送係数Ｌ_ijについての上述の対称性をオンサーガーの相反定理と呼び,この係数Ｌ_ikをオンサーガー係数と呼びます。

さらに発展方程式の不可逆部分はエントロピー生成をするという熱力学第二法則の要請から係数行列(Ｌ_ij)は正値行列です。

なぜなら,ｄＳ/ｄｔ＝(ｄＳ/ｄｔ)_irr＝Σ_i(∂Ｓ/∂ａ_i)(ｄａ_i/ｄｔ)_irr＝Σ_iΣ_j(∂Ｓ/∂ａ_i)Ｌ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)＞0 となるべきことが要求されますが,(∂Ｓ/∂ａ_i)はベクトルとして任意の値を取ると考えてよいからです。

平衡状態での巨視的変数の現象論的な発展方程式がｄａ_i/ｄｔ＝{ａ_i,Ｓ}＋Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)で与えられるので,必然的に存在する"ゆらぎ＝揺動あるいは雑音"Ｒ_i(ｔ)の存在を考慮すると,ａの時間発展は一般的な確率微分方程式ｄａ_i/ｄｔ＝{ａ_i,Ｓ}＋Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)＋Ｒ_i(ｔ)で表わされると考えられます。

ここで通常はゆらぎＲ_i(ｔ)は完全にランダムであり＜Ｒ_i(ｔ)＞＝0 ,＜Ｒ_i(ｔ)Ｒ_j(ｔ')＞_eq＝2Ｄ_ijδ(ｔ－ｔ')なる白色雑音(white noise)で与えられます。

こうすると,時刻ｔにおいて状態ａが実現する確率Ｐ(ａ,ｔ)に対して,次のフォッカー・プランク方程式(Fokker-Planck)が得られます。

∂Ｐ(ａ,ｔ)/∂ｔ＝－Σ_i(∂/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}Ｐ(ａ,ｔ)＋Σ_iΣ_j(∂/∂ａ_i)[－Ｌ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)＋Ｄ_ij(∂/∂ａ_j)]Ｐ(ａ,ｔ)です。

一般に,１次元で考えたとき外力Ｆがないときのゆらぎも含めた粒子の運動は,その速度をｕとするとき,次の"運動方程式＝ランジュバン方程式(Langevin)"ｄｕ/ｄｔ＝－γｕ＋Ｒ(ｔ)/ｍ に従います。

そして,ここでもゆらぎＲ(ｔ)は白色雑音,つまり＜Ｒ(ｔ)＞＝0 ,＜Ｒ(ｔ)Ｒ(ｔ')＞＝2Ｄ_uδ(ｔ－ｔ')を満たしているとします。

このとき,時刻ｔ₁に速度ｕ₁を持っていた粒子が時刻ｔに速度ｕを持つ条件付の確率分布Ｔ(ｕ,ｔ|ｕ₁,ｔ₁)は,(∂/∂ｔ)Ｔ(ｕ,ｔ|ｕ₁,ｔ₁)＝γ(∂/∂ｕ)[ｕ＋(ｋ_BＴ/ｍ)∂/∂ｕ＋(Ｄ_u/ｍ²)∂²/∂ｕ²]Ｔ(ｕ,ｔ|ｕ₁,ｔ₁)という方程式に従うことがわかります。

確率分布が従うこの方程式を,フォッカー・プランク方程式と呼ぶわけですね。

そして,先のａについての運動方程式ｄａ_i/ｄｔ＝{ａ_i,Ｓ}＋Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)＋Ｒ_i(ｔ)を上の１次元速度ｕに対するランジュバン方程式におきかえ,時刻ｔに状態ａが実現する確率分布Ｐ(ａ,ｔ)を上の確率分布Ｔ(ｕ,ｔ|ｕ₁,ｔ₁)におきかえれば,先述のＰ(ａ,ｔ)に対するフォッカー・プランク方程式が得られます。

これが定常解として平衡分布Ｐ_eq(ａ)＝exp[Ｓ(ａ)/ｋ_B](あるいはこの定数倍)を持つためにはｋ_BＬ_ij＝Ｄ_ijとなることが必要条件になります。

つまり,∂Ｐ_eq(ａ)/∂ａ_j＝(1/ｋ_B)(∂Ｓ/∂ａ_j)Ｐ_eq(ａ)なので∂Ｐ(ａ,ｔ)/∂ｔ＝－Σ_i(∂/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}Ｐ(ａ,ｔ)＋Σ_iΣ_j(∂/∂ａ_i)[－Ｌ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)＋Ｄ_ij(∂/∂ａ_j)]Ｐ(ａ,ｔ)においてＰ(ａ,ｔ)＝Ｐ_eq(ａ)とおくと,ｋ_BＬ_ij＝Ｄ_ijが満たされる場合には右辺の第２項はゼロになります。

一方,第１項はΣ_i(∂/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}Ｐ_eq(ａ)＝Ｐ_eq(ａ)[Σ_i(∂/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}＋(1/ｋ_B)Σ_i(∂Ｓ/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}]となりますが,定義によってΣ_i(∂Ｓ/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}＝{Ｓ,Ｓ}＝0 です。

これほど自明ではありませんが,Σ_i(∂/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}＝0 も成立します。

実際,Σ_i(∂/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}＝Σ_i[{1,Ｓ}＋{ａ_i,∂Ｓ/∂ａ_i}]＝Σ_iΣ_i[{1,ａ_j}(∂Ｓ/∂ａ_j)＋{ａ_i,ａ_j}(∂²Ｓ/∂ａ_i∂ａ_j)]＝Σ_iΣ_i{1,ａ_j}(∂Ｓ/∂ａ_j)＝－Σ_iΣ_i,k(∂１/∂ａ_k){ａ_k,ａ_j}(∂Ｓ/∂ａ_j)＝0 となります。１という関数はδ-関数であり,∂１/∂ａ_kは汎関数微分ですね。

そこで,ｋ_BＬ_ij＝Ｄ_ijはＰ_eq(ａ)＝exp[Ｓ(ａ)/ｋ_B]が解になるための必要十分条件であることがわかりました。

それ故,"揺動力＝ゆらぎ"の時間相関関数＜Ｒ_i(ｔ)Ｒ_j(ｔ')＞(白色雑音の2Ｄは揺動力の強さと呼ばれる)と,輸送係数:Ｌ_ijの間には＜Ｒ_i(ｔ)Ｒ_j(ｔ')＞＝2ｋ_BＬ_ijδ(ｔ－ｔ')という関係が成り立ちます。

これはさらに∫₀^∞ｄ(ｔ－ｔ')＜Ｒ_i(ｔ)Ｒ_j(ｔ')＞＝ｋ_BＬ_ij：すなわち∫₀^∞ｄτ＜Ｒ_i(ｔ)Ｒ_j(ｔ＋τ)＞＝ｋ_BＬ_ijと書き直すことができます。

つまり,輸送係数あるいはオンサーガー係数:Ｌ_ijはゆらぎの時間相関関数で与えられます。この法則を揺動散逸定理と呼びます。

こうして,数式的に表現された形の定理が示されても,これが実際の自然現象において物理的にどのような意味を持つのかを理解しなければ,こうした定理の重要性を認識することはできません。

そこで,１例として熱伝導に適用してみます。

平均流速ｖがゼロの１成分流体中の熱伝導方程式はｅを単位質量当たりの内部エネルギーとして∂(ρｅ)/∂ｔ＋∇Ｊ_q＝0 で与えられます。

ここでＪ_qは熱流であり熱拡散の線形近似モデルではＪ_q＝λ∇(1/Ｔ)＝－κ∇Ｔと表わされます。κ＝λ/Ｔ²は熱伝導率と呼ばれています。

この現象論的方程式に対して,これのランジュバン方程式は∂(ρｅ)/∂ｔ＋∇Ｊ_q＝－∇ｑ(ｒ,ｔ)となります。ただしｑ(ｒ,ｔ)は熱流Ｊ_qのゆらぎです。

Ｊ_qは熱流ですから,流体の局所流速をｖ(ｒ,ｔ)とすると,Ｊ_q＝ρｅｖ＝ρｅ(ｄｒ/ｄｔ)です。

示量変数の１つとしてａ＝ρｅｒとすると,ａの不可逆変化部分に対する表式ｄａ_i/ｄｔ＝Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)＋Ｒ_i(ｔ)は,ｄａ_i/ｄｔ＝ｄ(ρｅｒ_i)/ｄｔ～(Ｊ_q)_i＝Σ_jＬ_ij[∂Ｓ/∂(ρｅｒ_j)] ＋Ｒ_i(ｔ)と書けますが,平衡状態ではρＶｄｅ＝ＴｄＳ－ＰｄＶなので体積一定(ｄＶ＝0 )ならＳ＝ρｅＶ/Ｔ＋(定数)です。

それ故,結局(Ｊ_q)_i～Σ_jＬ_ijＶ(∂/∂ｒ_j)(1/Ｔ)となります。これをＪ_q＝λ∇(1/Ｔ)：すなわち(Ｊ_q)_i＝λ(∂/∂ｒ_j)(1/Ｔ)と比較すると,輸送係数＝オンサーガー係数についてＬ_ij＝(λ/Ｖ)δ_ijという表式が得られます。

そこで揺動散逸定理によると,λは平衡状態における揺動熱流ｑ(ｒ,ｔ)の時間相関関数によって表現されることになります。すなわち,揺動熱流ｑ(ｒ,ｔ)の時間相関関数は,∫₀^∞ｄｔ＜ｑ_α(ｒ,ｔ)ｑ_β(ｒ',0)＞_eq＝ｋ_B(λ/Ｖ)δ_αβδ(ｒ－ｒ')と書けます。

そして,熱流Ｊ_q(ｒ,ｔ)のゆらぎｑ(ｒ,ｔ)を体積Ｖの対象領域全体で空間積分したｑ(ｔ)＝∫ｄｒｑ(ｒ,ｔ)という量を定義して,これを時刻ｔでの"熱流のゆらぎ"と呼ぶことにすれば,熱伝導に対する揺動散逸定理の表現は∫₀^∞ｄｔ＜ｑ_α(ｔ)ｑ_β(0)＞_eq＝ｋ_Bλδ_αβと書くことができます。

今は,平均流速がゼロの流体を考えており,平衡状態では＜Ｊ_q(ｒ,ｔ)＞_eq＝0 なので,熱流のゆらぎｑ(ｒ,ｔ)がエネルギー流そのものになります。そこで対流がない流体においての平衡状態ではｑ(ｔ)はエネルギー流を空間全体で積分したもののゆらぎとなります。

この例では,輸送係数＝オンサーガー係数の一種である熱伝導率がミクロな流れｑ(ｔ)の時間相関関数で与えられるということが揺動散逸定理からの重要な帰結と言えます。

19日木曜日夜から風邪気味で,症状自体は軽いのですがあまり筆が進みません。

北原和夫 著「非平衡系の統計力学」(岩波書店)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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