フォノンと多体問題（超伝導の基礎）(４)

前回はイオン系のイオン振動を量子化して,"調和振動をする自由粒子＝フォノン(phonon)"の集まりとして定式化しましたが,今度は電子系を第２量子化して電子波の集まりとする定式化を行ないます。 

運動量ｈ_cｋとスピンσを持つ電子を消滅する演算子をａ_kσ,生成する演算子をａ_kσ^＋と書けば,これらは互いにエルミート共役です。ただしｈ_c≡ｈ/(2π)でｈはプランク定数です。

そして,フォノンにおいて,演算子ｂ_k^＋ｂ_kの固有値がその占有数Ｎ_kを与えたのと同じく,演算子ａ_kσ^＋ａ_kσもエルミート演算子であり,その固有値は電子系の状態:(ｋ,σ)を占める電子の占有数:ｎ_kσです。

しかし,電子は"フェルミオン(Fermion)＝フェルミ粒子"であり,ｎ_kσは 0と1の２つの値しか取ることができないというパウリの排他原理(禁制原理)があります。

これは,"フェルミオンから成る同種多粒子系の波動関数は粒子の入れ換えに対して反対称で,粒子を入れ換えると,その符号を変える"というより根源的な法則に根ざしています。

こうした法則は,生成・消滅演算子ａ_kσとａ_kσ^＋が交換関係ではなくて,反交換関係を満足するとすれば,この関係の反映として自然に得ることができます。

すなわち,２つの演算子Ａ,Ｂの反交換子を{Ａ,Ｂ}≡ＡＢ＋ＢＡによって定義し,ａ_kσとａ_kσ^＋の間には,次のような反交換関係が成立するとします。

{ａ_kσ,ａ_k'σ'^＋}＝δ_kk'δ_σσ',{ａ_kσ,ａ_k'σ'}＝{ａ_kσ^＋,ａ_k'σ'^＋}＝0 です。

これに,ｋ­＝ｋ',σ＝σ'を代入すれば,ａ_kσ²＝(ａ_kσ^＋)²＝0 となります。これは,同じ(ｋ,σ)を持つ電子を２個以上生成したり消滅したりすることはできないことを意味し,確かにパウリの排他原理が実現されるための十分条件になっています。

また,(ａ_kσ^＋ａ_kσ)²＝ａ_kσ^＋(1－ａ_kσ^＋ａ_kσ)ａ_kσ＝ａ_kσ^＋ａ_kσなので,ａ_kσ^＋ａ_kσの固有値は確かに0と1の２つに限られます 。

電子気体の全エネルギーは,演算子Ｈ_e＝∑_k∑_σε_kａ_kσ^＋ａ_kσの固有値と見なせます。そして,全電子数は演算子N ＝∑_k∑_σａ_kσ^＋ａ_kσの固有値で与えられると考えられます。

ただし,正確な電子のエネルギーの表式は,Ｈ_e＝∑_k∑_σε_k(ａ_kσ^＋ａ_kσ－1/2)で,フォノンの場合と同じく最低状態でも零点エネルギーがあります。

ただ,電子のようなフェルミ粒子では,零点エネルギーは負の無限大になります。

いずれにしても,これによって,観測量としての物理的エネルギーを表現するには,エネルギーの原点をずらす必要があります。

(そういえば,過去にはボーズ粒子(boson)の零点エネルギーの正の無限大と,フェルミ粒子のそれの負の無限大が相殺する結果として,物理的世界が有限に収まるという主旨の論文もありました。

(超対称性(Boson-Fermion対称性)も,これを実現するようです。))

次に,運動量,または波数ｋによる表示の生成・消滅演算子ａ_kσ,ａ_kσ^＋を各点の位置ｒでの表現と考える座標表示の演算子を定義します。

すなわち,ψ_σ(ｒ)をψ_σ(ｒ)≡Ｖ^-1/2∑_kexp(iｋｒ)ａ_kσ,ψ_σ^＋(ｒ)≡Ｖ^-1/2∑_kexp(－iｋｒ)ａ_kσ^＋によって定義します。

これが,電子波を表わす演算子であると考えると,そのフーリエ係数が運動量表示の生成・消滅演算子となります。結局,主要な論旨は"イオン振動＝フォノン"の場合と同じになります。

電子気体のエネルギーＨ_eや全電子数N は座標表示でも表現できて,Ｈ_e＝∫ｄｒΣ_σψ_σ^＋(ｒ)[－ｈ_c²∇²/(2ｍ)＋Ｕ₀]ψ_σ(ｒ),N ＝∫ｄｒΣ_σψ_σ^＋(ｒ)ψ_σ(ｒ)となります。

そこで,Σ_σψ_σ^＋(ｒ)ψ_σ(ｒ)は各点ｒにおける電子数密度を表わす演算子と考えることができます。

そして,電子系も自由なジェリウム電子気体ではなく,外力が作用している,つまりポテンシャルが定数:Ｕ₀ではなくてＵ(ｒ)で与えられるときには,電子ハミルトニアンＨ_eにおいて,Ｕ₀を含む項を次の式で置き換えればよいことがわかります。

すなわち,∫ｄｒＵ(ｒ)Σ_σψ_σ^＋(ｒ)ψ_σ(ｒ)＝Ｖ^-1∑_k∑_k'Σ_σＵ_k－k'ａ_kσ^＋ａ_k'σで置き換えればいいわけです。ここで,Ｕ_k－k'はフーリエ展開Ｕ(ｒ)≡Ｖ^-1/2∑_qＵ_q exp(iｑｒ)の係数です。

例えば,外場が不純物原子による遮蔽ポテンシャルＵ(ｒ)＝Ｑexp(－ｋ_sｒ)/ｒである場合なら,Ｕ_q＝(Ｖ)^-1/24πＱ(ｑ²＋ｋ_s²)です。

そして,∫ｄｒＵ(ｒ)Σ_σψ_σ^＋(ｒ)ψ_σ(ｒ)＝Ｖ^-1∑_k∑_k'Σ_σＵ_k－k'ａ_kσ^＋ａ_k'σの右辺のａ_kσ^＋ａ_k'σは運動量がｈ_cｋ'の電子を消滅させて運動量がｈ_cｋの電子を生成する働きを表わしているので,これは外力によって電子の運動方向が曲げられる散乱過程を表現しています。

これは,ファインマン・ダイアグラム(Feynman-diagram)でいえば,１本の電子線が位置ｒでポテンシャルの作用を受けて曲がるという,１本の折れ線軌跡を表わしていると考えられます。

もしも,電磁場の中での２個の電子の衝突のように,２本の折れ線が相互作用するダイアグラムなら,これは摂動の２次,つまり∫ｄｒＵ(ｒ)Σ_σψ_σ^＋(ｒ)ψ_σ(ｒ)＝Ｖ^-1∑_k∑_k'Σ_σＵ_k－k'ａ_kσ^＋ａ_k'σの形の項の２次の相互作用です。

位置ｒ₁,ｒ₂にある２個の電子に働く２体力のポテンシャルを改めてＵ(ｒ₁－ｒ₂)と書けば,それによるエネルギーは(1/2)∫∫ｄｒ₁ｄｒ₂Ｕ(ｒ₁－ｒ₂)Σ_σ1Σ_σ2ψ_σ1^＋(ｒ₁)ψ_σ2^＋(ｒ₂)ψ_σ2(ｒ₂)ψ_σ1(ｒ₁)＝[1/(2Ｖ)]Σ_q∑_k1∑_k2Σ_σ1Σ_σ2Ｕ_qａ_k1＋qσ1^＋ａ_k2－qσ2^＋ａ_k2σ2ａ_k1σ1となります。

イオン振動に伴なって電場が生じますが,電子はこの電場から力を受けるわけです。

このプロセスを量子論の描像で見ると,電子とフォノンの相互作用であると見なすことができます。この相互作用ハミルトニアンは以下のように求めることができます。

すなわち,イオン振動におけるイオンの変位ｕ(ｒ,ｔ)のフーリエ展開をｕ(ｒ,ｔ)＝Ｖ^-1/2∑_kiｋ^-1ｋη_k(ｔ)exp(iｋｒ)とすると,この"変位＝ゆらぎ"によって生じる電荷密度はΔρ_i(ｒ)≡Ｖ^-1/2∑_kｑ_kexp(iｋｒ)＝－Ｖ^-1/2∑_kＺｅｎ_iｋη_kexp(iｋｒ)で与えられます。

この電荷密度から誘起される電場のポテンシャル:Ａ₀(ｒ)＝Ｖ^-1/2∑_kＡ_kexp(ｉｋｒ)は,ポアソン方程式:－ε(ｋ)ｋ²Ａ_k＝4πｑ_kを満たします。そこで,Ａ_k＝4πＺｅｎ_iｋη_k/ε(ｋ)です。

ここで,電子の雲で遮蔽された電場の誘電率は,ε(ｋ)＝1＋ｋ_s²/ｋ²,ｋ_s＝(6πｎｅ²/ε_F)^1/2で与えられます。

そして,イオンの満たすべき運動方程式Ｍ(∂²ｕ/∂ｔ²)＝Ｚｅ(∂Ａ₀/∂ｒ)の波数ｋによる表示は,ｄ²η_k/ｄｔ²＝－(Ｚｅ/Ｍ)ｋＡ_k＝－ω_k²η_kなる"単振動＝調和振動"の方程式に帰着します。

これの一般解としてのη_kを,η_k＝(2Ｍｎ_i)^-1/2[Ｂ_k exp(－iω_kｔ)＋Ｂ_-k^*exp(iω_kｔ)]と表現し,結果として得られるイオンの振動エネルギーの表現はＨ_V ＝∑_kω_k²Ｂ_k^*Ｂ_kです。

これをＨ_V ＝∑_kｈ_cω_ｋｂ_k^＋ｂ_kなる形に量子化する手続き:Ｂ_k→(ｈ_c/ω_ｋ)^1/2ｂ_k,Ｂ_k^*→(ｈ_c/ω_ｋ)^1/2ｂ_k^＋を実行すれば,イオン振動によって誘起される電場のポテンシャルＡ₀(ｒ)のフーリエ係数Ａ_k,したがってＡ₀(ｒ)そのものも,ｂ_kやｂ_k^＋の１次関数で表わされます。

すなわち,ｂ_kとｂ_k^＋によるη_kの表式は,η_k＝{ｈ_c/(2Ｍｎ_iω_ｋ)}^1/2[ｂ_kexp(－iω_kｔ)＋ｂ_-k^＋exp(iω_kｔ)]となります。

それ故,Ａ_k＝－{ｈ_c/(2Ｍｎ_iω_ｋ)}^1/2[4πＺｅｎ_i/{ｋε(ｋ)}][ｂ_kexp(－iω_kｔ)＋ｂ_-k^＋exp(iω_kｔ)]と書けます。

そして,電子-フォノン相互作用のポテンシャル:Ｕ(ｒ)は上述の電場のポテンシャルＡ₀(ｒ)≡Ｖ^-1/2∑_kＡ_k exp(iｋｒ)を用いて,Ｕ(ｒ)＝ｅＡ₀(ｒ)＝Ｖ^-1/2∑_kｅＡ_k exp(iｋｒ)と表わされます。

この表式から,電子-フォノン相互作用のエネルギーは:Ｈ_eV＝∫ｄｒＵ(ｒ)Σ_σψ_σ^＋(ｒ)ψ_σ(ｒ)＝Ｖ^-1∑_k∑_k'Σ_σＵ_k－k'ａ_kσ^＋ａ_k'σ＝－Ｖ^-1/2Σ_p∑_kΣ_σα_kａ_p＋kσ^＋ａ_pσ[ｂ_k exp(－iω_kｔ)＋ｂ_-k^＋exp(iω_kｔ)]となります。

ただし,α_k≡{ｈ_c/(2Ｍｎ_iω_ｋ)}^1/2[4πＺｅｎ_i/{ｋε(ｋ)}]です。

ここで,フォノンの生成・消滅演算子として,ｂ_k^＋,ｂ_kを用いる代わりに,それぞれ,ｂ_k^＋exp(iω_kｔ),ｂ_kexp(－iω_kｔ)を採用して,これらを改めてｂ_k^＋,ｂ_kと表わすことにします。

つまり,時間ｔを陽には含まないシュレーディンガー表示の演算子から時間ｔを陽に含むハイゼンベルク表示のそれに移行します。

これはユニタリ変換による表示の違いに過ぎませんから,ｂ_k,ｂ_k^＋の交換関係や,それによる振動子ハミルトニアンの表現Ｈ_V ＝∑_kｈ_cω_ｋｂ_k^＋ｂ_k,および全フォノン数∑_kｂ_k^＋ｂ_kなどの表現は,もちろん,不変です。 

しかしながら,この表示の変更によって,電子-フォノン相互作用のポテンシャル:Ｕ(ｒ)＝ｅＡ₀(ｒ)＝Ｖ^-1/2∑_kｅＡ_k exp(iｋｒ)では,係数Ａ_kが,Ａ_k＝－{ｈ_c/(2Ｍｎ_iω_ｋ)}^1/2[4πＺｅｎ_i/{ｋε(ｋ)}](ｂ_k＋ｂ_-k^＋)となって,ｔを陽に含まない形になります。

そこで,外見上は通常のクーロン場と同じく,定常状態の静電ポテンシャルに見えるようになります。

そして,その結果,電子-フォノンの相互作用ハミルトニアンも,Ｈ_eV＝－Ｖ^-1/2Σ_p∑_kΣ_σα_kａ_p＋kσ^＋ａ_pσ(ｂ_k＋ｂ_-k^＋)となって,外見上はｔを陽に含まない定常形；となります。 

既に注意したように,この相互作用は一方では高温(Ｔ＞＞Θ_D)における金属の電気抵抗の主要原因となり,他方では電子間に引力を与え,この引力は超伝導を引き起こす原因になります。

そこで,まず電気抵抗の原因としてのフォノンの作用を考察します。 

単純な電子気体モデルで考えるとき,電流の表式Ｊ＝Σ_kΣ_σ(ｅｈ_cｋｎ_kσ/ｍ)において,電子の占有数ｎ_kσを熱平衡での平均値＜ｎ_kσ＞に置き換えても,結局これらは時間的には変動するわけではないので,仮にある時刻でＪ≠0 であれば,この値がいつまでも持続して電気抵抗はゼロであるということになります。

ところが,有限温度での金属中ではフォノンが"熱的に＝無秩序に"励起されているので,電子-フォノン相互作用を考慮すると電子はこれらのフォノンを吸収・放出することにより,その運動方向を不規則に曲げ,いわゆるブラウン運動を行なうことになります。

初め電子の運動方向がある程度揃っていて,その平均速度がゼロでない値ｖを持っていたとしても,ブラウン運動によって運動方向は次第に乱れｖは減少してゆきます。

微小ですが,フォノンによる電子の散乱が十分多数回起こっているような適当な時間Δｔを取り,Δｔの間のｖの減少高を－Δｖとすると,ΔｖはΔｔとｖ自身に比例して,Δｖ＝－(ｖ/τ)Δｔと書けると考えられます。

ここで,パラメータ(1/τ)はフォノンによる電子散乱の確率です。

つまりτは"平均自由運動時間＝緩和時間"です。そして電子散乱の確率(1/τ)はフォノンの総数Ｎ_phに比例する量です。

緩和時間τを考慮すると電場内の電子の運動方程式がｄｐ/ｄｔ＝ｅＥ－ｐ/τで与えられることは,既に何度か述べています。

ブラウン運動による速度減少を打ち消して,ｖを一定に保つためには金属内に電場:Ｅ＝ｐ/(ｅτ)＝ｍｖ/(ｅτ)を恒常的に作るための外部起電力が必要です。

逆に,外部起電力による電場Ｅがあるとき,それと釣り合うための電子の平均速度はｖ＝ｅτＥ/ｍとなりますから,電流密度はｊ＝ｎｅｖ＝ｎｅ²τＥ/ｍとなります。

そこで,σを電気伝導度,ρ＝1/σを電気抵抗として,オームの法則(Ohm's law)をｊ＝σＥ,あるいはＥ＝ｊ/ρと書けば,σ＝ｎｅ²τ/ｍ,ρ＝ｍ/(ｎｅ²τ)と表わすことができることがわかります。

ところで,常温Ｔでのフォノンの総数はＮ_ph＝[3Ｖ/(2π²ｓ³)]∫₀^ωmω²ｄω/[exp{ｈ_cω/(ｋ_BＴ)}－1];ω_ｍ＝(6π²Ｎ_i)^1/3ｓで与えられます。

Ｔ＞＞Θ_Dでは,1/[exp{ｈ_cω/(ｋ_BＴ)}－1]～ｋ_BＴ/(ｈ_cω)ですから,Ｎ_ph＝[3Ｖ/(2π²ｓ³)](ｋ_BＴ/ｈ_c)∫₀^ωmωｄω＝[3ω_ｍ²Ｖ/(4π²ｈ_cｓ³)](ｋ_BＴ)＝[9Ｎ_i/(2ｈ_cω_ｍ)](ｋ_BＴ)となります。

よって,常温Ｔ＞＞Θ_Dでは,フォノンの総数Ｎ_phは絶対温度Ｔに比例します。

そこで,電子散乱の確率(1/τ),それ故,電気抵抗ρ＝ｍ/(ｎｅ²τ)も絶対温度Ｔに比例します。

低温では励起されているのは,ωの小さい長波長のフォノンだけで,その数はＴ³に比例するばかりではなく,長波長のフォノンを吸収・放出したときに起こる電子の運動方向の変化は僅かであるため,電気抵抗ρはＴ⁵に比例して急速に小さくなります。

しかし,超伝導現象というのは絶対温度Ｔがゼロになる前の有限のＴで急に電気抵抗ρがゼロになって消えてしまうという現象です。

これが起こるのは低温では,フォノンによる引力のため,電子が"電子対＝クーパー対"を作って外見上は電子２個ずつのボーズ粒子になるためであると考えられています。

すなわち,電子対の総数Ｎ/2に対するボーズ分布の規格化条件は,Ｎ/(2Ｖ)＝(2ｍｋ_BＴ)^1/2/(2π²ｈ_c³)Ｆ_1/2(ｅ^-α) (ただしＦ_1/2(ｅ^-α)≡Σ_n=1^∞ｅ^-nα/ｎ^3/2；α≡－μ/(ｋ_BＴ))となります。

左辺の数密度Ｎ/(2Ｖ)を一定に保ったまま温度Ｔを下げていって,ゼロに近づけていくとＦ_1/2(ｅ^-α)→∞ になるべきなのですが,μ≦0 が必要条件なので,Ｆ_1/2(ｅ^-α)はα＝－μ/(ｋ_BＴ)＝0 の極限で有限な最大値Ｆ_1/2(1)＝ζ(3/2)≒2.612を取り,Ｔ→ 0 でも→∞ となることは不可能です。

そこで,温度Ｔがこの値を与える限界の温度Ｔ_cより低いときには,上述の規格化条件から,物理的に意味のある化学ポテンシャルμを見出すことはできません。

これは,実際には離散的なエネルギー状態密度を連続的な積分で近似することで規格化条件を表現したために生じた矛盾です。

Ｔ≦Ｔ_cでは,ε＝0 の最低エネルギー状態に莫大な数のボーズ粒子が凝縮すると考えて,この最低エネルギー状態を占める電子対の巨視的な個数密度をｎ₀と書き,正しい規格化条件がｎ₀＋(2ｍｋ_BＴ)^1/2/(2π²ｈ_c³)Ｆ_1/2(ｅ^-α)＝Ｎ/(2Ｖ)なる式で与えられるとすることで,矛盾は回避されます。

より詳しくは,2006年10月11日の記事「ボーズ・アインシュタイン凝縮とゼータ関数」も参照してください。

この凝縮現象をボーズ・アインシュタイン凝縮と呼びます。

これは,ボーズ粒子に特有な現象であり,単独の電子のようなフェルミ粒子では生じません。

有限のＴ～Ｔ_cで,金属の電気抵抗が急に消失する超伝導現象の主要な原因はフォノンによる引力のため形成された電子対が,ボーズ粒子となって低温でボーズ・アインシュタイン凝縮を起こすことであるとされています。 

次に,フォノンによって生じる電子間引力を考察します。

ある電子が放出したフォノンを別の電子が吸収したとすると,その２個の電子はフォノンを介して運動量を交換する,つまり,"力＝交換力"を及ぼし合うと考えられます。

この場合,フォノンは中間状態に現われるだけで始状態,終状態はフォノンの真空であってもよいので,フォノンを介した力は"絶対零度;Ｔ＝0 "でも働きます。

後でわかるように,フェルミ面付近の電子に対しては,この力は引力となるので,これをフォノン引力と略称します。 

これを数学的に扱うには量子力学の摂動論に頼るのがわかりやすい方法です。そこで,電子-フォノン系の全エネルギーを表わす全ハミルトニアンをＨ＝Ｈ_e＋Ｈ_V＋Ｈ_eVとします。

このうち,Ｈ₀＝Ｈ_e＋Ｈ_Vは電子系とフォノン系が相互作用しないで運動するときの非摂動ハミルトニアンで,その固有関数はＨ_eの固有関数とＨ_Vの固有関数との積で与えられます。

そして,ここでは後者の状態としてフォノンの真空状態を取ることにします。

電子系については,"最低状態＝真空"に限定せず,フェルミ面の近くで電子,または空孔が励起されていてよいとします。そしてさまざまな励起状態に対応するＨ₀のさまざまな固有関数を,Φ₁,Φ₂,..とします。

そして,それらに対応するＨ₀の固有値をＥ₁,Ｅ₂,..と書きます。

電子・フォノン相互作用Ｈ_eV＝－Ｖ^-1/2Σ_p∑_kΣ_σα_kａ_p＋kσ^＋ａ_pσ(ｂ_k＋ｂ_-k^＋)を,フォノンに関して真空であるΦ_iに作用させたときに得られる状態関数はフォノンが１個存在する状態を示します。

そこで,フォノンが存在していない状態Φ_jとは直交します。つまり,＜Φ_j|Ｈ_eV|Φ_i＞＝0 です。

また,Ｈ₀の固有関数で,フォノンが１個存在する状態のさまざまな状態関数をχ₁,χ₂,..とし,対応するＨ₀の固有値をＷ₁,Ｗ₂,..とします。もちろん,＜χ_j|Ｈ_eV|Φ_i＞≠0 です。

そして,全ハミルトニアンの固有値を決めるシュレーディンガー方程式(Ｈ₀＋Ｈ_eV)Φ＝ＥΦにおいて,Ｈ_eVを小さな摂動と見なします。

そして,Ｈ_eV→0 の極限ではＨ₀の固有関数Φ_iのどれかに帰着するような解を求めることを考えます。

このような解は,Φ_iの１次結合のみならず,χ_iの１次結合,さらにフォノンが２個存在する状態関数の１次結合,..を順次加えた形に展開された形を持つと考えられます。

しかしＨ_eVが小さいとすると,フォノンが２個以上存在する状態は一応無視できて,近似的にΦ≡Σ_iｃ_iΦ_i＋Σ_nｄ_nχ_nと書けると仮定してもよいでしょう。

そして,これを(Ｈ₀＋Ｈ_eV)Φ＝ＥΦに代入すると,＜Φ_i|Ｈ₀＋Ｈ_eV|Φ＞＝Ｅｃ_iとなりますが,左辺＝Ｅ_iｃ_i＋Σ_n＜Φ_i|Ｈ_eV|χ_n＞ｄ_nですから,結局,(Ｅ－Ｅ_i)ｃ_i＝Σ_n＜Φ_i|Ｈ_eV|χ_n＞ｄ_nと書けます。

同様に,＜χ_n|Ｈ₀＋Ｈ_eV|Φ＞＝Ｅｄ_n＝Ｗ_nｄ_n＋Σ_i＜χ_n|Ｈ_eV|Φ_i＞ｃ_iより,(Ｅ－Ｗ_n)ｄ_n＝Σ_i＜χ_n|Ｈ_eV|Φ_i＞ｃ_iを得ます。

そこで,未知係数ｃ_i,ｄ_nが満足すべき連立１次方程式系は(Ｅ－Ｅ_i)ｃ_i＝Σ_n＜Φ_i|Ｈ_eV|χ_n＞ｄ_n,(Ｅ－Ｗ_n)ｄ_n＝Σ_i＜χ_n|Ｈ_eV|Φ_i＞ｃ_iで与えられます。

これは,Ｅを固有値とする"固有値方程式＝永年方程式"です。

この方程式系から,ｄ_nを消去すると,(Ｅ－Ｅ_i)ｃ_i＝Σ_jΣ_n＜Φ_i|Ｈ_eV|χ_n＞[1/(Ｅ－Ｗ_n)]＜χ_n|Ｈ_eV|Φ_j＞ｃ_jとなります。

これは,形式的には(Ｅ－Ｅ_i)ｃ_i＝Σ_j＜Φ_i|Ｈ_eff|Φ_j＞ｃ_j；Ｈ_eff≡Ｈ_eV(Ｅ－Ｈ₀)^-1Ｈ_eVと書くことができます。

(これは厳密には正しい式ではないです。それは,|χ_n＞が完全系(Σ_n|χ_n＞＜χ_n|＝1)ではないからです。しかし,中間状態がフォノン１個の状態に限るという条件付きでは正しいという近似式にはなっています。)

１次方程式:(Ｅ－Ｅ_i)ｃ_i＝Σ_j＜Φ_i|Ｈ_eff|Φ_j＞ｃ_jは,電子がＨ₀＋Ｈ_effをハミルトン演算子として運動している場合に,ハミルトニアンを行列と考え,波動関数をψ＝{ｃ_i}なるベクトルと同定したときのシュレーディンガー方程式の行列表示:Σ_j＜Φ_i|Ｈ₀＋Ｈ_eff|Φ_j＞ｃ_j＝Ｅｃ_iになっています。

行列要素＜Φ_i|Ｈ_eff|Φ_j＞では,Ｈ_eff＝Ｈ_eV(Ｅ－Ｈ₀)^-1Ｈ_eVなので,まずΦ_jにＨ_eVが作用します。

その結果はＨ_eVの中のｂ_k^＋を含む項の作用だけがゼロではなくて,これは定数係数を除いてａ_p－kσ^＋ａ_pσｂ_k^＋Φ_jとなります。

これに,(Ｅ－Ｈ₀)^-1を作用させるのは,(Ｅ－Ｅ_j＋ε_p－ε_p－k－ｈ_cω_k)^-1を掛けるのと同じです。

そして,これにさらにＨ_eVを作用させた結果がΦ_iと直交してしまわないためには,Ｈ_eVの中のａ_q＋kτ^＋ａ_qτｂ_kに比例する項がゼロでない行列要素を与えることが必要十分になります。

こうして,Ｈ_effはｂ_kｂ_k^＋を含むことになります。ｂ_kｂ_k^＋をフォノンについて真空な状態に作用させるのは,単に１を掛けるのと同じです。

また,Ｈ_eff＝Ｈ_eV(Ｅ－Ｈ₀)^-1Ｈ_eVにおけるＥは近似的にＥ_iまたはＥ_jで置き換えてよいので,行列をエルミート行列にするためにＥ＝Ｅ_iとしたものとＥ＝Ｅ_jとしたものの相加平均を採用します。

さらに電子の生成・消滅演算子は,Ｈ_effにはａ_q＋kτ^＋ａ_qτａ_p－kσ^＋ａ_pσの形で含まれます。

この項の積の順序を反交換関係を使って変更すると,δ_στδ_p－k,,qａ_pσ^＋ａ_pσ＋ａ_q＋kτ^＋ａ_p－kσ^＋ａ_pσａ_qτとなりますが,電子間の相互作用を与えるのは,２番目の項です。

１番目の項は１電子エネルギーε_pに補正を与えるに過ぎないので,無視します。

こうして,Ｈ_eff～－{1/(2Ｖ)}Σ...Σα_k²[1/(ｈ_cω_k－ε_p＋ε_p－k)＋1/(ｈ_cω_k－ε_q＋k＋ε_q)]ａ_q＋kτ^＋ａ_p－kσ^＋ａ_pσａ_qτなる近似表現が得られます。

この表式において,特にフェルミ面の近くの電子,より正確にはエネルギーε_pやε_qとフェルミ面における値μとの差が,ｈ_cω_ｍに比べて十分小さい電子,つまり|ε_p－μ|＜＜ｈ_cω_ｍ,|ε_q－μ|＜＜ｈ_cω_ｍを満たすエネルギーε_pやε_qを持つ電子のみを対象と考えることにすれば,大部分のｋについて,分母における電子のエネルギーはｈ_cω_kに比べて無視してよいことになります。

したがって,この近似では結局,Ｈ_eff～－{1/(2Ｖ)}Σ..Σ[2α_k²/(ｈ_cω_k)]ａ_q＋kτ^＋ａ_p－kσ^＋ａ_pσａ_qτとなります。

これは,２体相互作用(1/2)∫∫ｄｒ₁ｄｒ₂Ｕ(ｒ₁－ｒ₂)Σ_σ1Σ_σ2ψ_σ1^＋(ｒ₁)ψ_σ2^＋(ｒ₂)ψ_σ2(ｒ₂)ψ_σ1(ｒ₁)＝[1/(2Ｖ)]Σ_q∑_k1∑_k2Σ_σ1Σ_σ2Ｕ_qａ_k1＋qσ1^＋ａ_k2－qσ2^＋ａ_k2σ2ａ_k1σ1において,Ｕ_qをＵ_q＝Ｕ_q^ph≡－2α_q²/(ｈ_cω_q)と置いたものに相当します。

そして,これの右辺の符号が負であることは,このポテンシャルによって電子間に働く力は引力であることを意味します。

一方,通常の電子間のクーロン反発力は遮蔽を無視したときには,Ｕ_q^C＝4πｅ²/ｑ²です。

Ｕ_q^ph＝－2α_q²/(ｈ_cω_q)のおおよその大きさを見積もるため,ｑ＝|ｑ|はフェルミ波数ｋ_F程度,したがってまたフォノンの波数の上限ｋ_ｍ程度とします。このような短波長のイオン振動に対しては電子雲のシールドは重要な寄与を与えないので,誘電率ε(ｑ)は１と置きます。

このとき,α_q²～ α_km²～ [ｈ_c/(2Ｍｎ_iω_ｍ)][(4π)²Ｚ²ｅ²ｎ_i²/ｋ_ｍ²]＝[4Ｚ²ｅ⁴ｋ_ｍ/(3Ｍω_ｍ²)](ｈ_cω_ｍ)です。それ故,|Ｕ_q^ph|＝2α_q²/(ｈ_cω_q)～ 8Ｚ²ｅ⁴ｋ_ｍ/(3Ｍω_ｍ²)程度になります。

音速をｓとして,ω_ｍ～ｓｋ_ｍの程度なので,|Ｕ_q^ph|～ (4πｅ²/ｋ_ｍ²)[2Ｚ²ｅ²ｋ_ｍ/(3πＭｓ²)です。

ここで,Ｍ ～ 10^-22ｇ,ｓ ～ 10⁵cm・sec^-1とすれば,Ｍｓ² ～ 10^-11ergです。これはｅ²ｋ_ｍ～4.2×10^-11ergと同程度ですから,|Ｕ_q^ph|～ 4πｅ²/ｋ_ｍ²です。

一方,クーロン反発力のオーダーも|Ｕ_q^C|＝4πｅ²/ｑ²～ 4πｅ²/ｋ_ｍ²程度ですから,この波長ではフォノン引力はクーロン反発力に打ち勝って電子対を形成することが可能となる程度の大きさになっています。

以上をもって,当面はこの項目「フォノンと多体問題(超伝導の基礎)」に関する記事を終了します。

参考文献：中嶋貞雄 著「超伝導入門」(培風館)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学