磁気単極子(モノポール)

EMANさんのところで,ちょっと磁気単極子(モノポール)のことが話題

になっていて私自身はその存在については懐疑的ですが,これについ

て少し書いてみようと思います。

もしも,"これ＝磁気単極子(モノポール)"が存在すればＮ極やＳ極

の磁荷が単独で存在することが可能になり,普通の意味でのゲージ

不変性は破れます。

しかし,電気と磁気の双対的な対称性はより明確になるし,電磁場

のMaxwellの方程式も少し修正するだけでそのまま成り立つので,

理論的にはこれの存在を否定する根拠はありません。

さて,量子論では通常は無視される状態ベクトル,または波動関数の

各時空点における位相の効果を考察することによって,

"磁気単極子＝モノポール"の存在を仮定すれば,量子力学が理論と

して矛盾しないためには電荷が離散的でなければならない:つまり

粒子が持つ電荷はある素電荷の整数倍のみが許される。"

という"電荷の量子化"が説明できるということをDiracが1931年に

示しました。

これは,十分にモノポールの存在の理論的根拠に成り得るもので

あるとして,一時注目されました。

私としては,既に2006年５/11の記事「波動関数の位相と電磁場」で,

"量子異常(Anomary)"の生じる原因は波動関数の位相(Berryの位相)

がカイラル・カレント(Chiral current)に及ぼす影響である。

という主旨の話を書きました。

その際にも,波動関数の位相の効果として上記のDiracの磁気単極子

やアハラノフ・ボーム効果(Aharonov–Bohm effect)があることなど

についても,少し触れています。

要するに何が問題かというと,皆さんよくご存知のように,

電気の電荷というのは正電荷(＋)や負電荷(－)が単独で存在する

ことが可能ですが,磁気における磁荷,つまりＮ極とかＳ極とかい

うのは,必ず"対(pair)＝双極子(dipole)"でしか存在し得ません。

永久棒磁石などは,いくら切り離してバラバラに分けても金太郎

飴とはちょっと違うけれど,必ず両端にＮ極とＳ極が対になって

現われて総体として磁気的に中性になり,決してＮ極またはＳ極

が単独で現われることはありません。

実際の実験や観測においても,いくら微小な粒子であっても"単独

のＮ極あるいはＳ極のみを持つもの＝磁気単極子(monopole：モノ

ポール)"は未だ発見されたことがありません。

現在の電磁気学の基礎方程式であるMaxwell方程式で見ると,電場

では電束密度の湧き出しとして電荷密度ρ_eが表現されています。

すなわち,divＤ＝ρ_eです。

これに対し,磁場では磁束密度の湧き出しは必ずゼロになります。

divＢ＝0 ですね。

これは電荷を連続量とみなして,それを電荷密度の積分として表わ

していいほどのオーダー:つまり古典電磁気学のオーダーでは単独

の磁荷は現われない,したがってゼロ以外の磁荷密度は決して現わ

れないという意味で現在の電磁気学の基礎にもなっています。

現在の電磁気学では,電荷は単純に実在するスカラー量の１つであ

るとされているのに対して,磁荷というスカラーは現実に実在する

量ではありません。

磁荷に相当するものとしては,コイルのような回転電流の上下にＮ

極とＳ極という２つの磁荷が対になって双極子として出現する存在

でしかないと考えられています。

しかし,電磁気学において磁気単極子(モノポール)が存在しても

矛盾がないことを見るために,まず,真空中の電磁場のMaxwellの

方程式を書き下します。

すなわち,divＤ＝ρ_e,rotＨ＝∂Ｄ/∂t＋Ｊ_e,divＢ＝0,

　－rotＥ＝∂Ｂ/∂tです。

　そして,もしもモノポールが存在するとした場合に,上の方程系は,

　一般にはゼロでない磁荷密度ρ_mと磁荷電流密度Ｊ_mの存在を仮定

　することによって,一般化されたMaxwellの方程式に修正されます。

　すなわち,divＤ＝ρ_e,rotＨ＝∂Ｄ/∂t＋Ｊ_e,divＢ＝ρ_m,

　－rotＥ＝∂Ｂ/∂t＋Ｊ_mです。

　そして,この一般化されたMaxwellの方程式に対して,

　擬スカラー角ξによる次の双対性変換:

  　Ｅ＝Ｅ'cosξ＋Ｚ₀Ｈ'sinξ,

　Ｚ₀Ｄ＝Ｚ₀Ｄ'cosξ＋Ｂ'sinξ,

　Ｚ₀Ｈ＝－Ｅ'sinξ＋Ｚ₀Ｈ'cosξ,

　  Ｂ＝－Ｚ₀Ｄ'sinξ＋Ｂ'cosξ,

　および,

　Ｚ₀ρ_e＝Ｚ₀ρ_e'cosξ＋ρ_m'sinξ,

　Ｚ₀Ｊ_e＝Ｚ₀Ｊ_e'cosξ＋Ｊ_m'sinξ,

　　ρ_m＝－Ｚ₀ρ_e'sinξ＋ρ_m'cosξ,

　　Ｊ_m＝－Ｚ₀Ｊ_e'sinξ＋Ｊ_m'cosξ

　を施しても方程式の形は不変です。

さらに,もしも全ての粒子で磁荷と電荷の比が同一なら,

双対性変換の結果,ρ_m'とＪ_m'が共にゼロになるような

擬スカラー角ξを選ぶことが可能となります。

したがって,その変換を実行することにより,一般化された

Maxwellの方程式は通常のMaxwellの方程式に帰着されます。

次に,Diracの磁気単極子の理論を詳しく説明するために,波動

関数の位相について考察してみます。

まず,ある特定のSchroedinger方程式を与えられた境界条件の

下で解いた１つの解ψを考えます。

ψは１成分の波動関数で座標ｑと時刻ｔの関数ですから,これを

ψ(ｑ,ｔ)≡Ａ(ｑ,ｔ)exp{iβ(ｑ,ｔ)}と表現します。

ただし,Ａ(ｑ,ｔ),β(ｑ,ｔ)は実数値関数です。

通常の物理的状況を想定し,境界条件は確率として観測可能な量

である|ψ(ｑ,ｔ)|²にのみに依存すると仮定します。

そして,ψの位相βに定数位相を加えて得られる新しい波動関数

をψ'とします。

すなわち,ψ'(ｑ,ｔ)≡Ａ(ｑ,ｔ)exp{iβ'(ｑ,ｔ)},

β'(ｑ,ｔ)＝β(ｑ,ｔ)＋(定数) とします。

このときψ'はψが満たすのと同じ波動方程式の解であり,実験

との比較における理論的結論においてもψ'とψの間に何の差異

もないことは明らかです。

それ故,ある１点での波動関数の位相という量:β(ｑ,ｔ),

または,β'(ｑ,ｔ)は,それ単独では何の物理的意味も持たない

といえます。

しかし,位相β(ｑ,ｔ),β'(ｑ,ｔ)に共通の性質として重要なの

は,異なるｑ:つまり異なる２点でのそれらの差は常に一定である

ということです。

すなわち,位相が意味を持つとすれば,それは異なる２点における

位相差のみであるといえます。

このことは,同じ方程式の解となる複数の波動関数についてもいえ

ることです。

例えば,ψがψ＝ψ₁＋ψ₂と重ね合わせで与えられるとき,

ψに関して実際に観測可能な物理量は,確率密度:

|ψ|²＝|ψ₁|²＋|ψ₂|²＋ψ₁^*ψ₂＋ψ₁ψ₂^* ですから,ある１点に

おけるψ₁とψ₂の位相に共通の値を加えても結果は同じです。

しかし,ψ₁とψ₂に別々の位相を加えて勝手に位相差を変えると

結果が変わってしまいますから,位相差には明確な意味があると

いえます。

ここで,Diracが1931年の論文において考察した１つの一般化を

与えます。

すなわち,物理的に意味のある波動関数は任意の２点に対してで

はなく,近傍にある２点に対してのみ,その位相差が確定した値を

取ることを要求された位相を持つ関数であるとします。

そこで,遠く離れた２点での位相差はそれらを結ぶ経路に依存して

もよいと仮定します。

すると,同一点であっても閉じた経路を周回して戻ったときには,

位相が元の値と異なることがあってもいいことになります。

そして,もしもこの意味でも波動関数の１価性は保持されること

を要求するなら,経路周回によって生じる位相差は,2πの整数倍

でなければなりません。

しかし,ここでは波動関数が必ずしも１価であることは要求しない

ことにします。

そして,そのように仮定しても,理論を応用する上で曖昧さが生じ

ないための条件を求めます。

そのために,波動関数ψを位相が確定した可積分な部分:

点の座標によって"定数を除いて位相が一意的に決まる部分

＝いわゆる渦無しの部分,あるいは,非回転的な位相部分:ψ₁

と,非可積分な位相γを持つ部分の因子に分けて,　

ψ≡ψ₁ exp(iγ)　と書きます。

そして３次元空間の中を運動する１粒子問題を対象として,座標

ｑは直角座標ｘであるとします。

位相γは４次元Minkowski空間のあるベクトル:ａ^μ(ｘ,ｔ)により

γ(ｘ,ｔ)＝∫_C^x,tａ_μ(ｙ^μ)ｄｙ^μと表現されますが,可積分性:

∂_μａ_ν＝∂_νａ_μ(μ≠ν)は一般に成立しません。

ただしｘ^μ＝(ｘ⁰,ｘ)であり,ｘ⁰＝ｔ,ｘ＝(ｘ¹,ｘ²,ｘ³)です。

まず,波動関数の確率解釈の要請は,γには何の制限も与えないこと

を示します。

すなわち,確率,および期待値では,波動関数に対して必ずその複素

共役が対になった積で与えられるので,位相部分の任意性は相殺さ

れます。

しかし,この確率解釈では,物理量をＯとして∫_C(ψ⁺Ｏφ)ｄｘが

考察の対象になることがあります。

Ｏ＝1の場合は,これは状態ψとφの重なり具合を与えます。

そこで,これは確定した値を持つ必要があり,そのためにはこれらの

被積分関数の２点間の位相差が確定値を取る必要があります。

これは位相γにある制限を与えるようにみえます。

つまり,積分が確定するには任意の波動関数の対:ψとφが閉じた

経路Ｃの周回については,2πの整数倍を除いて,つまり,mod (2π)

で同じ位相差を持つことが必要十分です。

すなわち,ψ≡ψ₁exp(iγ);γ(ｘ,ｔ)＝∫^x,tａ_μ(ｙ^μ)ｄｙ^μ,

かつ,φ≡φ₁exp(iη);η(ｘ,ｔ)＝∫^x,tｂ_μ(ｙ^μ)ｄｙ^μとした

とき,

Ｃを閉じた経路として,　

∫_Cａ_μ(ｙ^μ)ｄｙ^μ－∫_Cｂ_μ(ｙ^μ)ｄｙ^μ＝2ｎπ (ｎは整数)

となることが条件です。

ところが,ここで,２つの条件:

(1)Ｃが１点にホモトピー(Homotopy)である。

(2)ａ^μ,ｂ^μはＣの内部で連続的に定義できる。

が満たされているとすると,

∫_Cａ^μ(ｙ^μ)ｄｙ_μ－∫_Cｂ^μ(ｙ^μ)ｄｙ_μ＝2ｎπの左辺は,

Ｃを１点に縮小するとゼロになりますから,

この等式が成立するためには右辺のｎもゼロになるしか

ありません。

そして,上の２つの条件が全ての閉路Ｃと波動関数の対ψ,φに対し

て成立しているとします。

ｎ＝0 により∫_Cａ_μ(ｙ^μ)ｄｙ^μ－∫_Cｂ_μ(ｙ^μ)ｄｙ^μ＝0 です

から,Stokesの定理によって,

∫_C(ａ－ｂ)_μｄｙ^μ＝∫_S{rot(ａ－ｂ)}_μνｄＳ^μν＝0

です。

これが常に成立するためには,rot(ａ－ｂ)＝0 となることが必要

十分ですから,あるδが存在してａ－ｂ＝gradδと書けるはずです。

故に,η(ｘ,ｔ)＝γ(ｘ,ｔ)－δ(ｘ,ｔ)でありη,γは非可積分

ですがδは可積分です。

そこで,δを可積分位相のみの部分であるφ₁の方に含めると,

結局,η(ｘ,ｔ)＝γ(ｘ,ｔ) です。

すなわち,非可積分位相は全ての波動関数に共通であるとしてよい

ことになります。

かくして,非可積分位相γは全ての波動関数に共通であるとして

よいことがわかったので,このγの存在は力学系自身の性質であ

って,個々の状態とは無関係であるということになります。

そこで今考えている１粒子系の場合には非可積分位相γは粒子が

置かれている背景の力の場そのものに関係しているはずです。

ところで,

ｐ_μψ＝iｈ_c∂ψ/∂ｘ^μ

＝exp(iγ)[iｈ_c(∂/∂ｘ^μ)－ｈ_cａ_μ]ψ₁です。

(ただし,ｈ_c≡ｈ/(2π)；ｈはPlanck定数)

一方,電荷ｅの粒子と電磁場Ａ^μの相互作用がある場合の

HamiltonianＨ は,極小相互作用の原理によって,

電磁場Ａ^μが存在しないときのＨ において,

ｐ_μ→ (ｐ_μ－ｅＡ_μ/ｃ)と置き換えればいいことがわかって

います。

そこで,上で求めたｐ_μψ＝exp(iγ)(ｐ_μ－ｈ_cａ_μ)ψ₁なる式を

考慮し,ψは電磁場と相互作用しないとするときには,

ψ₁は見掛け上,Ａ_μ＝ｈ_cｃａ_μ/ｅなる電磁ポテンシャルを持つ

電磁場と相互作用しているように見えます。

さらに,通常の手続きで,その電磁ポテンシャル：

Ａ^μ＝ｈ_cｃａ_μ/ｅから,Ｂ＝rotＡ, Ｅ＝－∇Ａ⁰－∂Ａ/∂ｔ

によって電場Ｅ,磁場Ｂを表現することもできます。

あるいは,

逆に電磁ポテンシャルＡ^μと相互作用する波動関数ψ₁を求めたい

ときには,Ａ^μ＝ｈ_cｃａ_μ/ｅと,γ(ｘ^μ)＝∫^xμａ_μ(ｙ^μ)ｄｙ^μ

を通じて非可積分位相γを計算し,ψ＝exp(iγ)ψ₁によって新し

い波動関数ψを定義すれば,

これは電磁ポテンシャルのない場合の波動方程式の解ですから,

Ａ^μが既知のときには,ψとψ₁は一方が解ければ他方も解ける

という関係になります。

結局,Schroedinger波動関数に対する電磁場の効果は非可積分

位相のみに現われると考えることができます。

ここで,前述の２つの条件のうちの１つ：

"(1)Ｃが１点にHomotopyである。"が満たされない場合の例として

円周上(0≦θ≦2π)でのSchroednger方程式を調べてみます。

このSchroedinger方程式はPlanckや質量を無視した単位では,

－(1/2)ｄ²ψ(θ)/ｄθ²＝Ｅψ(θ) です。

これの境界条件として,

ψ(2π)＝exp(-2πiＡ)ψ(0)(Ａは実定数)を要求して,

全ての実数θの領域での波動関数ψ(θ)を考察します。

境界条件によって,この問題はＥが離散的固有値:

Ｅ_n＝(ｎ－Ａ)²/2 (ｎは整数)を持ち,その固有関数が

ψ_n(θ)＝(2π)^-1/2exp{i(ｎ－Ａ)θ}である,

と解かれます。

この波動関数では円周を１回転するごとに－2πＡ(mod 2π)

の位相変化が生じるのでψ(θ)は１価ではなく非積分位相:

γを持ちます。

γには定数だけの曖昧さがあるので,

γ(θ)≡－∫₀^θＡｄθ'＝－Ａθ と定義します。

位相γをψから分離すると,

ψ_n(θ)＝exp(iγ)ψ_1n(θ);ψ_1n(θ)＝(2π)^-1/2exp(iｎθ)

と書けます。

よって,ψ_1n(θ)は円周上で確定した位相を持ちます。

そして,分離によって新しく得られた波動関数ψ_1n(θ)の満たす

新しいSchroedinger方程式は,

－(1/2)[(ｄ /ｄθ)－iＡ]²ψ(θ)＝Ｅψ(θ)

となります。

満たすべき境界条件はψ(2π)＝ψ(0)です。

固有値は,Ｅ_n＝(ｎ－Ａ)²/2 (ｎは整数)で変化しません。

これは考えている円周がｘｙ面上にあるとする座標系で,

Ａ＝(－Ａｙ,Ａｘ,0),Ａ⁰＝0 で与えられる電磁場;

Ａ^μ＝(Ａ⁰,Ａ)が存在する下でのSchroedinger方程式とその解

であると解釈できます。

この例は,γ(θ)≡－∫₀^θＡｄθ'＝－Ａθですから,この円周Ｃ

は円の内部の１点にHomotopyではありません。

つまり,条件(1)"Ｃが１点にHomotopyである。"が満たされない例

となっていますが,この場合でも"波動関数ψから非積分位相γを

分離した残りの部分ψ₁は１価関数であり電磁場の存在下での状態

を記述する。"という結論はそのまま成立しています。

ただし,条件(1)が満たされないときは一般に波動関数ψは１価関数

ではありません。

一方,条件(2)"ａ^μ,ｂ^μはＣの内部で連続的に定義できる。"が満た

されない場合を考察します。

ただし,条件(1):"Ｃが１点にHomotopyである。"の方は満たされて

いると仮定します。

３次元空間で極座標(ｒ,θ,φ);

ｘ＝rsinθcosφ,ｙ＝rsinθsinφ,ｚ＝ｒcosθを用いて,

次の関数を考えてみます。

ψ₁(ｘ,ｔ)＝ｆ(ｒ,ｔ)sin(θ/2)exp(iｎφ)です。

ただし,ｆ(ｒ,ｔ)は１価連続とします。

この例では,ψ₁はθ＝0 で連続であるにも関わらず,閉路が

半直線θ＝0 の周りを１周すると,その閉路が如何に小さくとも

位相の変化は∫_φ=0^φ=2πｄφ{∂(ｎφ)/∂φ}＝2πｎです。

よって,θ＝0 で位相に不連続な跳躍があるため,

条件(2)"ａ^μ,ｂ^μはＣの内部で連続的に定義できる。"

が満足されない例となっています。

一般に１価連続の波動関数がゼロとなるところ:ψ₁＝ 0 となる

場所では同様なことが生じる可能性があり,位相が定義できない

ので条件(2)が成立しなくなります。

ψ₁＝ 0 はψ₁が複素数値なのでψ₁(ｘ,ｔ)の４つの変数(ｘ,ｔ)

に対し２つの独立な制限を与えます。

それ故,時刻ｔを固定するとψ₁＝ 0 はある１次元の曲線を

定めます。

この方程式:ψ₁＝0 を満たす零点を示す曲線を節線と呼びます。

１本の節線を指定したとき,これを周回する十分小さい閉路Ｃに

ついてψ₁の位相δの１周の変化量は,

∫_C∇δｄｓ＝2πｎ(ｎは整数)

と表わすことができます。

ｎはこの節線に固有の量ですから,これを指数と呼びます。

指数の符号は節線と閉路Ｃの相対的位置に依存します。

ここで,元の波動関数ψ＝exp(iγ)ψ₁の位相(δ＋γ)が有限な

大きさの閉路Ｃの周回に関してどの程度変化するかを評価します。

ただし,Ｃは多数(ｋ個)の小閉路Ｃ_jの合併で,Ｃ_jはそれぞれが

高々１本の指数がｎ_jの節線を囲んでいるとします。

Ｃ_jが節線を囲んでいない場合は,ｎ_j＝0 とします。

また,閉路Ｃを境界とする曲面をＳとします。

このとき,∫_C∇(δ＋γ)ｄｓ＝∑_j(∫_{C j}∇δｄｓ)－∫_Cａｄｓ

＝∑_j2πｎ_j－∫_S(∇×ａ)ｄＳ　です。

ここで,ａ＝(ａ¹,ａ²,ａ³)＝－(ａ₁,ａ₂,ａ₃)であり,

γ＝∫^x,tａ_μｄｓ^μ；∫ａ₀ｄｓ⁰＝0 です。

さて,電磁ポテンシャルをＡ^μ≡ｈ_cｃａ_μ/ｅによって導入し,

上式に,∇×ａ＝{ｅ/(ｈ_cｃ)}rotＡ＝{ｅ/(ｈ_cｃ)}Ｂを代入

すると,

総位相変化量は,

∫_C∇(δ＋γ)ｄｓ＝∑_j2πｎ_j－{ｅ/(ｈ_cｃ)}∫_SＢｄＳ

＝2πＮ－{ｅ/(ｈ_cｃ)}Φ　で与えられます。

最後の式では,指数の代数和をＮ≡∑_jｎ_jとし,Ｓを貫く全磁束

をΦとしています。

ところで,もしもＳが閉曲面なら,そもそもそれは境界Ｃを持た

ないので位相変化量はゼロのはずです。

したがって,この場合は 2πＮ－{ｅ/(ｈ_cｃ)}Φ＝0 です。

一方,同じくＳが閉曲面のとき,指数の総和Ｎ＝∑_jｎ_jにおいて,

節線がＳ全体を通過している場合,その節線に関する指数ｎ_jに

よる寄与の総和は相殺されてゼロになりますから,

Ｎに寄与する節線の指数ｎ_jとしては,Ｓの内部に端点のある節線

によるもののみに帰着します。

これは,全磁束Φへの部分小閉路内磁束の寄与についても同じです。

つまり,Ｓの外から入ってきて外へと通過してしまう磁束なら,

その全磁束Φへの寄与はゼロです。

それ故,Φにゼロでない寄与を与える磁束は,閉曲面Ｓの内部に

端点を持ち,そこでの湧き出しのみがΦへの寄与になる,

と考えられます。

そもそも,通常の磁場のみでモノポールが全くないなら,磁力線には

端点というものがありませんから,Φ＝0 です。

そこで逆に全磁束Φがゼロでないなら,Ｓの中には磁束の湧き出し

をもたらす"磁力線の端点＝電磁場の特異点"があるはずです。

ところが,全磁束Φは問題としている粒子にとっては単に外的な

磁場の効果であり,等式 2πＮ＝{ｅ/(ｈ_cｃ)}Φでは右辺は磁場

のみに依存して粒子の状態には無関係な量です。

そこで,この等式は,左辺のＮが全ての波動関数に対して,共通な

値であることを意味します。

つまり,"ψ₁の零点＝節線"のうちＳの中で終わっている端点は

電磁場の特異点に対応しているといえます。

閉曲面Ｓを十分小さく取って,その内部に含まれる電磁場の特異

点は１つだけであるようにします。

電磁場といっても今問題になるのは磁場だけなので,特に唯一の

特異点が原点にあるとして,

電場,磁場が,それぞれ,Ｅ＝0,Ｂ＝ｇｒ/ｒ³となる場合

を考えます。

このとき,Ｓ内の全磁束は,

Φ＝∫_SＢｄＳ＝ｇ∫_Sｒ/ｒ³ｄＳ＝4πｇ

と計算されます。

磁場Ｂの強さを示すｇは,磁気単極子(モノポール)の磁荷と

呼ばれる量に対応しており,2πＮ－{ｅ/(ｈ_cｃ)}Φ＝0 は,

4πｇｅ/(ｈ_cｃ)＝2πＮ,またはｇ＝Ｎ{ｈ_cｃ/(2ｅ)}なること

を意味します。

これは,磁荷:ｇが{ｈ_cｃ/(2ｅ)}の整数倍でなければならないこと

を示しています。

あるいは,ｅ＝Ｎ{ｈ_cｃ/(2ｇ)}と書けば,逆に,

電荷:ｅが{ｈ_cｃ/(2ｇ)}の整数倍でなければならないこと

になります。

結局,電荷の量子化が得られたことになります。

位相に関する話題はこの他にもありますが,一応,Diracの

磁気単極子(モノポール)の理論に関連した話だけをしよう

と思ったので,今日のところはここで完結とします。

参考文献：Jackson 著(西田 稔 訳)「電磁気学(上)」(吉岡書店)；

矢吹治一 著「量子論における位相」(日本評論社)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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