磁気単極子(モノポール)(補遺)

　前記事では電場や磁場などの場の強さについて言及していなかった

のが少し気になったので補足しておきます。

まず,磁気単極子(モノポール：monopole)など全く存在しない

普通の電磁気学では,磁場(磁束密度)Ｂは,常に発散がゼロの

条件：divＢ＝∇Ｂ＝0 を満たすので,ベクトルポテンシャル

Ａが存在して,Ｂ＝rotＡ＝∇×Ａと表現できます。

そして,これを電場Ｅを含む方程式:－rotＥ＝∂Ｂ/∂t に代入

すると,rot(Ｅ＋∂Ａ/∂ｔ)＝0 なので,スカラーポテンシャル

Φが存在して,Ｅ＋∂Ａ/∂ｔ＝－∇Φ＝－gradΦと書けます。

そこで,Ａ⁰＝Φとおいて,４元ベクトルとして,

電磁ポテンシャル：Ａ^μ＝(Ａ⁰,Ａ)を定義すれば,

Ｂ＝rotＡ＝∇×Ａ,かつ,Ｅ＝－gradＡ⁰－∂Ａ/∂ｔ

＝－∇Ａ⁰－∂Ａ/∂ｔと表わすことができます。

これを用いると,場の強さである電場Ｅと磁場Ｂは,

４次元Minkowski空間の反対称テンソル成分として,

Ｆ_μν≡∂Ａ_ν/∂ｘ^μ－∂Ａ_μ/∂ｘ^ν

＝∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μ；Ｂⁱ＝－1/2ε^ijkＦ_ik＝－ε^ijk∂_jＡ_k

＝ε^ijk∂_jＡ^k,Ｅⁱ＝Ｆⁱ⁰＝∂ⁱＡ⁰－∂⁰Ａⁱ＝－∂_iＡ⁰－∂₀Ａⁱ

と表現されます。

そして,こうした場の強さの定義から,勝手なスカラー関数:Λ

に対して,電磁ポテンシャルに,Ａ_μ→ Ａ_μ＋∂_μΛ なる変換

を加えても場の強さ:Ｆ_μν＝∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μは不変である,

というゲージ(gauge)不変性が成立することは明白です。

余談になりますが,

より一般に場の量子論において,生成子(generators):{Ｔ^a}の

交換関係が変換群Ｇの構造定数ｆ_abcで,[Ｔ^a,Ｔ^b]＝iｆ_abcＴ^c

(ａ,ｂ,ｃ＝1,2,..,Ｎ＝dimＧ)で規定されるような一般の

非可換な局所ゲージ変換群Ｇの下で,

理論が不変であるとします。

このとき,ゲージ場の４元ポテンシャルを,

Ａ_μ≡∑_a=1^NＡ^a_μＴ^a,共変微分をＤ_μ≡∂_μ＋iｇＡ_μ

とすると,

この場合の"場の強さ＝曲率テンソル"は一般に,

Ｆ_μν≡∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μ－(i/ｇ)[Ｄ_μ,Ｄ_ν]

＝∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μ＋iｇ[Ａ_μ,Ａ_ν]

で定義されます。

ただし.Ｆ_μν≡∑_a=1^NＦ^a_μνＴ^aであり,

Ｆ^a_μν≡∂_μＡ^a_ν－∂_νＡ^a_μ－ｇｆ_abcＡ^b_μＡ^c_ν

(ａ,ｂ,ｃ＝1,2,..,Ｎ)です。

そして,この場合のゲージ不変性は"Ｎ成分の勝手な関数Λにより,

Ａ_μ＝∑_a=1^NＡ^a_μＴ^aから,Ａ_μ→ Ａ_μ＋Ｄ_μΛなる変換:

すなわち,Ａ^a_μ→ Ａ^a_μ＋∂_μΛ^a－ｇｆ_abcＡ^b_μΛ^cなる変換

を加えても,

場の強さ:

Ｆ_μν≡∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μ－(i/ｇ)[Ｄ_μ,Ｄ_ν]

＝∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μ＋iｇ[Ａ_μ,Ａ_ν],　

あるいは,　

Ｆ^a_μν≡∂_μＡ^a_ν－∂_νＡ^a_μ－ｇｆ_abcＡ^b_μＡ^c_νが不変である。"

という法則になります。

そして,物質場:ψがなくゲージ場Ａ^μだけが存在する場合の

自由ゲージ場のLagrangian密度は,

Ｌ＝－(1/4)Ｎ^-1tr(Ｆ_μνＦ^μν)

＝－(1/4)Ｆ^a_μνＦ^aμν

で与えられます。

これは,電磁場ならＬ＝－(1/4)Ｆ_μνＦ^μν＝(1/2)(Ｅ²－Ｂ²)

です。

これを"Haniltonian Ｈ＝エネルギー"に変換すれば,

Ｈ＝(1/2)∫(Ｅ²＋Ｂ²)ｄｘとなります。

もちろん,これらはゲージ不変です。

しかし,磁気単極子(モノポール)がある場合の一般化された場

では,divＢ＝ρ_m≠0 なので,Ｂがベクトルポテンシャル:Ａに

よってＢ＝rotＡと書けるということはなく,

より一般に,Ｂは発散がゼロの部分と,回転がゼロの部分の和として

Ｂ＝rotＡ＋gradχと表わせます。

また,これと－rotＥ＝∂Ｂ/∂t＋Ｊ_mからは,

rot(Ｅ＋∂Ａ/∂ｔ)＋grad(∂χ/∂ｔ)＋Ｊ_m＝0

となります。

ところで,一般化されたMaxwellの方程式では擬スカラー角ξに

よる双対性変換:

Ｅ＝Ｅ'cosξ＋Ｚ₀Ｈ'sinξ,

Ｚ₀Ｄ＝Ｚ₀Ｄ'cosξ＋Ｂ'sinξ,

Ｚ₀Ｈ＝－Ｅ'sinξ＋Ｚ₀Ｈ'cosξ,

Ｂ＝－Ｚ₀Ｄ'sinξ＋Ｂ'cosξ,

および,

Ｚ₀ρ_e＝Ｚ₀ρ_e'cosξ＋ρ_m'sinξ,

Ｚ₀Ｊ_e＝Ｚ₀Ｊ_e'cosξ＋Ｊ_m'sinξ,

ρ_m＝－Ｚ₀ρ_e'sinξ＋ρ_m'cosξ,

Ｊ_m＝－Ｚ₀Ｊ_e'sinξ＋Ｊ_m'cosξ

を施行しても方程式の形が不変なことがわかっています。

そこで,ρ_m'＝Ｊ_m'＝0 とできる場合には,divＢ'＝0,かつ

－rotＥ'＝∂Ｂ'/∂t となるので,

Ｂ'＝rotＡ',Ｅ'＝－∇Ａ⁰'－∂Ａ'/∂ｔと書けます。

そこで,Ａ^μ'＝(Ａ⁰',Ａ')とすれば電場Ｅ',磁場Ｂ'は反対称

テンソル:Ｆ_μν'≡∂Ａ_ν'/∂ｘ^μ－∂Ａ_μ'/∂ｘ^ν

＝∂_μＡ_ν'－∂_νＡ_μ' で表わされ,

磁場はＢⁱ'＝－1/2ε^ijkＦ_jk',電場はＥⁱ'＝Ｆⁱ⁰'

とすることができます。

そこで,このように双対性変換された場では,ゲージ不変性,

つまり"Ａ_μ'→ Ａ_μ'＋∂_μΛなる変換を加えても,場の強さ:

Ｆ_μν'＝∂_μＡ_ν'－∂_νＡ_μ'は不変である。"

という法則が成立します。

しかし,このゲージ変換を逆に元の場での変換に翻訳すると,

これに対応するのは同じ形のゲージ変換ではなく,何らかの

かなり複雑な変換であろうと推測されます。

でも,とにかく,この変換で場の強さＥ,Ｂが不変になる,

という何らかのゲージ不変モドキの対称性はありますが,

既に素朴な意味でのゲージ不変性とはいえない複雑なもの

になっています。

現実にはモノポールは発見されておらず,もし存在しても僅かで

あるか,特別な条件下でしか存在し得ないでしょうから,

双対性変換の擬スカラー角ξは非常にゼロに近い値であろうと

思われ,実質的なMaxwell方程式からのずれはないに等しい程度

ではないかとは思います。

しかし,とにかくこうした変換性では恐らく複雑すぎて,私には

自然の理論体系として"美しい"とは感じられないので,私自身

は磁気単極子(モノポール)の存在には懐疑的なのです。

しかし,現在がむしろ"対称性の破れの逆行"であるというような

意味で,宇宙初期の高温高密状態で,そうしたものが存在した可能性

を否定することはできませんね。

もちろん,磁気単極子(モノポール)が存在しても,それは電磁的性質

に影響を与えるのみであって他の種類の強い力,弱い力,重力などに

は直接の効果として影響を与えるものではないと思います。

PS：最後の部分ではろくに調べもしないで,知ったかぶりをして,

ややいい加減なことを書いたので,検索して参考にした

PDF:表題「インフレーション」 から,モノポールに関する部分についての

内容を要約しておきます：

(※引用):素粒子の大統一理論が正しい,という前提に立つと,

宇宙初期の高温:Ｔ～ 10¹⁵GeV(～ 10²⁸Ｋ)の時期には,電弱理論

と同じように,強い相互作用と電磁相互作用も統一されて区別で

きないような対称性を持っていたのが,温度が下がると共に,

いわゆる自発的対称性の破れ,または真空の相転移により,

強い相互作用と電磁相互作用に分化したことになります。

この相転移による対称性の破れの方向は一様ではなく,宇宙の

領域によって様々であり,もしもこの"領域の境界面＝位相欠陥"

が" 0次元＝点状"なら,

それはトフフト・ポリヤコフ(t'Hooft-Polyakov)の

磁気単極子(モノポール)になるとされています。

この磁気単極子(モノポール)の質量:ｍ_MPは素粒子としては異常

に大きく,それは10¹⁷GeV～ 10^-8ｇ程度もあって,非常に重く安定

なはずです。

そして,モノポールができる臨界温度:Ｔ_Cは10¹⁵GeV程度であり,

Ｔ ～ Ｔ_Cの頃の最初のモノポールの生成数は少ないのですが,

重くて安定なので,宇宙のスケール因子をａ＝ａ(ｔ)とすると,

モノポールの密度は膨張と共にａ^-3で減少するのに対し,輻射

の密度はａ^-4で減少するので,

ａが10¹²倍に膨張したＴ～ 10^-12Ｔ_C程度の頃には,宇宙全体で

モノポールが優勢になります。

こうした見積もりから,理論上は現在の宇宙にモノポールが豊富

に存在しなければならないのに,現実には全く発見されていない

という問題があります。

しかし,"宇宙初期の時刻:ｔ～10^-37secから10^-36sec程度の間

＝現在の感覚からはほぼ瞬間と思われる時間"に宇宙が急速に

膨張したとする「インフレーション宇宙の理論」が正しいと

するなら,

　"これ＝インフレーション"を経過したときにモノポールの

数は宇宙全体で１個くらいに薄められ,観測事実とは矛盾しな

いことになって,上記の問題は解決されるらしいです。

参考文献：Jackson 著(西田 稔 訳)[電磁気学(上)](吉岡書店)；

九後汰一郎「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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