真空のゆらぎ,エネルギー

　真空エネルギーなどというと何かいかがわしい響きがあるような感じをおぼえます。

　量子論では真空というのは単に"エネルギーが最低の状態＝基底状態"を意味します。

　そこで,その基準のエネルギー,または種々の基準の物理量の期待値が数の中でも特別なゼロという値を取るのでなければ理論体系そのものが無矛盾ではなくなり,さまざまな対称性を維持できなくなる,ことが当然予想されます。

　もっとも無限大という特別な数の存在を許すなら,ゼロでなくても無限大であればゼロに似た対称性をある程度は維持することが可能ではありますが,無限大というのは別の困難を生み出します。

　しかし,そもそも現在のところ自然を支配している基礎理論であるとされている量子論では,その本質的,確率的性格から,物理量というのはゆらいでいる方が自然であり,真空と言えどもその例外ではないと考えられます。

　実際,場の量子論に基づいて場の量のノルム(絶対値)の２乗の"真空期待値＝真空のゆらぎ"を素直に計算すると無限大になります。

　したがって,これは場の量のノルムの２乗の積分を含む,いわゆる調和振動子のエネルギーという形で構成される"場のエネルギーの真空期待値＝真空エネルギー"も無限大であることを意味します。

2007年７/２の記事「フォノンと多体問題(超伝導の基礎)(3)」では,ｈ_c≡ｈ/(2π)をプランク定数として系全体のフォノンのエネルギーが,Ｈ_V＝(1/2)∑_kｈ_cω_ｋ{ｂ_k^＋,ｂ_k}＝∑_kｈ_cω_ｋ(ｂ_k^＋ｂ_k＋1/2) なる表式で与えられ,

2007年７/４の「フォノンと多体問題(超伝導の基礎)(4)」では,系全体の電子のエネルギーがＨ_e＝(1/2)∑_k∑_σε_k{ａ_kσ^＋,ａ_kσ}＝∑_k∑_σε_k(ａ_kσ^＋ａ_kσ－1/2)なる表式で与えられています。

ここに,ｂ_k^＋,ｂ_kは波数ベクトルｋを持つフォノンの生成演算子,消滅演算子,ａ_kσ^＋,ａ_kσは波数ｋとスピンσ(↑または↓)を持つ電子の生成演算子,消滅演算子です。

それ故,"真空＝基底状態"|0＞のエネルギーの期待値は,それぞれ＜0|Ｈ_V|0＞＝(1/2)∑_kｈ_cω_ｋ,＜0|Ｈ_e|0＞＝(－1/2)∑_k∑_σε_ｋとなって古典論の調和振動子では現われない"零点振動のエネルギー＝零点エネルギー",つまり,ゼロではない真空エネルギーがここでも現われます。

固体結晶内のフォノンや電子のモードであれば,その自由度である波数やスピンの固有値であるｋやσの個数に制限があるので,こうした零点エネルギーの総和は無限大にはなりませんが,プランクの黒体輻射のように光子のモードであれば個数には制限がないので,系全体の零点エネルギーの総和は無限大になります。

そして光子の場合には零点振動は零点輻射と呼ばれます。

例えば,黒体輻射では個々の光子のエネルギーへの零点輻射の寄与は微小なのですが,零点輻射以外の輻射エネルギーはプランク分布に従っていて,総和すると全エネルギーには有限の寄与しかしないのに対し,零点輻射のエネルギーの総和は全エネルギーに無限大の寄与をします。

こうした,"零点振動のエネルギー＝零点エネルギー"の存在は古典論での１次元調和振動子Ｈ＝ｐ²/(2ｍ)＋(1/2)ｍω²ｘ²を量子化したときに成立する交換関係[ｘ,ｐ]＝iｈ_c のためにハイゼンベルクの不確定性原理ΔｘΔｐ≧ｈ_c/2 が成り立つことに由来しています。

つまり,量子論そのものに全ての原因があると考えられます。

古典論では,バネなどが単振動している場合に,一般に保存量である"力学的エネルギー＝(運動エネルギー＋位置エネルギー)"が最小になるのは,ｘ＝ｐ＝0 ,つまり初期状態で完全に静止していて,いつまで経ってもそのまま動かない状態に対応します。

ところが,量子論ではこの状態は位置ｘも運動量ｐも完全にゼロに確定しΔｘ＝Δｐ＝0 である,ことに相当しますから,不確定性原理：ΔｘΔｐ≧ｈ_c/2に矛盾します。

そこで少なくとも,|ｘｐ|＝ｈ_c/2であることが必要であり,一般にＡ,Ｂ＞0 に対して(Ａ＋Ｂ)/2≧(ＡＢ)^1/2が成り立つので,Ｈ＝ｐ²/(2ｍ)＋(1/2)ｍω²ｘ²≧|ｘｐ|ω＝ｈ_cω/2,つまり最低でもエネルギーｈ_cω/2 が存在することが必要であるというわけです。

古典論はｈ_c→ 0 の極限なのでこうした量は存在しません。したがって量子論である限りこのディレンマを回避することはできません。

　こうした量子論の調和振動子の位置ｘのゆらぎ＜0|ｘ²|0＞が場の理論では,単一の実スカラー場をφ(ｘ)とするときの真空のゆらぎ＜0|φ²(ｘ)|0＞＝∞ に相当するわけです。

　そこで,いわゆる正規順序積:φ²(ｘ)：≡φ²(ｘ)－＜0|φ²(ｘ)|0＞なる演算子を定義して対症療法的に無理矢理＜0|:φ²(ｘ):|0＞＝0 とするわけです。

また"散乱行列＝Ｓ行列"の要素:Ｓ_fi≡＜ｆ;out|ｉ;in＞＝＜ｆ;in|Ｓ|ｉ;in＞を計算する際にも,真空から真空への散乱振幅も計算上は,＜0|Ｓ|0＞＝∞ となります。

つまり,本来はその性格上１を超えることのない確率という量でさえも発散してしまいますから,場の理論ではＳ_fi≡＜ｆ;in|Ｓ|ｉ;in＞/＜0|Ｓ|0＞と再定義することで規格化して,真空から真空への無意味な泡グラフを除去します。

まあ,観測にかかる物理量については,そもそも真空を基準にした値,つまり真空からの差としての値しか我々には検知できないし,こうした観測値しか意味がないという自然科学として極めて健康な考え方としては,これら対症療法的に理論値と実験値が合うような処方として有効理論を基本理論として採用すれば当面は何の問題もないわけです。

紫外発散を除去する処方を与える,くりこみ理論も当初はこうした実測値の再現に主眼をおく有効理論という意味合いが強かったはずです。

しかし,くりこみ群やくりこみ群方程式を分析してゲージ条件とくりこみ可能性の関係や,漸近的自由性,クォーク閉じ込めなどを考察するに至って,くりこみ理論は公理論的分野までカバーする重要な地位を占めるようになっています。

もっとも,2006年10/14の「零点エネルギーとファン・デル・ワールス力」でも考察したように,

個々の電子の零点エネルギーが分子間力の主要な部分であるファン・デル・ワールス力に寄与するというような意味で,量子論では零点エネルギーは物理的に意味のある必要な量であり,単純に無視して捨てられるようなものではないことがわかります。

ある人の情報によると,零点輻射エネルギーはホーキング輻射に寄与しているらしいし,宇宙論で真空エネルギーと呼ばれている量はアインシュタインもその導入を後悔していた宇宙項を引力による収縮に対抗して宇宙を膨張させる斥力効果として復活させる際に,この項の存在の原因となる量子論的効果として注目されているようです。

ゼータ関数における記号的表記ζ(0)＝1＋1＋...＝－1/2の解析接続による正当化をくりこみの手続きと同一視したと言われるカシミール効果などもそうですが,総和すると無限大になったりして厄介なため,種々の方法で除去されている零点エネルギーも個々の原子や分子に関わる微視的現象などにとっては重要な量であり必要不可欠なものです。

QED(量子電磁力学)でのくりこみによる輻射補正やアノマリー(量子異常)と同じく量子論の本質的効果としては,これは存在する方が当然の量です。

というか,紫外発散も零点エネルギーも局所的な同一点での演算子積は本質的に特異であって超関数としてしか定義できないという意味では同根の現象ですね。

というのは,運動量ｐの空間は,ｐ＝ｈ_cｋ；ｋ＝2π/λなる関係により,時空を座標刻みがΔｘ～λ程度の座標格子の空間と考えたときの"逆格子＝運動量格子"に相当しますから,"座標刻みの下限Δｘ ～ λ_ｃ＝切断波長"に対応する運動量はその逆数に比例するため,時空が座標刻みゼロの連続体であることは運動量ｐの上限が無限大になることに対応し,それゆえファインマン積分が紫外発散する原因は相互作用が時空の局所的な同一点Δｘ ～ 0 で生じるとしていることにあります。

要するに不確定性原理ですね。

　もっとも,Ｈ_V＝(1/2)∑_kｈ_cω_ｋ{ｂ_k^＋,ｂ_k}＝∑_kｈ_cω_ｋ(ｂ_k^＋ｂ_k＋1/2)とＨ_e＝(1/2)∑_k∑_σε_k{ａ_kσ^＋,ａ_kσ}＝∑_k∑_σε_k(ａ_kσ^＋ａ_kσ－1/2)なる表式に見られるように,＜0|Ｈ_V|0＞＝(1/2)∑_kｈ_cω_ｋ,＜0|Ｈ_e|0＞＝(－1/2)∑_k∑_σε_ｋであり,真空の総エネルギー(零点エネルギー)としてボーズ粒子(Boson)は正の無限大の寄与を,フェルミ粒子(Fermion)は負の無限大の寄与をします。

　したがって,"超対称性＝ボーズ粒子とフェルミ粒子の対称性"が完全に成立していて,ボーズ粒子とフェルミ粒子の間でモードの個数,およびエネルギー準位が完全に１対１に対応しているなら,宇宙全体の総和としては,"真空エネルギー＝零点エネルギー"はうまく相殺してなくなるという可能性も考えられます。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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