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2007年7月11日 (水)

ブラウン運動と伊藤積分(8)

: 前回の記事では二次変分という量の説明が中途になりましたが,今回はその説明を完成させます。

 まず(定理7.2)の証明から始めます。

(定理7.2の証明)

まず,Mtに対して二次変分At≡<M>tが存在することをを仮定してその一意性の方から証明します。

  

すなわち,Mt2-AtとMt2-A~tは共にマルチンゲールでA,A~∈+,c,かつA0=A~0=0 を満たすとすると,At-A~t=(Mt2-A~t)-(Mt2-At)もマルチンゲールで,A-A~∈です。

 

そこで,(補題7.1)によってAt-A~t=A0-A~0=0 ∀t a.sが成立しますから,A=<M>が存在すれば,それは唯1つであることがわかります。

  次に,存在を証明します。

まず,分割Δを取って|Δ|→ 0 とすると,Qt(Mt;Δ)がL2(Ω)においてコーシー列を作ることを示します。

 Δ:0=t0<t1<t2<..<tn<tn+1<..で,tn<t<tn+1なる分割を取ります。

 

k<s<tk+1とすると,Mtのマルチンゲール性により,E[Mtk+1tk|s]=E[Mtk+1|s]Mtk=Mstk,およびE[Mtk+12|s]=E[Mtk+1|s]Mtk+1=Mstk+1です。

また,仮定により,tに適合している,つまりt-可測です。そしてtk<sより,ksですから,Mtks-可測になります。

そこで,"-可測で積XYが可積分ならE[XY|]=E[|] (a.s),特にE[|]= (a.s)である。"という条件付期待値の性質から[Mtk|s]=Mtkです。

 

つまり,これは"時刻sでの情報が既にわかっているという条件下では,sより前の時刻tkにおける確率変数Mtk(ω)(∀ω∈Ω)の値は完全に確定している。"という当然の性質ですが,これを用いるとE[Mtk2|s]=Mtk2が得られます。

したがって,マルチンゲールMに対しては,E[(Mtk+1-Mtk)2|s]=E[(Mtk+12+Mtk2-2Mtk+1tk)|s]=E[(Mtk+12+Ms2-2Mtk+1s|s] +Mtk2+Ms2-2Mstkです。

 

すなわち,E[(Mtk+1-Mtk)2|s]=E[(Mtk+1-Ms)2|s]+(Ms-Mtk)2なる等式を得ます。

そして,0≦l≦k-1では,tl,tl+1<sなので,もちろんE[(Mtl+1-Mtl)2|s]=(Mtl+1-Mtl)2であり,またE[(Ms-Mtk)2|s]=(Ms-Mtk)2です。

 

そこで,E[Qt(M;Δ)|s]=Σl=0 k-1(Mtl+1-Mtl)2+(Ms-Mtk)2+E[{(Mtk+1-Ms)2+Σi=k+1 n-1(Mti+1-Mti)2+(Mt-Mtn)2}|s]です。

 

すなわち,E[Qt(M;Δ)|s]=Σl=0 k-1(Mtl+1-Mtl)2+(Ms-Mtk)2+E[Mt2-Ms2|s]=Qs(M;Δ)+E[Mt2-Ms2|s]という表式が得られます。

したがって,E[Qt(M;Δ)-Qs(M;Δ)|s]=E[Mt2-Ms2|s],つまりE[Mt2-Qt(M;Δ)|s]=Ms2-Qs(M;Δ)となります。

 

結局,M={Mt}がマルチンゲールなら,{Mt2-Qt(M;Δ)}もマルチンゲールであることがわかりました。

次に,Δ'を別の分割とすれば,{Mt2-Qt(M;Δ')}もマルチンゲールですから,Lt≡Qt(M;Δ)-Qt(M;Δ')とおくと,L{Lt}もマルチンゲールです。そして,Mt4,cなのでtもL2(Ω)に属します。

 

そこで,E[Qt(M;Δ)-Qs(M;Δ)|s]=E[Mt2-Ms2|s]において,MtをLtに,ΔをΔ∪Δ'に,s0に,それぞれ読み換えることにより,E[Qt(L;Δ∪Δ')-Q0(L;Δ∪Δ')|0]=E[Lt2-L02|0]を得ます。

さらに,Q00,L0=0 であり,Qt,Lt20と独立なので,これはE[Qt(L;Δ∪Δ')]=E[Lt2]となります。

 

つまり,E[Qt(Qt(M;Δ)-Qt(M;Δ');Δ∪Δ')]=E[(Qt(M;Δ)-Qt(M;Δ')2]です。

 

そして,一般に成り立つ不等式(A-B)2=A22AB+B22A22B2を用いれば,Qt(Qt(M;Δ)-Qt(M;Δ');Δ∪Δ')≦2Qt(Qt(M;Δ);Δ∪Δ')+2Qt(Qt(M;Δ');Δ∪Δ')が得られます。

一方,分割Δ∪Δ'をΔ∪Δ':0=s0<s1<..<s<sl+1<..,;ただし,sl<t<sl+1としtj≦sk<sk+1≦tj+1とします。

 

sk+1(M;Δ)-Qsk(M;Δ)=(Msk+1-Mtj)2-(Msk-Mtj)2=(Msk+1-Msk)(Msk+1+Msk-2Mtj)ですから,Qt(Qt(M;Δ);Δ∪Δ')=Σk(Qsk+1(M;Δ)-Qsk(M;Δ))2(Qt(M;Δ)-Qsl(M;Δ))2=Σk(Msk+1-Msk)2(Msk+1+Msk-2Mtj)2(Mt-Msl)2(Mt+Msk-2Mtn)2です。

したがって,t(Qt(M;Δ);Δ∪Δ')≦supk|Msk+1+Msk-2Mtj|2t(M;Δ∪Δ')が成立します。

 

故に,E[(Qt(M;Δ)-Qt(M;Δ'))2]≦2E[Qt(Qt(M;Δ);Δ∪Δ')]+2E[Qt(Qt(M;Δ');Δ∪Δ')]≦2E[supk|Msk+1+Msk-2Mtj|4]1/2[Qt(M;Δ∪Δ')2]1/22E[supk|Msk+1+Msk-2Mtj'|4]1/2[Qt(M;Δ∪Δ')2]1/2となります。

ここで,supk|Msk+1+Msk-2Mtj|44(M*t)4,*tsups≦t|Ms|でMt4,cですから,これは有界です。

 

そこで,"ルベーグの収束定理=定積分の存在定理"によって,lim|Δ|,|Δ'|→0[supk|Msk+1+Msk-2Mtj|4]=0 です。

 

そして,(補題7.3)によれば,Mt4,cなるMに対して[Qt(M;Δ∪Δ')2]<∞ですから,結局lim|Δ|,|Δ'|→0[(Qt(M;Δ)-Qt(M;Δ'))2]=0 となることがわかりました。

ここで,∀t>0 に対して,分割列Δnをn→ ∞でn|→ 0 となるように取ります。

 

s(M;Δn)-Qs(M;Δm),s≦tはマルチンゲールなので,たった今示したことによって,|Δn|,|Δm|→ 0 のとき,E[sups≦t|Qs(M;Δn)-Qs(M;Δm)|2] → 0 です。

 

t(M;Δn)は t について連続なので,(補題7.4)によれば連続確率過程<M>s∈L2が存在して,(|s(M;Δn)<M>s|→ 0 as n→ ∞,s∈[0,t]について一様収束)=1,かつE[|s(M;Δn)<M>s|2] → 0 as n→ ∞,∀s<tが成立します。

また,予め∪n=1Δn[0,t]で稠密でΔnΔn+1∀nとなるように分割列n}を取っておくことにしておけばs1<s2,s1,s2∈ΔnならQs1(M;Δn)≦Qs2(M;Δn)なので,<M>sn=1Δnで単調非減少であり,<M>s,cとなります。

 

もちろん,<M>ttに適合しています。

そして{t2t(M;Δn)}はマルチンゲールですから,n→∞ の極限をとれば,{t2<M>t}もマルチンゲールです。

 

以上から,ブラウン運動{t}に対するマルチンゲール{Bt2-t}における分散tに対応して,{Mt}に対する二次変分<M>tが存在して一意的であることが示されました。

 

(定理7.2の証明終わり)

次に,M={Mt}を1つの右連続マルチンゲール,τを停止時刻としてMτt≡Mτ∧tとすると,Mτはマルチンゲールであること,そしてさらにM4,cとすると<Mτt=<M>τ∧tとなることを証明します。

(証明)(定理6.2)により,E[Mτ∧t|s]=Mτ∧sです。

 

なぜなら,s≦tとすると,τ∧t=tならE[Mτ∧t|s]=E[Mt|s]=M=Mτ∧sとなり,τ∧t=τならE[Mτ∧t|s]=E[Mτ|s]=Mτ∧sとなるからです。

 

よって,τ{Mτ}t{Mτ∧t}はマルチンゲールです。

 M4,cのときには,Nt≡Mt2-<M>tは2乗可積分マルチンゲールで,Nτt(Mτt)2-<M>τ∧t(Mτ∧t)2-<M>τ∧t=Nτ∧tはマルチンゲールであり,At<M>τ∧t,cです。

 

(定理7.2)よりt<M>t一意性によって,<Mτt=<M>τ∧tであることがわかります。(証明終わり)

さて,ここで局所マルチンゲールの定義を与えます。

(定義7.5):tに適合した右連続確率過程{Xt}に対して停止時刻の列{τn}があって,τn≦τn+1,∀n,limn→∞τn=∞ (ただし0≦t≦Tで考えるときは,limn→∞τn=T)を満たし,各nに対して{Xτn t}≡{Xτn ∧t}がマルチンゲールになるとき,元の確率過程:{Xt}は局所マルチンゲールであると言う。

 

 そして,局所マルチンゲール全体の空間をloc,連続局所マルチンゲール全体の空間をc,locと表わす。

(系7.6):M∈c,locとするとき,

(ⅰ)<M>0=0 なる<M>∈+,cがあって,M2-<M>は連続な局所マルチンゲールとなる。

 

(ⅱ)∀t>0 に対して[0,t]の分割の列{Δn}を取ると,lim|Δn|→0(sups≦t|Qs(M;Δn)-<M>s|>ε)=0 for ∀ε>0 となる。

 

(ⅲ)00 のとき2,cなることはE[<M>t]<∞,∀tと同値であり,さらにE[t 2]=[<M>t]である。

(証明)(ⅰ)仮定より,ある停止時刻の列:n}があって,Mτnはマルチンゲールとなります。

 

 σninf{t:|t |≧n}とおくと,σn↑∞であり,Mn≡Mσn∧τnは有界マルチンゲールとなります。

なぜなら,m≧nのときσn>σmであると仮定すると,σn>∃t>σm:m>|t |≧nですから,σninf{t:|t |≧n}に矛盾します。それ故,m≧nならσm≧σnであり,σn↑∞となります。

また,|t|≧nなるtの集合は閉集合なので,σnは停止時刻ですから,Mnは確かにマルチンゲールです。

 

そして,t≦σnなら|t|≦nですが,Mnt=Mσn∧τn∧tなので∀tに対して|nt|≦n,つまりnは有界なマルチンゲールです。

ここで,(定理7.2)により(Mn4,cという仮定の下で∀nについてAn,cが存在して(n)2nはマルチンゲールになります。

 

ところが,ρn≡σn∧τnとおくと,ρn≦ρn+1でありMnt=Mρn∧tですから,Mn+1ρn=Mρn+1∧ρn=Mρn=Mnρnです。

 

すなわち,(n+1ρn)2n+1ρn(nρn)2n+1ρnです。

 

そこで,Anの一意性から,n+1ρn=Anρnとなります。

そこで,∀t>0 に対して<M>tlimn→∞ntとおけば,(nt)2nt(ρn∧t)2-<M>ρn∧tであり,これがマルチンゲールですからMに対して一意的な<M>が存在して,Mが局所マルチンゲールとなることが証明されました。

(ⅱ)ρn↑∞なので,∀δ>0 に対してP(ρm≦t)<δとなるm=m(δ)が存在します。

  

 また,m=Mρmは有界マルチンゲールで,s≦ρmならMρms=Mρm∧s=Msですから,Qs(M;Δ)=Qs(Mρm,Δ),かつ<Ms=<Mρmsです。

 よって,s≦ρmならQs(M;Δ)-<Mss(Mρm;Δ)-ρmsですから,0≦s≦tのとき∀ε>0 に対し|s(M;Δ)-<Ms|>εとなる確率はmがP(ρm≦t)<δを満たしs≦ρm|s(Mρm;Δ)-ρms|>εとなる確率より小さいはずです。

 

 つまり,P(sup0≦s≦t|s(M;Δ)-<Ms|>ε)≦P(ρm≦t)+P(sup0≦s≦t|s(Mρm;Δ)-ρms|>ε) です。

そして,Mが局所マルチンゲールですから,|Δ|→0 に対してQs(Mρm;Δ)→ρmsです。それゆえ,結局limsup|Δ|→0(sup0≦s≦t|s(M;Δ)-<Ms|>ε)≦δという結論が得られます。

 

つまり,∀t>0 に対して[0,t]の分割の列 {Δn}を取るとき,lim|Δn|→0(sups≦t|Qs(M;Δn)-<M>s|>ε)=0 for ∀ε>0 となる。ことが示されたわけです。

(ⅲ)M2,c,M0=0 とします。

 2,cより4,cですから,E[(Mρnt)2-<Mρnt]=0 となります。

 

 したがって,E[<M>t]=limn→∞[<Mρnt]=limn→∞[(Mρnt)2]≦[t 2]です。

 

 逆にE[t 2]≦liminfn→∞[(Mρnt)2]liminfn→∞[<Mρnt]≦E[<M>tとなります。

(証明終わり)

(注意):この系により2,c,M0=0 なるMに対しても<M>∈+,c,<M>0=0 でM2-<M>がマルチンゲールとなるものが一意的に存在すること,がわかります。

(系7.7):M,Nを連続な局所マルチンゲールとする。

 このとき<M,N>0=0 なる<M,N>∈cが一意的に存在して,

 

(ⅰ)MN-<M,N>は連続な局所マルチンゲールである。

 

(ⅱ)∀t>0 に対して[0,t]の分割の列{Δn}を取ると,lim|Δn|→0(sups≦t|Qs(,Nn)-<M,N>s|>ε)=0 for∀ε>0 となる。

 

 ただし,Qs(,Nn)≡Σti+1<s(Mti+1-Mti)(Nti+1-Nti)+..+(Ms-Mtn)(Ns-Ntn),Δ:t0<t1<..<tn<..である。

(証明)(ⅰ)<M,N>≡(1/4)(<M+N>-<M-N>)とおくと,(系7.6)より(M+N)2-<M+N>,(M-N)2-<M-N>は<M+N>0=0,<M-N>0=0 を満たす連続な局所マルチンゲールであって<M+N>,<M-N>∈+,cが成立します。

 

 そして,(1/4)[(M+N)2-(M-N)2]=MNですから,<M,N>0=0,<M,N>∈cであって,MN-<M,N>は連続な局所マルチンゲールです。

(ⅱ)(系7.6)(ⅱ)より,lim|Δn|→0(sups≦t|Qs(M±N;Δn)-<M±N>s|>ε)=0 for ∀ε>0が成立します。

 

 これとQs(M,N;Δn)=1/4[Qs(M+N;Δn)-Qs(M-N;Δn)]からこの(系7.7)(ⅱ)が成立します。

(証明終わり)

ここで以前の記事でのブラウン運動の性質:再掲(補題4.9);"N次元t-ブラウン運動{t}={(Bt1,Bt2,..,BtN)}について,∀t≧s>0 に対して,(ⅰ)E[Bti|s]=Bsi;i=1,2,..,N (ⅱ)E[(Bti-Bsi)(Btj-Bsj)|s]=δij(t-s)である。"

という命題によって,{t}={(Bt1,Bt2,..,BtN)}をN次元t-ブラウン運動とすると,<Bi,Bjt=δijtとなることがわかります。

(命題7.8):M,N,Lを連続な局所マルチンゲールとすると,次の(ⅰ)~(ⅳ)が成立する。

(ⅰ)<M,N>=<N,M>

(ⅱ)<M+N,L>=<M,L>+<N,L>

(ⅲ)任意の定数aに対して<aM,N>=a<M,N>

(ⅳ)τを停止時刻とすると,<Mτ,Nτt=<Mτ,N>t=<M,N>τ∧tである。

 これらの証明はきわめてやさしく,命題が成り立つことはほぼ自明なので省略します。

※先の(定理7.2),または(系7.6)では連続な(局所)マルチンゲールに対して,その二次変分の存在を直接示しましたが,通常はDoob-Meyer分解と呼ばれる以下の定理を用いて二次変分の存在が示されます。

tを2乗可積分なマルチンゲールとすれば,Xt2は劣マルチンゲールですから,一般に非負劣マルチンゲールYtをマルチンゲールMtと増加過程Atの和としてYt=Mt+Atと分解できれば,Yt≡Xt2とおいて,対応する増加過程At=Xt2-MtをXtの二次変分<X>tとして定義することができます。

 ここでは,上のYt=Mt+Atの分解が可能であるという内容のDoob-Meyerの分解定理を証明なしに掲載しておくことにして今日の記事を終わりにしたいと思います。

 まず,準備として1つの定義を述べておきます。

(命題7.9):右連続な劣マルチンゲールXtがクラス(D)に属するとは,{Xσ:σは有限値の停止時刻}が一様可積分なるときをいい,クラス(DL)に属するとは,∀a>0 に対してXt∧aがクラス(D)に属するときをいう。

(命題7.10):(Doob-Meyerの分解定理)

 Ftが右連続で{A∈Ω|∃B∈:A⊂B,P(B)=0}⊂0を満たすとし,tに適合した右連続劣マルチンゲールYtがクラス(DL)に属するならば,右連続マルチンゲールMtと増加過程Atが存在してYt=Mt+Atを満たす。

 

 ここで,Atは自然増加過程とされる。さらに,Atを自然増加過程にとるとき,このような分解は一意的である。

     tが自然増加過程であるとは,任意の有界右連続マルチンゲールMtに対しE[∫0tsdAs]=E[∫0ts-dAs]なるときをいいます。

次回はいよいよ確率積分に入る予定です。

参考文献:長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

 

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