ブラウン運動と伊藤積分(６)

ブラウン運動と確率積分関連の記事の続きです。まず離散時間と連続時間のマルチンゲール(martingale)について説明します。

まず,マルチンゲールの定義を与えます。 

(定義5.1):Ｒ¹上の確率過程{Ｘ_t}_t∈Tが以下の条件を満たすとき,この確率過程を劣マルチンゲールである,という。

(ⅰ) {Ｘ_t}はＦ_tに適合している。(つまりＦ_t-可測である:すなわちＲ¹上の任意の開集合Ａに対し,{ω∈Ω｜Ｘ_t(ω)∈Ａ}∈Ｆ_t≡σ(Ｘ_s；ｓ≦ｔ)である。)

(ⅱ)Ｅ[|Ｘ_t|]＜∞ 　

(ⅲ) Ｅ[Ｘ_t|Ｆ_s]≧Ｘ_s (ａ.ｓ) ∀ｔ≧ｓ；ｔ,ｓ∈Ｔ

また,{－Ｘ_t}_t∈T が劣マルチンゲールであるとき,{Ｘ_t}_t∈Tを優マルチンゲールであるという。

{Ｘ_t}_t∈Tと{－Ｘ_t}_t∈Tが共に劣マルチンゲールであるとき,言い換えると,{Ｘ_t}_t∈Tが劣マルチンゲール,かつ優マルチンゲールであるとき,確率過程{Ｘ_t}_t∈Tはマルチンゲールであると言う。

マルチンゲールの性質をいくつか述べます。 

まず,{Ｘ_t}_t∈Tは劣マルチンゲールであるとし,ｆ(ｘ)を単調非減少凸関数とする。(ｆ(ｘ)は非減少で,ｆ(λｘ＋(1－λ)ｙ)≦λｆ(ｘ)＋(1－λ)ｆ(ｙ),∀ｘ,ｙ∈Ｒ¹,0≦∀λ≦1とする。)

ｆ(Ｘ_t)が可積分なら,{f(Ｘ_t)}_t∈T も劣マルチンゲールである。

特に,{Ｘ_t}_t∈Tがマルチンゲールなら,ｆの単調性の仮定を省いても同じ結論が得られる。

これを証明します。

(証明)ｆ(ｘ)が凸関数なので,∫ｆ(ｘ)ｄｐ(ｘ)≧ｆ(∫ｘｄｐ(ｘ))です。なぜなら,凸関数性はｆ(Σ_iξ_iΔｐ_i)≦Σ_iΔｐ_iｆ(ξ_i)とも表わすことができるからです。

そして,∫ｆ(ｘ)ｄｐ(ｘ)≧ｆ(∫ｘｄｐ(ｘ))はＥ[ｆ(Ｘ_t)|Ｆ_s]≧ｆ(Ｅ[ｆ(Ｘ_t)|Ｆ_s]を意味します。

{Ｘ_t}_t∈Tの"劣マルチンゲール性"Ｅ[Ｘ_t|Ｆ_s]≧Ｘ_sと,ｆ(ｘ)を単調非減少性から,ｆ(Ｅ[ｆ(Ｘ_t)|Ｆ_s] ≧ｆ(Ｘ_s)です。

以上から,Ｅ[ｆ(Ｘ_t)|Ｆ_s]≧ｆ(Ｘ_s)を得ます。後半は明らかです。

(証明終わり)

次にパラメータ集合がＴ＝Ｚ+である場合を考えます。

(１){Ｙ_n}_n∈Z+を確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ)で定義された独立同分布確率変数列であるとし,Ｅ[Ｙ₁]＝0 とする。

Ｘ_n≡Σ_i=1ⁿＹ_i,Ｆ_n≡σ(Ｙ_i;ｉ＝1,2,..,ｎ)と定義すると,{Ｘ_n}_n∈Z+はマルチンゲールである。

(２) {Ｙ_n}_n∈Z+を確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ)で定義された独立同分布非負確率変数列であるとし,Ｅ[Ｙ₁]＝1 とする。

このとき,Ｘ_n≡Π_i=1ⁿＹ_i,Ｆ_n≡σ(Ｙ_i;ｉ＝1,2,..,ｎ)と定義すると{Ｘ_n}_n∈Z+はマルチンゲールである。

ことを証明します。

連続時間でこの２つの例に相当するのはブラウン運動であり,ブラウン運動の指数関数から決まる指数マルチンゲールです。 

(証明) (１)独立同分布確率変数列でＥ[Ｙ₁]＝0 なので,Ｅ[Ｙ_i]＝0 (ｉ＝1,2,..,ｎ)です。

また,Ｅ[Ｘ_n|Ｆ_n-1]＝Ｅ[Σ_i=1ⁿＹ_i|Ｙ₁,Ｙ₂,..,Ｙ_n-1指定]＝Σ_i=1^n-1Ｙ_i＋Ｅ[Ｙ_n]＝Σ_i=1^n-1Ｙ_i＝Ｘ_n-1となります。

(２)については対数を取ると(１)に帰着するので自明です。

(証明終わり)

以下ではパラメータ集合Ｔ＝Ｚ+の場合に,マルチンゲールに関する諸定理を準備します。

そしてしばらくの間はフィルター付き確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ;Ｆ_n)_n∈Z+で定義された劣マルチンゲール{Ｘ_n}_n∈Z+を考えていきます。

そして,Ｚ+∪{∞}に値をとる停止時刻τ(ω)を考えます。τ(ω)は{τ≦ｎ}∈Ｆ_n) ∀ｎなる確率変数です。

(定理5.2):(任意抽出定理)

τ₁,τ₂を有界な停止時刻で,τ₁≦τ₂ ａ.ｓ なるものとする。

このとき,劣マルチンゲールIＸ_n}に対して,Ｅ[Ｘ_τ2|Ｆ_τ1]≧Ｘ_τ1 ａ.ｓ が成り立つ。

したがって,Ｅ[Ｘ_τ2]≧Ｅ[Ｘ_τ1]である。またＸ_nが一様可積分,つまり,"lim_c→∞sup_nＥ[|Ｘ_n|;|Ｘ_n|＞ｃ]＝0 "なら任意のτ₁≦τ₂＜∞ ａ.ｓ なる停止時刻に対して上が成立する。

(証明)まず,条件付期待値の性質:Ｈ⊂ＧならＥ｢Ｅ｢Ｘ|Ｇ｣|Ｈ｣＝Ｅ[Ｘ|Ｈ]において,Ｈ≡{φ,Ω}と置けばＥ｢Ｅ｢Ｘ|Ｇ｣｣＝Ｅ[Ｘ]となることがわかります。

そこで,Ｅ[Ｘ_τ2|Ｆ_τ1]≧Ｘ_τ1が証明されさえすれば,Ｅ[Ｅ[Ｘ_τ2|Ｆ_τ1]]＝Ｅ[Ｘ_τ2]≧≧Ｅ[Ｘ_τ1]が従うことが予め確認されました。

そして,条件付期待値の定義から,Ｅ[Ｘ_τ2|Ｆ_τ1]≧Ｘ_τ1を証明するにはＥ[Ｘ_τ2,Ａ]≧Ｅ[Ｘ_τ1,Ａ] ∀Ａ∈Ｆ_τ1を示せばいいです。

そのためには,∀ｎに対してＥ[Ｘ_τ2,Ａ∩{τ₁＝ｎ}]≧Ｅ[Ｘ_τ1,Ａ∩{τ₁＝ｎ}]なることを見ればいいです。

Ｂ≡Ａ∩{τ₁＝ｎ}∈Ｆ_n ,{τ₂≧ｎ＋1}∈Ｆ_nです。

(なぜなら,{τ₂≦ｎ}∈Ｆ_n )

τ₂≧τ₁＝ｎなる条件下では,Ｅ[Ｘ_τ1,Ａ∩{τ₁＝ｎ}]＝Ｅ[Ｘ_τ1,Ｂ]＝Ｅ[Ｘ_n,{τ₂≧ｎ}∩Ｂ]＝Ｅ[Ｘ_n,{τ₂＝ｎ}∩Ｂ]＋Ｅ[Ｘ_n,{τ₂≧ｎ＋1}∩Ｂ]≦Ｅ[Ｘ_τ2,{τ₂＝ｎ}∩Ｂ]＋Ｅ[Ｘ_n+1,{τ₂≧ｎ＋1}∩Ｂ]＝Ｅ[Ｘ_τ2,{ｎ≦τ₂≦ｎ＋1}∩Ｂ]＋Ｅ[Ｘ_n+1,{τ₂≧ｎ＋2}∩Ｂ]≦Ｅ[Ｘ_τ2,{ｎ≦τ₂≦ｍ}∩Ｂ]＋Ｅ[Ｘ_m,{τ₂＞ｍ}∩Ｂ]が成立します。

ここで,{τ₂＝ｎ＋1}∩Ｂ∈Ｆ_nより,劣マルチンゲール性Ｅ[Ｘ_n+1|Ｆ_n ]≧Ｘ_nから,Ｅ[Ｘ_n+1,{τ₂≧ｎ＋1}∩Ｂ]≧Ｅ[Ｘ_n,{τ₂≧ｎ＋1}∩Ｂ]が成り立つことなどを用いました。

この不等式でｍを十分大きく取ればτ₂は有界ですから,{ｎ≦τ₂≦ｍ}∩Ｂ＝Ｂ,{τ₂＞ｍ}∩Ｂ＝φとなり,Ｅ[Ｘ_τ1,Ｂ]≦Ｅ[Ｘ_τ2,Ｂ]が得られます。

これで前半は証明されました。

後半は私自身が前半と何が異なるのかについて題意を理解できないので証明もわかりません。

もしかしたら,非負整数の各ｎについてＸ_nが一様可積分ならτ₁≦τ₂＜∞であればτ₁,τ₂が非負整数でなくても定理が成立するということかもしれません。

それなら,Ｘ_τi(ｉ＝1、2)が可積分であることさえ示せれば後は前半と同じです。

(証明終わり)

(定理5.3):(Doobの不等式)

{Ｘ_n}を非負劣マルチンゲールとする。Ｘ_n^*≡max_0≦j≦n|Ｘ_j|と置くと各ε＞0,ｎ≧0 に対しＰ(Ｘ_n^*≧ε)≦(1/ε)Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ε]≦(1/ε)Ｅ[Ｘ_n]である。

Ｅ[(Ｘ_n^*)^p]^1/p≦[ｐ/(ｐ－1)]Ｅ[(|Ｘ_n|^p]^1/p for ｐ＞1である。

(証明)τ_n≡min{ｊ≦ｎ;Ｘ_j^*≧ε}(if {ｊ≦ｎ；Ｘ_j^*≧ε}≠φ),ｎ(if {ｊ≦ｎ；Ｘ_j^*≧ε}＝φ)と置きます。

つまり,Ｘ_n^*≧εならτ_n≦ｎ,Ｘ_n^*＜εならτ_n＝ｎです。

{τ_n≦ｎ}＝{ω：Ｘ_n^*≧ε}∪{ω：Ｘ_n^*＜ε}＝Ω∈Ｆ_nより,τ_nは停止時刻です。

したがって,{Ｘ_n}が劣マルチンゲールでτ_n≦ｎですから,先の(定理5.2)によって,Ｅ[Ｘ_ｎ]≧Ｅ[Ｘ_τn]です。

そこで,Ｅ[Ｘ_n]＝Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ε]＋Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*＜ε]≧Ｅ[Ｘ_τn,Ｘ_n^*≧ε]＋Ｅ[Ｘ_τn,Ｘ_n^*＜ε]＝Ｅ[Ｘ_τn]です。

Ｘ_n^*＜εならτ_n＝ｎより,Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*＜ε]＝Ｅ[Ｘ_τn,Ｘ_n^*＜ε]ですから,不等式Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ε]≧Ｅ[Ｘ_τn,Ｘ_n^*≧ε]が得られます。

一方,Ｘ_nは非負:|Ｘ_n|＝Ｘ_nですから,Ｐ(Ｘ_n^*≧ε)＝Ｐ(max_0≦j≦nＸ_j≧ε)＝Ｐ(Ｘ_τn≧ε)です。

したがって,チェビシェフの不等式(Chebyshev)によって不等式Ｅ[Ｘ_τn,Ｘ_n^*≧ε]＝Ｅ[Ｘ_τn,Ｘ_τn≧ε]≧εＰ(Ｘ_τn≧ε)＝εＰ(Ｘ_n^*≧ε)も得られます。

結局,得られた２つの不等式からεＰ(Ｘ_n^*≧ε)≦Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ε]が成り立つことがわかります。

そしてＸ_nは非負故,Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ε]≦Ｅ[Ｘ_n]ですから,Ｐ(Ｘ_n^*≧ε)≦(1/ε)Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ε]≦(1/ε)Ｅ[Ｘ_n]となります。

次にｐ＞1,Ｅ[|Ｘ_n^*|^p]＜∞とします。

Ｅ[|Ｘ_n^*|^p]＝∫ｔ^pｄｐ＝∫ｔ^p{Ｐ(Ｘ_n^*≦ｔ＋ｄｐ)－Ｐ(Ｘ_n^*≦ｔ)}＝∫₀^∞{－ｔ^p(ｄＰ/ｄｔ)}＝lim_t→∞[ｔ^pＰ(Ｘ_n^*≧ｔ)]＋ｐ∫₀^∞ｔ^p-1(Ｐ(Ｘ_n^*≧ｔ)＝ｐ∫₀^∞ｔ^p-1(Ｐ(Ｘ_n^*≧ｔ)≦ｐ∫₀^∞ｔ^p-2Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ｔ]です。(Cauchy-Scwartzの不等式)

さらに,ｐ∫₀^∞ｔ^p-2Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ｔ]ｄｔ＝ｐＥ[Ｘ_n∫₀^Ｘn*ｔ^p-2ｄｔ]＝[ｐ/(ｐ－1)]Ｅ[Ｘ_n(Ｘ_n^*)^p-1]≦[ｐ/(ｐ－1)]Ｅ[|Ｘ_n|^p]^1/pＥ[(Ｘ_n^*)^p]^p-1/pです。(Hoelderの不等式)

そこで,Ｅ[(Ｘ_n^*)^p]^1/p≦[ｐ/(ｐ－1)]Ｅ[|Ｘ_n|^p]^1/pが成立します。

Ｅ[|Ｘ_n^*|^p]＝∞のときは,上述の証明でＸ_n^*をＸ_n^*∧Ｋ(Ｋは定数)で置き換えれば,Ｅ[(Ｘ_n^*∧Ｋ)^p]≦[ｐ/(ｐ－1)]^pＥ[|Ｘ_n|^p]となります。

そしてこの式においてＫ→ ∞ に移行すれば命題の式が得られます。(証明終わり)

ここで,次のような停止時刻の列を考えます。

ａ＜ｂに対してτ₀＝0 ,τ_2m-1＝min{ｎ＞τ_2m-2;Ｘ_n≦ａ},τ_2m＝min{ｎ＞τ_2m-1;Ｘ_n≧ｂ},ｍ=1,2,..,ただし{　}＝φのときはτ_k＝∞と約束します。

そしてＸ_nの[ａ,ｂ]-上向き横断回数Ｕ_n(ａ,ｂ)をＵ_n(ａ,ｂ)≡0 (τ₂＞ｎのとき),max{ｍ；τ_2m≦ｎ}(τ₂≦ｎのとき)で定義します。

(定理5.4):(横断数定理)

任意のｎに対し{Ｘ_n}を劣マルチンゲール,(Ｘ_n－ａ)+≡(Ｘ_n－ａ)∨ 0 とするとＥ[Ｕ_n(ａ,ｂ)]≦[1/(ｂ－ａ)]Ｅ[(Ｘ_n－ａ)+]である。

(証明) Ｘ_nが劣マルチンゲールで(Ｘ_n－ａ)+≡(Ｘ_n－ａ)∨ 0 はＸ_nの単調非減少凸関数ですから,(Ｘ_n－ａ)+も劣マルチンゲールです。

Ｘ_nの[ａ,ｂ]-上向き横断回数Ｕ_n(ａ,ｂ)は(Ｘ_n－ａ)+の[0,ｂ－ａ]-上向き横断回数に等しいことがわかります。

なぜなら,Ｘ_n≦ａは(Ｘ_n－ａ)∨ 0 ≦0 と同値でＸ_n≧ｂは(Ｘ_n－ａ)∨ 0 ≧ｂ－ａ と同値です。

そこでＸ_n≧0 としてＥ[Ｕ_n(0,ｂ)]≦(1/ｂ)Ｅ[Ｘ_n]を示せばよいことになります。

φ_i(Ｘ_i)をφ_i(Ｘ_i)≡1 (τ_m＜ｉ＜τ_m+1＜,∃ｍ：奇数),0 (τ_m＜ｉ＜τ_m+1＜,∃ｍ：偶数)と定義すれば,φ_i(Ｘ_i)＝1 ならＸ_i≧ｂ,Ｘ_i-1＜ｂ(ｍ＋1：偶数);Ｘ_i-2＜ｂ,..,Ｘ_i-k＜0 なので,Σ_j=i-k+1ⁱφ_i(Ｘ_j－Ｘ_j-1)≦(Ｘ_i－Ｘ_j-k)≦ｂです。

そして,この横断数がＵ_n(0,ｂ)なので,ｂＵ_n(0,ｂ)≦Σ_i=1ⁿφ_i(Ｘ_i－Ｘ_i-1),故に,ｂＥ[Ｕ_n(0,ｂ)]≦Σ_i=1ⁿφ_i(Ｅ[Ｘ_i]－Ｅ[Ｘ_i-1])です。

ここで,Ｘ_nが非負劣マルチンゲールなのでＥ[Ｘ_i]≧Ｅ[Ｘ_i-1],つまりＥ[Ｘ_i]－Ｅ[Ｘ_i-1]≧0 です。

それ故,ｂＥ[Ｕ_n(0,ｂ)]≦Σ_i=1ⁿφ_i(Ｅ[Ｘ_i]－Ｅ[Ｘ_i-1])≦Σ_i=1ⁿ(Ｅ[Ｘ_i]－Ｅ[Ｘ_i-1])＝Ｅ[Ｘ_n]－Ｅ[Ｘ₀]≦Ｅ[Ｘ_n]です。

以上からＥ[Ｕ_n(0,ｂ)]≦(1/ｂ)Ｅ[Ｘ_n]が示されました。

(証明終わり)

(定理5.5):(マルチンゲールの収束定理)

{Ｘ_n}は劣マルチンゲールでsup_nＥ[|Ｘ_n|]＜∞なるものとする。

このとき,Ｘ_∞∈Ｌ¹(Ω)があって,lim_n→∞Ｘ_n(ω)＝Ｘ_∞(ω) ａ.ｓである。

さらに,Ｘ_nが一様可積分:lim_c→∞sup_nＥ[|Ｘ_n|；|Ｘ_n|＞ｃ]＝0 ならＥ[|Ｘ_n－Ｘ_∞|]→ 0 as ｎ→∞であり,Ｘ_∞まで含めて劣マルチンゲールとなる。

(証明)今,Ｐ(limsup_n→∞Ｘ_n(ω)＞liminf _n→∞Ｘ_n(ω))＞0 と仮定します。

このとき,{limsup_n→∞Ｘ_n＞liminf _n→∞Ｘ_n}＝∪_a＜b,b∈Q+{limsup_n→∞Ｘ_n＞ｂ＞ａ＞liminf _n→∞Ｘ_n}ですから,ある正の有理数(positive rational)の組ａ＜ｂ∈Ｑ+があって,Ｐ(limsup_n→∞Ｘ_n＞ｂ＞ａ＞liminf _n→∞Ｘ_n)＞0 です。

このとき(定理5.4):(横断数定理)によって,Ｅ[Ｕ_n(ａ,ｂ)]≦[1/(ｂ－ａ)]Ｅ[(Ｘ_n－ａ)+]≦[1/(ｂ－ａ)](Ｅ[Ｘ_n+]＋|ａ|)です。

したがって,Ｅ[Ｕ_∞(ａ,ｂ)]＝lim _n→∞Ｅ[Ｕ_n(ａ,ｂ)]≦[1/(ｂ－ａ)](sup_nＥ[Ｘ_n+]＋|ａ|)です。

ところが,sup_nＥ[Ｘ_n+]≦sup_nＥ[|Ｘ_n|]＜∞ですからＥ[Ｕ_∞(ａ,ｂ)]＜∞となってしまいます。

しかし可算無限個の有理数の組ａ＜ｂ∈Ｑ+があって,各々のａ,ｂについてＰ(limsup_n→∞Ｘ_n＞ｂ＞ａ＞liminf _n→∞Ｘ_n)＞0 なので,横断数は無限大ですからＥ[Ｕ_∞(ａ,ｂ)]＝∞のはずです。

これは矛盾です。それ故,Ｐ(limsup_n→∞Ｘ_n(ω)＞liminf _n→∞Ｘ_n(ω))＝0 でなければなりません。

すなわち,Ｘ_∞(ω)≡limsup_n→∞Ｘ_n(ω)＝liminf _n→∞Ｘ_n(ω) ａ.ｓと置くことができてＥ[|Ｘ_∞|]＝Ｅ[lim_n→∞|Ｘ_n|]≦liminf _n→∞Ｅ[|Ｘ_n|]≦limsup _n→∞Ｅ[|Ｘ_n|]＜∞です。

また,Ｘ_nが一様可積分なら積分論の収束定理によってＬ¹で収束すること：つまりＥ[|Ｘ_n－Ｘ_∞|]→ 0 as　ｎ→ ∞ となることがわかるので,Ｅ[Ｘ_∞|Ｆ_n]＝lim_n→∞Ｅ[Ｘ_n|Ｆ_n]≧Ｘn,つまりＸ_∞まで含めて劣マルチンゲールです。

(証明終わり)

(注意):(ⅰ){Ｘ_n}_n∈Z+がＸ_n≦ｃ(ｃ:定数)を満たす劣マルチンゲールなら,ｃ≧Ｅ[Ｘ_n]≧Ｅ[Ｘ₀]なので{Ｘ_n}_n∈Z+は(定理5.5)の仮定を満たし,∃lim_n→∞Ｘ_n∈Ｌ¹ ａ.ｓです。

(ⅱ) {Ｘ_n}_n∈Z+を後ろ向き劣マルチンゲールとします。すなわちＦ_m⊂Ｆ_n,ｎ＜ｍ,Ｅ[Ｘ_n|Ｆ_m]＝Ｘ_m,Ｘ_n∈Ｌ¹とします。

このとき,inf _nＥ[Ｘ_n]＞－∞ならば{Ｘ_n}は一様可積分であり、それゆえsup _nＥ[|Ｘ_n|]＜∞です。

実際,ε＞0 を任意に与えたとき,それに対しＥ[Ｘ_k]－liminf _n→∞Ｅ[Ｘ_n]＜εを満たすｋを取ってｎ≧ｋとすると,Ｅ[|Ｘ_n|,|Ｘ_n|＞ｃ]＝Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n＞ｃ]＋Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n≧－ｃ]－Ｅ[Ｘ_n]≦Ｅ[Ｘ_k,Ｘ_n＞ｃ]＋Ｅ[Ｘ_k,Ｘ_n≧－ｃ]－Ｅ[Ｘ_k]＋ε≦Ｅ[|Ｘ_k|,|Ｘ_n|＞ｃ]＋εです。

またＰ(|Ｘ_n|＞ｃ)≦(1/ｃ)Ｅ[|Ｘ_n|]＝(1/ｃ)(2Ｅ[Ｘ_n+]－Ｅ[Ｘ_n])≦(1/ｃ)(2Ｅ[Ｘ₀+]－Ｅ[Ｘ_n])ですからｃ→ ∞ のときsup _n≧kＰ(|Ｘ_n|＞ｃ) → 0 です。

よってlimsup _{c→∞,n≧k}Ｅ[|Ｘ_n|,|Ｘ_n|＞ｃ]≦limsup _{c→∞,n≧k}Ｅ[|Ｘ_k|,|Ｘ_n|＞ｃ]＋ε＝εとなりますから。sup _nＥ[|Ｘ_n|]＜∞となることがわかります。

さて次に連続時間パラメータのマルチンゲールに入ります。

パラメータ空間Ｔを区間Ｔ⊂[0,∞)であるとして確率空間の族(Ω,Ｆ,Ｐ;Ｆ_t)_t∈Tが与えられているとします。

ＤをＤ⊂Ｔなる可算稠密集合とし,Ｄ＝∪_n=1^∞Ｄ_n,ｎ＝1,2,..となる有限集合Ｄ_nを取ります。

これまでの離散マルチンゲールに関する諸定理はパラメータ集合をＤ_nに限定した場合の各Ｄ_nについての劣マルチンゲールに対して成立しています。

(定理6.1):{Ｘ_t}_t∈Tを右連続非負劣マルチンゲールとしＸ_T^*をＸ_T^*≡sup_0≦t≦T|Ｘ_t|で定義すると,(ⅰ)λ^pＰ(Ｘ_T^*≧λ)≦Ｅ[|Ｘ_T|^p],ｐ≧1 (ⅱ) Ｅ[|Ｘ_T^*|^p]≦[ｐ/(ｐ－1)]^pＥ[|Ｘ_T|^p],ｐ＞1 が成り立つ。

(証明)右辺が有限のときについて示せば十分です。

Ｔ∈Ｄ_n∀nとしてよいのでそのように仮定します。

そしてＸ_n^*≡sup_t∈Dn|Ｘ_t|と置きます。Ｘ_tは非負劣マルチンゲールですからｐ≧1 のときには|Ｘ_t|^pも非負劣マルチンゲールです。

したがって,(定理5.3)により,λ＞0 に対してλ^pＰ(Ｘ_n^*≧λ)≦λ^pＰ[|Ｘ_n^*|^p≧λ^p]≦Ｅ[|Ｘ_n|^p]です。

それ故,λ^pＰ(sup_t∈DＸ_t^*≧λ)≦Ｅ[|Ｘ_T|^p],ｐ≧1が得られます。

同様にして(定理5.3)によりＥ[|Ｘ_n^*|^p]≦[ｐ/(ｐ－1)]^pＥ[|Ｘ_T|^p],ｐ＞1から,(ⅱ) Ｅ[|Ｘ_T^*|^p]≦[ｐ/(ｐ－1)]^pＥ[|Ｘ_T|^p],ｐ＞1 が得られます。

(注意):(ⅰ)Ｍ_tがマルチンゲールのときは|Ｍ_t|が非負劣マルチンゲールとなるので,|Ｍ_t|に対して上述の(定理6.1)が適用できます。

　(ｆ(ｘ)=|ｘ|は単調凸関数ではありませんが,明らかに∫ｆ(ｘ)ｄｐ≧ｆ(∫ｘｄｐ),つまり∫|ｘ|ｄｐ≧|∫ｘｄｐ|より,Ｅ[|Ｍ_t|Ｆ_s]≧|Ｍ_s|が成立します。)

(ⅱ)離散時間パラメータの場合と違って連続時間パラメータの場合は停止時刻:σに対してＸ_σがＦ_σ-可測であることは自明ではありません。

　Ｘ_σ|_{σ≦t}がＦ_t-可測であることを言えばよいのですが,σが停止時刻であることから,σ:{ω:σ≦ｔ}→｢0,ｔ｣は{σ≦ｔ}∩Ｆ_t/Ｂ(｢0,ｔ｣)-可測です。

したがって,ω→(σ(ω),ω)は写像:Ω→[0,ｔ]×ΩとしてＦ_t/Ｂ(｢0､ｔ｣)×Ｆ_t-可測ですから,Ｘ_σは発展的可測過程;Ｘ_s(ω):[0,ｔ]×Ω→Ｘ_s(ω)です。

すなわち,Ｂ(｢0,ｔ｣)×Ｆ_t-可測な写像と写像Ω→[0,ｔ]×Ω:ω→(σ(ω),ω)の合成として可測です。

(定理6.2):{Ｘ_t}_t∈Tを右連続劣マルチンゲールとする。

　σ,τをσ≦τなる有界な停止時刻とするとＥ[Ｘ_τ|Ｆ_σ]≧Ｘ_σである。さらにＸ_tが一様可積分のときはσ≦τ＜∞ａ.ｓなる任意の停止時刻に対して上記が成立する。

(証明)σ_n(ω)≡ｋ/2ⁿ ((ｋ－1)/2ⁿ≦σ＜ｋ/2ⁿのとき)と置きます。

　τに対しても同様にτ_nを定義すると明らかにσ_n≦τ_nです。

　また,σ_n≦τ_nは停止時刻になっています。

　このときσ_n≧σ_n+1≧..≧σとなりＥ｢Ｘ_σn|Ｆ_σn｣≧Ｘ_σm ,ｎ＜ｍです。またＥ｢Ｘ_τn|Ｆ_σn｣≧Ｘ_σnです。したがってＡ∈Ｆ_σ⊂Ｆ_σｎに対してＥ[Ｘ_τn,Ａ]≧Ｅ[Ｘ_σn,Ａ]と書けます。

　Ｘ_σm,Ｘ_τm は後向き劣マルチンゲールでinf_nＥ[Ｘ_σn]≧Ｅ[Ｘ₀]＞－∞です。

　Ｘ_tの右連続性により,lim_n→∞Ｘ_σn＝Ｘ_σですが,(定理5.5)の後で記述した(注意)によって,この収束はＬ¹の意味にもなっています。

　同様にlim_n→∞Ｘ_τn＝Ｘ_τ∈Ｌ¹(Ω)です。したがってＥ[Ｘ_τ,Ａ]≧Ｅ[Ｘ_σ,Ａ],Ａ∈Ｆ_σ が得られます。

　(証明終わり)

最後に"(ⅰ){Ｂ_t}を１次元ブラウン運動とすると,{Ｂ_t},および{Ｂ_t²－ｔ}はそれぞれマルチンゲールである。(ⅱ){Ｂ_t}を１次元Ｆ_t-ブラウン運動とするとき,{exp(Ｂ_t－ｔ/2)}はマルチンゲールである。"ことを示します。

(証明)(ⅰ)再掲:(補題4.9):Ｎ次元Ｆ_t-ブラウン運動:{Ｂ_t}＝{(Ｂ_t¹,Ｂ_t²,..,Ｂ_t^N)}について,∀ｔ≧ｓ＞0 に対して(ⅰ)Ｅ[Ｂ_tⁱ|Ｆ_s]＝Ｂ_sⁱ：ｉ＝1,2,..,Ｎ(ⅱ) Ｅ[(Ｂ_tⁱ－Ｂ_sⁱ)(Ｂ_t^j－Ｂ_s^j)|Ｆ_s]＝δ_ij(ｔ－ｓ)である。

によれば,Ｅ[Ｂ_tⁱ|Ｆ_s]＝Ｂ_sⁱはＮ＝1ではＥ[Ｂ_t|Ｆ_s]＝Ｂ_sです。

また,Ｅ[(Ｂ_tⁱ－Ｂ_sⁱ)(Ｂ_t^j－Ｂ_s^j)|Ｆ_s]＝δ_ij(ｔ－ｓ)はＮ＝１,ｉ＝ｊ＝1とすると,Ｅ[(Ｂ_t²－Ｂ_s²)|Ｆ_s]＝ｔ－ｓです。

これは,Ｅ[(Ｂ_t²－ｔ)|Ｆ_s]＝Ｂ_s²－ｓを意味します。

(ⅱ) {Ｂ_t}がＮ次元Ｆ_t-ブラウン運動であることと同値な関係式：Ｅ[exp{i^tξ(Ｂ_t－Ｂ_s)}|Ｆ_s]＝exp{－|ξ|²(ｔ－ｓ)/2}において,Ｎ＝１としてξ＝－iを代入するとＥ[exp{(Ｂ_t－Ｂ_s)}|Ｆ_s]＝exp{(ｔ－ｓ)/2}：すなわちＥ[exp(Ｂ_t－ｔ/2)|Ｆ_s]＝exp(Ｂ_s－ｓ/2)です。

(証明終わり)

参考文献：長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学