遅い粘性流(３)(Oseen近似)

非圧縮かつ密度が一様な単成分ニュートン流体の運動方程式はナビエ・ストークス方程式ρ(∂ｖ/∂ｔ)+ρ(ｖ・grad)ｖ＝－gradｐ＋η△ｖと"連続の方程式＝質量保存の方程式"divｖ＝0 で与えられます。

ここでρは流体の密度,ｖ＝ｖ(ｒ,ｔ)は流体の速度,ｐは圧力,ηは第一粘性率です。そして,特に∂ｖ/∂ｔ≡0 で流速ｖが時刻ｔによらないとし,無限遠において流れが一様ｖ＝Ｕｉ(ｒ＝|ｒ|→ ∞)となる流体系を考えます。

レイノルズ数(Reynolds number)Ｒが小さい遅い粘性流について,ストークス近似(Stokes近似)ではナビエ・ストークス方程式の右辺の粘性項と比較して"左辺第二項＝慣性項"全体を無視しましたが,今回はより高次の近似を考えるため,一様流に対する摂動をｖ'とします。

すなわち,ｖ＝Ｕｉ＋ｖ'によってｖ'を定義します。明らかにｖ'＝0 at |ｒ|→∞ です。

そこでｖ'の２次以上を無視すると,定常ナビエ・ストークス方程式は Ｕ(∂ｖ'/∂ｘ)＝－gradｐ/ρ＋η△ｖ'/ρ (1)となり,連続方程式はdivｖ'＝0 (2) となります。

この近似をオセーン(Oseen)近似といいます。

以下,ストークス近似のときと同様,半径ａの小球の中心を原点とし,そのまわりの遅い流れについての境界値問題を考察します。

ｖに対する境界条件がｖ＝0 at ｒ＝|ｒ|＝ａ；ｖ＝Ｕｉ,ｐ＝ｐ_∞ at ｒ＝∞ なので,ｖ'に対する境界条件はｖ'＝－Ｕｉ at ｒ＝ａ (3),ｖ'＝ 0 at ｒ＝∞ (4),ｐ＝ｐ_∞ at ｒ＝∞ (5) となります。

しかしながら,(3)から明らかなように球の付近では,摂動の仮定であるＵ＞＞|ｖ'|という条件が全く成立しません。

したがって,そこではむしろストークス近似の方が妥当な近似になります。オセーン近似というのは実際にはこうした欠点があるということを承知の上での近似であることに留意しておくことは重要です。

以下では,ストークス近似と同様な方法でｖ'の解を求めることを試みることにします。

まず,(1)の発散を取り,(2)を適用すると△ｐ＝0 (6) となります。したがってｐは軸対称な調和関数です。ｘ軸を極軸に取るとｐは次式で与えられます。ｐ＝ｐ_∞＋Σ_l=0^∞(Ａ_l/ｒ^l+1)Ｐ_l(cosθ)(7) です。

一方,オセーン近似の方程式:Ｕ(∂ｖ'/∂ｘ)＝－gradｐ/ρ＋η△ｖ'/ρ (1)は次のように変換することによって非斉次のヘルムホルツ方程式に帰着します。

すなわち,ｖ'≡ｖ~ｅ^kx,ｋ＝ρＵ/(2η) (8)とおけば,∂ｖ'/∂ｘ＝ｅ^kx{(∂ｖ~/∂ｘ)＋ｋｖ~},△ｖ'＝ｅ^kx{△ｖ~＋2ｋ(∂ｖ~/∂ｘ)＋ｋ²ｖ~}となります。

それ故,△ｖ'－(ρＵ/η)(∂ｖ'/∂ｘ)＝ｅ^kx(△－ｋ²)ｖ~ですから,結局,オセーン近似の方程式は,非斉次ヘルムホルツ方程式:(△－ｋ²)ｖ~＝(ｅ^-kx/η)gradｐ (9) になります。

一方,連続方程式:divｖ＝0 はｖ~の式ではdivｖ~＝－ｋｖ~_x (10) と表現されます。

また, ｖ~に対する境界条件は次のようになります。すなわち, ｖ~＝－Ｕｅ^-kxｉ at ｒ＝ａ (11),およびｖ~＝ 0 at ｒ＝∞ (12) です。

ヘルムホルツ演算子(△－ｋ²)に対する第一種グリーン関数を次の２つの式を満足するＧ(ｒ,ｒ')によって定義します。

すなわち,(△－ｋ²)Ｇ(ｒ,ｒ')＝δ(ｒ－ｒ') (13), Ｇ(ｒ,ｒ')＝0 at ｒ＝ａ,∞ (14) です。また,対称性:Ｇ(ｒ',ｒ)＝Ｇ(ｒ,ｒ')を要求します。

グリーンの公式によれば,∫_Ｖ(ｕ△ｖ－ｖ△ｕ)ｄＶ＝∫_Ｓ[ｕ(∂ｖ/∂ｎ)－ｖ(∂ｕ/∂ｎ)]ｄＳですから,∫_Ｖ[ｕ(△－ｋ²)ｖ－ｖ(△－ｋ²)ｕ]ｄＶ＝∫_Ｓ[ｕ(∂ｖ/∂ｎ)－ｖ(∂ｕ/∂ｎ)]ｄＳです。

故に,∫_Ｖ[ｖ~(△－ｋ²)Ｇ－Ｇ(△－ｋ²)ｖ~]ｄＶ＝∫_Ｓ[ｖ~(∂Ｇ/∂ｎ)－Ｇ(∂ｖ~/∂ｎ)]ｄＳが成立します。

グリーン関数の性質(13),(14)と対称性,そしてｖ~が(9)～(12)の解であることから次式が成立します。

ｖ~(ｒ)＝(1/η)∫_r'=a^r'=∞Ｇ(ｒ,ｒ')ｅ^-kr'cosθ'grad'ｐ(ｒ')ｄ³ｒ'＋ｉＵ∫_r'=∞ｅ^-kr'cosθ'{∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｒ'}ｄＳ'(15)です。

　次に,第一種グリーン関数Ｇ(ｒ,ｒ')を具体的に求めます。

よく知られているように,球対称であって,無限遠でゼロとなるようなヘルムホルツ演算子のグリーン関数は,湯川ポテンシャル－ｅ^-k|r-r'|/(4π|ｒ－ｒ'|)で与えられます。

つまり,(△－ｋ²)(ｅ^-k|r-r'|/|ｒ－ｒ'|)＝－4πδ(ｒ－ｒ')です。

そこで(13),(14)を満足するグリーン関数は,この湯川ポテンシャルに斉次ヘルムホルツ方程式(△－ｋ²)ψ(ｒ)＝0 の特殊解でｒ＞ａの領域で特異点を持たないものを加えることで得られるはずです。

そこで,ヘルムホルツ方程式:(△－ｋ²)ψ(ｒ)＝0 を解きます。ｒ'を極軸に取りｒのｒ'に対する偏角をωとするとＧ(ｒ,ｒ')は極軸に関して対称であり湯川ポテンシャルもまたそうです。

そこで,ψ(ｒ)も極軸に関して対称であるべきなのでψ(ｒ)＝ψ(ｒ, ω)とおけば,△ψ＝(1/ｒ²)[(∂/∂ｒ){ｒ²(∂ψ/∂ｒ)}]＋{1/(ｒ²sinω)}[(∂/∂ω){sinω(∂ψ/∂ω)}]となります。 

特に,ψ(ｒ,ω)≡Ｒ(ｒ)Ω(ω)とおいて(△－ｋ²)ψ(ｒ,ω)＝0 の変数分離の解を求めます。

このとき,(△－ｋ²)ψ＝0 は(1/ｒ²)[(ｄ/ｄｒ){ｒ²(ｄＲ/ｄｒ)}] Ω＋(Ｒ/ｒ²)(1/sinω)[(ｄ/ｄω){sinω(ｄΩ/ｄω)}]－ｋ²ＲΩ＝0 となります。

それ故,(1/sinω)[(ｄ/ｄω){sinω(ｄΩ/ｄω)}]＋λΩ＝0,(ｄ/ｄｒ){ｒ²(ｄＲ/ｄｒ)}－(ｋ²ｒ²＋λ)Ｒ＝0 が得られます。

この固有値λに対する固有値問題のω部分Ωについてのλに属する固有解の全てはΩ_λ(ω)＝Ω_l(ω)＝Ｐ_l(cosω),λ＝ｌ(ｌ＋1) (ただしｌ＝0,1,2...)で与えられます。

そこで,動径部分はｄ²Ｒ_l/ｄｒ²＋(2/ｒ)(ｄＲ_l/ｄｒ)－{ｋ²＋ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｒ_l＝0 を満たします。

これの解Ｒ_l(ｒ)は線形常微分方程式の解を与える公式集によれば,Ｒ_l(ｒ)＝Ｊ_l+1/2(ｋｒ)/ｒ^1/2です。

右辺のＪ_νはν次のベッセル関数であり,この表現は球ベッセル関数と呼ばれています。

あるいは,Ｂ,Ｃを任意定数としてＲ_l(ｒ)＝ＢＩ_l+1/2(ｋｒ)/ｒ^1/2＋ＣＫ_l+1/2(ｋｒ)/ｒ^1/2とも書けます。

ここにＩ_ν,Ｋ_νはそれぞれν次の第一種,第二種の変形ベッセル関数です。

これらのうちで,ｒ→∞ で有限な解はＫ_l+1/2(ｋｒ)/ｒ^1/2の定数倍で与えられるので,結局ψ(ｒ,ω)＝Σ_l=0^∞{ｃ_lＫ_l+1/2(ｋｒ)/ｒ^1/2}Ｐ_l(cosω)と表わすことができます。

かくして,Ｇ(ｒ,ｒ')＝－ｅ^-k|ｒ-r'|/(4π|ｒ－ｒ'|)＋Σ_l=0^∞{ｃ_lＫ_l+1/2(ｋｒ)/ｒ^1/2}Ｐ_l(cosω)(ｒ≧ａ)です。

ここで,以前のストークス近似でも記述したようにｒ＝(ｒ,θ,φ),ｒ'＝(ｒ',θ',φ')なら,cosω＝cosθcosθ'＋sinθsinθ'cos(φ－φ'),Ｐ_l(cosω)＝Ｐ_l(cosθ)Ｐ_l(cosθ')＋2Σ_m=1^l{(ｌ－ｍ)!/(ｌ＋ｍ)!}Ｐ^m_l(cosθ)Ｐ^m_l(cosθ')cos{ｍ(φ－φ')}が成立します。

これらの公式とＰ_l,Ｐ^m_lの直交性を用いて,ｒ＝ａでＧ(ｒ,ｒ')＝0 となるような係数ｃ_lを求めます。 

まず,ｅ^-k|ｒ-r'|/|ｒ－ｒ'|を変形ベッセル関数とルジャンドル多項式の積の級数に展開すると,ｅ^-k|ｒ-r'|/|ｒ－ｒ'|＝(ｒｒ')^-1/2Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)Ｉ_l+1/2(ｋｒ)Ｋ_l+1/2(ｋｒ')}Ｐ_l(cosω)(ａ≦ｒ＜ｒ'),およびｅ^-k|ｒ-r'|/|ｒ－ｒ'|＝(ｒｒ')^-1/2Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)Ｉ_l+1/2(ｋｒ')Ｋ_l+1/2(ｋｒ)}Ｐ_l(cosω) (ａ≦ｒ'＜ｒ) となります。

それ故,Ｇ(ｒ,ｒ')＝[－1/{4π(ｒｒ')^1/2}]Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)Ｐ_l(cosω){Ｉ_l+1/2(ｋｒ)Ｋ_l+1/2(ｋｒ')－Ｉ_l+1/2(ｋａ)Ｋ_l+1/2(ｋｒ')Ｋ_l+1/2(ｋｒ)/Ｋ_l+1/2(ｋａ)} (ａ≦ｒ＜ｒ') (16-1),

および,Ｇ(ｒ,ｒ')＝[－1/{4π(ｒｒ')^1/2}]Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)Ｐ_l(cosω){Ｉ_l+1/2(ｋｒ')Ｋ_l+1/2(ｋｒ)－Ｉ_l+1/2(ｋａ)Ｋ_l+1/2(ｋｒ')Ｋ_l+1/2(ｋｒ)/Ｋ_l+1/2(ｋａ)} (ａ≦ｒ'＜ｒ) (16-2) を得ます。

これは確かにｒ,ｒ'について対称です。

求める第一種のグリーン関数が(16-1,2)式によって完全に求まったので,ｖ~(ｒ)＝(1/η)∫_r'=a^r'=∞Ｇ(ｒ,ｒ')ｅ^-kr'cosθ'grad'ｐ(ｒ')ｄ³ｒ'＋ｉＵ∫_r'=∞ｅ^-kr'cosθ'{∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｒ'}ｄＳ' (15) に従ってｖ~(ｒ)を求めます。

まず,(15)の右辺第二項(剰余項)を計算します。

ｅ^-kacosθ'＝{π/(2ｋａ)}^1/2Σ_l=0^∞(－1)^l(2ｌ＋1)Ｐ_l(cosθ')Ｉ_l+1/2(ｋａ)であり,一方[Ｉ_l+1/2(ｋｒ)/ｒ^1/2}'＝－(1/2)ｒ^3/2Ｉ_l+1/2(ｋｒ)＋ｋｒ^-1/2Ｉ'_l+1/2(ｋｒ),[Ｋ_l+1/2(ｋｒ)/ｒ^1/2}'＝－(1/2)ｒ^3/2Ｋ_l+1/2(ｋｒ)＋ｋｒ^-1/2Ｋ'_l+1/2(ｋｒ)です。

そして,Ｉ'_ν(ｚ)Ｋ_ν(ｚ)－Ｉ_ν(ｚ)Ｋ'_ν(ｚ)＝1/ｚを用いると,{∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｒ'}_r'=a＝[－1/{4πａ(ａｒ)^1/2}]Σ_l=0^∞[(2ｌ＋1)Ｐ_l(cosω)Ｋ_l+1/2(ｋｒ)/Ｋ_l+1/2(ｋａ)]なので,次式が得られます。

すなわち,Ｕ∫_r'=∞ｅ^-kr'cosθ'{∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｒ'}ｄＳ'＝ａ²Ｕ∫₀^2πｄφ'∫_-1¹ｄ(cosθ'){∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｒ'} _r'=aより,(15)の"右辺第二項(剰余項)"＝Ｕ∫_r'=∞ｅ^-kr'cosθ'{∂Ｇ(ｒ,ｒ')/∂ｒ'}ｄＳ'＝－Ｕ{π/(2ｋ)}^1/2Σ_l=0^∞[(－1)^l(2ｌ＋1)Ｐ_l(cosθ){Ｉ_l+1/2(ｋａ)/Ｋ_l+1/2(ｋａ)}{Ｋ_l+1/2(ｋｒ)/ｒ^1/2}] (17)を得ます。

ここで,計算においては三角関数とルジャンドル多項式の直交性を用いました。

(15)式の右辺第一項を求めるために,ｐ＝ｐ_∞＋Σ_l=0^∞(Ａ_l/ｒ^l+1)Ｐ_l(cosθ).(7)からgradｐを求めます。

これは既に前記事で得られた表式と同じです。

∂ｐ/∂ｘ＝－Σ_l=0^∞{(ｌ＋1)Ａ_l/ｒ^l+2}Ｐ_l+1(cosθ)(18),∂ｐ/∂ｙ＝－Σ_l=0^∞(Ａ_l/ｒ^l+2)Ｐ¹_l+1(cosθ)cosφ(19),∂ｐ/∂ｚ＝－Σ_l=0^∞{(ｌ＋1)Ａ_l/ｒ^l+2}Ｐ¹_l+1(cosθ)sinφ (20) ですね。

ｖ~(ｒ)を与える(15)式の右辺第一項の表式は(1/η)∫_r'=a^r'=∞Ｇ(ｒ,ｒ')ｅ^-kr'cosθ'grad'ｐ(ｒ')ｄ³ｒ'＝(1/η)∫₀^2πｄφ'∫_-1¹ｄ(cosθ')∫_a^∞ｄｒ'ｒ'²[{π/(2ｋａ)}^1/2Σ_l=0^∞(－1)^l(2ｌ＋1)Ｐ_l(cosθ')Ｉ_l+1/2(ｋａ)]Ｇ(ｒ,ｒ')grad'ｐ(ｒ')です。

これに,(16)のＧ(ｒ,ｒ'),および(18)～(20)のgrad'ｐ(ｒ')の表現式を代入します。

というところで当時は力尽きて未完となっています。

ここから先は当時会社の先輩で契約社員だったＮ大理工学部助手(当時)のＭ前(Ｍさき)さんに頼んで,Ｎ大の図書館からこの計算についての1928年のゴールドスタイン(Goldstein)の論文のコピ－を取ってきてもらって,フォローしています。

その内容についてのノートは1982年の6月という２年後に移行しています。そこで切りがいいので今日はここまでにします。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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