ブラウン運動と伊藤積分(７)

続きです。今日は確率積分を定義して導入する準備として二次変分という量の説明をします。 

以下,フィルター付確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ;Ｆ_t)はＦ_tが右連続であり,かつ次の条件を満たしているものとします。

すなわち,Ｎ≡{Ａ∈Ω｜∃Ｂ∈Ｆ：Ａ⊂Ｂ,Ｐ(Ｂ)＝0}⊂Ｆ₀ (これは確率測度がゼロの全ての集合がＦ₀ に,それ故全てのｔに対するＦ_tに含まれることを意味します。)

右連続な確率過程Ａ_t(ω):[0,∞)×Ω→[0,∞)であって,Ｆ_tに適合しており,ｔ₁＜ｔ₂ならＡ_t1≦Ａ_t2＜∞ ａ.ｓを満たすものを増加過程といい,増加過程全体をＡ_＋で表わします。

そして,Ａ_＋によって２つの確率過程の族Ａ,およびＡ_＋,cを,次のように定義します。

Ａ≡{Ａ₁－Ａ₂:Ａ₁,Ａ₂∈Ａ_＋},およびＡ_＋,c≡{Ａ＝{Ａ_t}∈Ａ_＋:Ａ_tは連続}です。さらにＡ_c≡{Ａ＝{Ａ_t}∈Ａ:Ａ_tは連続}と定義します。

一方,∀ｐ≧1に対してマルチンゲールの族Ｍ_p,およびＭ_p,cを,Ｍ_p≡{Ｍ＝{Ｍ_t}:ＭはマルチンゲールでＥ[|Ｍ_t|^p]＜∞,∀ｔ},およびＭ_p,c≡{Ｍ＝{Ｍ_t}∈Ｍ_p:Ｍ_tは連続}によって定義します。

以下では,連続な局所マルチンゲールＭ(後述：定義7.5)に対して,Ｍ²－＜Ｍ＞がまた局所マルチンゲールとなるような連続増加過程＜Ｍ＞∈Ａ_＋,cが一意的に存在して,この連続増加過程が二次変分という意味を持つことを示します。

そして,この事実は後に確率積分を定義する基礎となります。

ここで展開する解析は伊藤の公式を証明する際に有効に働きます。

まず,いくつかの補題や定理を与えます。 

(補題７.1):{Ｍ_t}を連続マルチンゲールとする。このとき,Ｍ∈Ａならば Ｍ_t＝Ｍ₀ ∀ｔ ａ.ｓ である。

(証明) Ｍ₀＝0として分割Δ:0＝ｔ₀＜ｔ₁＜ｔ₂＜..＜ｔ_n＝ｔを取り,|Δ|≡max_0≦i≦n-1|ｔ_i+1－ｔ_i|とおきます。

Ｍ₀＝0 なので有界なマルチンゲールＭ_tに対して,Ｅ[Ｍ_t²]＝Σ_i=0^n-1Ｅ[Ｍ_ti+1²－Ｍ_ti²]＝Σ_i=0^n-1Ｅ[(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)²]≦Ｅ[sup_0≦i≦n-1|Ｍ_ti+1－Ｍ_ti|Σ_i=0 ^n-1 |Ｍ_ti+1－Ｍ_ti|]です。

なぜなら,Ｍ_t のマルチンゲール性によりＥ[Ｍ_ti+1|Ｆ_ti]＝Ｍ_tiなので,Ｅ[Ｍ_ti+1Ｍ_ti|Ｆ_ti]＝Ｅ[Ｍ_ti+1|Ｆ_ti]Ｍ_ti＝Ｍ_ti²です。

つまりＥ[Ｍ_ti+1Ｍ_ti]＝Ｅ[Ｍ_ti²]なので,Ｅ[(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)²]＝Ｅ[(Ｍ_ti+1²＋Ｍ_ti²－2Ｍ_ti+1Ｍ_ti)]＝Ｅ[Ｍ_ti+1²－Ｍ_ti²]だからです。

Ｍ＝{Ｍ_t}∈Ａ でＭ₀＝0 なので,Ａ¹₀＝Ａ²₀＝0 なる増加過程Ａ¹,Ａ²が存在して,Ｍ＝Ａ¹－Ａ² (Ｍ_t＝Ａ¹_t－Ａ²_t),{Ａ¹_t},{Ａ²_t}∈Ａ_＋と書くことができます。

　そして,τ_k≡inf{ｔ：Ａ¹_t＋Ａ²_t＞ｋ}({　}≠φのとき),∞ ({　}＝φのとき)なる量を定義して,Ｍ^k_t≡Ｍ_t∧τkとおけば,(定理6.2)によりＭ^k_tは有界な連続マルチンゲールです。

そこで,Ｅ[Ｍ^k_t²]≦Ｅ[sup_0≦i≦n-1|Ｍ^k_ti+1－Ｍ^k_ti|Σ_i=0 ^n-1|Ｍ^k_ti+1－Ｍ^k_ti|]です。

Σ_i=0 ^n-1|Ｍ_ti+1－Ｍ_ti|＝Σ_i=0 ^n-1|ΔＭ_i|＝Σ_i=0 ^n-1|ΔＡ¹_i－ΔＡ²_i|≦Σ_i=0 ^n-1(ΔＡ¹_i＋ΔＡ²_i)＝Ａ¹_tn＋Ａ²_tn＝Ａ¹_t＋Ａ²_t でＭ^k_t＝Ｍ_t∧τkにおいてはＡ¹_t＋Ａ²_t≦ｋですから,Ｅ[Ｍ^k_t²]≦ｋＥ[sup_0≦i≦n-1|Ｍ^k_ti+1－Ｍ^k_ti|]となります。

lim_|Δ|→0Ｅ[sup_0≦i≦n-1|Ｍ^k_ti+1－Ｍ^k_ti|]＝0 なので,lim_|Δ|→0Ｅ[Ｍ^k_t²]＝0 ,つまりＭ^k_t＝0 ａ.ｓです。

それ故,Ｍ_t＝0＝Ｍ₀  ａ.ｓです。Ｍ₀＝0 という仮定は一般性を失わない仮定なので補題は証明されました。

(証明終わり)

次に分割Δ:0＝ｔ₀＜ｔ₁＜ｔ₂＜..＜ｔ_n＜ｔ_n+1＜..(ｔ_n＜ｔ＜ｔ_n+1)に対して,Ｑ_t(Ｍ;Δ)≡Σ_i=0^n-1(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)²＋(Ｍ_t－Ｍ_tn)²,Ｑ₀(Ｍ；Δ)≡0 と置きます。

以前の記事でブラウン運動{Ｂ_t}に関するものとして,再掲(定理2.3):"{Ｂ_t}_t∈TをＮ次元ブラウン運動とする。ｔ＞0 に対して分割 Δ:0＝ｔ₀＜ｔ₁＜ｔ₂＜..＜t_n＜ｔ＜ｔ_n+1を取り,|Δ|≡max_i|ｔ_i+1－ｔ_i |→ 0 とすると,各ｔに対してＥ[(∑_i=0^n-11Ｂ_ti+1－Ｂ_ti|²＋1Ｂ_t－Ｂ_n|²－Ｎｔ)²] → 0 となる。"という命題,

および"{Ｂ_t}を１次元ブラウン運動とすると,Ｂ_t, Ｂ_t²－ｔはそれぞれマルチンゲールである。"という命題が証明されています。

そこで,１次元ブラウン運動{Ｂ_t}に関し,|Δ|→ 0 のとき,Ｑ_t(Ｂ；Δ) → ｔ in Ｌ²(Ω)(Ｌ²は２乗可積分の空間＝"収束する"ことが差の絶対値の２乗がゼロに収束することを意味する空間)なること,またＢ_t²－ｔがマルチンゲールとなることが既にわかっています。

ここでは,これを任意のＭ＝{Ｍ_t}∈Ｍ_4,ｃに対して一般化します。

(定理７.2):Ｍ＝{Ｍ_t}∈Ｍ_4,ｃとする。

このとき＜Ｍ＞₀＝0 を満たす＜Ｍ＞∈Ａ_＋,cが存在して,|Δ|→ 0 のときＱ_t(Ｍ；Δ)→＜Ｍ＞_t in Ｌ²(Ω) ∀ｔとなり,Ｍ²－＜Ｍ＞がマルチンゲールとなる。

そして,Ｍ²－＜Ｍ＞がマルチンゲールとなるような＜Ｍ＞∈Ａ_＋,cで＜Ｍ＞₀＝0 を満たすものは唯１つである。

この定理を証明する前に準備として２つの補題を与え,証明します。 

(補題７.3):Ｍ＝{Ｍ_t}∈Ｍ_4,ｃとするとき,分割Δに依らない定数ｃが存在してＥ[Ｑ_t(Ｍ；Δ)²]≦ｃが成り立つ。

(補題7.3の証明)まず,ある定数Ｋ≧0 が存在して,|Ｍ_t|≦Ｋの場合に示します。

Δ:ｓ₀＝0＜ｓ₁＜．．＜ｓ_l＜ｔ＜..とします。

ｓ_l+1＝ｔとおくと,Ｑ_t(Ｍ;Δ)²＝{Σ_k=0^l(Ｍ_sk+1－Ｍ_sk)²}²＝Σ_k=0^l(Ｍ_sk+1－Ｍ_sk)⁴＋2Σ_j<k(Ｍ_sj+1－Ｍ_sj)²(Ｍ_sk+1－Ｍ_sk)²＝Σ_k=0^l(Ｍ_sk+1－Ｍ_sk)⁴＋2Σ_j(Ｍ_sj+1－Ｍ_sj)²{Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)}＝Σ_k=0^l(Ｍ_sk+1－Ｍ_sk)⁴＋2Σ_j{Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj(Ｍ;Δ)}{Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)}となります。

　ここで,Ｅ[{Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj(Ｍ;Δ)}{Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)}]＝Ｅ[{Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj(Ｍ;Δ)}(Ｍ_t－Ｍ_sj+1)²]です。

なぜなら,(補題7.1)の証明の中でＭ_tのマルチンゲール性を用いてＭ₀＝0 の場合のＥ[Ｍ_t²]の表現式を与えましたが,一般のＭ₀の場合にはＥ[Ｍ_t²－Ｍ₀²]＝Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)]が得られます。

よって,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)}＝Ｅ[Ｍ_t²－Ｍ_sj+1²]＝Ｅ[(Ｍ_t－Ｍ_sj+1)²]となるからです。

ここで,条件付期待値の性質:ＸがＧ-可測で積ＸＹが可積分ならＥ[ＸＹ|Ｇ ]＝ＸＥ[Ｙ|Ｇ ] (ａ.ｓ),およびＥ｢Ｅ[Ｘ|Ｇ]｣＝Ｅ[Ｘ] (ａ.ｓ)が成り立つことから,一般にＥ[ＸＹ]＝Ｅ[ＸＥ[Ｙ]]と書けることを用いました。 

そこで,結局,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)²]＝Ｅ[Σ_j=0^l(Ｍ_sj+1－Ｍ_sj)⁴]＋2Σ_jＥ[{Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj(Ｍ;Δ)}(Ｍ_t－Ｍ_sj+1)²]≦Ｅ[(sup_j|Ｍ_sj+1－Ｍ_sj|²＋2sup_j|Ｍ_t－Ｍ_sj+1|²)Ｑ_t(Ｍ;Δ)]≦12Ｋ²Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)]が得られます。

ここで,再びＭ_tのマルチンゲール性から,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)]＝Ｅ[Ｍ_t²－Ｍ₀²]≦Ｋ²なる,ことを用いるとＥ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)²]≦12Ｋ⁴＜∞です。

以上で,ある定数Ｋ≧0 が存在して|Ｍ_t|≦Ｋの場合に,補題が証明されました。

一般の場合はＭ^*_t≡sup_s≦t|Ｍ_s|とおいて,sup_j|Ｍ_sj+1－Ｍ_sj|²≦4(Ｍ^*_t)²と評価すれば,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)²]≦Ｅ[12(Ｍ^*_t)²Ｑ_t(Ｍ;Δ)]≦Ｅ[12²(Ｍ^*_t)⁴]^1/2Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)²]^1/2です。(シュヴァルツの不等式)

そこで,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ；Δ)²]≦Ｅ[12²(Ｍ^*_t)⁴]が得られます。

前記事で示した定理;再掲(定理6.1)"{Ｘ_t}_t∈Tを右連続非負劣マルチンゲールとし,Ｘ^*_T≡sup_0≦t≦T|Ｘ_t|とおくと(ⅰ)λ^pＰ(Ｘ^*_T≧λ)≦Ｅ[|Ｘ_T|^p],ｐ≧1 (ⅱ) Ｅ[|Ｘ^*_T|^p]≦[ｐ/(ｐ－1)]^pＥ[|Ｘ_T|^p],ｐ＞1 が成り立つ。"を用いると,Ｅ[(Ｍ^*_t)⁴]≦(4/3)⁴Ｅ[|Ｍ_t|⁴]です。

そこで,不等式Ｅ[Ｑ_t(Ｍ；Δ)²]≦12²(4/3)⁴Ｅ[|Ｍ_t|⁴]を得ます。

Ｍ＝{Ｍ_t}∈Ｍ_4,ｃなので,定義によってＥ[|Ｍ_t|⁴]＜∞ですから,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)²]＜∞と結論されます。(補題7.3の証明終わり)

(補題７.4):{Ｙ_sⁿ}をＦ_tに適合した連続確率過程でlim_n,m→∞Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_sⁿ－Ｙ_s^m|²]＝0 なるものとする。

このとき,連続確率過程{Ｙ_s}でＦ_tに適合したものがあり{Ｙ_sⁿ}の適当な部分列{Ｙ_s^nk}を取れば,Ｐ(sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s| → 0 as ｋ→ ∞)＝1であり,lim_k→∞Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s|²]＝0 となる。

(補題7.4の証明) ｎ_kをｎ_k≧ｎ_k-1,Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_sⁿ－Ｙ_s^m|²]≦1/2^3k；ｎ,ｍ≧ｎ_kなるように取ります。

このとき,チェビシェフの不等式によって,Ｐ(sup_s≦t|Ｙ_s^nk+1－Ｙ_s^nk|＞1/2^k)≦2^2kＥ[sup_s≦t|Ｙ_s^nk+1－Ｙ_s^nk|²] ≦1/2^k ですから,Σ_k=1^∞Ｐ(sup_s≦t|Ｙ_s^nk+1－Ｙ_s^nk|＞1/2^k)＜∞です。

それ故,再掲,ボレル・カンテリの補題:

"{Ａ_n}_n=1,2,..を集合列としＡをこれらの集合の無限個の共通に含まれる要素の集合,Ｐを確率測度とする。このとき,(ａ)ΣＰ(Ａ_n)＜∞ならＰ(Ａ)＝0 (ｂ)ΣＰ(Ａ_n)＝∞ で事象Ａ_nが独立ならばＰ(Ａ)＝1 である。"

からＰ(∩_m=1^∞∪_k=m^∞{sup_s≦t|Ｙ_s^nk+1－Ｙ_s^nk|＞1/2^k})＝0 です。

すなわち,Ω₀≡∪_m=1^∞∩_k=m^∞{sup_s≦t|Ｙ_s^nk+1－Ｙ_s^nk|≦1/2^k}とおけば,Ｐ(Ω₀)＝1 です。

ω∈Ω₀に対して,あるｍが存在してｋ≧ｍなる∀ｋに対してsup_s≦t|Ｙ_s^nk+1－Ｙ_s^nk|≦1/2^kですから,j≧i≧ｍに対してsup_s≦t|Ｙ_sⁿⁱ－Ｙ_s^nj|≦Σ_l=i^j-11/2^l≦1/2^i-1となります。

つまり,{Ｙ_s^nk}はＣ([0,ｔ](ｓ∈[0,ｔ]についての連続関数の集合に属するコーシー列) (ａ.ｓ)ですから,ある連続確率過程Ｙ_sがあって,sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s|→ 0 as ｋ→ ∞ ａ.ｓです。

また,lim_k→∞Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s|²]＝lim_k→∞lim_j→∞Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s^nj|²]≦lim_k→∞liminf_j→∞Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s^nj|²]＝0 が得られます。

(補題7.4の証明終わり)

　途中ですが,長くなったので,(定理7.2)を証明する準備ができたところで一旦終わります。

参考文献：長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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