リーマン予想と素数定理

素数定理:π(ｘ) ～ ｘ/logｘ は,現在も未解決のリーマン予想

＝R.H(Riemann hypothesis)の解決を待つまでもなく,既に証明

されていますが,Riemann予想が元々は精密な素数定理を導くこと

を,その目的としていたことはよく知られています。

しかし,ゼータ関数(Zeta)の零点が素数の個数分布π(ｘ)と

具体的に,どのように結びつくのか？の詳細については私は

知らなかったので,ちょっと調べてみました。

本ブログでは,2006年10/30に「ベルヌーイ数とゼータ関数」,

10/31には,その続編「ベルヌーイ数とゼータ関数（その２)」

という記事を書きました。

そこでは,整数のべき乗数列の有限和のBernoulli(ベルヌーイ)数

による表現として,Euler-Maclaulinの和公式を与えました。

すなわち,ｓ≠1なら,

∑_n=1^N(1/ｎ^s)＝(1－1/Ｎ^s-1)/(ｓ－1)＋(1/2)(1＋1/Ｎ^s)

＋∑_k=1^M-1[Ｂ_k+1/(ｋ＋1)!](ｓ)_k(1－1/Ｎ^s+k)

－{(ｓ)_M/Ｍ!}∫₁^NＢ_M(ｘ－[ｘ])ｘ^-s-Mｄｘ

なる公式です。

ただし,Ｍは任意の自然数,Ｂ_rはBernoulli数,であり,記号:

(ｓ)_kは,(ｓ)_k≡ｓ(ｓ＋1)...(ｓ＋ｋ－1)で定義されます。

そして,Riemannのゼータ関数:ζ(ｓ)は,Re(ｓ)＞1の複素数ｓ

に対して,ζ(ｓ)≡∑_n=1^∞(1/ｎ^s)で定義されるのですが,上の

Euler-Maclaulinの和公式の右辺は,この範囲では絶対収束します。

そこで,両辺のＮ→ ∞ の極限を取ると,

ζ(ｓ)＝∑_n=1^∞(1/ｎ^s)

＝1/(ｓ－1)＋1/2＋∑₁^M-1[Ｂ_k+1/(ｋ＋1)!](ｓ)_k

－{(ｓ)_M/Ｍ!}∫₁^∞Ｂ_M(ｘ－[ｘ])ｘ^-s-Mｄｘ;(Re(ｓ)＞1)

という表現式が得られます。

ところが,右辺の積分式の方は,

Re(ｓ)＞(1－Ｍ)の範囲で絶対収束するので,この式の右辺に

よって,ゼータ関数ζ(ｓ)は,Re(ｓ)＞(1－Ｍ)の範囲のｓに

自然に解析接続されます。

Ｍは任意の自然数ですから,ζ(ｓ)はｓ＝１に"特異点＝１位の極"

を持つだけで,この点を除く全複素ｓ平面に解析接続されます。

そこで,今日はまずRiemannの原論文に従ってｓと1－ｓの交換

に対して不変な関数:π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)を考察することから

始めます。

まず,EulerのΓ関数の定義Γ(ｓ)≡∫₀^∞ｘ^s-1exp(－ｘ)ｄｘに

部分積分を繰り返すことによって,等式:

Γ(ｓ)/ｎ^s＝∫₀^∞ｘ^s-1exp(－ｎｘ)ｄｘ

が得られます。

これから,Γ(ｓ)ζ(ｓ)＝∫₀^∞[ｘ^s-1/{exp(ｘ)－1}]ｄｘ

が成立することがわかります。

故に,積分:∫₀^∞[(－ｘ)^s-1/{exp(ｘ)－1}]ｄｘの積分路が囲む

１位の極;ｘ＝±2πｎiの留数の寄与を考えると,

2sin(πｓ)Γ(ｓ)ζ(ｓ)＝(2π)^sΣ₁^∞ｎ^s-1[i^s-1＋(－i)^s-1]

＝(2π)^sζ(1－ｓ)2sin(πｓ/2) を得ます。

公式:Γ(ｓ)Γ(1－ｓ)＝π/sin(πｓ)より,

sin(πｓ)＝π/[Γ(ｓ)Γ(1－ｓ)],

sin(πｓ/2)＝π/[Γ(ｓ/2)Γ(1－ｓ/2)]ですから,

ζ(ｓ)/Γ(1－ｓ)＝(2π)^sζ(1－ｓ)/[Γ(ｓ/2)Γ(1－ｓ/2)]

となります。

一方,Legendreの関係式:Γ(ｓ)＝2^s-1π^-1/2Γ(ｓ/2)Γ((ｓ＋1)/2)

より,Γ(1－ｓ)＝2^-sπ^-1/2Γ((1－ｓ)/2)Γ(1－ｓ/2) です。

結局,関数等式:π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)

＝π^-(1-s)/2Γ((1－ｓ)/2)ζ(1－ｓ) が得られます。

よって,確かにπ^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)は,ｓと(1－ｓ)の交換に

ついて対称であることがわかりました。

　さて,Γ(ｓ)/ｎ^s＝∫₀^∞ｘ^s-1 exp(－ｎｘ)ｄｘと同様に,

　部分積分により,

　π^-s/2Γ(ｓ/2)/ｎ^s＝∫₀^∞ｘ^s/2-1exp(－ｎ²πｘ)ｄｘ

　が得られます。

　そこで,関数ψを関数:ψ(ｘ)≡Σ_n=1^∞exp(－ｎ²πｘ)

　(↑ 今日では,Jacobiのテータ関数と呼ばれている)

　によって定義すれば,

　π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)＝∫₀^∞ｘ^s/2-1ψ(ｘ)ｄｘ

　となります。

　ここでψ(ｘ)の既知の性質：2ψ(ｘ)＋1＝ｘ^-1/2{2ψ(1/ｘ)＋1}

　を用いると,

　π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)

　＝∫₁^∞ｘ^s/2-1ψ(ｘ)ｄｘ＋∫₀¹ｘ^(s-3)/2ψ(1/ｘ)ｄｘ

　＋(1/2)∫₀¹(ｘ^(s-3)/2－ｘ^s/2-1)ｄｘ

　＝1/{ｓ(ｓ－1)}＋∫₁^∞(ｘ^s/2-1＋ｘ^-(1+s)/2)ψ(ｘ)ｄｘ

　となります。

そして,これの右辺第２項の積分は全てのｓについて正則なので

結局,π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)は,ｓ＝0,1の１位の極を除いて全ｓ

平面で正則であることがわかります。

一方,ガンマ関数の性質から,Γ(ｓ/2)はｓ＝－2,－4,..に１位の極

を持つことが知られていますが,

π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)は,それらのｓでは正則で,しかもゼロでは

ないので,ζ(ｓ)がｓ＝－2,－4,..に重複度１の零点を持つこと

がわかります。

これをζ(ｓ)の自明な零点といいます。

先に述べたEuler-Maclaullinの和公式でも,ｍを自然数とするとき,

ζ(1－ｍ)

＝－1/ｍ＋1/2＋∑₁^m-1[Ｂ_k+1/(ｋ＋1)!](1－ｍ)(2－ｍ)..(ｋ－ｍ)

と書けることから,

ｍ＝3,5,..ではζ(1－ｍ)＝－Ｂ_m/ｍ＝0

となることがわかります。

しかも,ζ(1－ｍ)/(1－ｍ)≠0 ですから,これら自明な零点は

重複度が１であることがわかります。

いずれにしても,ζ(ｓ)の自明な零点はΓ(ｓ/2)の極によって

相殺されます。

そして,Γ(ｓ/2)は零点を持ちませんから,π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)

の全ての零点は,ζ(ｓ)の自明でない全ての零点と完全に一致

します。

2006年10/24の記事:「素数を分母とする循環小数とその周辺」,

および,10/25の記事;「素数定理への入り口」において,

Eulerによるゼータ関数:ζ(ｓ)の素数ｐによる無限積表示

(＝Euler積):ζ(ｓ)＝Π_p=素数(1－ｐ^-s)^-1を紹介して,

これによってlog{ζ(ｓ)}＝－Σlog(1－ｐ^-s)が成立すること

を既に記述しています。

そして,ｓ＝σ＋iτ(σ,τ:実数)とおけば,|ｐ^-s|＝ｐ^-σであり,

σ＞1 のときは,

－Σlog(1－|ｐ^-s|)＝－Σlog(1－ｐ^-σ)≦Σｐ^-σ＜∞

です。

つまり,

σ＝Reｓ＞1なら,log{ζ(ｓ)}＝－Σlog(1－ｐ^-s)は有限なので,

Reｓ＞1 には,"ζ(ｓ)の零点＝π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)の零点"は

存在しないことがわかります。

また,関数等式:π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)

＝π^-(1-s)/2Γ((1－ｓ)/2)ζ(1－ｓ)

による,ｓと(1－ｓ)の交換対称性から,Re(1－ｓ)＞1,

はReｓ＜0 と同値ですから,

結局,Reｓ＜0 にもReｓ＞1にも,π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)の零点

は存在しないことがわかります。

つまり,"π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)の零点＝ζ(ｓ)の自明でない零点"

は,存在すれば,0≦Reｓ≦1の領域にしかないことになります。

ここで唐突ですが,複素関数論で現われる正則関数の零点に関する

Weierstrassの標準形を考えます。

これは,正則関数ｆ(ｚ)が重複度も含めてｎ個の零点:

ａ₁,ａ₂,．．,ａ_nを持てば,

ｆ(ｚ)の一般形は,ｇ(ｚ)を整関数として,

ｆ(ｚ)＝exp{ｇ(ｚ)}(ｚ－ａ₁)(ｚ－ａ₂)...(ｚ－ａ_n)

なる形に書けること,を意味します。

しかし,このままではｎ→ ∞ に移行するときに不便なので,

これをａ_k≠0 なる全ての零点について,(－ａ_k)で割ります。

ｍをａ_k＝0 なる零点の重複度とすると,Σ_n|1/ａ_n|＜∞ ならば,

ｎ→ ∞ では,ｆ(ｚ)＝ｚ^mexp{ｇ(ｚ)}Π_an≠0(1－ｚ/ａ_n)という

形に書けるという定理が成立します。

しかし,一般にはΣ_n|1/ａ_n|＜∞ が成立するとは限りません。

そこで,より一般的な展開式は,ｍ_nを∀t＞0 に対して,

Σ_n{2/(ｍ_n＋1)}|ｔ/ａ_n|^mn+1＜∞ なる最小の正の整数とすると、

ｆ(ｚ)＝ｚ^mexp{ｇ(ｚ)}Π_an≠0[(1－ｚ/ａ_n)

exp{(ｚ/ａ_n)＋(ｚ/ａ_n)²/2＋...＋(ｚ/ａ_n)^mn/ｍ_n}]

と書けるという式になります。

これが"Weierstrassの標準形"です。

特に,ｚ＝ 0 がｆ(ｚ)の零点ではなく,

Σ_n|1/ａ_n|＝∞,Σ_n|1/ａ_n|²＜∞ の場合には,

ｆ(ｚ)＝Ｃexp(Ｂｚ)Π_an≠0[(1－ｚ/ａ_n)exp(ｚ/ａ_n)]

と表わすことができます。

ここでは「Weierstrassの因数分解定理と有理型関数」という

murakさんのホームページのpdf情報を参照しました。

これによると,ｓ(1－ｓ)π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)は,ｓ平面で正則

で,その零点＝ζ(ｓ)の自明でない零点ρ,は全て単根でρ≠0

であり,Σ_ρ|1/ρ|＝∞,Σ_n|1/ρ|²＜∞なので,

ｓ(1－ｓ)π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)

＝Ｃexp(Ｂｓ)Π_ρ[(1－ｓ/ρ)exp(ｓ/ρ)]

と表現できます。

この両辺でｓ→ 0 とすると,ｓΓ(ｓ/2)ζ(ｓ)→ 2ζ(0)＝－1

なのでＣ＝－1 です。

また,ｓ→ 1 とすると,(1－ｓ)π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)→ －1

なので,1＝exp(Ｂ)(1－1/ρ)exp(1/ρ) です。

さらに,exp(Ｂｓ)Π_ρ[(1－ｓ/ρ)exp(ｓ/ρ)]の,ｓ→ (1－ｓ)

に対する不変性により,

exp(Ｂ)＝Π_ρ[{(1－ρ)/(－ρ)]exp{－1/(1－ρ)}]

と書けます。

結局,ｓ(1－ｓ)π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)＝－Π_ρ(1－ｓ/ρ)

が得られました。

右辺最後の式:Π_ρ:零点(1－ｓ/ρ)は,Hadamad(アダマール)積

といいます。

したがって,ζ(ｓ)＝Π_p.素数(1－ｐ^-s)^-1

＝[－π^-s/2Γ(ｓ/2)/{ｓ(1－ｓ)}]Π_ρ:零点(1－ｓ/ρ)

という関係式が得られます。

Euler積とHadamad積の間には,こうした美しい関係があることが

わかりました。

これは素数とゼータの零点の間に成り立つ１つの双対性(Duality)

であると考えられます。

Euler積表現:ζ(ｓ)＝Π_p.素数(1－ｐ^-s)^-1の両辺をｓで対数微分

すると,ｄlog(ζ(ｓ))/ｄｓ＝Σ_p.素数(1－ｐ^-s)^-1logｐ

＝Σ_n=1^∞Λ(ｎ)ｎ^-sと表わすことができます。

ここで,Λ(ｎ)はvon Mangoldtの関数と呼ばれるｎの関数で,

Λ(ｎ)≡logｐ(ｎ＝ｐ^m:ｍ≧1のとき),Λ(ｎ)≡0 (それ以外)

です。

Hadamad積表現:ζ(ｓ)

＝[－π^-s/2Γ(ｓ/2)/{ｓ(1－ｓ)}]Π_ρ:零点(1－ｓ/ρ)も,

ｓで対数微分して,Euler積表現の式に等置すれば,

ｄlog(ζ(ｓ))/ｄｓ＝Σ_n=1^∞Λ(ｎ)ｎ^-s

＝1/ｓ＋1/(ｓ－1)－1/2logπ＋Γ'(ｓ/2)/{2Γ(ｓ/2)}

－Σ_ρ:零点{1/(ｓ－ρ)}

なる式を得ます。

ここで,前に戻り,ζ(ｓ)においてｓ＝1/2＋iｔ,または,

ｔ＝i(1/2－ｓ)(ｔは複素数)とおいて,

ξ(ｔ)≡π^-s/2Γ(ｓ/2＋1)(ｓ－1)ζ(ｓ)

＝{ｓ(ｓ－1)/2}π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)と書けば,

ξ(ｔ)＝1/2－(ｔ²＋1/4)∫₁^∞ｄｘ[ｘ^-3/4cos{(ｔlogｘ)/2}ψ(ｘ)],

または,

ξ(ｔ)＝4∫₁^∞ｄｘ[ｘ^-1/4cos{(ｔlogｘ)/2}ｄ{ｘ^3/2ψ(ｘ)}/ｄｘ]

と書けます。

これから,ξ(ｔ)はｔの偶関数であり,しかもｔが実数ならξ(ｔ)

も実数であることがわかります。

このとき,ξ(ｔ)＝0 となる根ｔで 0≦Reｔ≦Ｔなるものの個数：

すなわち 0≦Reｓ≦1(－1/2≦Imｔ≦1/2),かつ,

0≦Imｓ≦Ｔ(0≦Reｔ≦Ｔ)を満たすζ(ｓ)の自明でない零点;

ρ＝ｓの個数をＮ(Ｔ)と書けば,

"Ｎ(Ｔ)＝{Ｔ/(2π)}log{Ｔ/(2π)}－{Ｔ/(2π)}＋ｏ(logＴ)

である。"という命題が成立することに関する,Riemannの幾分

不十分な説明が与えられていますが,

これは1905年に von Mangoldt によって,厳密な証明が与えら

れています。

そしてξ(α)＝0 を満たす任意の根をαとします。

ρ＝1/2＋iαですからα＝i(1/2－ρ)ですが.このときRiemann

によれば,上に求めた,

Ｎ(Ｔ)＝{Ｔ/(2π)}log{Ｔ/(2π)}－{Ｔ/(2π)}＋ｏ(logＴ)

という表式を考慮することで,

積公式:ξ(ｔ)＝ξ(0)Π_Reα＞0(1－ｔ²/α²):つまり,

logξ(ｔ)＝Σ_Reα＞0log(1－ｔ²/α²)＋logξ(0)が得られるという

ことです。

これも,Riemannの説明は私にははっきり言ってよく理解できません。

実際これも不十分な説明で,厳密な証明はHadamardによって,1896年

に与えられたらしいです。

しかし,むしろ先に求めた等式;

ｄlog(ζ(ｓ))/ｄｓ＝Σ_n=1^∞Λ(ｎ)ｎ^-s

＝1/ｓ＋1/(ｓ－1)－1/2logπ＋Γ'(ｓ/2)/{2Γ(ｓ/2)}

－Σ_ρ:零点{1/(ｓ－ρ)}と,

ξ(ｔ)＝{ｓ(ｓ－1)/2}π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)という表式,

および,ξ(ｔ)の偶関数性から,

ｄlog(ξ(ｔ))/ｄｔ＝iΣ_ρ{1/(ｓ－ρ)}

＝Σ_Reα＞0{1/(ｔ－α)＋1/1/(ｔ＋α)} を得ます。

この両辺を,0からｔまで定積分すると,

log(ξ(ｔ))－log(ξ(0))＝Σ_Reα＞0[log(ｔ±α)－log(±α)]

＝Σ_Reα＞0log(1－ｔ²/α²) が,直接得られるので,

先のRiemannの説明は不要ですね。

そして,このξ(ｔ)の表式をζ(ｓ)の表式に翻訳すると,

log(ζ(ｓ))＝(ｓ/2)logπ－log(ｓ－1)－log{Γ(ｓ/2＋1)}

＋Σ_Reα＞0log{1＋(ｓ－1/2)²/α²}＋log(ξ(0))

なる式が得られます。

次に任意の正の実数ｘより小さい素数の個数を,慣例によって,

π(ｘ)で表わし,ｘの関数Ｆ(ｘ)を,

ｘが素数でないならＦ(ｘ)≡π(ｘ),

ｘが素数ならＦ(ｘ)≡lim_ε→0[π(ｘ＋ε)＋π(ｘ－ε)]/2

＝π(ｘ－0)＋1/2

によって定義します。

さらに,関数ｆ(ｘ)を

ｆ(ｘ)≡Ｆ(ｘ)＋Ｆ(ｘ^1/2)/2＋Ｆ(ｘ^1/3)/3＋...

＝Σ_m=1^∞[Ｆ(ｘ^1/m)/ｍ]

で定義します。

log(ζ(ｓ))＝－Σ_plog(1－ｐ^-s)

＝Σ_pｐ^-s＋Σ_pｐ^-2s/2＋Σ_pｐ^-3s/3＋...

＝Σ_m=1^∞[Σ_pｐ^-ms/ｍ]であり,ｐ^-ms＝ｓ∫_pm^∞ｘ^-s-1ｄｘなので

log(ζ(ｓ))/ｓ＝∫₁^∞ｘ^-s-1ｆ(ｘ)ｄｘ

が得られます。

そして,Fourierの反転公式によれば,

ｆ(ｘ)＝{1/(2πi)}∫_a-i∞^a+i∞ｄｓ[ｘ^slog(ζ(ｓ))/ｓ]

です。

ただし,右辺が収束しない場合を考慮して,１回引き算した形

にすると,ｆ(ｘ)＝[{1/(2πi)}/logｘ]∫_a-i∞^a+i∞ｄｓ

[ｘ^sｄ{log(ζ(ｓ))/ｓ]/ｄｓ]　となります。

これに,log(ζ(ｓ))

＝(ｓ/2)logπ－log(ｓ－1)－log{Γ(ｓ/2＋1)}

＋Σ_Reα＞0log{1＋(ｓ－1/2)²/α²}＋log(ξ(0))

を代入します。

例えば,

－log{Γ(ｓ/2＋1)}

＝lim_m→∞Σ_n=1^n-mlog{1＋ｓ/(2ｎ)}－(ｓ/2)logｍ}ですから,

ｄ[log{Γ(ｓ/2＋1)}/ｓ]/ｄｓ

＝Σ_n=1^∞(ｄ[log{1＋ｓ/(2ｎ)}/ｓ]/ｄｓ)

です。

よって,log(ξ(0))を別にすれば,ｆ(ｘ)を示す右辺の積分の全て

の項が,

[{±1/(2πi)}/logｘ]

∫_a-i∞^a+i∞ｄｓ[ｘ^sｄ{log(1－ｓ/β)/ｓ}/ｄｓ]

という形をしています。

ｄ{log(1－ｓ/β)/ｓ]/ｄβ＝1/{β(β－ｓ)}ですから,

{1/(2πi)}∫_a-i∞^a+i∞ｄｓ[ｘ^sｄ{log(1－ｓ/β)/ｓ]/ｄβ]

なる積分を計算すると,

{1/(2πi)}∫_a-i∞^a+i∞ｄｓ[ｘ^s/{β(β－ｓ)}]＝ｘ^β/β

です。

そして,これはReｓが Reβより大きいとき,Reβが負であるか？

正であるか？によって,

ｘ^β/β＝∫_∞^xｘ^β-1ｄｘ＝(ｄ/ｄβ)∫_∞^x[ｘ^β-1/logｘ]^β-1ｄｘ,

または,

ｘ^β/β＝∫₀^xｘ^β-1ｄｘ＝(ｄ/ｄβ)∫₀^x[ｘ^β-1/logｘ]^β-1ｄｘ

となります。

それ故,

[{1/(2πi)}/logｘ]∫_a-i∞^a+i∞ｄｓ[ｘ^sｄ{log(1－ｓ/β)/ｓ}/ｄｓ]

＝∫_∞^x[ｘ^β-1/logｘ]ｄｘ＋(定数),または,

∫₀^x[ｘ^β-1/logｘ]ｄｘ＋(定数)です。

具体的には,

[{1/(2πi)}/logｘ]∫_a-i∞^a+i∞ｄｓ

(ｘ^sｄ[log{Γ(ｓ/2＋1)}/ｓ]/ｄｓ)

＝∫_x^∞[1/{ｘ(ｘ²－1)logｘ}]ｄｘ,

[{1/(2πi)}/logｘ]∫_a-i∞^a+i∞ｄｓ

[ｘ^sｄ{log(ｓ－1)/ｓ}/ｄｓ]＝Li(ｘ)

を得ます。

ただし,Li(ｘ)は対数積分と呼ばれる関数で,

Li(ｘ)≡∫₀^x(ｄｕ/logｕ)

＝lim_ε→0[∫₀^1-ε(ｄｕ/logｕ)＋∫_1+ε^x(ｄｕ/logｕ)]

で定義されます。

そして,ｆ(ｘ)

＝[{1/(2πi)}/logｘ]∫_a-i∞^a+i∞ｄｓ[ｘ^sｄ{log(ζ(ｓ))/ｓ]/ｄｓ]

＝Li(ｘ)―Σ_α[Li(ｘ^1/2＋αi)＋Li(ｘ^1/2-αi)]

＋∫_x^∞[1/{ｘ(ｘ²－1)logｘ}]ｄｘ－log2

となることがわかります。

これは,「Riemannの素数式」と呼ばれます。

一方,ｆ(ｘ)＝Σ_m=1^∞[Ｆ(ｘ^1/m)/ｍ]の反転公式は,

Ｆ(ｘ)＝π(ｘ)＝Σ_m=1^∞[μ(ｍ)ｆ(ｘ^1/m)/ｍ]

で与えられます。

ここで,μ(ｍ)は,数論でよく知られたMobius関数で,

μ(ｍ)≡(－1)^ｋ(ｍの素因数分解:ｍ＝ｐ₁ｐ₂...ｐ_k;ｋ個の

素数ｐ₁,ｐ₂,...,ｐ_kが全て相異なる素数のとき),

μ(ｍ)≡1(ｍ＝1のとき),μ(ｍ)≡0 (それ以外のとき)で

定義されるものです。

結局,Ｆ(ｘ)＝π(ｘ)＝Σ_m=1^∞[μ(ｍ)ｆ(ｘ^1/m)/ｍ],

ｆ(ｘ)＝Li(ｘ)―Σ_α[Li(ｘ^1/2＋αi)＋Li(ｘ^1/2-αi)]

＋∫_x^∞[1/{ｘ(ｘ²－1)logｘ}]ｄｘ－log2 なる式が,

素数定理の表現を与えることがわかりました。

素数定理:π(ｘ)～ Li(ｘ)はRiemann予想とは別に,

1896年にHadamardや,de la Vallee-Poussinによって

証明されましたが,

π(ｘ)～ Σ_m=1^∞[μ(ｍ)Li(ｘ^1/m)/ｍ]という近似式の方が

より優れていることが,かなり大きいｘまで検証されています。

ここまでは,ζ(ｓ)の自明でない零点が全て 0≦Reｓ≦1 の領域

にあれば成立することであり,特にRiemann予想が成立することを

必要としません。

しかし,特に,

"ζ(ｓ)の自明でない零点が全てReｓ＝1/2の上にある。"

というRiemann予想が成立するなら,

素数定理"π(ｘ) ～ Li(ｘ)"はより精密に,Riemann予想と同値な

命題であることが,1901年にvon Kochによって証明されている定理

として,

"Ｆ(ｘ)＝π(ｘ)＝Li(ｘ)＋ｏ(ｘ^1/2+ε) (εは任意の正の数)"

に置き換わることになります。

最後に挙げた命題が,Riemasnn予想と同値な命題であることの

理由については,まだ把握していませんが,もしも詳細が理解

できたなら,そのときにはまた紹介したいと思います。

参考文献：鹿野 腱 編著「リーマン予想」(日本評論社)；

梅田 亨,黒川信重,若山正人,中島さち子 著

「ゼータの世界」(日本評論社),

荒川恒男,伊吹山知義,金子昌信 著

「ベルヌーイ数とゼータ関数」(牧野書店) ；

E.Artin著(上野建爾 訳・解説)

「ガンマ関数入門」(日本評論社)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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