代数学の基本定理

コーヒー・ブレイクとして,ガウスの代数学の基本定理＝"複素係数の多項式は,それが定数でなければ複素数体Ｃの中に必ず零点を持つ。"の証明について記述してみます。 

　まず普通の証明です。 

(証明)あるｚの多項式ｆ(ｚ)＝ａ₀＋ａ₁ｚ＋..＋ａ_Nｚ^N＝Σ_n=0^Nａ_nｚⁿ (ａ_Ｎ≠0,Ｎ≧1)が任意に与えられたとき,これが複素数体Ｃの中に零点を持たないと仮定すると,ｇ(ｚ)≡1/ｆ(ｚ)はＣ全体で正則です。

　ところが十分大きい正の数Ｒに対して|ｚ|≧Ｒなら|ｆ(ｚ)|/|ｚ|^N＝|ａ_N＋ａ_N-1/ｚ＋..＋ａ₀/ｚ^N|≧|ａ_N|－|ａ_N-1/ｚ＋..＋ａ₀/ｚ^N|≧|ａ_N|/2となります。

　すなわち,|ｆ(ｚ)|≧|ａ_Nｚ^N|/2なので,|ｇ(ｚ)|＝1/|ｆ(ｚ)|≦2/|ａ_Nｚ^N|≦2/|ａ_NＲ^N|,つまりｇ(ｚ)は|ｚ|≧Ｒで有界です。

　そこで,閉領域|ｚ|≦Ｒでの|ｇ(ｚ)|の最大値をＭとすると,|ｚ|≦Ｒなら|ｇ(ｚ)|≦Ｍ,|ｚ|≧Ｒなら|ｇ(ｚ)|≦2/|ａ_NＲ^N|です。よって,ｇはＣ全体で有界です。

　ところが最大絶対値の原理によって,ｇはＣ全体で正則(つまり整関数),かつ有界なのでこれは定数です。これはｆ(ｚ)＝1/ｇ(ｚ)＝Σ_n=0^Nａ_nｚⁿ においてａ_Ｎ≠0,Ｎ≧1であるという仮定と矛盾します。したがってｆはＣに零点を持ちます。(証明終わり)

　以上の証明が,通常,複素関数論の初学者が教えられる一般的な証明でしょう。 

　ここで,"有界な整関数は定数しかない。"という命題が最大絶対値の原理に帰すると書きましたが,最大絶対値の原理というのは"ｆを領域Ｄの上の正則関数とするとき,|ｆ|がＤで最大値を取るならばｆは定数である。"というものです。

こうした複素関数論における定理の出発点は大体においてコーシーの積分定理にあります。

これは,"領域Ｄで正則な関数ｆがあってＣをＤの内部にあって正の向きにまわる閉曲線の経路とするときＣが１点にホモトープ(領域の場合は単連結と同義)なら∫_Cｆ(ｚ)＝0 である。"という定理です。

これと,∫_|z－α|=ρｄｚ/(ｚ－α)＝2πiという計算式から,"Ｃを単純閉曲線としαはＣの上にない点とすると,αがＣの囲む領域の内部にあれば∫_Cｄｚ/(ｚ－α)＝2πi, αがＣの外部にあれば∫_Cｄｚ/(ｚ－α)＝0 である。"という命題が成立します。

したがって,ｆを領域Ｄで正則な関数としＣを単純閉曲線としてＣとその内部(Ｃ)がＤに含まれるとき∀ｚ∈(Ｃ)に対してｆ(ｚ)＝{1/(2πi)}∫_Cｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]という積分表示が成立します。

そして,ｆ(ｚ)を滑らかな単純閉曲線Ｃ上で連続な関数であるとしてＣ上にない点ｚ∈Ｄ対して関数φ(ｚ)≡∫_Cｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]を定義します。

このとき,Ｃの上にない点αに対し,Ｒ_α≡inf{|ζ－α|:∀ζ∈Ｃ}とおけば 0＜ρ＜Ｒ_αなる任意のρについて,|ｚ－α|≦ρなら1/(ζ－ｚ)＝1/[(ζ－α)－(ｚ－α)]＝{1/(ζ－α)}[1/{1－(ｚ－α)/(ζ－α)}]＝Σ_n=0^∞(ｚ－α)ⁿ/(ζ－α)ⁿ⁺¹が成り立ちますから,ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)＝Σ_n=0^∞(ｚ－α)ⁿ{ｆ(ζ)/(ζ－α)ⁿ⁺¹}となります。

右辺は∀ζ∈Ｃに関して一様収束するので,ａ_n≡∫_Cｄζ{ｆ(ζ)/(ζ－α)ⁿ⁺¹}とおくと,|ｚ－α|≦ρならφ(ｚ)＝∫_Cｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＝Σ_n=0^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿとベキ級数展開ができます。

ところが,関数φ(ｚ)が|ｚ－α|≦ρで絶対かつ一様収束するベキ級数に展開可能なとき,φ(ｚ)はαの近傍で無限回微分可能です。そして関数の"ベキ級数＝Taylor級数"の展開係数の一意性によってａ_n＝φ⁽ⁿ⁾(α)/ｎ!＝∫_Cｄζ{ｆ(ζ)/(ζ－α)ⁿ⁺¹}なる等式が成立します。

一方,先に述べたように,"ｆを領域Ｄで正則な関数としＣを単純閉曲線としてＣとその内部(Ｃ)がＤに含まれるとき,∀ｚ∈(Ｃ)に対してｆ(ｚ)＝{1/(2πi)}∫_Cｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]が成立する。"という定理があります。

そこで,ｆ(ｚ)は∀α∈Ｄに対して|ｚ－α|＜Ｒ_α＝inf{|ζ－α|:∀ζ∈Ｃ}で一意的にｆ(ｚ)＝Σ_n=0^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿとベキ級数に展開できて,ａ_n＝ｆ⁽ⁿ⁾(α)/ｎ!＝{1/(2πi)}∫_Cｄζ{ｆ(ζ)/(ζ－α)ⁿ⁺¹}が成立することがわかります。

したがって,ｆ(ｚ)が円板Ｎ(α;Ｒ)≡{ｚ:|ｚ－α|＜Ｒ}において正則であるとすると,ｆ(α)＝{1/(2πi)}∫_|z－α|=ρ[ｆ(ｚ)/(ｚ－α)]ｄｚ；0＜ρ＜Ｒと表現されます。

ｚ＝α＋ρｅ^iθ;0≦θ≦2πと書けば,ｆ(α)＝{1/(2π)}∫₀^2πｆ(α＋ρｅ^iθ)ｄθ；0＜ρ＜Ｒと変形されます。

これはいわゆる平均値の定理ですが,これから絶対値についての不等式として|ｆ(α)|≦{1/(2π)}∫₀^2π|ｆ(α＋ρｅ^iθ)|ｄθ;0＜ρ＜Ｒが得られます。

ｆを領域Ｄの上の正則関数とするとき,|ｆ|がα∈Ｄで最大値を取るとすると,∀ｚ∈Ｄに対して|ｆ(ｚ)|≦|ｆ(α)|です。

そこで,Ｎ(α;Ｒ)＝{ｚ∈Ｃ:|ｚ－α|＜Ｒ}⊂Ｄとなるように半径Ｒを取ると 0＜ρ＜Ｒ なるρに対して|ｆ(α)|≦{1/(2π)}∫₀^2π|ｆ(α＋ρｅ^iθ)|ｄθ≦|ｆ(α)|と書けます。

よって 0＜ρ＜Ｒ なる任意のρについて,中心がαで半径がρの円周上では,|ｆ(α＋ρｅ^iθ)|＝|ｆ(α)|ですから,ｚ∈Ｎ(α;Ｒ)なら|ｆ(ｚ)|＝|ｆ(α)|＝一定です。すなわち,円板Ｎ(α;Ｒ)において|ｆ|は定数です。

このときｆ≡ｕ＋iｖ(ｕ＝Reｆ,ｖ＝Imｆ)とおくと|ｆ|²＝ｕ²＋ｖ²であり,これが定数ですからｕ・ｕ_x＋ｖ・ｖ_x＝ｕ・ｕ_x－ｖ・ｕ_y＝0 かつ,ｕ・ｕ_y＋ｖ・ｖ_y＝ｕ・ｕ_y＋ｖ・ｕ_x＝0 から直ちにｕ_x＝ｕ_y＝ｖ_x＝ｖ_y＝0 が得られるので,結局Ｎ(α:Ｒ)においてｆ自身が定数です。

したがって,一致の定理によってｆはＤ全体で定数となることがわかります。

こうして,"ｆを領域Ｄの上の正則関数とするとき,|ｆ|がＤで最大値を取るならばｆは定数である。"という最大絶対値の原理を得ました。

ここでｆが整関数の場合にはｆが正則関数である領域Ｄとして,無限遠点を除く複素平面全体Ｃ＝{ｚ；|ｚ|＜∞}を採用できます。

そして,そのとき|ｆ|がＤで最大値を取るという命題はｆがＣで有界であることと同じですから,結局,"有界な整関数は定数である。"という定理が得られます。

これをリウヴィルの定理(Liouville)といいます。

ついでに一致の定理ですが,これは解析接続という概念の元になるもので,"ｆ,ｇが領域Ｄで正則とする。Ｄの部分集合Ａのあらゆる点ｚでｆ(ｚ)＝ｇ(ｚ)が成立し,Ａのある集積点がＤに含まれるならばＤ全体でｆ＝ｇである。"というものです。

一応これも証明しておきましょう。 

(証明)仮定によって,Ａのある集積点がＤに含まれるので,αをα∈ＤなるＡの集積点とします。

　αに収束するＡの点列{ｚ_n}_n=1,2,..⊂Ａが存在して,φ≡ｆ－ｇとおくとφ(ｚ_n)＝0 (ｎ＝1,2,..)が成立します。

　φはＤで正則ですから,その連続性によってφ(α)＝lim_n→∞φ(ｚ_n)＝0 です。しかし,"Ｄ全体では,φ≠0 である,つまり,φ(ｚ)≠0 なるｚ∈Ｄが存在する。"として矛盾を導きます。

ここでφ⁽ⁿ⁾(α)＝0 (ｎ＝0,1,2,..)である場合を考えます。

そしてある任意の点ζ∈Ｄを選びζとαをＤ内の折れ線Ｃで結びます。Ｄは領域ですから開集合であり,それ故,Ｃの点はすべてＤの内点ですが,ＣはＤの有界閉集合なのでコンパクトです。つまりＣの有限個の点を中心としてＤに含まれる有限個の開近傍の集合で閉曲線Ｃを被覆することができます。

したがって折れ線Ｃと境界∂Ｄとの距離をｄ≡inf{|ζ₁－ζ₂|:ζ₁∈Ｃ,ζ₂∈∂Ｄ}とすると,これはゼロではなくて正:ｄ＞0 です。

ここで,Ｃ上に十分多くの有限個の点α＝ｚ₀,ｚ₁,..,ｚ_p-1,ｚ_p＝ζを取って,|ｚ_j+1－ｚ_j|＜ｄ (ｊ＝0,1,2,..,ｐ－1)が満たされるようにします。そして,Δ_ｊ≡{ｚ∈Ｃ：|ｚ―ｚ_j|＜ｄ}(ｊ＝0,1,2,..,ｐ－1)と置きます。

円Δ₀:|ｚ－α|＜ｄ内ではｚ∈Ｄとなるので,そこでφは正則です。それ故,φを展開しφ(ｚ)＝Σ_n=0^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿとすれば,全てのｎについてａ_n＝φ⁽ⁿ⁾(α)/ｎ!＝0 と書けるので,Δ₀内ではφ＝0 です。

したがって,ｚ₁∈Δ₀でも全てのｎについてφ⁽ⁿ⁾(ｚ₁)＝0 (ｎ＝0,1,2,..)となります。

同様に,円Δ₁:|ｚ－ｚ₁|＜ｄ内でφを(ｚ－ｚ₁)のベキ級数に展開することでΔ₁内ではφ＝0 を得ます。

それ故,ｚ₂∈Δ₁でφ⁽ⁿ⁾(ｚ₂)＝0 (ｎ＝0,1,2,..)が得られます。これを繰り返していって,結局Δ_p-1でφ＝0 となり,ζ＝ｚ_p∈Δ_P-1なのでφ(ζ)＝0 を得ます。

ζはＤ内の任意の点であると仮定していましたから,結局φ⁽ⁿ⁾(α)＝0 (ｎ＝0,1,2,..)である場合にはＤ全体でφ＝0 である,という結論が得られます。

一方,Ｄで恒等的にφ＝0 というわけではなくて,αは正則関数φの単なる零点であるとするならばφ^(k)(α)＝0(ｋ＝0,1,...ｍ－1),φ^(m)(α)≠0 となるある正の整数ｍが存在するはずです。このときαはφのｍ位の零点である,あるいはｍは零点αの位数であるといいます。

そして,φのαの近傍Ｕでの展開はφ(ｚ)＝Σ_n=m^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＝(ｚ－α)^mΣ_k=0^∞ａ_m+k(ｚ－α)^k；ａ_m≠0 となりますからψ(ｚ)≡Σ_k=0^∞ａ_m+k(ｚ－α)^kとおけばψ(ｚ)はαの近傍Ｕで正則であってψ(α)≠0 であり,φ(ｚ)＝(ｚ－α)^mψ(ｚ)と書けます。

ところでφ(α)＝0 となることはわかっていて,φ≠0 と仮定したので,ある正の整数ｍが存在してαの近傍Ｕで正則かつψ(α)≠0 なるψを用いてφ(ｚ)＝(ｚ－α)^mψ(ｚ)と表わせます。

そして,十分大きいｎに対しｚ_n≠αはＵに含まれますから,φ(ｚ_n)＝(ｚ_n－α)^mψ(ｚ_n)＝0 です。

よって,十分大きいｎでψ(ｚ_n)＝0 が成立します。

したがって,ψの連続性によってψ(α)＝lim_n→∞ψ(ｚ_n)＝0 となりますから,これはψ(α)≠0 に矛盾します。

要するに,収束する点列の上で正則関数φの値が常にゼロというのは,φのあらゆる導関数もまたゼロなることを意味しているわけです。

したがって,Ｄ全体でφ＝ｆ－ｇ＝0 :つまりｆ＝ｇ,あるいはｆとｇが一致するという定理の結論が得られました。

(証明終わり)

しかし,私が学生時代に初めて大学で函数論を履修したときに代数学の基本定理の証明として教わったものは,もっと複雑なルーシェの定理によるもので,講義を受けたその場ですぐには理解できませんでした。

「ＤをＣの有界領域としｆをＤ上の正則関数,ＣをＤ内で１点にホモトープな閉曲線でその上にはｆの零点はないものとする。ｇをＤ上の正則関数でＣ上で|ｇ(ｚ)|＜|ｆ(ｚ)|と仮定する。このときＣの囲むｆの零点の個数と(ｆ＋ｇ)の零点の個数は等しい。」というのがルーシェの定理です。

これの証明に取りかかる前にそのために必要な予備知識や補助的定理などについて考察します。

　まず,有理型関数というものを定義します。

　"ＤをＣの領域とする。Ｄ内では特異点を持っても極に過ぎないような関数をＤ上の有理型関数と呼ぶ。"というものです。 

そして,α∈Ｃとρ₁＜ρ₂≦∞ に対し円環領域:Ｒ(α;ρ₁,ρ₂)≡{ｚ∈Ｃ：ρ₁＜|ｚ－α|＜ρ₂}の上でｆが正則関数であるとします。

このとき,ｆはＲ(α;ρ₁,ρ₂)においてｆ(ｚ)＝Σ_n=-1^-∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＋Σ_n=0^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＝Σ_n=-∞^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿと展開されます。

この展開をｆのローラン展開(Laurent expantion)と呼びます。

この級数の収束は絶対かつ広義一様収束です。

これを証明するために,ｚ∈Ｒ(α;ρ₁,ρ₂)を任意に取りρ₁',ρ₂'をρ₁＜ρ₁'＜|ｚ－α|＜ρ₂'＜ρ₂となるように取ります。また,ρ＞0 をρ＜ｄ≡inf{|ｚ－ζ|:ζ∈∂Ｒ(α;ρ₁,ρ₂)}なる値に取ります。

そして点α＋ρ₁'ｅ^i(argz)からαを中心として半径ρ₁'の円を反時計回りに一周する曲線をＣ₁,α＋ρ₁'ｅ^i(argz)から,α＋(|ｚ－α|－ρ)ｅ^i(argz)へ向かう線分をＣ₂,α＋(|ｚ－α|－ρ)ｅ^i(argz)から時計回りにα＋(|ｚ－α|＋ρ)ｅ^i(argz)まで半周する曲線をＣ₃,α＋(|ｚ－α|＋ρ)ｅ^i(argz)からα＋ρ₂'ｅ^i(argz)に向かう線分をＣ₄,α＋ρ₂'ｅ^i(argz)から半径ρ₂'の円を反時計回りに一周する曲線をＣ₅,α＋(|ｚ－α|＋ρ)ｅ^i(argz)から時計回りにα＋(|ｚ－α|－ρ)ｅ^i(argz)まで半周する曲線をＣ₆とします。

このとき,Ｒ(α;ρ₁,ρ₂)－{ｚ}内でＣ≡－Ｃ₁＋Ｃ₂＋Ｃ₃＋Ｃ₄＋Ｃ₅－Ｃ₄＋Ｃ₆－Ｃ₂は１点にホモトープなので,∫_Cｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＝0 です。

それ故,ｆ(ｚ)＝{－1/(2πi)}∫_C3＋C6ｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＝{－1/(2πi)}∫_C1ｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＋{1/(2πi)}∫_C5ｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]です。

Ｃ₁上では|(ζ－α)/(ｚ－α)|＜1で,－1/(ζ－ｚ)＝－1/{(ζ－α)－(ｚ－α)}＝{1/(ｚ－α)}[1/{1－(ζ－α)/(ｚ－α)}]＝Σ_n=0^∞(ζ－α)ⁿ/(ｚ－α) ⁿ⁺¹ですから,ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)＝Σ_n=0^∞(ζ－α)ⁿｆ(ζ)/(ｚ－α)ⁿ⁺¹です。

それ故,{－1/(2πi)}∫_C1ｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＝Σ_n=-1^-∞[{－1/(2πi)}∫_C1ｄζ(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ)](ｚ－α)ⁿとなります。

同様にＣ₅上では|(ｚ－α)/(ζ－α)|＜1ですから,{1/(2πi)}∫_C5ｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＝Σ_n=0^∞[{1/(2πi)}∫_C5ｄζ(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ)](ｚ－α)ⁿとなります。

そして,(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ)は∀ζ∈Ｒ(α;ρ₁,ρ₂):ρ₁＜|ζ－α|＜ρ₂なるζに関して正則ですから,∫_C1ｄζ(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ)＝∫_C5ｄζ(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ)です。

よって,全ての整数ｎに対してａ_n≡∫_|ζ－α|=ρｄζ(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ);ρ₁＜ρ＜ρ₂の値はρの取り方に依らないことになります。つまりａ_nはwell-definedになります。

そしてこの展開係数ａ_nによって,ｆは確かにＲ(α;ρ₁,ρ₂)でローラン展開されてｆ(ｚ)＝Σ_n=-1^-∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＋Σ_n=0^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＝Σ_n=-∞^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿと表現されることがわかりました。

そこで"ｆ(ｚ)がＤ上の有理型関数である。"というのは∀α∈Ｄについて,αを除くαの近傍でのｆのローラン展開ｆ(ｚ)＝Σ_n=-∞^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿにおいて,ｎ＜0 についてａ_n≠0 なるものが有限個しかないこと,つまりαが高々ｍ位の極であって,ｆ(ｚ)＝Σ_n=-m^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＝ａ_-m/(ｚ－α)^m＋ａ_-m+1/(ｚ－α)^m-1＋..＋ａ₀＋..と表わされることを意味します。

このときローラン展開の展開係数ａ_-1を特にｆのαでの留数と呼びRes(α;ｆ)と書きます。

そして,ρ＞0 が十分小さいときには実際に級数を項別積分すると{1/(2πi)}∫_|ζ－α|=ρｆ(ζ)ｄζ＝ａ_-1となるので,Res(α;ｆ)＝{1/(2πi)}∫_|ζ－α|=ρｆ(ζ)ｄζが成立します。

特異点αが無限遠点＝∞ のときには,ｚ~≡1/ｚとおいてｆのローラン展開をｆ(ｚ)＝Σ_n=-∞^∞ａ_nｚⁿ＝Σ_n=-∞^∞ａ_-nｚ~ⁿ ≡ｆ~(ｚ~)と置き,ｆの ∞ での留数をRes(∞;ｆ)＝－ａ_-1＝{1/(2πi)}∫_|1/ζ|=ρｆ(ζ)ｄζ＝{1/(2πi)}∫_|1/ζ|=ρｆ~(1/ζ)ｄ(1/ζ)で定義します。

αが１位の極のときには,Res(α;ｆ)＝lim_z→α(ｚ－α)ｆ(ｚ)によって,具体的にｆのαでの留数を求めることができます。

また,αがｍ位の極(ｍ≧2)のときには,Res(α;ｆ)＝{1/(ｍ－1)!}[(ｄ^m-1/ｄｚ^m-1)(ｚ－α)^mｆ(ｚ)]_z=αによって,ｆのαでの留数が求められます。

ここで,Ｄ上の有理型関数ｆ(ｚ)に対して対数微分(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ＝ｄ(logｆ)/ｄｚを考えると,α∈Ｄがｆの零点でも極でもないなら,(ｄｆ/ｄｚ)/ｆはα∈Ｄで正則です。

しかし,α∈Ｄがｆのｍ位の零点なら,α≠∞ のとき,ｆ(ｚ)＝Σ_n=m^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ,ｄｆ/ｄｚ＝Σ_n=m^∞ｎａ_n(ｚ－α)^n-1なので,(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ＝ｍ/(ｚ－α)＋Σ_n=0^∞ｃ_n(ｚ－α)ⁿと表わせます。

よって,Res(α;(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ)＝ｍです。同様にα＝∞ のときにもRes(∞;(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ)＝ｍ を得ることができます。

また,α∈Ｄがｆのｐ位の極ならα≠∞ のとき,ｆ(ｚ)＝Σ_n=-p^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ,ｄｆ/ｄｚ＝Σ_n=-p^∞ｎａ_n(ｚ－α)^n-1なので,Res(α;(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ)＝－ｐです。同様にα＝∞ のときも,Res(∞;(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ)＝－ｐを得ます。

それ故,ＣをＤ内で１点にホモトープな閉曲線であって,その上にはｆの零点も極もないとき,Ｃが囲むＤの領域内にｆのｍ_ν位の零点α_ν(ν＝1,2,..), およびｐ_μ位の極β_μ(μ＝1,2,..)があるとすれば,{1/(2πi)}∫_C(ｄｆ/ｄｚ)/{ｆ(ｚ)}ｄｚ＝Σｍ_ν－Σｐ_μと表わすことができます。

さらに,ｄ(logｆ)＝(ｄｆ/ｄｚ)/{ｆ(ｚ)}ｄｚより,{1/(2πi)}∫_C(ｄｆ/ｄｚ)/{ｆ(ｚ)}ｄｚ＝{1/(2πi)}[(logｆ)]_C＝[argｆ]_C/(2π)ですから,この積分はｚが閉曲線Ｃをまわるときの"ｆの偏角:argｆの変化を(2π)で割ったもの＝回転数"を表わしていると考えられます。

さて,ルーシェの定理＝"ＤをＣの有界領域としｆをＤ上の正則関数,ＣをＤ内で１点にホモトープな閉曲線でその上にはｆの零点はないものとする。

ｇをＤ上の正則関数でＣ上で|ｇ(ｚ)|＜|ｆ(ｚ)|と仮定する。

このとき,Ｃの囲むｍ位の零点をｍ個と重複して数えると,ｆの零点の個数と(ｆ＋ｇ)の零点の個数は等しい。"ことを証明します。

(証明)ｆ,ｇはＤ上の正則関数なので,ｆも(ｆ＋ｇ)もＣの囲む領域に零点は持っていても極を持つことはありません。

ｍ位の零点をｍ個と重複して数えたときのｆの零点の総数をＭとすると,(ｆ＋ｇ)の零点の総数Ｍ'はＭ'＝{1/(2πi)}∫_C{(ｆ'＋ｇ')/(ｆ＋ｇ)ｄｚ＝{1/(2πi)}∫_C[(ｆ'/ｆ)＋(ｇ/ｆ)'/{1＋(ｇ/ｆ)}]ｄｚ＝Ｍ＋{1/(2πi)}∫_C[(ｇ/ｆ)'/{1＋(ｇ/ｆ)}]ｄｚ＝Ｍ＋{1/(2πi)}∫_C(ｈ'/ｈ)ｄｚとなります。ここでｈ≡{1＋(ｇ/ｆ)}とおきました。

ところが,Ｃ上で|ｇ/ｆ|＜1ですから,|1＋(ｇ/ｆ)|≦1＋|ｇ/ｆ|＜2,かつ|1＋(ｇ/ｆ)|≧1－|ｇ/ｆ|＞0です。したがって,ｈ＝{1＋(ｇ/ｆ)}はＣ上に零点も極も持ちません。

またＣ上で|1－ｈ|＜1ですから,点１からｈまでの距離は常に1より小さいことになります。そこでｚがＣ上を１回転するときｈがlogｈの分岐点ｈ＝0 のまわりを回転することは決してありません。

それ故,∫_C(ｈ'/ｈ)ｄｚ＝0 です。

以上から,結局Ｍ'＝Ｍであることが示されました。

(証明終わり)

そこで,ｚのＮ次多項式ｆ(ｚ)＝ａ₀＋ａ₁ｚ＋..＋ａ_Nｚ^N＝Σ_n=0^Nａ_nｚⁿ (ａ_Ｎ≠0,Ｎ≧1) が任意に与えられたとき,ｆ(ｚ)＝ａ_Nｚ^N＋ｇ(ｚ) (ａ_Ｎ≠0,Ｎ≧1)とおけば,正則関数ａ_Nｚ^N はＮ位の零点としてｚ＝0 があるだけなのでａ_Nｚ^Nの零点の総数はＮです。

そしてルーシェの定理の閉曲線Ｃを円:|ｚ|＝Ｒに取れば,Ｒが十分大きいときにはＣ上で|ｇ(ｚ)|＜|ａ_Nｚ^N|ですから,この定理によって任意のＮ次多項式は丁度Ｎ個の零点を持つことが結論されます。 

　参考文献：野口潤次郎 著「複素解析概論」(裳華房)；岸 正倫,藤本担孝 共著「複素関数論」(学術図書)；Benjamin Fine,Gerhard Rosenberger 著(新妻弘,木村哲三 訳)「代数学の基本定理」(共立出版) 

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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