ブラウン運動と伊藤積分(９)

　次のステップとして確率積分という主題に移ります。 

以下では,フィルター付確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ;Ｆ_t)はＦ_tが右連続であり,かつ次の条件を満たしているものとします。すなわち,Ｎ≡{Ａ∈Ω｜∃Ｂ∈Ｆ：Ａ⊂Ｂ,Ｐ(Ｂ)＝0}⊂Ｆ₀ であるとします。

Ｍ₂(0,Ｔ)≡{Ｍ：Ｅ[|Ｍ_T|²]＜∞;{Ｍ_t}_t∈[0,T]は右連続マルチンゲール},Ｍ_2,c(0,Ｔ)≡{Ｍ∈Ｍ₂(0,Ｔ)：{Ｍ_t}_t∈[0,T]は連続}と置きます。

また,特にσ-加法族の増大系Ｆ_tを強調する場合には,Ｍ₂(0,Ｔ;Ｆ_t),Ｍ₂(Ｆ_t),Ｍ_2,c(0,Ｔ;Ｆ_t),Ｍ_2,c(Ｆ_t)のように表わします。

(系7.6)によれば,∀Ｍ∈Ｍ_2,cに対し,ある＜Ｍ＞∈Ａ_＋,cがあって,Ｍ_t²－＜Ｍ＞_tはマルチンゲールになっています。

Ｍ∈Ｍ_2,cに対してＬ₂(0,Ｔ;＜Ｍ＞)≡{φ:φは発展的可測でＥ[∫₀^Tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]＜∞},Ｌ₂(＜Ｍ＞)≡{φ:φは発展的可測でＥ[∫₀^Tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]＜∞,∀Ｔ}とおきます。

２乗可積分(連続)マルチンゲール全体の空間のヒルベルト構造に関する次の補題は,確率積分の定義において重要な役割を果たします。

(補題8.1):(ⅰ)Ｍ₂(0,Ｔ),Ｍ_2,c(0,Ｔ)は|Ｍ|_T≡Ｅ[|Ｍ_T|²]^1/2をノルムとするヒルべルト空間である。(ⅱ) Ｍ₂,Ｍ_2,cは,その２つの元Ｍ,Ｎに対してｄ(Ｍ,Ｎ)≡Σ_n=0^∞(|Ｍ－Ｎ|_n∧1)/2ⁿを距離とする完備距離空間である。

(証明)(ⅰ) {Ｍⁿ_T}_n=1,2,..をＭ₂(0,Ｔ),またはＭ_2,c(0,Ｔ)に属するＬ²(Ω,Ｆ,Ｐ)のコーシー列とします。

再掲(定理6.1):"{Ｘ_t}_t∈Tを右連続非負劣マルチンゲールとしＸ_T^*≡sup_0≦t≦T|Ｘ_t|とおくと,(ⅰ)λ^pＰ(Ｘ_T^*≧λ)≦Ｅ[|Ｘ_T|^p],ｐ≧1 (ⅱ) Ｅ[|Ｘ_T^*|^p]≦[ｐ/(ｐ－1)]^pＥ[|Ｘ_T|^p],ｐ＞1 が成り立つ。"

により,Ｅ[sup_0≦t≦T|Ｍⁿ_t－Ｍ^m_t|²]≦4Ｅ[|Ｍⁿ_T－Ｍ^m_T|²]です。

再掲(補題７.4):"{Ｙ_sⁿ}をＦ_tに適合した連続確率過程でlim_n,m→∞Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_sⁿ－Ｙ_s^m|²]＝0 なるものとする。

このとき連続確率過程{Ｙ_s}でＦ_tに適合したものがあり{Ｙ_sⁿ}の適当な部分列{Ｙ_s^nk}を取れば,Ｐ(sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s|→ 0 as ｋ→ ∞)＝1であり,lim_k→∞Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s|²]＝0 となる。"

によって,連続確率過程:Ｍ＝{Ｍ_t}_t∈[0,T]が存在して,ｎ→∞のとき確率１で[0,T]上一様にＭⁿ_t－Ｍ_t→ 0 となることがわかります。

このとき,もちろんＥ[sup_0≦t≦T|Ｍⁿ_t－Ｍ_t|²]→ 0 as ｎ→∞ です。

それ故,∀Ａ∈Ｆ_sについてＥ[(Ｍⁿ_s－Ｍ_s),Ａ]→ 0,Ｅ[(Ｍⁿ_t－Ｍ_t),Ａ]→ 0 です。

　Ｍⁿのマルチンゲール性:Ｅ[Ｍⁿ_t,Ａ]＝Ｅ[Ｍⁿ_s,Ａ],∀Ａ∈Ｆ_sと合わせると,Ｅ[Ｍ_t,Ａ]＝Ｅ[Ｍ_s,Ａ],∀Ａ∈Ｆ_sです。すなわち,Ｍ＝{Ｍ_t}_t∈[0,T]もマルチンゲールです。

よって,Ｍ＝{Ｍ_t}_t∈[0,T]も{Ｍⁿ_T}_n=1,2,..と同じく,Ｍ₂(0,Ｔ)またはＭ_2,c(0,Ｔ)に属することがわかりますから,Ｍ₂(0,Ｔ),Ｍ_2,c(0,Ｔ)はＬ²空間として完備なノルム空間であることがわかりました。

もちろん,このノルム空間において,|Ｍ|_T≡Ｅ[|Ｍ_T|²]^1/2がノルムになっていることは自明です。

そして,Ｍ,Ｎの内積(Ｍ,Ｎ)を(Ｍ,Ｎ)≡(1/4)[|Ｍ＋Ｎ|²_T－|Ｍ－Ｎ|²_T]＝Ｅ[Ｍ_TＮ_T]で定義することにより,Ｍ₂(0,Ｔ),Ｍ_2,c(0,Ｔ)をヒルベルト空間とすることができます。

(ⅱ){Ｍⁿ}_n=1,2,..⊂Ｍ₂をｎ,ｍ →∞ のときｄ(Ｍⁿ,Ｍ^m)→ 0 となるような列とします。

このとき,∀Ｔについて{Ｍⁿ_t}_t≦TはＭ₂(0,Ｔ)のコーシー列になるので,(ⅰ)よりＭ^T＝{Ｍ^T_t}_t≦T∈Ｍ₂(0,Ｔ)が存在して|Ｍⁿ－Ｍ^T|_T→ 0 as ｎ →∞ となります。

ところで,Ｔ₁≧Ｔとすると極限の一意性によって,0≦∀ｔ≦ＴについてＭ^T1_t＝Ｍ^T_tですからＭ^T1_Ｔ＝Ｍ^T_Ｔが成立しています。

それ故,0≦∀ｔ≦∞ に対してＭ_t≡Ｍ^t_tと置くことによって,Ｍ_t＝lim_T→∞Ｍ^T_tを定義することができて,Ｍ＝{Ｍ_t}_t≦∞とすると,ｄ(Ｍⁿ,Ｍ) → 0 as ｎ→ ∞ となりＭ＝{Ｍ_t}∈Ｍ₂です。

したがって,Ｍ₂はその２つの元Ｍ,Ｎに対して,ｄ(Ｍ,Ｎ)≡Σ_n=0^∞(|Ｍ－Ｎ|_n∧1)/2ⁿを距離とする完備距離空間です。

さらにＭ_2,cはＭ₂の閉部分空間なので,Ｍ_2,cも同じ距離について完備距離空間です。

(証明終わり)

(補題8.2):(ⅰ)Ｌ₂(0,Ｔ;＜Ｍ＞)は∀φ∈Ｌ₂(0,Ｔ;＜Ｍ＞)に対して|φ|_T≡Ｅ[∫₀^Tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞]^1/2をノルムとするヒルべルト空間である。

(ⅱ) Ｌ₂(＜Ｍ＞)は∀φ₁,φ₂∈Ｌ₂(＜Ｍ＞)に対してρ(φ₁,φ₂)≡Σ_n=1^∞(|φ₁－φ₂|_n∧1)/2ⁿを距離とする完備距離空間である。

(証明)(詳細は略して概略のみ記述します。)

(ⅰ)ｍ(Ａ)≡Ｅ[∫₀^T1_A(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ＞_s]^1/2,Ａ∈Ｂ([0,Ｔ])×Ｆ_tによって([0,Ｔ])×Ω,Ｂ([0,Ｔ])×Ｆ_t)の上での測度を定義すればＬ²([0,Ｔ])×Ω,Ｂ([0,Ｔ])×Ｆ_t,ｄｍ)はｍ＝|・|_Tをノルムとしたヒルベルト空間です。

Ｌ₂(0,Ｔ;＜Ｍ＞)はＬ²([0,Ｔ])×Ω,Ｂ([0,Ｔ])×Ｆ_t,ｄｍ)の閉部分空間ですから命題が成立します。

(ⅱ)(ⅰ)から明らかです。

（証明終わり） 

※     φ(ｔ,ω)＝Σ_i=0^kξ_i(ω)１_(ti,ti+1)(ｔ)；0＝ｔ₀＜ｔ₁＜..＜ｔ_k+1,ｋ＝1,2,..で各ξ_iはＦ_ti-可測で有界なもの,で与えられるφを初等確率過程と呼びます。そして初等確率過程の全体をＬ₀で表わすことにします。

(補題：8.3):Ｌ₀はＬ₂(＜Ｍ＞)内で稠密である。

（証明)∀φ∈Ｌ₂(＜Ｍ＞)に対してlim_n→∞φ_n＝φ ａ.ｓ inＬ²,つまりlim_n→∞Ｅ[∫₀^T|φ_n(ｓ,ω)－φ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 を満たす関数列{φ_n}_n=1,2,..⊂Ｌ₀ が存在することを示せばいいです。

そこで,φ∈Ｌ₂(＜Ｍ＞)とすると,Ｅ[∫₀^Tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]＜∞,∀Ｔですが,φは有界であるとしｓの近傍でのφの平均値としてφ_nをφ_n(ｓ,ω)≡∫_(ｓ－1/n)+^sφ(ｕ,ω)ｄ＜Ｍ＞_u/[＜Ｍ＞_s－＜Ｍ＞_(s-1/n)+]で定義します。ただしａ+≡ａ∨0 です。

そして,さらにφ~(ｓ,ω)≡limsup_n→∞φ_n(ｓ,ω)と置きます。

　このとき上極限の定義によって,ｄ＜Ｍ＞_s,∀ｓ∈[0,Ｔ]のほとんど到るところで部分列が存在してlim_n→∞φ_n(ｓ,ω)＝φ~(ｓ,ω)であり,定義から∫₀^Tφ~(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ＞_s＝∫₀^Tφ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ＞_sが成り立っています。

　また,φが発展的可測なので,φ_n(ｓ,ω)はＦ_tに適合しています。

　分割Δ:0＝ｔ₀＜ｔ₁＜..＜ｔ_k+1に対し,φ_n^(Δ)(ｓ,ω)≡Σ_i=0^kφ_n(ｔ_i,ω)１_(ti,ti+1)(ｓ)とおけば,φ_n^(Δ)∈Ｌ₀でありφ_nは左連続ですから,lim_|Δ|→0φ_n^(Δ)(ｓ,ω)＝φ_n(ｓ,ω)∀(ｓ,ω)です。

　したがって,Ｅ[∫₀^T|φ_n^(Δ)(ｓ,ω)－φ_n(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]→ 0 as |Δ|→ 0 となります。

　また,lim_n→∞φ_n(ｓ,ω)＝φ~(ｓ,ω)より,lim_n→∞∫₀^T|φ_n(ｓ,ω)－φ~(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 ですから,lim _{n→∞,|Δ|→0}Ｅ[∫₀^T|φ_n^(Δ)(ｓ,ω)－φ~(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 を得ます。

　ところが,∫₀^Tφ~(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ＞_s＝∫₀^Tφ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ＞_sですから,lim _{n→∞,|Δ|→0}Ｅ[∫₀^T|φ_n^(Δ)(ｓ,ω)－φ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 です。

　以上からＬ₀はＬ₂(＜Ｍ＞)内で稠密であることが証明されました。

　(証明終わり)

(定義8.4):(初等確率過程に対する確率積分の定義)

　φ(ｓ,ω)＝Σ_i=0^kξ_i(ω)１_(ti,ti+1)(ｓ)∈Ｌ₀に対して確率積分Ｉ(φ)をＩ(φ)(ｔ,ω)≡Σ_ti+1＜tξ_i(ω)(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)＋ξ_l(ω)(Ｍ_t－Ｍ_tl),ｔ_l≦ｔ≦ｔ_l+1と定義する。そして,これをＩ(φ)(ｔ,ω)＝∫₀^tφ(ｓ,ω)ｄＭ_sと表わす。

ここでξ_i(ω)がＦ_ti-可測であることに注意されたい。

つまり積分和の係数である確率変数の値として分割の分点の左側の値を取っていることが確率積分の特徴です。後述するように,この取り方のおかげで確率積分はマルチンゲールになります。

さらに,初等確率過程に対する確率積分Ｉ(φ)の性質として次の補題を証明しておきます。

(補題8.5):Ｉ(φ)∈Ｍ_2,cで,(ⅰ)＜Ｉ(φ)＞_t＝∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_sである。(ⅱ)Ｅ[Ｉ(φ)_t²]＝Ｅ[∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]である。

(証明)ｓ≦ｔのときＥ[Ｉ(φ)_t|Ｆ_s]＝Ｅ[Σ_ti+1＜tξ_i(ω)(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)|Ｆ_s]＋Ｅ[ξ_l(ω)(Ｍ_t－Ｍ_tl)|Ｆ_s]＝Σ_ti+1＜sξ_i(ω)(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)＋ξ_p(ω)(Ｍ_s－Ｍ_tp)＝Ｉ(φ)_sより,確かにＩ(φ)(ｔ,ω)はマルチンゲールです。

　さらに,Ｍ∈Ｍ_2,cよりＩ(φ)∈Ｍ_2,cです。

(ⅰ)ｔ_m≦ｓ≦ｔ_m+1≦ｔ_l≦ｔ≦ｔ_l+1とします。

　Ｍのマルチンゲール性から,Ｅ[{Ｉ(φ)(ｔ)－Ｉ(φ)(ｓ)}²|Ｆ_s]＝Ｅ[{Σ_i=m+1^l-1ξ_i(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)＋ξ_l(Ｍ_t－Ｍ_tl)＋ξ_m(Ｍ_tm+1－Ｍ_s)}²|Ｆ_s]＝Σ_i=m+1^l-1Ｅ[ξ_i²(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)²|Ｆ_s]＋Ｅ[ξ_l²(Ｍ_t－Ｍ_tl)²|Ｆ_s]＋Ｅ[ξ_m²(Ｍ_tm+1－Ｍ_s)²|Ｆ_s]＝Σ_i=m+1^l-1Ｅ[ξ_i²(＜Ｍ_ti+1＞－＜Ｍ_ti＞)|Ｆ_s]＋Ｅ[ξ_l²(＜Ｍ_t＞－＜Ｍ_tl＞)|Ｆ_s]＋Ｅ[ξ_m²(＜Ｍ_tm＞－＜Ｍ_s＞|Ｆ_s]です。

　すなわち,Ｅ[{Ｉ(φ)(ｔ)－Ｉ(φ)(ｓ)}²|Ｆ_s]＝Ｅ[∫_s^tφ(ｕ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_u|Ｆ_s]となります。

　また,Ｉ(φ)のマルチンゲール性から,Ｅ[{Ｉ(φ)(ｔ)－Ｉ(φ)(ｓ)}²|Ｆ_s]＝Ｅ[Ｉ(φ)(ｔ)²－Ｉ(φ)(ｓ)²|Ｆ_s]ですから,結局,Ｅ[Ｉ(φ)(ｔ)²－∫₀^tφ(ｕ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_u|Ｆ_s]＝Ｉ(φ)(ｓ)²－∫₀^sφ(ｕ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_uとなり,Ｉ(φ)_t²－∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_sがマルチンゲールとなることがわかりました。

Ｉ(φ)∈Ｍ_2,cですから,(系7.6)の二次変分の一意性によって,＜Ｉ(φ)＞_t＝∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_sです。

(ⅱ)Ｉ(φ)(0)＝0 なので,(系7.6)(ⅲ)より直ちにＥ[Ｉ(φ)_t²]＝Ｅ[∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s] を得ます。(証明終わり)

(定義8.6):(確率積分の定義)

　一般のｆ∈Ｌ₂(＜Ｍ＞)に対して確率積分を定義する。

　(補題8.3)により,ｆ_n∈Ｌ₀でlim_n→∞Ｅ[∫₀^T|ｆ_n(ｓ,ω)－ｆ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 ∀Ｔを満たすものを取ることができる。

　そして,Ｘⁿ_t≡I(ｆ_n)＝∫₀^tｆ_n(ｓ,ω)ｄＭ_sと置くと,(補題8.5)によってｎ,ｍ→∞ のときＥ[|Ｘⁿ_t－Ｘ^m_t|²]＝Ｅ[∫₀^t|Ｘⁿ_s－Ｘ^m_s|²ｄ＜Ｍ＞_s]→ 0 ∀ｔである。

　またＥ[sup_s≦t|Ｘⁿ_s－Ｘ^m_s|²]＝4Ｅ[|Ｘⁿ_t－Ｘ^m_t|²]ですから,{Ｘⁿ_t}_n=1,2,..のある収束する部分列{Ｘ^nk_t}_k=1,2,..があって,その極限値をＸ_tと置けばＸ＝{Ｘ_t}∈Ｍ_2,cでlim_k→∞ｄ(Ｘ^nk,Ｘ)＝0 かつＰ(Ｘ^nk_t→Ｘ_t,ｋ→∞,広義一様収束)＝１となる。

このＸ＝{Ｘ_t}はｆ_n∈Ｌ₀の取り方によらない。

実際,ｆ_n,ｆ~_n∈Ｌ₀でlim_n→∞Ｅ[∫₀^T|ｆ_n(ｓ)－ｆ(ｓ)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 ,lim_n→∞Ｅ[∫₀^T|ｆ~_n(ｓ)－ｆ(ｓ)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 を満たすものを取ります。

上のやり方で連続マルチンゲールＸ_tとＸ~_tが決められたとすると,Ｅ[sup_s≦t|Ｘ_s－Ｘ~_s|²]＝4Ｅ[|Ｘ_t－Ｘ~_t|²]＝lim_n,m→∞4Ｅ[|Ｘⁿ_t－Ｘ^m_t|²]＝lim_n,m→∞4Ｅ[∫₀^t|ｆ_n(ｓ)－ｆ_m(ｓ)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 ∀ｔなので,Ｘ_t＝Ｘ~_t ａ.ｓ が結論され,Ｘ＝{Ｘ_t}はｆ_n∈Ｌ₀の取り方によらず一意的に決まります。

こうして決まるＸ＝{Ｘ_t}をｆのＭによる確率積分といい,Ｘ_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_sと表わす。

ここで,確率積分Ｘ＝{Ｘ_t}の二次変分はどのように与えられるか？について言及しておきます。

(補題8.7):Ｅ[Ｘ_Ｔ²]＝Ｅ[＜Ｘ＞_T]＝Ｅ[∫₀^Tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]なる等式が成り立つ。

(証明)(補題8.5)から＜Ｘⁿ＞_Ｔ＝∫₀^Tｆ_n(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_sです。

　＜Ｘⁿ＞_Ｔのｎ→∞の極限で＜Ｘ＞_Ｔ＝∫₀^Tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s ａ.ｓ です。Ｘ＝{Ｘ_t}∈Ｍ_2,ｃより(系7.6)(ⅲ)からＥ[Ｘ_Ｔ²]＝Ｅ[＜Ｘ＞_T]＝Ｅ[∫₀^Tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]が成立します。

(証明終わり)

特に,Ｂ_tを原点から出発するブラウン運動とすると,Ｂ_t²－ｔのマルチンゲール性によって,＜Ｂ_t＞＝ｔです。

既に示したように,自然数ｎについてＥ[|Ｂ_t－Ｂ_s|²ⁿ]＝ｃ_n(ｔ－ｓ)ⁿ,ｃ_n=2^-n(2ｎ)!/ｎ!です。すなわち,Ｅ[Ｂ_t²ⁿ]＝ｃ_nｔⁿですから,Ｅ[∫₀^TＢ_t²ⁿｄｔ]＜∞です。

そこで,確率積分Ｘ_Ｔ＝∫₀^TＢ_t²ⁿｄＢ_tが定義できて,Ｅ[Ｘ_Ｔ²]＝Ｅ[∫₀^TＢ_t²ⁿｄ＜Ｂ_t＞]＝Ｅ[∫₀^TＢ_t²ⁿｄｔ]＝ｃ_n∫₀^Tｔⁿｄｔ＝ｃ_nＴⁿ⁺¹/(ｎ＋1)となります。

ブラウン運動のような確率過程では(Ｂ_t－Ｂ_s)²～(ｔ－ｓ)より,(ｄＢ_t)² ～ｄｔ,すなわち,ｄＢ_t ～ (ｄｔ)^1/2なので(ｄＢ_t)²は２次の微小量ではなく１次の微小量です。

そこで積分法や微分法において,これをｄｔと比較して無視することができません。こうした事情が確率積分をむずかしくしている原因であろうと思われます。

切りがいいので今日はここまでにします。 

参考文献：長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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