S行列とレッジェ理論(2)

　前記事の続きです。

　Born級数による扱いが可能になったので弾性的な散乱についての

　見通しは幾分よくなりましたが,既述したように束縛状態の存在

　や共鳴散乱のある場合に,それらを散乱振幅へと反映する手法と

　しては,そうした扱いは有効ではありません。

そこで,一般的な散乱をも扱える別の手法を模索してみます。

まず,求めるポテンシャル:Ｖが球対称な一般的ケースでは波動関数

の角変数部分が球面調和関数で展開できることを利用し,

いわゆる部分波解析の方法を用いることにより,こうした種々の

散乱についても有益な情報が得られるかどうかを調べてみます。

そのため,散乱のポテンシャル:Ｖは球対称なＶ(ｒ)である,

それもＶ(ｒ)が核子-核子散乱の相互作用を,πのような中間子

の交換によるものと見なし,

1937年に湯川によって導入された湯川ポテンシャル:

exp(－μｒ)/ｒのようなものであるとします。

すなわち,Ｖ(ｒ)は有効レンジ:ｒ₀≡1/μを持っていて,

ｒ＜ｒ₀ではｒ^-1のような挙動をし,ｒ＞ｒ₀では急減少する

ようなｒの関数とします。

このとき,有効ポテンシャルは角運動量:ｌがゼロでないときには,

ｈ_c≡ｈ/(2π)＝1の単位で,Ｖ(ｒ)＋ｌ(ｌ＋1)/ｒ²となります。

この,遠心力項,または障壁項と呼ばれる項:ｌ(ｌ＋1)/ｒ²は

ｒ^-2の効果を与えますから,この項と比較するとポテンシャル

Ｖ(ｒ)のｒ＜ｒ₀におけるｒ^-1の効果は無視できます。 

そこでＶ(ｒ)として同じ性質を持つ一般的な湯川ポテンシャル

の重ね合わせ:

Ｖ(ｒ)≡Ａ₁exp(－μ₁ｒ)/ｒ＋Ａ₂exp(－μ₂ｒ)/ｒ＋..

＋∫_μ0^∞ｄμ'{Ｂ(μ')exp(－μ'ｒ)/ｒ}のような形を想定して

おきます。

粒子間の相互作用が全て種々の有効レンジを持つ粒子の交換に

起因すると見るなら,こうした形のポテンシャル設定はとりた

てて非現実的なものであるとはいえないと思います。

さてｚ軸を入射ビームの向きに取り,それを極軸とした極座標

を考えます。

動径をｒ≡|ｘ|としｘがｚ軸となす角をθとします。

このとき,波動関数Ψ(ｘ)は,ｒとθのみに依存し角度φには依存

しません。

そして,Ψ(ｘ)は角運動量演算子:Ｌの平方:Ｌ²の固有値ｌ(ｌ＋1)

に属する固有関数であるｌ次のLegendre多項式:Ｐ_l(cosθ)によっ

て展開されます。

すなわち,Ψ(ｘ)＝∑_l=0^∞[ｙ_l(ｒ)/ｒ]Ｐ_l(cosθ)と書けます。

３次元のSchroedinger方程式:

∇²Ψ(ｘ)＋[ｋ²－Ｖ(ｒ)]Ψ(ｘ)＝0 は,

１次元の動径方程式の集まり:

ｄ²ｙ_l(ｒ)/ｄｒ²＋[ｋ²－Ｖ(ｒ)－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²]ｙ_l(ｒ)＝0

(ｌ＝0,1,2,..)に帰着します。

展開:Ψ(ｘ)＝∑_l=0^∞[ｙ_l(ｒ)/ｒ]Ｐ_l(cosθ)の右辺の(1/ｒ)の

存在から,ｒ～ 0 での存在確率は,

[|ｙ_l(ｒ)|²/ｒ²]ｒ²ｄｒｄ(cosθ)ｄφ

～ |ｙ_l(0)|²ｄｒｄ(cosθ)ｄφ

となります。

それ故,Ψ(ｘ)がｘ＝0でも確率波であるという物理的解釈が保持

されて原点に特異性を持たないためには,|ｙ_l(0)|が有限である

必要があります。

しかも,後に示すように,結局全てのｌに対してｙ_l(0)＝0 でなけ

ればならない,ことがわかります。

また,ｒが十分大きいところでは定数ｋ²に比して指数的に減少する

Ｖ(ｒ)と遠心力ｌ(ｌ＋1)/ｒ²は無視できるので,

Schroedingerの波動方程式の動径部分は,

ｄ²ｙ_l(ｒ)/ｄｒ²＋ｋ²ｙ_l(ｒ)＝0 　となります。

この方程式は簡単に解けて正弦関数になります。

その解における積分定数の１つとして定数位相を指定してそれを

α_lとすると,解は,sin(ｋｒ＋α_l)に比例します。

そこで,

ｙ_l(ｒ)_r→∞～ Ｇ_lsin(ｋｒ－ｌπ/2＋δ_l) と表現できます。

ここで,Ｖ(ｒ)がないときの動径方程式:

ｄ²ｙ_l(ｒ)/ｄｒ²＋[ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²]ｙ_l(ｒ)＝0 の解は,

ｙ_l(ｒ)＝Ａ_lｒｊ_l(ｋｒ)＝Ａ_l{π/(2ｋｒ)}^1/2Ｊ_l+1/2(ｋｒ)

で与えられることがわかります。

これはｒ→ ∞で,ｙ_l(ｒ)～ (Ａ_l/ｋ)sin(ｋｒ－ｌπ/2)

となるので,これを考慮してα_l≡δ_l－ｌπ/2 としました。 

そして,いわゆる散乱波動関数の部分波における"位相のずれ

(phase-shift(＝δ_l"は,ポテンシャルＶ(ｒ)によって完全に

決定され,Ｖ(ｒ)が消えるとδ_lも消えることになります。 

散乱振幅:ｆ(θ)と位相のずれ:δ_lの間の関係を得るためには,

動径波動関数:ｙ_l(ｒ)を,全波動関数の漸近形:

Ψ(ｘ)＝exp(iｋｚ)＋ｆ(θ)exp(iｋｒ)/ｒ＋Ｏ(1/ｒ²)

に関連付ける必要があります。

そのため,ｙ_l(ｒ)やΨ(ｘ)を構成する項を

内向き球面波:exp(－ｉｋｒ)/ｒと,

外向き球面波e:xp(ｉｋｒ)/ｒ　の重ね合わせとして表現する

ことを考えます。

まず,ｙ_l(ｒ)_r→∞～ Ｇ_lsin(ｋｒ－ｌπ/2＋δ_l)

＝{Ｇ_l/(2ｉ)}[exp(iｋｒ－iｌπ/2＋iδ_l)

－exp(－iｋｒ＋iｌπ/2－iδ_l)]と

書けます。

また,exp(iｋｚ)＝exp(iｋｒcosθ)

＝∑_l=0^∞[Ｙ_l(ｒ)/ｒ]Ｐ_l(cosθ)なる展開公式があります。

ただし,Ｙ_l(ｒ)＝i^l(2ｌ＋1)ｒｊ_l(ｋｒ)

～ {(2ｌ＋1)/(2ｋi)}[exp(iｋｒ)

－exp(－iｋｒ＋iｌπ)] as ｒ→ ∞ です。

散乱のプロセスは,外向き波のみを生成し,ｙ_l(ｒ)の内向き成分

は,exp(iｋｚ)を維持します。

それ故,ｙ_l(ｒ)_r→∞と,Ｙ_l(ｒ) _r→∞の対応する内向き項は一致

しなければなりません。

したがって,Ｇ_l＝{(2ｌ＋1)/ｋ}exp(iδ_l＋iｌπ/2)と書けます。

その結果,

ｙ_l(ｒ)_r→∞

～ {(2ｌ＋1)/(2ｋi)}[exp(iｋｒ＋2iδ_l)

－exp(－iｋｒ＋iｌπ)]　となります。

ここで,ｙ_l(ｒ)≡Ｙ_l(ｒ)＋ｙ_l^sc(ｒ)と書いて,

散乱状態波動関数:

Ψ(ｘ) _r→∞～ exp(iｋｚ)＋ｆ(θ)exp(iｋｒ)/ｒ

＝∑_l=0^∞[ｙ_l(ｒ)/ｒ]Ｐ_l(cosθ)

の展開級数における動径関数:ｙ_l(ｒ)から,

平面波部分:exp(iｋｚ)＝∑_l=0^∞[Ｙ_l(ｒ)/ｒ]Ｐ_l(cosθ)の寄与:

Ｙ_l(ｒ)を分離して,散乱部分波ｙ_l^sc(ｒ)を取り出します。

ｆ(θ)exp(iｋｒ)/ｒ＝∑_l=0^∞[ｙ_l^sc(ｒ)/ｒ]Ｐ_l(cosθ)

ですから,散乱部分波:ｙ_l^sc(ｒ)は,散乱波動関数::

ｆ(θ)exp(iｋｒ)/ｒの角運動量ｌの部分への寄与を与える

ものです。

他方,ｙ_l^sc(ｒ)＝ｙ_l(ｒ)－Ｙ_l(ｒ)

＝{(2ｌ＋1)/(2ｋi)}exp(iｋｒ)[exp(2iδ_l)－1]

＝{(2ｌ＋1)/ｋ} exp(iδ_l)sinδ_lexp(iｋｒ)　です。

以上から,散乱振幅:ｆ(θ)をｆ(ｋ²,cosθ)と書けば,

散乱振幅の基本方程式として,

ｆ(ｋ²,cosθ)＝∑_l=0^∞{(2ｌ＋1)/ｋ}exp(iδ_l)sinδ_lＰ_l(cosθ)

なる展開形が得られます。

これはｆ(ｋ²,cosθ)＝∑_l=0^∞(2ｌ＋1)ａ_l(ｋ²)Ｐ_l(cosθ);

ａ_l(ｋ²)≡{exp(iδ_l)sinδ_l}/ｋと書き直すことができます。

このとき,ａ_l(ｋ²)を部分波振幅と呼びます。

逆に,Legendre多項式:Ｐ_l(ｘ)の直交性:

∫_-1¹Ｐ_l(ｘ)Ｐ_m(ｘ)ｄｘ＝2δ_lm/(2ｌ＋1)を用いると,

散乱振幅ｆ(ｋ²,cosθ)が既知のとき,

ａ_l(ｋ²)＝(1/2)∫_-1¹Ｐ_l(cosθ)ｆ(ｋ²,cosθ)ｄ(cosθ)

によって,原理的には,部分波振幅ａ_l(ｋ²)を求めることが

できます。

あらゆる運動学的特徴を考慮し,数学的整合性のみに従って

散乱振幅の基本方程式を定式化しましたが,

位相のずれ:δ_lを実際のポテンシャルＶ(ｒ)と関連付けると

いう本質的な動力学の問題が残っています。

そのための数学的な筋道としては,動径方程式:

ｄ²ｙ_l(ｒ)/ｄｒ²＋[ｋ²－Ｖ(ｒ)－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²]ｙ_l(ｒ)＝0

の解を見出し,その漸近形を求めて,

ｙ_l(ｒ)_r→∞

～ {(2ｌ＋1)/(2ｋi)}[exp(iｋｒ＋2iδ_l)－exp(－iｋｒ＋iｌπ)]

との比較からδ_lを見出すという手続きを実行すればよい

と考えられます。

しかし,遠心力項ｌ(ｌ＋1)/ｒ²が存在するため,動径方程式は

原点ｒ＝0 では十分特異なので,まずｒ＝0 の近傍における解

ｙ_l(ｒ)の挙動から調べることにします。

ｒが小さいとき,lim_ｒ→0|ｒ²Ｖ(ｒ)|→ 0 ですから,

遠心力項 ～ ｒ^-2に比してＶ(ｒ)やｋ²は無視できて,

ｒ～ 0 では,動径方程式が

ｄ²ｙ_l(ｒ)/ｄｒ²－ｌ(ｌ＋1)ｙ_l(ｒ)/ｒ²＝0 であるとする

ことができます。

そして,これは簡単に解けて独立な２つの解として,

ｙ_l(ｒ)＝ｒ^l+1,ｒ^-lを取ることができます。

そしてｌ≠0 のときには,lim_ｒ→0ｒ^-l＝∞ となるので

ｒ^-lは物理的な解から除外され,ｌ＝0 のときのｒ^-l＝1なる

定数解も除外されます。

なぜなら,ｌ＝0 のときｙ_l(ｒ)～ ｒ^-l＝1は,確かに

ｄ²ｙ_l(ｒ)/ｄｒ²－ｌ(ｌ＋1)ｙ_l(ｒ)/ｒ²＝ｄ₂ｙ_l(ｒ)/ｄｒ²＝0

の解ですが,

正確な方程式:

ｄ₂ｙ_l(ｒ)/ｄｒ²＋[ｋ²－Ｖ(ｒ)]ｙ_l(ｒ)＝0 のｒ～ 0 において

は明らかに解とは成り得ないからです。

それに対して,ｙ_l(ｒ)～ ｒ^l+1＝ 0 は正しい解と成り得ます。 

そこで,ｒ～ 0 での近似解としては,全てのｌに対して

ｙ_l(ｒ)＝ｒ^l+1を採用すべきであると考えられます。

それ故,前に言及したように,ｙ_l(0)＝0 です。

したがって,これまでの部分波解析の定式化に今得られた近似解

の情報を結合すると,

ｒ～ 0 ではｙ_l(ｒ)～ ｃ_lｒ^l+1であり,

ｒ～ ∞ ではｙ_l(ｒ)_r→∞～ Ｇ_lsin(ｋｒ－ｌπ/2＋δ_l);

Ｇ_l＝{(2ｌ＋1)/ｋ}exp(iδ_l＋iｌπ/2)であるということ

になります。

よって,後はこれらが連続的につながるようにｒ～ 0 での

規格化因子:ｃ_lをＧ_lから決める必要があるだけです。 

しかし,動径波動関数の規格化因子の選び方は任意であると

いう自由度はなお残っています。

そして,もちろん位相のずれ:δ_lは規格化因子の選び方には依存

しません。

そこで,今新しい選択をしてｒ→ 0 でｙ_l(ｒ)＝ｒ^l+1となるよう

に規格化します。

そしてこのように新しく規格化した動径波動関数ｙ_l(ｒ)を

ｕ_l(ｋ²,ｒ)と書くことにします。

すなわち,ｕ_l(ｋ²,ｒ)/ｒ^l+1→ 1 as ｒ→ 0 とします。

また,ｕ_l(ｋ²,ｒ)_r→∞

～ φ^-(ｌ,ｋ²)exp(iｋｒ)＋φ⁺(ｌ,ｋ²)exp(－iｋｒ)

と表現します。

この係数:φ⁺,φ^-は,Jost関数と呼ばれています。

ｕ_l(ｋ²,ｒ)は実数なので,φ⁺とφ^-は互いに複素共役です。

そして,ｕ_l(ｋ²,ｒ)を,れと規格化因子だけ異なる関数:

ｙ_l(ｒ)_r→∞

～ {(2ｌ＋1)/(2ｋi)}[exp(iｋｒ＋2iδ_l)－exp(－iｋｒ＋iｌπ)]

と比較することから,

Ｓ(ｌ,ｋ²)≡exp(2iδ_l)＝2iｋａ_l(ｋ²)＋1

＝(－1)^l+1φ⁺(ｌ,ｋ²)/φ^-(ｌ,ｋ²)

と書けることがわかります。

結局,位相のずれ:δ_lを決める問題は,Jost関数を求める問題に

置き換えられます。

動径波動関数:ｙ_l(ｒ)の規格化を変えて,改めてｕ_l(ｋ²,ｒ)と

定義し直したのは,

動径方程式:

ｄ²ｕ_l(ｋ²,ｒ)/ｄｒ²＋[ｋ²－Ｖ(ｒ)－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²]ｕ_l(ｋ²,ｒ)

＝0 のこの規格化に従う解は,ｋ²などのパラメータの任意の変動

に対し,滑らかに変動するため,

これを,パラメータｋ²の解析関数に拡張することが可能になるから

です。 

その理由は,例えばｋ²を動かしたとき,ｒ＝0 のすぐ近傍で

ｕ_l(ｋ²,ｒ)は目立った変動をしないことが挙げられます。

ｌ(ｌ＋1)/ｒ²が減少するにつれ,ｕ_l(ｋ²,ｒ)のｋ²に対する変動

はｒの増加と共により重要になってきますが,

次第に任意に与えられたｒに対してｋ²の変動に対し異常項の出現

などが予期されないようになることが,常微分方程式の解の安定性

の理論からわかっているからです。 

こうした微分方程式の解の解析はPoincare'によって,既になされ

ていて,適当な条件下で解は滑らかで,その方程式のパラメータの

解析関数になることが証明されています。

この定理は,わずかな拡張で今の我々のケースにおいても真となり,

そして先の規格化に基づくｕ_l(ｋ²,ｒ)は実際にパラメータｋ²の

解析関数になります。 

そこで,まず第１にこうしたことが"位相のずれ"に何らかの条件

を課すかどうか,第２にその得られた条件が何らかの物理的意味

のある示唆をもたらすかどうか,を調べます。

それ故,パラメータに関しての物理的領域から,その外側へと出る

必要があります。 

まず,ｋ²を実数から複素数全体に拡張し,改めて,

動径についてのSchroedinger方程式:

ｄ²ｕ_l(ｋ²,ｒ)/ｄｒ²＋[ｋ²－Ｖ(ｒ)－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²]ｕ_l(ｋ²,ｒ)

＝0 を考察します。

この方程式において,ｒ→ 0 でｕ_l(ｋ²,ｒ)ｒ^-(l+1)→ 1となる

ような解のみを考えると,これは解を完全に決定します。

そして,前と同じく,

ｕ_l(ｋ²,ｒ)_r→∞

～ φ^-(ｌ,ｋ²)exp(iｋｒ)＋φ⁺(ｌ,ｋ²)exp(－iｋｒ)なる漸近形

から,ｋ²の関数としてJost関数φ^±を定義し,

それらの商として,Ｓ(ｌ,ｋ²)≡exp[2iδ_l(ｋ²)]

＝(－1)^l+1φ⁺(ｌ,ｋ²)/φ^-(ｌ,ｋ²)を求めます。

これから,複素関数として位相のずれ関数δ_l(ｋ²)を決定します。

こうして複素関数論を用いた解析で数学的な問題を解いた後に,

ｋ²を実数に制限すれば物理的な情報が得られると期待されます。

次回以降は実際に複素関数としてJost関数を定める問題などに

進む予定にして今日はここまでとします。

参考文献:R.omnes,M.Froissart

「Mandelstam Theory and Regge poles」

W.A.Benjamin,Inc,New York(1963)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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