遅い粘性流(５)(Stokes近似)

遅い粘性流の項目を終わりにするに当たって1982年5月の覚書きノートから「Ｉ.Ｉmai(今井功)の方法(1972)によるストークス(Stokes)方程式の一般解」を紹介します。

まず,非圧縮性流体の定常流のストークス方程式と連続方程式はη△ｖ＝gradｐ (1),divｖ＝0 (2)と表わされます。

そこで,今 △φ＝0 を満足するあるベクトル場:φ (3)によってｐ＝2ηdivφ (4)と表わされたとします。

このとき(1),(2)の１つの解ｖ₁は次式で与えられます。すなわち,ｖ₁＝grad(ｒφ)－2φ (5) です。これが実際に解であることはｖ＝ｖ₁を直接(1),(2)に代入することで確かめられます。

次に一般解をｖとして,ｖ'≡ｖ－ｖ₁とおけば,△ｖ'＝0 ,divｖ'＝0 となります。第２の式によって,ｖ'＝rotＡなるＡが存在します。

そして第１の式から,△ｖ'＝rot(△Ａ)＝0 なので,ある関数χが存在して△Ａ＝gradχと書けます。

ここで,△Ψ＝－χなるΨによって,ゲージ変換:Ａ'＝Ａ＋gradΨを施せば △Ａ'＝0 とできることがわかります。

以上から,一般解ｖはｖ＝ｖ₁＋rotＡ(6),△Ａ＝0 (7)と表わすことができることがわかります。

そこで,χ≡－Ａ/2, △Φ＝0 (8)なるχ,Φを用いてφ'＝φ＋gradΦ＋rotχ(9)とおけば,△φ'＝△φ＝0 ,divφ'＝divφ(10)が成立し,grad(ｒφ')－2φ'＝ｖ₁＋grad{ｒgradΦ－2Φ＋ｒrot(－Ａ/2)}＋rotＡ (11)と書けます。

したがって,ｒgradΦ－2Φ－(ｒ/2)rotＡ＝一定となるような調和関数Φが存在すれば,φ'をｖ₁＝grad(ｒφ)－2φ(15)のφの代わりに用いてｖ＝grad(ｒφ')－2φ'とすることで,一般解ｖが与えらます。

今,Φ＝Σ_lΦ_l,Ａ＝Σ_lＡ_l (12)と,Φ,Ａをl次の体球関数Φ_l,Ａ_l(調和関数であってｘ,ｙ,ｚのｌ次の同次式):Φ_l＝Σ_mｃ_lmｒ^lＹ_lm(θ,φ),Ａ_l＝Σ_mｄ_lmｒ^lＹ_lm(θ,φ))で展開すれば,(ｌ－2)Φ_l＝(ｒ/2)rotＡ_l＋const.δ_l0(13)が得られます。

そこで,Ａ₂≠0 でもｒrotＡ₂＝0 のケースには,ｌ≠2なるｌに対するΦ_lとしてΦ_l＝ｒrotＡ_l/{2(ｌ－2)}と取れば,求めるΦ＝Σ_lΦ_lが存在することがわかります。

すなわち,Φ＝(1/2)Σ_l≠2[ｒrotＡ_l/(ｌ－2)] (14) です。

さらにｒrotＡ₂≠0 のケースでも(9)とは別のφ'の選び方でｖ＝grad(ｒφ')－2φ' (5)'の形に帰着できることが予想されます。

今井功 著「流体力学」(1973)(裳華房)

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