場の演算子とリー群(Lie群)の生成子

　ちょっとブログネタに困ったので場の理論についての短い覚書き

　でお茶を濁しておきます。

　一般に,ｎ個の生成子Ｌ_k(ｋ＝1,2,..,ｎ)を持つユニタリ群の

　無限小変換はＵ≡1＋iε_kＬ_k(Ｌ_k⁺＝Ｌ_k)と書けます。

　実は量子論ではプランク定数:ｈ_c≡ｈ/(2π)を用いて

　Ｕ≡1＋iε_k(Ｌ_k/ｈ_c)と書くのが普通ですが,場の理論

　ではｈ_c＝１という自然単位を用いるのが慣例なので

　それに従うことにします。

　必要ならＬ_kの表式にｈ_cを掛ければ普通の単位系に

　なります。

　Hilbert空間の状態ベクトル|ψ＞は,この変換に

　伴なって|ψ'＞＝Ｕ|ψ＞と変換されます。

　Ｕの行列表現の要素Ｕ_αβは,Hilbert空間の状態ベクトル

　による正規直交基底|ψ_α＞ (α＝1,2,..)に対する変換性

　|ψ_α'＞＝Ｕ|ψ_α＞≡Ｕ_βα|ψ_β＞で定義され,

　Ｕ_αβ＝＜ψ_α|Ｕ|ψ_β＞と書けます。 

Hilbert空間の任意のベクトル|ψ＞は基底|ψ_α＞によって

|ψ＞＝Σ_γｃ_γ|ψ_γ＞と展開表現されます。

同じユニタリ群の変換Ｕに対し,|ψ＞の変換性は,

|ψ'＞≡Ｕ|ψ＞＝Σ_γｃ_γＵ|ψ_γ＞

＝Σ_α(Ｕ_αγｃ_γ)|ψ_α＞となります。

すなわち,状態ベクトル|ψ＞を|ψ_α＞(α＝1,2,..,)を基底

とする無限次元の数ベクトルｃと同一視する,

つまり|ψ＞ ～ ｃ≡^t(ｃ₁,ｃ₂,..),かつ

|ψ'＞～ ｃ'≡^t(ｃ₁',ｃ₂',..)と見なして,

Ｕを改めてＵ_αβを行列成分とする無限次元の行列と考える

ことができます。

このユニタリ変換|ψ'＞≡Ｕ|ψ＞は,無限次元数ベクトル

への行列の作用という線形変換の表現ｃ'＝Ｕｃに同定

されます。

そこで,|ψ_α＞＝ψ_α⁺|0＞とすれば,Ｕ|0＞＝|0＞という

規約とＵ|ψ_α＞＝Ｕψ_α⁺|0＞＝Ｕ_βαψ_β⁺|0＞から,

Ｕψ_α⁺Ｕ⁺＝Ｕ_βαψ_β⁺と定義されている,

と考えてもいいわけです。

それ故,Ｕψ_αＵ⁺＝Ｕ_βα^*ψ_β,すなわち,

Ｕψ_αＵ⁺＝Ｕ_αβ⁺ψ_βとなります。

ユニタリ性の定義によって,行列としてＵＵ⁺＝Ｕ⁺Ｕ＝1

であり,演算子(作用素)としてもＵＵ⁺＝Ｕ⁺Ｕ＝1ですから,

ψ_α＝Ｕ_αβ⁺Ｕ⁺ψ_βＵ,つまり,Ｕ_γαψ_α＝δ_γβＵ⁺ψ_βＵ

によって,Ｕ⁺ψ_αＵ＝Ｕ_αγψ_γと書き直せます。 

これは,いわゆる期待値の観測における対応原理

＜φ'|ψ_α|χ'＞＝＜φ|Ｕ⁺ψ_αＵ|χ＞＝Ｕ_αβ＜φ|ψ_β|χ＞

とも無矛盾です。

例えば４次元座標ｘをパラメータとするスピノル波動関数

をψ_r(ｘ)(ｒ＝1,2,3,4)と書くと,これは一般的なLorentz変換

ｘ'^μ＝Λ^μ_νｘ^νの下でψ'_r(ｘ')＝ψ'_r(Λｘ)＝Ｓ_rsψ_s(ｘ)

と変換されます。

もしも第二量子化がなされ,ψ_r(ｘ)は単なるスピノル波動関数

ではなくて量子場を記述する演算子であるなら,変換される

のは場ではなくて,状態ベクトルの方であるとする立場を取る

べきです。

そこで,このとき対応原理から古典場の変換性:

ψ'_r(ｘ')＝ψ'_r(Λｘ)＝Ｓ_rsψ_s(ｘ)は,量子場では

＜φ'|ψ_r(ｘ')|χ'＞＝＜φ'|ψ_r(Λｘ)|χ'＞

＝＜φ|Ｕ⁺ψ_r(Λｘ)Ｕ|χ＞＝Ｓ_rs＜φ|ψ_s(ｘ)|χ＞

と表現されます。

この場合,場の演算子の変換性に着目すると,それは

Ｕ⁺ψ_r(Λｘ)Ｕ＝Ｓ_rsψ_s(ｘ),あるいは,

Ｕψ_r(ｘ)Ｕ⁺＝Ｓ_rs^-1ψ_s(Λｘ)と書けます。

そして座標パラメータｘが関係しないアイソスピン(荷電スピン)

のような内部空間の回転の場合なら,この対応原理は

既にユニタリ変換に対して前に与えた表現

＜φ'|ψ_α|χ'＞＝＜φ|Ｕ⁺ψ_αＵ|χ＞＝Ｕ_αβ＜φ|ψ_β|χ＞

と一致します。 

Ｕ＝1＋iε_kＬ_k (Ｌ_k⁺＝Ｌ_k)という表現は,行列表示では

Ｕ_αβ＝δ_αβ＋iε_k(Ｌ_k)_αβです。

Ｕ⁺ψ_αＵ＝Ｕ_αβψ_βは,

(1－iε_kＬ_k)ψ_α(1＋iε_kＬ_k)＝[δ_αβ＋iε_k(Ｌ_k)_αβ]ψ_β

と書けます。

これにより,[Ｌ_k,ψ_α]＝－(Ｌ_k)_αβψ_β,および,

[Ｌ_k,ψ_α⁺]＝(Ｌ_k)_αβψ_β⁺が得られます。 

ここで,今までの変換の議論とは全く独立で別の話であると考え,

あるｎ個のエルミート行列:(Ｌ_k)_αβ(ｋ＝1,2,..,ｎ)が存在して

無限小変換ψ_α→ψ_α＋δψ_α≡[δ_αβ＋iε_k(Ｌ_k)_αβ]ψ_β

＝ψ_α＋iε_k(Ｌ_k)_αβψ_βに対して,LagrangianＬ が不変である

という対称性がある場合を考えます。

このとき,対称性と関わるネーター(Noether)の定理によって

∂_μ[{∂Ｌ/∂(∂_μψ_α)}δψ_α]＝0 が成り立ちます。

これに,δψ_α＝iε_k(Ｌ_k)_αβψ_βを代入すると,

ε_k∂_μ[{∂Ｌ/∂(∂_μψ_α)}(Ｌ_k)_αβψ_β]＝0

が得られます。

ε_kは任意の無限小パラメータなので,

Ｊ_k^μ(ｘ)≡－i{∂Ｌ/∂(∂_μψ_α)}(Ｌ_k)_αβψ_β(ｘ)

とおけば,∂_μＪ_k^μ＝0 と結論されます。

つまり,ｎ個の保存するカレント密度Ｊ_k^μ(ｘ)(ｋ＝1,2,..,ｎ)

の存在が確認されます。

これらの保存カレント密度ベクトルＪ_k^μの第ゼロ成分

を取って,演算子Ｌ_k(ｋ＝1,2,..,ｎ)を

Ｌ_k≡∫Ｊ_k⁰(ｘ,ｔ)ｄｘで定義します。

これらが,このユニタリ変換の無限小表示:Ｕ≡1＋iε_kＬ_k

でのｎ個の生成子,つまり線型Lie群のリー代数Ｌ_kと一致する

ように理論が形成されているなら,

先の考察：[Ｌ_k,ψ_α]＝－(Ｌ_k)_αβψ_βは,同時刻交換関係

[∫Ｊ_k⁰(ｘ',ｔ)ｄｘ',ψ_α(ｘ,ｔ)]＝－(Ｌ_k)_αβψ_β(ｘ,ｔ)

と同値になります。

これは,結局のところ,

[Ｊ_k⁰(ｘ',ｔ),ψ_α(ｘ,ｔ)]＝－(Ｌ_k)_αβψ_β(ｘ,ｔ)δ³(ｘ'－ｘ)

すなわち,

[－i{∂Ｌ/∂(∂_μψ_γ)}(Ｌ_k)_γδψ_δ(ｘ',ｔ),ψ_α(ｘ,ｔ)]

＝－(Ｌ_k)_αβψ_β(ｘ,ｔ)δ³(ｘ'－ｘ)を意味しています。

例えばψ_α(ｘ)がFermi粒子(Fermion)の場であるとすると,

{ψ_δ(ｘ'),ψ_α(ｘ)}＝0 であり,

一般に[ＡＢ,Ｃ]＝Ａ{Ｂ,Ｃ}－{Ａ,Ｃ}Ｂなので,スピン添字

を無視すれば,

－(Ｌ_k)_γδ{－i{∂Ｌ/∂(∂_μψ_γ)}_x',t,ψ_α(ｘ,ｔ)}ψ_δ(ｘ',ｔ)

＝－(Ｌ_k)_αβψ_β(ｘ,ｔ)δ³(ｘ'－ｘ)です。

これから,{－i{∂Ｌ/∂(∂_μψ_γ)}_x',t,ψ_α(ｘ,ｔ)}

＝δ_γαδ³(ｘ'－ｘ)　を得ます。

自由場のLagrangian密度Ｌ₀＝ψ_α⁺γ⁰(iγ^μ∂_μ－ｍ)ψ_αに

ψの微分を含まない相互作用を付加した,Lagrangian密度Ｌ

では,ψ_γ⁺＝－i{∂Ｌ/∂(∂_μψ_γ)}となります。

それ故,上述の交換関係は

{ψ_γ⁺(ｘ',ｔ),ψ_α(ｘ,ｔ)}＝δ_γαδ³(ｘ'－ｘ)となり,

正準反交換関係と一致しますから,上記の生成子Ｌ_kの定義

Ｌ_k≡∫Ｊ_k⁰(ｘ,ｔ)ｄｘ'は正準量子化の理論のそれと一致

することがわかります。

そして,このとき,

Ｊ_k^μ(ｘ)＝ψ_α⁺(ｘ)γ⁰γ^μ(Ｌ_k)_αβψ_β(ｘ)ですから,

このユニタリ変換群の生成子は,

Ｌ_k＝∫Ｊ_k⁰(ｘ,ｔ)ｄ³ｘ＝∫ψ_α⁺(ｘ,ｔ)(Ｌ_k)_αβψ_β(ｘ,ｔ)ｄ³ｘ

と表現されます。

∂_μＪ_k^μ＝0 ,つまり保存カレントなのでｄＬ_k/ｄｔ＝0 です。

各生成子Ｌ_kは保存量となります。 

ちなみに,座標系の平行移動ｘ'＝ｘ－ｂに対しては,

ψ_r(ｘ－ｂ)＝Ｕ⁺ψ_r(ｘ)Ｕで,これの無限小変換

ｘ'＝ｘ－εでは(1－iε^μＰ_μ)ψ_r(ｘ)(1＋iε^νＰ_ν)

＝ψ_r(ｘ－ε)＝ψ_r(ｘ)－ε^μ∂_μψ_rより,

平行移動という変換は,i[Ｐ_μ,ψ_r]＝∂_μψ_rなる交換関係

で特徴づけられます。

このとき平行移動の生成子:Ｐ_μは場の演算子によって

Ｐ_μ＝i∫ψ_r⁺(ｘ,ｔ)∂_μψ_r(ｘ,ｔ)ｄｘと表現され,

これは４元運動量の演算子を表わしています。

例としてスピンが 1/2 のFermi粒子を想定しましたが

Bose粒子(Boson)でも同様であって,もちろん正準量子化

と無矛盾です。

そして,Ｕ＝1＋iε_kＬ_k (Ｌ_k⁺＝Ｌ_k)の無限小パラメータε_kが

時空間の全ての点ｘに対して共通な場合の変換は

大局的ゲージ変換,あるいは第一種のゲージ変換と呼ばれます。

Noetherの定理による保存量,保存カレントの存在は,第一種の

変換に対する理論の不変性だけから保証されます。

もしも,この無限小パラメータε_k が時空の位置ｘの関数:

ε_k＝ε_k(ｘ)である場合には,同じユニタリ変換:

Ｕ(ｘ)＝1＋iε_k(ｘ)Ｌ_kは局所的ゲージ変換,あるいは第ニ種

のゲージ変換と呼ばれます。

ところが,この第ニ種のゲージ変換に対してもLagrangian密度

Ｌが不変(＝理論が不変)であるとした場合には,

一般にその不変性を保証すべき等式の中にε_k(ｘ)の微分が

存在するため,対象としている物質場の系の中に,さらに

ゲージ場と呼ばれる質量がゼロのベクトル場

(スピンが1のBose場)を導入する必要性が生じます。

これが,例えば電磁相互作用を媒介する"電磁場＝光子(photon)"

であったり,また,QCD(量子色力学)のグルオンであったり,重力場

の重力子であったりするというわけで,

内山龍雄先生がヤン・ミルス(Yang-Mills)に先を越されてしまった

ゲージ理論のエッセンスですね。

念のために述べておきますが,

"第ニ種ゲージ変換＝局所的ゲージ変換"に対して理論が不変な

場合には,特に無限小変換のパラメータε_k(ｘ)が全てのｘに対

して共通な定数である場合,つまりε_k(ｘ)＝ε_kである特別な

場合の"第一種ゲージ変換＝大局的ゲージ変換"に対しても,

もちろん理論は不変です。

したがって保存量として変換の生成子Ｌ_kが存在して,これを

物理量として定義できることは言うまでもありません。 

もちろん,時間や空間の一様性という対称性とエネルギーや

運動量の保存の関係のように"第一種ゲージ変換＝大局的ゲージ

変換"に対する不変性しか成立しない例はたくさんありますから,

一般に上に述べたことの逆は成り立ちません。

すなわち,一般に"第一種ゲージ変換＝大局的ゲージ変換"に

対する不変性が成り立つからといって"第ニ種ゲージ変換

＝局所的ゲージ変換"に対する不変性も成り立つとは限り

ません。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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