量子力学の基礎(表示の話)(2)

続きです。

いろんな読書体験に基づいた記憶に頼りながらエッセンスと考

えられることを思い出して書いているので,ちゃんと整理されて

いるわけではなく,思い付きの順になっています。

今日も,まだ書き漏らしていることがあったな,と思い付いたので,

続きを書く気になりました。

まず,状態ベクトルの時間発展の話から始めます。

通常の非相対論的量子論では,位置座標ｘは物理量を表わす

(線形)演算子((線形)作用素)である,という扱いもしますが,

時間ｔについては演算子でなくて単なるパラメータであると

考えます。

そして,状態ベクトル:|ψ＞は時間ｔに依存するけれども,物理量

を表わす演算子は時間には全く依存しないと考えるような表示を

Schroedinger表示と呼びます。

これに対し,状態ベクトル:|ψ＞が時間ｔに全く依存しないで,

演算子の方が時間に依存する表示をHeisenberg表示と呼びます。

この他に,状態ベクトル:|ψ＞も演算子も共に時間に依存する

表示(例えば相互作用表示など)もあります。

以下では,まず,Schoerdinger表示から考察します。

そして,この表示では状態ベクトルが時間に依存することを強調

するため,状態ベクトル:|ψ＞を|ψ(ｔ)＞と書くことにします。

物理的な状態を示す純粋状態のベクトル:|ψ(ｔ)＞は,どんな

ベクトルでもいいというわけではなくて,これは系を支配する

運動方程式であるSchroedinger方程式を満たす必要があります。

つまり時間には全く依存しないエネルギーという物理量を表わす

Hamiltonianと呼ばれる演算子をＨと書くとき,状態|ψ(ｔ)＞は

ｉｈ_c(∂/∂ｔ)|ψ(ｔ)＞＝Ｈ|ψ(ｔ)＞という時間発展の方程式

＝Schroedinger方程式を満足しなければなりません。

ただし,ｈ_c≡ｈ/(2π)で,ｈはPlanck定数です。

線型微分方程式: iｈ_c(∂/∂ｔ)|ψ(ｔ)＞＝Ｈ|ψ(ｔ)＞

は,演算子Ｈがｔを陽には含まないので,これを定数と見なす

ことによって,これの一般的な解|ψ(ｔ)＞を,

形式的に,|ψ(ｔ)＞＝exp(－iＨｔ/ｈ_c)|ψ(0)＞ なる形に

表現できます。

ここで時間に依存しない位置の演算子をｘとするとき,

ｘの固有ベクトル:|ｘ＞は時間に依存してもしなくても,

どちらでもいいのですが,ここでは|ｘ＞として,時間には

依存しないものを採用します。

そうすると,

＜ｘ|(∂/∂ｔ)|ψ(ｔ)＞＝(∂/∂ｔ)＜ｘ|ψ(ｔ)＞

となりますから,

Schroedingerの運動方程式:

iｈ_c(∂/∂ｔ)|ψ(ｔ)＞＝Ｈ|ψ(ｔ)＞は,

左から＜ｘ|を掛けると,

iｈ_c(∂/∂ｔ)＜ｘ|ψ(ｔ)＞＝＜ｘ|Ｈ｜ψ(ｔ)＞

となります。

すなわち,iｈ_c(∂/∂ｔ)＜ｘ|ψ(ｔ)＞

＝∫ｄｘ'＜ｘ|Ｈ|ｘ'＞＜ｘ'|ψ(ｔ)＞

と表現することができます。

そこで,ψ(ｘ,ｔ)≡＜ｘ|ψ(ｔ)＞と書けば,ψ(ｘ,ｔ)は時間

に依存するｘ-表示の波動関数であり,上の運動方程式は,

iｈ_c[∂ψ(ｘ,ｔ)/∂ｔ]＝∫ｄｘ'＜ｘ|Ｈ|ｘ'＞ψ(ｘ',ｔ)

と書き直されます。

ところが,エネルギーを表わす演算子＝Hamiltonian:Ｈは,通常は

位置ｘと運動量ｐの関数であって,それの位置ｘでの値は定まって

います。

すなわち,Ｈは既に位置の固有値ｘで対角化されていると考える

ことができます。

そこで,＜ｘ|Ｈ|ｘ'＞＝Ｈ(ｘ,ｐ)δ(ｘ－ｘ')

＝Ｈ(ｘ,－iｈ_c∇)δ(ｘ－ｘ')と表現できるはずです。

ここで一般性を失うことなく,運動量演算子ｐのｘ-表示

として,その特別な形のｐ＝－iｈ_c∇ (Schroedinger表現)

を採用しました。

つまり,＜ｘ|ｐ|ｘ'＞＝－iｈ_c∇δ(ｘ－ｘ')として,

＜ｘ|ｆ(ｐ)|ｘ'＞＝ｆ(－iｈ_c∇)δ(ｘ－ｘ')

と考える表現を採りました。

以上から,結局,１個の粒子の波動関数ψが,運動方程式:

iｈ_c[∂ψ(ｘ,ｔ)/∂ｔ]＝Ｈ(ｘ,－iｈ_c∇)ψ(ｘ,ｔ)

に従う,という昔からよく知られたSchroedinger方程式の形

を得ました。

そして,演算子Ｈの固有値Ｅに属する固有べクトルを,

Schroedinger表示で |Ｅ,ｔ＞と書けば,

Ｈ|Ｅ,ｔ＞＝Ｅ|Ｅ,ｔ＞ですから,

運動方程式:ｉｈ_c(∂/∂ｔ)|ψ(ｔ)＞＝Ｈ|ψ(ｔ)＞の|ψ(ｔ)＞

に,|Ｅ,ｔ＞を代入することで,これは

iｈ_c(∂/∂ｔ)|Ｅ,ｔ＞＝Ｅ|Ｅ,ｔ＞ となります。

つまり,ｘ-表示での運動方程式として,

iｈ_c(∂/∂ｔ)＜ｘ|Ｅ,ｔ＞＝Ｅ＜ｘ|Ｅ,ｔ＞

が成立します。

そして,この場合,上の微分方程式は,ｔについては容易に解くこと

ができて,その解は,|Ｅ,ｔ＞＝exp(－iＥｔ/ｈ_c)|Ｅ,0＞,

または,＜ｘ|Ｅ,ｔ＞＝exp(－iＥｔ/ｈ_c)＜ｘ|Ｅ,0＞と表現できる

ことがわかります。

一般的な系の状態:|ψ(ｔ)＞に対して,エネルギーがＥという値

に確定している場合,つまりＨ|ψ(ｔ)＞＝Ｅ|ψ(ｔ)＞の場合には

|ψ(ｔ)＞＝ｃ|Ｅ,ｔ＞＝ｃexp(－iＥｔ/ｈ_c)|Ｅ,0＞と書くこと

ができます。

あるいは,エネルギーＥを持つ固有状態がいくつにも縮退していて,

それらが|Ｅ,α,ｔ＞で表わされる場合には,

|ψ(ｔ)＞＝Σ_αｃ_α|Ｅ,α,ｔ＞

＝Σ_αｃ_αexp（－iＥｔ/ｈ_c)|Ｅ,α,0＞と,

それらの任意の重ね合わせの形に表わせます。

これはｘ-表示では,ψ(ｘ,ｔ)＝exp(－iＥｔ/ｈ_c)ψ(ｘ,0)；

ψ(ｘ,0)≡＜ｘ|ψ(0)＞です。

ただし,ψ(ｘ,0)は,ｃ＜ｘ|Ｅ,0＞,あるいは,

Σ_αｃ_α＜ｘ|Ｅ,α,0＞で与えられます。

いずれにしてもこの場合は,ｘの近傍における粒子の存在

確率は時間ｔには無関係で,

|ψ(ｘ,ｔ)|²ｄｘ＝|ψ(ｘ,0)|²ｄｘ で与えられます。

このように,波動関数がψ(ｘ,ｔ)＝exp(－iＥｔ/ｈ_c)ψ(ｘ,0)

という形に書けて,時間発展が単に絶対値が１の位相因子の寄与

になるために存在確率が時間的に一定であるような場合の状態:

|ψ(ｔ)＞を定常状態と呼びます。

そして,に対象としている系で問題としている状態のエネルギー

が確定していて,その状態が定常状態であることがわかっている

場合,あるいは,そうした定常状態のみを対象として考察している

場合を想定します。

このときは,状態ベクトル:|ψ(ｔ)＞から時間発展の位相因子

exp(－iＥｔ/ｈ_c)を除いた部分,

今は|ψ(ｔ)＞＝exp(－iＥｔ/ｈ_c)|ψ(0)＞なので,

時間に依存しない部分の|ψ(0)＞に着目すると,

|ψ(ｔ)＞が,Ｈ|ψ(ｔ)＞＝Ｅ|ψ(ｔ)＞を満たすので,

|ψ(0)＞も,Ｈ|ψ(0)＞＝Ｅ|ψ(0)＞を満足します。

最後の表式は,ｘ-表示では,

Ｈ(ｘ,－iｈ_c∇)ψ(ｘ,0)＝Ｅψ(ｘ,0) と書けます。

ここで,ψ(ｘ,0)は時間ｔに依存しないので,ψ(ｘ,0)を

改めてψ(ｘ)と書けば,ψ(ｘ)＝＜ｘ|ψ(0)＞です。

この定常状態の運動方程式:Ｈ|ψ(0)＞＝Ｅ|ψ(0)＞は,結局,

Ｈ(ｘ,－iｈ_c∇)ψ(ｘ)＝Ｅψ(ｘ)となります。

そして,ψ(ｘ,ｔ)だけでなく,ψ(ｘ)も(定常状態の)波動関数

と呼ばれて,この定常方程式もSchroedinger方程式と呼ばれます。

それ故,定常状態では波動関数は,

ψ(ｘ,ｔ)＝exp(－iＥｔ/ｈ_c)ψ(ｘ)と変数分離形に書けて,

ｘの近傍での存在確率は時間ｔには依らず,

|ψ(ｘ,ｔ)|²ｄｘ＝|ψ(ｘ)|²ｄｘとψ(ｘ)だけで表現する

ことができます。

さらに,運動量ｐの固有状態ベクトルも|ｐ,ｔ＞,あるいは|ｐ＞

と書くことができて,

形式的には|ｐ,ｔ＞＝exp(－iＨｔ/ｈ_c)|ｐ＞ です。

もしもＨとｐが共立する場合(交換する場合):

すなわち,[Ｈ,ｐ]＝0 となる場合には,Ｈとｐの同時的固有状態

が存在可能で,このときは,|ｐ,ｔ＞＝exp(－iＥｔ/ｈ_c)|ｐ＞と表

わすことができます。

しかし,一般には,[Ｈ,ｐ]＝0 とは限らないので,

|ｐ,ｔ＞はエネルギーが確定した定常状態ではなく,

もしも,離散状態だけでこれが展開できるとすれば,

|ｐ,ｔ＞＝exp(－iＨｔ/ｈ_c)|ｐ＞

＝Σ_E ａ_E exp(－iＥｔ/ｈ_c)|ｐ＞

＝Σ_E ＜Ｅ,ｔ|ｐ＞exp(－iＥｔ/ｈ_c)|Ｅ,ｔ＞

となります。

時間発展ｔを含むｐの固有ベクトルは,いくつかのエネルギーＥ

が確定した定常状態を示す固有ベクトル:exp(－ｉＥｔ/ｈ_c)|ｐ＞

の重ね合わせになります。

ところで,ベクトル|ｐ'＞が運動量演算子ｐの固有値ｐ'に属する

こと:すなわちｐ|ｐ'＞＝ｐ'|ｐ'＞であることは,

ｘ-表示では,

∫ｄｘ'＜ｘ|ｐ|ｘ'＞＜ｘ'|ｐ'＞＝ｐ'＜ｘ|ｐ'＞

と表現されます。

ｘ-表示で,Ｈが＜ｘ|Ｈ|ｘ'＞＝Ｈ(ｘ,－iｈ_c∇)δ(ｘ－ｘ')

と対角形で表わされたのと同じく,

ｘ-表示でのｐは,＜ｘ|ｐ|ｘ'＞＝(－iｈ_c∇)δ(ｘ－ｘ')

と書けるので,

左辺の積分に代入することで,

結局,＜ｘ|ｐ＞は方程式:(－iｈ_c∇)＜ｘ|ｐ＞＝ｐ＜ｘ|ｐ＞

を満たすことがわかります。

これを解けば,ψ_ｐ(ｘ)≡＜ｘ|ｐ＞＝ｃexp(iｐｘ/ｈ_c)と

書けますが,係数ｃは,＜ｘ|ｘ'＞＝∫ｄｐ＜ｘ|ｐ＞＜ｐ|ｘ'＞

＝δ(ｘ－ｘ')と規格化されるように決めるのが慣例です。

特に,係数ｃが実数になるように取れば,

ψ_ｐ(ｘ)＝＜ｘ|ｐ＞＝(2πｈ_c)^-3/2exp(iｐｘ/ｈ_c)

となります。

Hamiltonian:Ｈが具体的に与えられ,また適当な境界条件も

明確に与えられた系の状態ベクトル|ψ(ｔ)＞は,運動方程式:

iｈ_c(∂/∂ｔ)|ψ(ｔ)＞＝Ｈ|ψ(ｔ)＞ の解でなければなら

ないのは,もちろんですが,

固有ベクトル|ｐ＞の完全性によって,これは

|ψ(ｔ)＞＝∫ｄｐ|ｐ＞＜ｐ|ψ(ｔ)＞

と展開できるはずです。

これに,左から＜ｘ|を掛けると,

＜ｘ|ψ(ｔ)＞＝∫ｄｐ＜ｘ|ｐ＞＜ｐ|ψ(ｔ)＞,

すなわち,ψ(ｘ,ｔ)＝∫ｄｐｃ_ｐ(ｔ)ψ_ｐ(ｘ)と,

波動関数による表現になります。

ここで展開係数は,ｃ_ｐ(ｔ)≡＜ｐ|ψ(ｔ)＞で定義されますが,

このｃ_ｐ(ｔ)のことを運動量表示,あるいはｐ-表示の波動関数

といいます。

また,上の積分展開による表示はFourier変換(展開)と呼ばれます。

運動量表示の波動関数:ｃ_ｐ(ｔ)＝＜ｐ|ψ(ｔ)＞は,

方程式: iｈ_c(∂/∂ｔ)ｃ_ｐ(ｔ)＝Ｈ(iｈ_c∇_ｐ,ｐ)ｃ_ｐ(ｔ)

の解ですが,

ｘ-表示の波動関数解と同様,定常状態の重ね合わせとして,

ｃ_ｐ(ｔ)＝Σ_Eａ_ｐ(Ｅ)exp(－iＥｔ/ｈ_c) と表わせます。

故に,Fourier積分:ψ(ｘ,ｔ)＝∫ｄｐｃ_ｐ(ｔ)ψ_ｐ(ｘ)は,

ψ(ｘ,ｔ)＝Σ_E∫ｄｐａ_ｐ(Ｅ)ψ_ｐ(ｘ)exp(－iＥｔ/ｈ_c)

となります。

もしも,|ψ(ｔ)＞が運動量ｐの固有状態:|ψ(ｔ)＞＝ｃ(ｔ)|ｐ＞

であるならば,

一般に,iｈ_c(∂ｃ(ｔ)/∂ｔ)＝Ｈ(iｈ_c∇_ｐ,ｐ)ｃ(ｔ)により,

上記のｃ_ｐ(ｔ)と同じく,ｃ(ｔ)＝Σ_Eａ(Ｅ)exp(－iＥｔ/ｈ_c)

と展開できます。

そこで,その状態ベクトルを,

|ψ(ｔ)＞＝[Σ_Eａ(Ｅ)exp(－iＥｔ/ｈ_c)]|ｐ＞,あるいは,

ψ(ｘ,ｔ)＝[Σ_Eａ(Ｅ)exp(－iＥｔ/ｈ_c)]ψ_ｐ(ｘ)

と表わすことができます。

特に,[Ｈ,ｐ]≠0 のときには,|ψ(ｔ)＞がｐの固有状態なら,

Ｈの固有状態とは成り得ないので,

右辺の展開係数:ａ(Ｅ)が,ａ(Ｅ)＝ａ₀δ(Ｅ,Ｅ₀)のような

形にはならず,|ψ(ｔ)＞はエネルギーが一定のＨの固有状態

＝定常状態では有り得ません。

　逆に,|φ(ｔ)＞がＨの固有状態＝エネルギーが一定の状態

　である場合:

　つまり,|φ(ｔ)＞＝exp(－iＥｔ/ｈ_c)|φ(0)＞と書けて,

　定常状態のSchroedinger方程式:Ｈ|φ(ｔ)＞＝Ｅ|φ(ｔ)＞

　を満足する場合には,

　|φ(0)＞を|ｐ＞で展開し,て,

　|φ(0)＞＝∫ｄｐ|ｐ＞＜ｐ|φ(0)＞

　＝∫ｄｐｂ_ｐ|ｐ＞;ｂ_ｐ≡＜ｐ|φ(0)＞と書けば,

　|φ(ｔ)＞＝exp(－iＥｔ/ｈ_c)∫ｄｐｂ_ｐ|ｐ＞,または,

　φ(ｘ,ｔ)＝exp(－iＥｔ/ｈ_c)∫ｄｐｂ_ｐψ_ｐ(ｘ)

　となります。

したがって,特に[Ｈ,ｐ]≠0 のときは,|φ(ｔ)＞がＨの固有

状態なら,ｂ_ｐ＝ｂ₀δ(ｐ－ｐ₀) のような形にはならず,

|φ(ｔ)＞は,運動量が一定のｐの固有状態

＝(一定速度で等速直線運動を行なっている状態)

では有り得ません。

つまり,[Ｈ,ｐ]≠0 のときには運動量の保存が成立している状態

ならエネルギーは保存せず,逆にエネルギーが保存している状態

なら運動量は保存しない,ということになります。

したがって,ある系でエネルギーが一定値Ｅの定常状態:

|φ(ｔ)＞＝exp(－iＥｔ/ｈ_c)|φ＞にあるとき:

すなわち,|φ＞が定常状態のSchroedinger方程式:

Ｈ|φ＞＝Ｅ|φ＞の解であるとき,

もし[Ｈ,ｐ]≠0 であるなら,|φ＞はある|ｐ＞と一致すること

は決してなく,確定した運動量ｐで等速直線運動をしている状態

ではありません。

そして,展開|φ＞＝∫ｄｐｂ_ｐ|ｐ＞によれば,運動量を観測

したときに,それがｐとｐ＋ｄｐの範囲にあると観測される

確率が|ｂ_ｐ|²ｄｐであるといえるだけです。

次に,状態が時間ｔに依存しないHeisenberg表示を考えます。

これは,Schroedinger表示の状態ベクトル:

|ψ(ｔ)＞＝exp(－iＨｔ/ｈ_c)|ψ(0)＞において,

ある時刻での粒子の存在確率とは無関係の位相因子だけ異なる

|ψ(ｔ)＞のユニタリ変換:|ψ＞≡|ψ(0)＞を,系の状態を代表

する状態ベクトルとして採用することに相当します。

つまり,Ｕ(ｔ)≡exp(－iＨｔ/ｈ_c)と定義すると,

Ｕ(ｔ)Ｕ⁺(ｔ)＝Ｕ(ｔ)⁺Ｕ(ｔ)＝１なので,

Ｕ(ｔ)はユニタリ演算子ですから,

|ψ(ｔ)＞＝exp(－iＨｔ/ｈ_c)|ψ＞＝Ｕ(ｔ)|ψ＞,あるいは,

|ψ＞＝exp(iＨｔ/ｈ_c)|ψ(ｔ)＞＝Ｕ⁺(ｔ)|ψ(ｔ)＞

はユニタリ変換です。

そして,Schroedinger表示において,ある物理量を表わす同じ

演算子Ａが,時間ｔに依存するHeisenberg表示においては,

Ａ(ｔ)と表現されるとした場合,これらが満たすべき条件は

両方の表示で観測の期待値が一致することで与えられます。

すなわち,＜ψ(ｔ)|Ａ|ψ(ｔ)＞＝＜ψ|Ａ(ｔ)|ψ＞

となることが必要です。

|ψ(ｔ)＞＝exp(－iＨｔ/ｈ_c)|ψ＞なので,これを上の期待値

が一致すべきである,という条件に代入することにより,

Heisenberg表示での演算子Ａは,

Ａ(ｔ)＝exp(iＨｔ/ｈ_c)Ａexp(－iＨｔ/ｈ_c)＝Ｕ⁺(ｔ)ＡＵ(ｔ)

なる形式で与えられるべきである,ことがわかります。

このとき,Heisenberg表示において物理量を表わす演算子

Ａ(ｔ)は,明らかに,方程式:

(iｈ_c)[ｄＡ(ｔ)/ｄｔ]

＝exp(iＨｔ/ｈ_c)[Ａ,Ｈ]exp(－iＨｔ/ｈ_c)

＝[Ａ(ｔ),Ｈ],または,

ｄＡ(ｔ)/ｄｔ]＝[1/(iｈ_c)][Ａ(ｔ),Ｈ]

を満足します。

Heisenberg表示では状態は時間発展せず,演算子が時間発展します。

そして,この演算子Ａ(ｔ)が満たすべき方程式を,Heisenberg

の運動方程式と呼びます。

Schroedinger表示,Heisenberg表示のいずれにしても,

系の時間発展は,結局は時間発展のユニタリ演算子:

Ｕ(ｔ)＝exp(－iＨｔ/ｈ_c)を,状態ベクトル,あるいは演算子,

の時間発展の形を借りて表現しているに過ぎないので,

これらの表示が同値であることは自明なことです。

ところで,(iｈ_c)[ｄＡ(ｔ)/ｄｔ]

＝exp(iＨｔ/ｈ_c)[Ａ,Ｈ]exp(－iＨｔ/ｈ_c)＝[Ａ(ｔ),Ｈ]

なので,[Ａ,Ｈ]＝0 ならｄＡ(ｔ)/ｄｔ＝0 ,つまり,

Ａ(ｔ)＝Ａ(一定)であり,この場合には,いずれの表示でも

演算子は時間ｔを含まない同じ表現で与えられます。

一般に場の量子論では,Heisenberg表示:すなわち,状態が

時間パラメータｔを含まない形で定式化されますが,

実はこの状態は時間ｔだけでなく空間座標のパラメータｘ

も含まない形に定式化されます。

これは,すなわち,Heisenberg表示を採用した方が,時間と空間

を対等に扱う相対論的に共変な定式化にとって好都合である

からです。

そして,実際場の量子論でのスカラー場では位置演算子Ｘは,

Ｘ＝∫ｄｘφ⁺(ｘ,ｔ)ｘφ(ｘ,ｔ)で与えられ,明らかに時間

ｔの関数なのでＸ＝Ｘ(ｔ)と書くことができます。

そして,位置演算子Ｘ(ｔ)の固有値ｘに属する規格化された固有

ベクトル|ｘ＞＝ｃ^*φ⁺(ｘ,ｔ)|0＞もｔに依存するので,

|ｘ,ｔ＞＝ｃ^*φ⁺(ｘ,ｔ)|0＞と表現した方がいいと思います。

そして,場の量子論ではこのスカラー場から成る任意の１粒子状態:

|Φ＞は,時間ｔも座標ｘも陽には含まないHeisenberg表示の状態

ベクトルであるとされ,

ｘ-表示によるSchroedingerの波動関数が,Φ(ｘ,ｔ)

≡＜ｘ,ｔ|Φ＞＝ｃ＜0|φ(ｘ,ｔ)|Φ＞で与えられることは

以前に記述した通りです。

自由なスカラー粒子の波動関数はKlein-Gordon方程式:

(□＋ｍ²)Φ(ｘ,ｔ)＝0 (つまり,ｐ²－ｍ²＝0：Ｅ²＝ｐ²＋ｍ²)

を満足するべきなので,(□＋ｍ²)＜ｘ,ｔ|＝0 となります。

それ故,(□＋ｍ²)|ｘ,ｔ＞＝0 ですが,これは自由スカラー場

の波動方程式:(□＋ｍ²)φ(ｘ,ｔ)＝0 と無矛盾です。

とりあえず,これで終わります。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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