量子力学の基礎(表示の話)(1)

前記事に引き続いて表示の理論を中心に量子論における"基礎的な話

＝常識"をいくつか書いてみます。

観測可能な量(物理量):Λがあって,Λの固有値λに属する固有状態

を表わす固有ベクトルを|λ＞と書きます。

これはつまり,|λ＞≠0 であって,Λ|λ＞＝λ|λ＞を満たすもの

ですね。

量子論によれば,実際的な観測誤差がないなら,Λの１回１回の観測

において観測される物理量Λの値は,Λの固有値に限られ,それ以外

の値が観測されることは決してありません。

そして任意の状態ベクトル:|ψ＞は,この|λ＞によって,

|ψ＞＝Σ_λｃ_λ|λ＞(離散的な場合),または,

|ψ＞＝∫_λｃ_λ|λ＞ｄλ(連続的な場合),あるいはこれらの混合

した形でスペクトル展開されます。

こうして展開できることを,物理量の演算子(作用素)Λ,あるいは

固有ベクトル系:{|λ＞}の完全性(completeness)といいます。

(※ 実際には,連続的な場合に,|ψ＞＝∫_λｃ_λ|λ＞ｄλと表現で

きるとは限らず,より一般的にはスティスチェス(Stieltjes)積分;

記号的には,|ψ＞＝∫_λｃ_λｄ(|λ＞)と表現されます。)

そして,展開係数は,ｃ_λ＝＜λ|ψ＞です。

なぜなら,離散的な場合を例にとると,

＜λ'|ψ＞＝Σ_λｃ_λ＜λ'|λ＞＝ｃ_λ'となるからです。

この最後の等式では,|λ＞が正規直交化されている:つまり,

＜λ'|λ＞＝δ_λ'λである,という仮定を用いました。

もしもそうでないなら,|λ＞を＜λ|λ＞^1/2で割ったものを,

改めて|λ＞と定義すればいいだけです。

量子論によれば,状態を定数倍しても同じ状態を表わすとされて

いますからね。

そして,もちろん状態 |ψ＞も規格化されている:＜ψ|ψ＞＝１と

なるように取られているとします。

つまり,＜ψ|ψ＞＝Σ_λ'λｃ_λ'^*ｃ_λ＜λ'|λ＞＝Σ_λ|ｃ_λ|²＝１

であるとします。

そして,物理系が状態|ψ＞にあるとき,この状態をこわすことなく

観測可能な量Λを無限に多数回観測することが可能なとき,

(※ 実際には１つの系で実験装置が単独のとき,

観測行為は純粋状態:|ψ＞を必ずこわすので,

全く同一の(物理系＋実験装置)を無限に多数個用意する必要

があり,これを"(純粋)アンサンブル＝(純粋)集団"と呼びます。)

Λの期待値(観測値平均):＜Λ＞は,

＜Λ＞＝＜ψ|Λ|ψ＞＝Σ_λ'λｃ_λ'^*ｃ_λλ＜λ'|λ＞

＝Σ_λλ|ｃ_λ|² で与えられるとします。

ところで,Λの"期待値＝平均値"＜Λ＞は,Λがλという値をとる

確率をＰ_λと書くとき,＜Λ＞＝Σ_λλＰ_λで与えられるはずです。

これと,＜Λ＞＝＜ψ|Λ|ψ＞＝Σ_λλ|ｃ_λ|²を比較すると,

Ｐ_λ＝|ｃ_λ|²であること:

つまり,Λの観測値が固有値λをとる確率Ｐ_λがｃ_λの絶対値の

２乗:|ｃ_λ|²＝|＜λ|ψ＞|²で与えられることがわかります。

そして,このときΣ_λ|ｃ_λ|²＝Σ_λ|＜λ|ψ＞|²＝１ですから,

|ｃ_λ|²の総和は１であり,確かに確率であるための条件を満た

しています。

一方,連続的な場合には,＜Λ＞＝＜ψ|Λ|ψ＞

＝∫ｄλ'ｄλｃ_λ'^*ｃ_λλ＜λ'|λ＞＝∫ｄλλ|ｃ_λ|²です。

ここで連続的な場合の正規直交性:＜λ'|λ＞＝δ(λ'－λ)を

用いました。

観測量Λが,その固有値λとλ＋ｄλの間の値として観測される

確率をｐ(λ)ｄλとすると,Λの期待値は,

＜Λ＞＝∫ｄλλｐ(λ)で与えられるはずなので,

ｐ(λ)＝|ｃ_λ|²＝|＜λ|ψ＞|² を得ます。

(※ここでは連続的な場合の確率が,確率論のラドン・ニコディム

(RadonNikodym)の定理の成立条件である絶対連続性を満足している

と仮定しています。)

連続的な場合には,ｐ(λ)＝|ｃ_λ|²＝|＜λ｜ψ＞|²は確率密度を

示していて,ｐ(λ)ｄλ＝|ｃ_λ|²ｄλ＝|＜λ|ψ＞|²ｄλが確率

になる,というのが,

離散的な場合の,Ｐ_λ＝|ｃ_λ|²＝|＜λ|ψ＞|²が確率そのものに

なる,というのと異なっているところです。

そして,１＝＜ψ|ψ＞＝∫ｄλｐ(λ)＝∫ｄλ|＜λ|ψ＞|²なので,

この確率の定義も,確かに確率の公理を満たしています。

離散的,連続的に関わらず,こうしたΛの固有値と固有ベクトル

で展開する表示をΛ-表示といいます。

もしも,観測可能な量Λとして位置座標ｘを取ると,これは固有値

が連続的な場合に相当するので,

位置ｘの観測量の期待値は,

＜ｘ＞＝＜ψ|ｘ|ψ＞＝∫ｄｘｘ|ｃ_ｘ|²で与えられ.

ｐ(ｘ)ｄｘ＝|ｃ_ｘ|²ｄｘ＝|＜ｘ|ψ＞|²ｄｘと書く

ことができます。

通常この係数:ｃ_ｘ＝＜ｘ|ψ＞を波動関数と呼び,ψ(ｘ)なる

関数記号で表わします。

つまり,ψ(ｘ)＝＜ｘ|ψ＞であり,位置ｘがｘとｘ＋ｄｘの間

に見出される確率は,ｐ(ｘ)ｄｘ＝|ｃ_ｘ|²ｄｘ＝|ψ(ｘ)|²ｄｘ

で与えられると解釈されます。

そして,ｘの期待値の表現は

＜ｘ＞＝＜ψ|ｘ|ψ＞＝∫ｄｘｘ|ｃ_ｘ|²＝∫ｄｘｘ|ψ(ｘ)|²

＝∫ｄｘψ^*(ｘ)ｘψ(ｘ) となります。

つまり,ｘ-表示では＜ψ|ｘ|ψ＞＝∫ｄｘψ^*(ｘ)ｘψ(ｘ)

と表現されます。

この場合には,規格化条件:＜ψ|ψ＞＝１は,

∫ｄｘψ^*(ｘ)ψ(ｘ)＝∫ｄｘ|ψ(ｘ)|²＝１を意味します。

連続固有ベクトルの正規直交性;＜λ'|λ＞＝δ(λ'－λ)は,

このｘ-表示の場合,＜ｘ'|ｘ＞＝δ(ｘ'－ｘ)ですから,

ｘの固有値ｘ₀ に属する固有ベクトルの波動関数は,

＜ｘ｜ｘ₀＞＝δ(ｘ－ｘ₀) で与えられることになります。

これの絶対値の２乗は,位置ｘがｘ₀ に決まっているときに位置

がｘである確率密度を与えるものです。

ここで,前記事では,場の量子論においてψ_r(ｘ,ｔ)(ｒ＝1,2,3,4)

がスピノル場の演算子のとき,４元運動量の演算子:Ｐ_μが,

Ｐ_μ＝iｈ_c∫ｄｘψ_r⁺(ｘ,ｔ)∂_μψ_r(ｘ,ｔ)で与えられる

ことを見ました。

そこで,３次元の空間運動量Ｐ＝(Ｐ¹,Ｐ²,Ｐ³)については,

Ｐ＝∫ｄｘψ_r⁺(ｘ,ｔ)(－iｈ_c∇)ψ_r(ｘ,ｔ)となります。

また,スピノル場でなく単成分のスカラー場なら,

Ｐ＝∫ｄｘφ⁺(ｘ,ｔ)(－iｈ_c∇)φ(ｘ,ｔ)と書けます。

ここでｈ_c≡ｈ/(2π)でｈはPlanck定数です。

このことから場の量子論においての単成分スカラー場に対する

位置演算子Ｘは,Ｘ＝∫ｄｘφ⁺(ｘ,ｔ)ｘφ(ｘ,ｔ)で与えられ

ると推測されます。実際,その通りで間違いないのですが。。。

そして真空|0＞に生成演算子φ⁺(ｘ,ｔ)を作用させて,

(ｘ,ｔ)で粒子が生成されたという状態:φ⁺(ｘ,ｔ)|0＞

を作ると,

Ｘφ⁺(ｘ,ｔ)|0＞

＝∫ｄｘ'φ⁺(ｘ',ｔ)ｘ'φ(ｘ',ｔ)φ⁺(ｘ,ｔ)|0＞

＝ｘφ⁺(ｘ,ｔ)|0＞となるので,

φ⁺(ｘ,ｔ)|0＞は,位置演算子Ｘの固有値ｘに属する固有状態

になっていることがわかります。

つまり,|ｘ＞＝ｃ^*φ⁺(ｘ,ｔ)|0＞です。

ここで定数ｃ^* は,|ｘ＞を＜ｘ'|ｘ＞＝δ(ｘ'－ｘ)と規格化

するために必要な複素定数です。

したがって,このスカラー場から成る任意の１粒子状態を|Φ＞

とするとき,Φ(ｘ,ｔ)≡＜ｘ|Φ＞＝ｃ＜0|φ(ｘ,ｔ)|Φ＞と

おけば,これがこのスカラー場:φ(ｘ,ｔ)だけで構成される場

の理論での１粒子状態:|Φ＞に対応する波動関数を表わしてい

ると解釈されます。

今日はこのくらいにしておきます。

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