S行列とレッジェ理論(1)

今日から当分の間,古臭いけどなつかしい現象論的なレッジェ

軌跡(Regge trajectry),あるいはレッジェ極(Regge poles)の

理論をシリーズ記事として記述したいと思います。

Regge理論は,超弦理論(超ひも理論)の前段階の弦理論(ひも理論)

の基になった理論でもあり,主として強い相互作用における散乱

行列,つまりＳ行列の解析性を中心としてモデル化した有力な仮

説です。

以下,Sommerfeld-Watson(ゾンマーフェルト・ワトソン)変換や,

ｓ-チャンネル,ｔ-チャンネルの双対性(duality)などについて

論じてゆきますが,その後にできたらベータ関数から構成され

た弦理論の祖である"Venneziano(ヴェネツィアノ)模型

＝双対共鳴模型(Dual resonance- model)"などにも言及したい

と思っています。

　まずは,非相対論的な散乱(衝突)の一般理論から始めます。

　(※下図は他のホームページから無断借用した散乱実験

　　の模式図です。)

　

　まず,"始状態の粒子＝入射粒子"の波動関数をφ(ｘ,ｔ)

　とすると,これは自由粒子のSchroedinger方程式:

　iｈ_c{∂φ(ｘ,ｔ)/∂ｔ}＝{－ｈ_c²/(2ｍ)}∇²φ(ｘ,ｔ)

　に従います。

　ただし,ｈ_c≡ｈ/(2π)はPlanck定数です。

　これを満たすφ(ｘ,ｔ)は,事実上波数があるｋの近傍にある

　平面波の重ね合わせで与えられ,有限範囲のｘのみに局所化

　された波束であると考えられます。

　この"波束＝入射ビーム"は標的に当たるまでは,それ自身拡がり

　歪みながら進行します。

　そして,標的付近でのこの標的との相互作用を局所化された

　ポテンシャルＶ(ｘ)で表わすと,

　相互作用を含めた全体のSchroedinger方程式は,

　iｈ_c{∂φ(ｘ,ｔ)/∂ｔ}＝{－ｈ_c²/(2ｍ)}∇²φ(ｘ,ｔ)

　＋Ｖ(ｘ)φ(ｘ,ｔ) となります。

　長時間の経過の後には,標的付近の粒子数密度はゼロになり,

　φ(ｘ,ｔ)は再び自由粒子のSchroedinger方程式を満足する

　ようになりますが,その終状態の波は２つの部分に分割され

　ます。

　(※下図は.どなたかのPDF:第22章散乱の量子論 の中の図を

   流用させて頂きました。)

　

　第１の部分は初期波束とほぼ同じ形の波数が初期のｋの近傍

　の重ね合わせの直進する平面波束です。

　これは,ただ,"総確率＝ビームの大きさ"が初期の入射波束より

　小さくなった入射波と散乱を受けずに素通りしたと見なせる波

　の和です。

第２の部分は,エネルギー保存則により波数の絶対値は初期の

ｋ＝|ｋ|と同じですが,もはや真っ直ぐ進む平面波束ではなく,

見掛け上,爆発に伴う雲のように全方向に散乱されて出て行く

外向き球面波から成るものです。

そして,第１と第２の部分を総和した波束の総確率は入射波束

の確率に等しくなります。

すなわち,この散乱(衝突)は粒子の総存在確率,つまり,総粒子数

が保存される弾性散乱であると仮定します。

　衝突時刻がwell-definedなら,その時刻に射出された出て行く波

　の雲は空間に局在化され,その半径は速度ｖ＝ｈ_cｋ/ｍで拡がる

　でしょう。

　そして,この雲の全確率:∫|φ_cloud|²ｄｘは放出後も一定に保

　たれるので,波動関数φ_cloudは"標的中心からの距離＝半径ｒ"

　の逆数に比例して減少しなければなりません。

　こうした波束の挙動の完全な数学的解析を与えることも可能

　ですが,純粋に数学的見地から入射波束を純粋平面波で置き換

　えて理想化する近似を用いた方がより単純で現実に即してい

　ます。

　そうした単純化に支払うべき代償は,

　その近似では,運動量とエネルギーが絶対的に定義されて波は

　無限空間全体に一様に拡がった存在となるので,仮に数学とし

　て文字通りに解釈するなら,もはや時空における散乱プロセス

　に従うことさえも不可能なことです。

　以下では,簡単のためにPlanck定数をｈ_c＝1とし質量をｍ＝1/2

　とした単位を用いることにします。

　粒子の定常な全波動関数をΨ(ｘ)とすると,これが満足する

　Schroedinger方程式は,∇²Ψ(ｘ)＋[ｋ²－Ｖ(ｘ)]Ψ(ｘ)＝0

　となります。

　ここで,iｈ_c(∂/∂ｔ) ～ Ｅ＝ｈ_c²ｋ²/(2ｍ)＝ｋ²を

　用いました。

　つまり,φ(ｘ,ｔ)≡Ψ(ｘ)exp(－iＥｔ/ｈ_c) としました。

　標的の外側(ポテンシャルがゼロ)の点に対応するｘにおいては,

 Ψ(ｘ)は自由粒子Schroedinger方程式を満足します。

　さらに,この標的の外側領域で,衝突前の入射から衝突後の

　散乱までのプロセスが全て時間的に一定で定常的に続いて

　いると見た描像を採用しています。

　この描像では粒子の全体の定常波動関数Ψ(ｘ)は次の３つ

　の部分から成るように見えます。 

　ａ.入射波束に対応する平面波

　ｂ.入射波束と同じ運動量を持ち標的で衝突を受けず

　　 素通りした平面波

 ｃ.散乱された粒子に対応する外向きの波

これらのうちａ,ｂの２つの平面波は時間に依らない描像

では分割することができず,例えば規格化定数を無視すれば

単一の形:exp(iｋｘ)に結合されます。

一方,外向き波については弾性散乱故,運動量の絶対値は,

ｋ＝|ｋ|のままであって,ｒ≡|ｘ|とすると波の値は(1/ｒ)

に比例して減衰していくことを既に知っています。

かくして必然的に外向き波は次の形を取ります。

つまり十分大きいｒに対して,

ｆ(θ,φ)exp(iｋｒ)/ｒなる形です。

∇²＝(1/ｒ²)[(∂/∂ｒ){ｒ²(∂/∂ｒ)}]＋(θ,φ関連の部分)

なので,(∇²＋ｋ²){exp(iｋｒ)/ｒ}＝0 により,

球面波:exp(iｋｒ)/ｒはエネルギー ｋ²を持ち,1/ｒ)に比例して

減衰してゆく自由粒子の解になっています。

よって,全体の波動関数は,

Ψ(ｘ)＝exp(iｋｘ)＋ｆ(θ,φ)exp(iｋｒ)/ｒ＋Ｏ(1/ｒ²)

と書けます。

そして,大抵の場合,ポテンシャルはｒにのみ依存する

中心力場Ｖ(ｘ)＝Ｖ(ｒ)であり,衝突した粒子は入射

運動量の方向と同じ角度θをつくる任意の２方向にのみ

散乱されます。

そこでｆ(θ,φ)は単にθにのみ依存します。

故に,

Ψ(ｘ)＝exp(iｋｘ)＋ｆ(θ)exp(iｋｒ)/ｒ＋Ｏ(1/ｒ²)

となります。

散乱波;Ψ(ｘ)がこの形に書けることを散乱の境界条件と

いいます。

そして関数:ｆ(θ)＝ｆ(θ,φ)を散乱振幅と呼びます。

ここで,散乱振幅と散乱断面積σを関連付けておきます。

入射波動関数:exp(iｋｘ)は入射粒子の単位密度に対応し

ており,それ故,入射粒子の速度ｖ＝2ｋ(＝ｈ_cｋ/(2ｍ))

に等しい値の流束に対応しています。

一方,θのまわりの立体角ｄΩの中に散乱される単位時間

当たりの粒子数は,

2ｋ|ｆ(θ)/ｒ|²ｒ²ｄΩ＝2ｋ|ｆ(θ)|²ｄΩ

です。

定義によれば,このプロセスに対する散乱の微分断面積

ｄσは入射流束によるｄΩへの散乱粒子数の比率で定義

されます。

そこで,今の弾性散乱では微分断面積は,

ｄσ/ｄΩ＝|ｆ(θ)|²によって与えられます。 

ここで,Schroedinger方程式:

∇²Ψ(ｘ)＋[ｋ²－Ｖ(ｘ)]Ψ(ｘ)＝0 と,

散乱境界条件:

Ψ(ｘ)＝exp(iｋｘ)＋ｆ(θ)exp(iｋｒ)/ｒ＋Ｏ(1/ｒ²)

と共に,平面波部分によって満足される自由粒子の波動

方程式:(∇²＋ｋ²)exp(iｋｘ)＝0 を考慮すると,

"散乱波動関数＝[Ψ(ｘ)－exp(iｋｘ)]:波動関数の自明

でない部分を決定する方程式が得られます。

すなわち,(∇²＋ｋ²)[Ψ(ｘ)－exp(iｋｘ)]

＝Ｖ(ｘ)Ψ(ｘ)です。

ここで,全く形式的に演算子(∇²＋ｋ²)の逆演算子:

(∇²＋ｋ²)^-1＝1/(∇²＋ｋ²) が定義できるとします。

これを左から両辺に掛けると次式が得られます。

すなわち,Ψ(ｘ)＝exp(iｋｘ)＋{1/(∇²＋ｋ²)}Ｖ(ｘ)Ψ(ｘ)

です。

これが無意味でないためには,(∇²＋ｋ²)^-1＝1/(∇²＋ｋ²)が正しく

定義される必要があります。

そのため,Diracの括弧(bracket)による表示を考えます。

この表示では,ケット|α＞で表示される状態は,ｘ空間では,

波動関数:φ_α(ｘ)(＝＜ｘ|α＞)として実現されることを知

っています。

そして,ｘ空間においては演算子(－iｈ_c∇)は運動量演算子

Ｐを表わしているので,ｈ_c＝1のとき,(∇²＋ｋ²)は演算子

(ｋ²－Ｐ²)を表現しているといえます。 

そこで,さっき導入した逆演算子(∇²＋ｋ²)^-1＝1/(∇²＋ｋ²)

は,(ｋ²－Ｐ²)^-1＝1/(ｋ²－Ｐ²)と同等です。

そこで,当面の問題は次のようになります。

|α＞が任意の状態を表わすとき波動関数:φ_α(ｘ)に

作用する１つの演算子として,(ｋ²－Ｐ²)^-1の作用はどの

ように表現されるか？ということです。 

ちょっと考えると,この作用を表現するためには任意の

状態:|α＞を運動量空間での波動関数φ_α(ｐ)(＝＜ｐ|α＞)

で表わせばいいとわかります。

そこで,運動量演算子Ｐの固有状態:|ｐ＞のセットを,

Ｐ|ｐ＞＝ｐ|ｐ＞によって導入します。

|ｐ＞はｘ空間では波動関数:exp(iｐｘ)(＝＜ｘ|ｐ＞)

で表わされる状態です。

そして,(ｋ²－Ｐ²)^-1を|ｐ＞に作用させると,

(ｋ²－Ｐ²)^-1|ｐ＞＝(ｋ²－ｐ²)^-1|ｐ＞となります。

そこで演算子:(∇²＋ｋ²)^-1はｐ²＝ｋ²を満たすｐに対応する

状態:|ｐ＞に適用される場合を除いてwell-definedであるこ

とがわかります。

(ｋ²－Ｐ²)^-1|ｐ＞＝(ｋ²－ｐ²)^-1|ｐ＞をｘ空間に翻訳する

ために射影演算子による完全性:Σ_ｐ|ｐ＞＜ｐ|＝(2π)³を

用います。

(※ただし,ここでは＜ｘ|ｐ＞＝exp(iｐｘ)と規格化されて

いるので,Σ_ｐ|ｐ＞＜ｐ|＝1 ではありません。)

すなわち,(2π)³(ｋ²－Ｐ²)^-1|α＞

＝(ｋ²－Ｐ²)^-1Σ_ｐ|ｐ＞＜ｐ|α＞

＝Σ_ｐ(ｋ²－ｐ²)^-1＜ｐ|α＞|ｐ＞　です。

それ故,(2π)³＜ｘ|(ｋ²－Ｐ²)^-1|α＞

＝Σ_ｐ(ｋ²－ｐ²)^-1＜ｐ|α＞＜ｘ|ｐ＞　です。

さらに,(2π)³Σ_ｙ＜ｘ|(ｋ²－Ｐ²)^-1|ｙ＞＜ｙ|α＞

＝Σ_ｙΣ_ｐ(ｋ²－ｐ²)^-1＜ｐ|ｙ＞＜ｙ|α＞＜ｘ|ｐ＞

となります。

そして,＜ｘ|Ｐ|ｙ＞＝(－iｈ_c∇)(2π)^-3δ³(ｘ－ｙ)

なので,ｈ_c＝1とすると,＜ｘ|(ｋ²－Ｐ²)^-1|ｙ＞

＝(∇²＋ｋ²)^-1(2π)^-3δ³(ｘ－ｙ) ですから,

最終的に,(∇²＋ｋ²)^-1φ_α(ｘ)

＝(2π)^-3∫ｄｐ[exp(iｐｘ)/(ｋ²－ｐ²)]

∫ｄｙ[exp(－iｐｙ)φ_α(ｙ)] なる表式が得られます。

これは,(∇²＋ｋ²)^-1φ_α(ｘ)＝∫ｄｙＧ(ｘ－ｙ)φ_α(ｙ)

と表現できます。

Ｇ(ｘ)はいわゆるGreen関数であり,

Ｇ(ｘ)≡(2π)^-3∫ｄｐ[exp(iｐｘ)/(ｋ²－ｐ²)]

によって定義されます。

このGreem関数Ｇ(ｘ)を与える上式の右辺の積分を実行

するのは,被積分関数がｐ²＝ｋ²を満たすｐにおいて

well-definedではないので自明な作業ではありませんが,

これは今のところ用いていない散乱の境界条件を考慮する

ことで解決されます。

完全な波動関数:Ψ(ｘ)から初期平面波:exp(iｋｘ)を

除いた散乱波動関数:(∇²＋ｋ²)^-1Ｖ(ｘ)Ψ(ｘ)は,|ｘ|

の大きいところでは,純粋に外向き球面波として挙動し

なければなりません。

そこで,積分演算子(∇²＋ｋ²)^-1,つまり,

Ｇ(ｘ)＝(2π)^-3∫ｄｐ[exp(iｐｘ)/(ｋ²－ｐ²)]に完全に

明白な意味を与えるためには,そうした物理条件を用いる

ことが必要です。

まず,Ｇ(ｘ)＝(2π)^-3∫ｄｐexp(iｐｘ)/(ｋ²－ｐ²)は,

明らかに回転不変なので,これはｒ＝|ｘ｜のみの関数です。

そこで,Ｇ(ｘ)をＧ(ｒ)と書けば,

Ｇ(ｒ)＝(2π)^-3∫ｄｐ[ｐ²/(ｋ²－ｐ²)]∫ｄ(cosα)exp(iｐｒcosα)　

となります。

さらに,角度αによる積分を実行すると,

Ｇ(ｒ)＝{1/(2π²ｒ)}∫₀^∞ｐｄｐ[sin(ｐｒ)/(ｋ²－ｐ²)]

＝{1/(4π²ｒ)}∫_-∞^∞ｐｄｐ[sin(ｐｒ)/(ｋ²－ｐ²)]

となります。

さらに,ｐ/(ｋ²－ｐ²)＝(－1/2)[1/(ｐ－ｋ)＋1/(ｐ＋ｋ)],

sin(ｐｒ)＝[exp(iｐｒ)－exp(－iｐｒ)]/(2i)を用いると,

Ｇ(ｒ)＝{－1/(8π²ｒ)}∫_-∞^∞ｄｐ[exp(iｐｒ)/(2i)}

[1/(ｐ－ｋ)＋1/(ｐ＋ｋ)]

＋{1/(8π²ｒ)}∫_-∞^∞ｄｐ[exp(－iｐｒ)/(2i)}

[1/(ｐ－ｋ)＋1/(ｐ＋ｋ)]

と変形されます。 

これら４つの積分についてwell-definedとなるように

複素ｐ平面上の実軸上の極ｐ＝±ｋを迂回するｐ平面上

でのさまざまな積分経路を考慮して結果が外向き球面波

exp(iｋｒ)/ｒとなるような経路を選びます。

これは,極ｐ＝－ｋにおいて経路を虚軸の上方に迂回する

こと,つまり実質上,極をｐ＝－ｋ－iεに移動すること,

そして極ｐ＝ｋにおいて経路を虚軸の下方に迂回すること,

つまり実質上,極をｐ＝ｋ＋iεに移動することで実現され

ます。

※つまり,以下の図も留数(Residue)から,

{－1/(8π²ｒ)}∫ｄｐ[exp(iｐｒ)/(2i)}[1/(ｐ－ｋ)＋1/(ｐ＋ｋ)]

＝－exp(iｋｒ)/(2πｒ) (外向き球面波)

および,

{1/(8π²ｒ)}∫ｄｐ[exp(－iｐｒ)/(2i)}[1/(ｐ－ｋ)＋1/(ｐ＋ｋ)]

＝－exp(iｋｒ)/(2πｒ) (外向き球面波) です。

　

もちろん,εは正の微小量で積分後にはε→＋0 とします。

すなわち,微分演算子:(∇²＋ｋ²)の逆演算子:(∇²＋ｋ²)^-1

を与える積分演算子としての散乱境界条件を満たす,

well-definedなGreen関数は,

Ｇ(ｘ)＝Ｇ(ｒ)＝－exp(iｋｒ)/(4πｒ)

＝(2π)^-3∫ｄｐ[exp(iｐｘ)/{(ｋ＋iε)²－ｐ²}]

＝－(2π)^-3∫ｄｐ[exp(iｐｘ)/(ｐ²－ｋ²－iε)²]

で与えられることがわかります。

ｋにiεを加えることは.Ｇ(ｒ)＝－exp(iｋｒ)/(4πｒ)が

ｒ→ ∞ に対しexp(－εｒ)/(4πｒ)で減少することのみを

示していますが,

これは,いわゆるｒ＝∞ において散乱のスイッチがオフになる

条件を予めGreen関数の内に組み込んだ断熱近似に相当しており,

因子:exp(－εｒ)を波動関数に掛けてもその本質的な性質には

影響しません。

こうして,Ψ(ｘ)＝exp(iｋｘ)＋{1/(∇²＋ｋ²)}Ｖ(ｘ)Ψ(ｘ)

という表式の陽な形は,

(∇²＋ｋ²)^-1φ_α(ｘ)＝∫ｄｙＧ(ｘ－ｙ)φ_α(ｙ),および.

Ｇ(ｘ)＝Ｇ(ｒ)＝－exp(iｋｒ)/(4πｒ)なる表現により,

Ψ(ｘ)＝exp(iｋｘ)

－{1/(4π)}∫ｄｙ[exp(iｋ|ｘ－ｙ|)Ｖ(ｙ)Ψ(ｙ)/|ｘ－ｙ|]

となります。

得られた積分方程式は,一見したところSchroedinger方程式より

複雑に見えるかも知れませんが,これには重大な利点があります。

それは,この積分方程式が単なるSchroedinger方程式と違って

自動的に散乱の境界条件を含んでいることです。

そして,このΨ(ｘ)＝exp(iｋｘ)＋{1/(∇²＋ｋ²)}Ｖ(ｘ)Ψ(ｘ)

＝exp(iｋｘ)－{1/(4π)}∫ｄｙ[exp(iｋ|ｘ－ｙ|)

Ｖ(ｙ)Ψ(ｙ)/|ｘ－ｙ|]なる表式を用いて,

波動関数Ψ(ｘ)をBorn級数として知られている１つの展開級数

として陽に表現する形式を与え,散乱が如何に進むかを詳細に

より厳密に導く手法を考えます。

そのためには必ずしもその平面波や球面波とかの具体的な形や

Green関数の完全に陽な形などは必要なく,

入射平面波:exp(iｋｘ)の代わりに入射波をφ_iと書いた単純な

積分方程式の表式:Ψ＝φ_i＋{1/(∇²＋ｋ²)}ＶΨ みが出発点

となります。

この出発点となる最初の積分方程式の表式で,右辺の最後のΨ

に右辺全体を代入すると,

Ψ＝φ_i＋(∇²＋ｋ²)^-1Ｖφ_i＋(∇²＋ｋ²)^-1Ｖ(∇²＋ｋ²)^-1ＶΨ

という２番目の形の積分表式を得ます。

これを繰り返すことによって最終的なΨの積分級数展開として,

Ψ＝φ_i＋(∇²＋ｋ²)^-1Ｖφ_i＋(∇²＋ｋ²)^-1Ｖ(∇²＋ｋ²)^-1Ｖφ_i＋..

が得られます。

この関係の物理的描像は次のように与えられます。

つまり全波動関数は散乱の詳細な歴史を記述する項のシリーズ

から成っています。

第１項φ_iは入射波と散乱を受けず素通りして出てゆく粒子に対応

する平面波の両方を示しています。

次の項はポテンシャルＶと１回だけ相互作用する粒子を示して

いて初期波φ_iは粒子が相互作用して散乱が生じる頂点において

ポテンシャルＶを掛けられ,衝突散乱後には引き続き外向きの球

面波として進行するように,積分核(∇²＋ｋ²)^-1＝1/(∇²＋ｋ²)が

掛けられています。

その次の項は初期波φ_iがある頂点で１回散乱Ｖを受け,その後,

(∇²＋ｋ²)^-1＝{1/(∇²＋ｋ²)}の作用で外向き球面波となった後,

再び別の頂点で２回目の散乱Ｖを受け,さらに,(∇²＋ｋ²)^-1

＝1/(∇²＋ｋ²)を掛けられたという描像です。

以下の項も同様です。

これらは入射粒子から散乱が生じる頂点までラインを引き,頂点

での相互作用Ｖをドットで表現し,さらに1つの頂点から次の頂点

までの"Green関数(伝播関数)＝(∇²＋ｋ²)^-1"をラインで結ぶこと

を繰り返して,

最後に"放出(射出)粒子＝出てゆく粒子"まで折れ線で結ぶことに

よって,散乱プロセス全体をその"標的との相互作用＝摂動"による

級数として展開し,その摂動の各次数の項をグラフ,または,

ダイアグラムとして表現できることを示唆しています。

(※下図は本ブログの2010年５/22の過去記事:

「散乱の伝播関数の理論(7)」からの引用です。)

       

これは,いわゆる Feynman-diagram ですね。

ただし,上記の方法は相互作用が小さくて右辺の積分級数が

無限級数として収束する場合にのみ有効なもので,実際の強い

相互作用では,途中の有限次数までで区切れば,そこまでは正

しい表式ですが,無限個の項までこれを採用するのは得策で

はないと考えられます。 

また,このBorn級数は散乱状態だけで完全系を作ると仮定して

形成されたのですが,実際の中間状態としては,散乱粒子は,

"散乱状態＝外向き球面波"になるだけではなく,

原子の束縛状態に捕獲されたり,また"共鳴状態＝粒子と標的の

準安定束縛状態"を形成して比較的長時間準安定となった後に放

出されたりする非弾性なプロセスも含みます。

先に与えた定式化では,こうしたプロセスは含んでいませんから,

これらを含む散乱は単純なBorn級数では記述できないと考えられ

ます。

さて,散乱状態波動関数を実際に計算して求めるには,

Ψ(ｘ)＝exp(iｋｘ)－{1/(4π)}∫ｄｙ[exp(iｋ|ｘ－ｙ|)

Ｖ(ｙ)Ψ(ｙ)/|ｘ－ｙ|]～ exp(iｋｘ)＋ｆ(θ)exp(iｋｒ)/ｒ

なる表式の第２項を具体的に計算する必要があります。

この計算では,相互作用Ｖが局所化されているとき,つまり,

Ｖ(ｘ)が|ｘ|が大きくなるにつれて十分急速に減少するとき

には次のような近似が有効です。

すなわち,分母の1/|ｘ－ｙ|は,1/|ｘ－ｙ|～ 1/|ｘ|＋Ｏ(1/|ｘ|²)

より,ｙを無視して,これを1/|ｘ|で近似し,

他方,位相因子:exp(iｋ|ｘ－ｙ|)については,

ｙに敏感に依存するので単純にｙを無視するわけにはいかず,

|ｘ－ｙ|を|ｘ－ｙ|＝[(ｘ－ｙ)²]^1/2＝[ｘ²－2ｘｙ＋ｙ²]^1/2

～ |ｘ|－ｘｙ/|ｘ|で近似します。

さらに標的からの距離ｒ＝|ｘ|が大きいｘで散乱粒子を観測した

とき,その粒子に対応する運動量をｋ'≡ｋ(ｘ/|ｘ|)と書きます。

もちろん,|ｋ'|＝ｋです。

そこで,exp(iｋ|ｘ－ｙ|) ～ exp(iｋｒ－iｋ'ｙ)と近似されます。

こうして,Ψ(ｘ) ～ exp(iｋｘ)

－{1/(4π)}{exp(iｋｒ)/ｒ}∫ｄｙ[exp(－iｋ'ｙ)Ｖ(ｙ)Ψ(ｙ)]

なるBorn近似が得られます。

ここで,散乱振幅:ｆ(θ)のθはｋとｋ'のなす角なので明白さの

ために,ｆ(θ)をｆ(ｋ,ｋ')と書きます。

そうすると,

ｆ(ｋ,ｋ')

＝{－1/(4π)}∫ｄｙ[exp(－iｋ'ｙ)Ｖ(ｙ)Ψ(ｙ)

と書けます。

そして,exp(iｋ'ｘ)を"出て行く平面波＝終状態波動関数φ_ｆ(ｘ)"

であると考えれば,この表式は次のように散乱振幅をスカラー積で

定義できることを意味します。

すなわち,ｆ_fi≡ｆ(ｋ,ｋ')＝{－1/(4π)}＜φ_ｆ|Ｖ|Ψ＞と表現

できます。

そして,Born級数を用いると,

－4πｆ_fi＝＜φ_ｆ|Ｖ|φ_i＞＋＜φ_ｆ|Ｖ(∇²＋ｋ²)^-1Ｖ|φ_i＞

＋＜φ_ｆ|Ｖ(∇²＋ｋ²)^-1Ｖ(∇²＋ｋ²)^-1Ｖ|φ_i＞＋..

と書けます。

ｆのこの表現は以下で散乱振幅の主要な数学的性質を導くために

使用します。

これの物理的内容は明らかに,ΨのBorm級数と同一であり,同一の

グラフ的解釈を与えるものです。

演算子:(∇²＋ｋ²)^-1は,その"固有ベクトル:運動量の固有ベクトル"

と固有値を用いて展開し,Diracの記法を用いると,

(∇²＋ｋ²)^-1＝(2π)^-3Σ_ｐ|ｐ＞(ｋ²－ｐ²)^-1＜ｐ|

＝(2π)^-3∫ｄｐ|ｐ＞(ｋ²－ｐ²)^-1＜ｐ| と表現できます。

そこで,－4πｆ(ｋ,ｋ')

＝＜ｋ'|Ｖ|ｋ＞＋(2π)^-3∫ｄｐ＜ｋ'|Ｖ|ｐ＞

[(ｋ＋iε)²－ｐ²]^-1＜ｐ|Ｖ|ｋ＞

＋(2π)^-6∫ｄｐ₁ｄｐ₂＜ｋ'|Ｖ|ｐ₁＞[(ｋ＋iε)²－ｐ₁²]^-1

＜ｐ₁|Ｖ|ｐ₂＞[(ｋ＋iε)²－ｐ₂²]^-1＜ｐ₂|Ｖ|ｋ＞＋..

となります。

ここで,さらに,＜ｐ₁|Ｖ|ｐ₂＞

＝Σ_ｘ,ｘ'＜ｐ₁|ｘ＞＜ｘ|Ｖ|ｘ'＞＜ｘ'|ｐ₂＞

＝∫ｄｘexp(iｐ₁ｘ－iｐ₂ｘ)Ｖ(ｘ)

です。

ただし,ここではexp(iｋｘ)をφ_i(ｘ)＝＜ｘ|ｋ＞,exp(iｋ'ｘ)

をφ_f(ｘ)＝＜ｘ|ｋ'＞と見なす表記を用いており,

自由粒子の平面波は＜ｘ|ｐ＞＝exp(iｐｘ)で与えられるとして

粒子密度が１であるという規格化を採用しているので,通常の定義

＜ｘ|ｐ＞＝(2π)^-3/2exp(iｐｘ)における規格化因子:(2π)^-3/2が

ない表現となっています。 

今日はここまでにします。

現在は「朝に理を知かば夕に死すとも可なり」

(あしたにみちをきかばゆうべにしすともかなり)の心境ですね。

参考文献：R.omnes,M.Froissart

「Mandelstam Theory and Regge Poles」

W.A.Benjamin,Inc,New York (1963)