S行列とレッジェ理論(3)

　散乱理論の続きです。

　ｕ_l(ｋ²,ｒ)の漸近的性質を考えるとき,それがexp(±iｋｒ)に

　比例する２つの項の和として挙動することを保証したいなら,

　ｄ²ｕ_l(ｋ²,ｒ)/ｄｒ²＋[ｋ²－Ｖ(ｒ)－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²]ｕ_l(ｋ²,ｒ)

＝0 の左辺の他の項:ｄ²ｕ_l(ｋ²,ｒ)/ｄｒ²＋ｋ²ｕ_l(ｋ²,ｒ)

と比較して,Ｖ(ｒ)ｕ_l(ｋ²,ｒ)とｌ(ｌ＋1)ｕ_l(ｋ²,ｒ)/ｒ²

をｒ→ ∞で無視できることが必要です。

そして,これが可能なら,exp(±iｋｒ)が

ｄ²ｕ_l(ｋ²,ｒ)/ｄｒ²＋ｋ²ｕ_l(ｋ²,ｒ)＝0

の独立な２つの解なので,確かに,ｕ_l(ｋ²,ｒ)_r→∞

～  φ^-(ｌ,ｋ²)exp(iｋｒ)＋φ⁺(ｌ,ｋ²)exp(－iｋｒ)

なる表式が正しくなり,Jost関数はwell-definedである

はずです。

次に,ｋ²を複素数に拡張したときには,ｋの意味するところを明確

にすることが必要です。

それを定義するのに,√ｋ² が正の虚部を持つように選びます。

つまり,Green関数の定義で現われたように物理的なケースでは,

ｋとして,(ｋ＋iε)が示唆されるような簡単な通路を許すように

定義するわけです。

波動関数ｕ_l(ｋ²,ｒ)のｋ²の関数としての解析性がφ^±(ｌ,ｋ²)

の解析性を意味しない場合があります。

というのは,近似式:

ｕ_l(ｋ²,ｒ)_r→∞

～ φ^-(ｌ,ｋ²)exp(iｋｒ)＋φ⁺(ｌ,ｋ²)exp(－iｋｒ)

がうまく当てはまらない場合があるからです。

まず第１に,ｋ²が実数で,かつ負なら正の虚部を持つという条件

では,ｋ＝i|ｋ|なのでｕ_l(ｋ²,ｒ)の漸近形の第１項における因子

exp(iｋｒ)はexp(iｋｒ)＝exp(－|ｋ|ｒ)となりますが,

第２項における因子:exp(－iｋｒ)は,

exp(－iｋｒ)＝exp(|ｋ|ｒ)となり,こ

の第２項はｒ→ ∞ で爆発的に増加するという

挙動を示します。

今,ポテンシャルとして想定している湯川型のポテンシャルの形

はexp(－μｒ)/ｒであり,指数因子exp(－μｒ)を持っているので,

ｕ_l(ｋ²,ｒ)_r→∞

～ φ^-(ｌ,ｋ²)exp(iｋｒ)＋φ⁺(ｌ,ｋ²)exp(－iｋｒ)

における第１項の分離が正当化されるのは,|ｋ|が小さくて,

exp(iｋｒ)＝exp(－|ｋ|ｒ)がそれほど速い減衰を示さない

場合のみです。

ポテンシャルが単一の湯川ポテンシャル:

Ｖ(ｒ)＝ｇexp(－μｒ)/ｒの場合には,

ｋ＝i|ｋ|としたときｒ→ ∞ ではｕ_l(ｋ²,ｒ)の第２項:

φ⁺(ｌ,ｋ²)exp(－iｋｒ)が支配的になるので,

ｒ→ ∞ では,Ｖ(ｒ)ｕ_l(ｋ²,ｒ)

～ ｇφ⁺(ｌ,ｋ²) exp{(|ｋ|－μ)ｒ}/ｒ となります。

この|ｋ|－μ＞0 のときに爆発的な挙動を示す項において,

|ｋ|＞(μ/2)ならば,(|ｋ|－μ)＞－(μ/2)＞－|ｋ|が成立する

ので,exp{(|ｋ|－μ)ｒ}＞exp(－|ｋ|ｒ)です。

したがって,Ｖ(ｒ)ｕ_l(ｋ²,ｒ)＞ｇφ⁺(ｌ,ｋ²)exp(－|ｋ|ｒ)/ｒ

となるため,ポテンシャル項:Ｖ(ｒ)ｕ_l(ｋ²,ｒ)は,

少なくとも,exp(－|ｋ|ｒ) 程度の大きさを保持します。

ところが,ｋ²ｕ_l(ｋ²,ｒ)の第１項の部分も,

ｋ²φ^-(ｌ,ｋ²)exp(iｋｒ)＝ｋ²φ^-(ｌ,ｋ²) exp(－|ｋ|ｒ)

なる挙動をしますから,

そもそもこの場合には,ｋ²ｕ_l(ｋ²,ｒ)に対して,Ｖ(ｒ)ｕ_l(ｋ²,ｒ)

を無視するという近似は無意味になります。

そこで,Ｖ(ｒ)ｕ_l(ｋ²,ｒ)を無視するという近似で求めたJost関数

による球面波の分離という漸近形そのものが意味を持たなくなると

考えられます。

それ故,ｋ＝i|ｋ|,かつ|ｋ|＞(μ/2),

すなわち,実数であって－∞＜ｋ²＜－μ²/4 を満たす

エネルギーｋ²に対しては,Jost関数φ^±(ｌ,ｋ²)はwell-defined

ではなく,ｕ_l(ｋ²,ｒ)の解析性からこれの解析性を推論するのは

不可能です。

そこで,より一般的に相互作用のポテンシャルが湯川ポテンシャル

の重ね合わせの場合に,φ^±(ｌ,ｋ²)の解析性を論じるとき,

ポテンシャルにおけるμの最小値μ₀に対してJost関数:

φ^±(ｌ,ｋ²)は複素ｋ²平面の実軸上ｋ²＝－μ₀²/4に特異点を

有し,実軸上－∞＜ｋ²＜－μ₀²/4に切断を持つと考えて,

この部分を常に避ける必要があります。

動径波動関数の漸近近似として,

ｕ_l(ｋ²,ｒ)～ φ^-(ｌ,ｋ²)exp(iｋｒ)＋φ⁺(ｌ,ｋ²)exp(－iｋｒ)

が正しくないもう1つの場合はｋ²＝ 0 のときです。

というのは,そのときには,もちろんｋ²と比較して２つの項

(Ｖ(ｒ) ＋ｌ(ｌ＋1)/ｒ²)を無視することはできないからです。

そこで非常に大きい値Ｒを取るとｋ²の十分小さい値:

ｋ²＝ｌ(ｌ＋1)/Ｒ²に対して,ｒ＜Ｒでは上記の漸近形は正しく

ないといえます。

言い換えるとエネルギーがゼロ,つまりｋ²＝0 では遠心力障壁:

ｌ(ｌ＋1)/ｒ²は常に入射粒子のゼロ運動エネルギーより大きく,

それ故,波動関数は内向き球面波と外向き球面波との和で与えら

れた上記の漸近形とは全く異なる形になるわけです。

そこで,Jost関数はｋ²＝0 のまわりにも特異点を持つと予測

されます。

実際,これは基礎量子力学でも知られており,小さいｋ²の物理的

な(正の)値に対して位相のずれ:δ_l(ｋ²)はｋ^2l+1のような挙動を

することが示されています。

そこでは,δ_l(ｋ²)はｋ²ではなくｋの解析関数となります。

同じ結果はJost関数に対しても正しく,これらがｋの関数

としても解析的であることを示すことができます。 

そこで,変数をｋ²ではなくｋとして,Jost関数φ^±(ｌ,ｋ²)を

φ^±(ｌ,ｋ)と書くことにします。

ｋの関数としては,Jost関数は原点ｋ＝0 に特異性を持たず,

ｋ²＜0 の切断－∞＜ｋ²＜－μ₀²/4の上ではwell-definedで

ないので,対応してｋの２つの切断ｋ＝ｉμ₀/2～i∞,および

ｋ＝－iμ₀/2～－i∞が存在することになります。

ｋと－ｋの交換はｋ²のみに依存するSchroedinger方程式を

変えないし,原点でのｕ_l(ｋ²,ｒ)の境界条件も変えないので,

ｕ_l(ｋ²,ｒ)はこの交換で変化しません。

そこで,Jost関数にも関連した対称性があります。

すなわち,ｋと－ｋの交換ではexp(±iｋｒ)が交換されるので,

φ⁺(ｌ,ｋ)＝φ^-(ｌ,－ｋ)という関係式が得られます。

これらの関数をｋ²の関数として視覚化してみます。

複素ｋ²平面をｋの可能な２つの選択に対応して２つのRiemann面

の重ね合わせと見ることにします。

つまり,複素ｋ²面は

Imｋ＞0 を想定した物理的シート(Physical sheet)と,

Imｋ＜0 を想定した非物理的シート(Unphysical sheet)の２枚

が,境界:Imｋ＝0;複素ｋ²面の正の実軸を共有して交差した形で

重なり合っていると考えます。 

すなわち,Ａ:ｋ²＋iε(物理的シート)は,Ｂ:ｋ²－iε

(非物理的シート:Imｋ＜0)のごく近傍にあります。

然るに,物理的シート(Imｋ＞0)の上にあるけれども,ｋ²の虚部

が負のＣ:ｋ²－iε(物理的シート;Imｋ²＜0ですが,Imｋ＞0)は,

Ａ,Ｂの両方から遠いと考えます。

これは,物理的シートでは,Imｋ＞0 ,非物理的シートでは,

Imｋ＜0 なので,

物理的シート上のＡ:ｋ²＋iεに対してのｋを,ｋ_A≡ｋ＋iε,

非物理的シート上のＢ:ｋ²－iεに対してのｋを,ｋ_B≡ｋ－iε

とおいたとき,

物理的シート上のＣ:ｋ²－iεのｋはｋ_C≡－ｋ＋iεとなり,

ｋ_C  ～ －ｋ_A ～ －ｋ_B となるからです。

ｋ²＝0 はいわゆる分岐点です。そして複素ｋ²面の正の実軸

は切断です。これを右切断と呼ぶことにします。

また,物理的シートには,もちろん実軸上－∞＜ｋ²＜－μ₀²/4

に切断があります。これは左切断と呼びましょう。

物理的シートＡから物理的シートＣへの移動は,ｋから－ｋ

への移動なので,単なるφ⁺とφ^-の交換に対応しています。

つまり,これは,

exp{2iδ_l(ｋ²)}＝Ｓ(l,ｋ²)＝(－1)^l+1φ^-(l,ｋ²)/φ⁺(l,ｋ²)

→ exp{－2iδ_l(ｋ²)}＝1/Ｓ(l,ｋ²)

＝(－1)^l+1φ⁺(l,ｋ²)/φ^-(l,ｋ²)

なる変換であり,

Ｓ(l,ｋ²)を逆数:1/Ｓ(l,ｋ²)にする変換に対応しています。

次に部分波振幅:ａ_l(ｋ²)＝[exp{2iδ_l(ｋ²)}－1]/(2iｋ)

＝{Ｓ(l,ｋ²)－1}/(2iｋ)を考察します。

Ｓ(l,ｋ²)＝(－1)^l+1φ^-(l,ｋ²)/φ⁺(l,ｋ²)より,

ａ_l(ｋ²)＝(－1)^l+1{φ^-(l,ｋ²)－φ⁺(l,ｋ²)}/{2iｋφ⁺(l,ｋ²)}

でありａ_l(ｋ²)はJost関数と同じ特異性を持つｋ²の解析関数です。

すなわち,これも左切断と右切断を持ちます。

また,φ⁺(l,ｋ²)がゼロになるところに極を持ちます。

部分波振幅:ａ_l(ｋ²)の極については後で詳細に考察するとして,

今は,まずｋの関数,あるいは物理的,非物理的シート上でのｋ²

の関数として部分波振幅:ａ_l(ｋ²)の性質を明らかにすることに

努めます。

これは,まずＳ(l,ｋ²)の性質を考えることで容易になされます。

再び,Riemann面上の２点Ｂ:ｋ²－iε(非物理的シート),および,

Ｃ:ｋ²－iε(物理的シート)を考えます。

これらは,一方が他方の真上にあって,同一のｋ²の値に対応して

います。

当面の課題は非物理的シート上の点ＢでのＳ(l,ｋ²)を明確に

することです。

ここで明確な区別をするため,物理的シート上のｋ²に対しては

今まで通りＳ(l,ｋ²)なる表記を保持し,非物理的Sシート上のｋ²

に対してはＳ^Im(l,ｋ²)と表記することにします。

前にｋ_C ～ －ｋ_A ～ －ｋ_Bと表現したように,ＢとＣはｋの反対

符号の値に対応しています。

それ故,直ちにＳとＳ^Imの関係が得られます。

すなわち,Ｓ^Im(l,ｋ²)＝(－1)^l+1φ^-(l,-ｋ)/φ⁺(l,－ｋ)

＝(－1)^l+1φ⁺(l,ｋ)/φ^-(l,ｋ)＝1/Ｓ(l,ｋ²)です。

そこで,この式はａ_l(ｋ²)の解析接続によって取られる値:

ａ^Im_l(ｋ²)を定義します。

すなわち,ａ_l(ｋ²)＝{Ｓ(l,ｋ²)－1}/(2iｋ)からｋ → －ｋ

としてａ^Im_l(ｋ²)をａ^Im_l(ｋ²)＝{Ｓ^I(l,ｋ²)－1}/(－2iｋ)

＝{1/Ｓ(l,ｋ²)－1}/(－2iｋ) で定義します。

したがって,ａ^Im_l(ｋ²)＝ａ_l(ｋ²)/{1＋2iｋａ_l(ｋ²)}

となります。

かくして,非物理的シート上で生じることは,物理的シート上で

生じることから決定されるという結論が導かれました。

結果として特に非物理的シート上にもｋ²＜－μ₀²/4 に切断

(左切断)が存在するといえます。

そこで特に断らない限り,以下の議論は物理的シート上の話に

制限します。

それ故,ｋ²の正の実軸(右切断)を横切ることは特別な注意なし

には禁止します。

既に見たように,左切断とポテンシャルの到達距離(1/μ)の間に

は重要な関係があります。

相互作用のレンジが小さいほど低エネルギーでの位相のずれは

急速に変動すると予想されます。

この種の関連性は非常に重要です。

そして,この時点で先に示唆した部分波振幅ａ_l(ｋ²)の極の話に

戻ると極と位相のずれとのより重要な関連性が得られます。

すなわち,部分波振幅はａ_l(ｋ²)＝[exp{2iδ_l(ｋ²)}－1]/(2iｋ)

＝(－1)^l+1{φ^-(l,ｋ²)－φ⁺(l,ｋ²)}/{2iｋφ⁺(l,ｋ²)}と表わさ

れるので,

あるｋ²値でφ⁺(l,ｋ²)が消える場合を除けば,φ^±(l,ｋ²)が解析的

である場合はいつでもａ_l(ｋ²)は解析的です。

そして,ａ_l(ｋ²)の極はφ⁺(l,ｋ²)の零点なので,１つの極ｋ²の

まわりではφ⁺(l,ｋ²)＝0 によって,

ｒ→ ∞ での波動関数の漸近形式が,

ｕ_l(ｋ²,ｒ) ～ φ^-(ｌ,ｋ²)exp(iｋｒ)＋φ⁺(ｌ,ｋ²)exp(－iｋｒ)

から,ｕ_l(ｋ²,ｒ) ～ φ^-(ｌ,ｋ²)exp(iｋｒ)なる形に帰します。

そしてこれが物理的シート(Imｋ＞0)の上の極であるなら,

波動関数ｕ_l(ｋ²,ｒ)の主要因子exp(iｋｒ)の絶対値:

exp{－(Imｋ)ｒ}は減衰指数関数になります。

つまり,ａ_l(ｋ²)の物理的シート(Imｋ＞0)上の極:ｋ²のまわりでは

ｒ→ ∞での確率＝ｒ²|ｕ_l(ｋ²,ｒ)/ｒ|² がゼロになるので,

ここでのｕ_l(ｋ²,ｒ)は有限な到達距離の内部に局在する状態の

動径関数を表わしています。

このときの波動関数ｕ_l(ｋ²,ｒ)の表現する物理的状態は束縛状態

以外の何物でもないと考えられます。

すなわち,ａ_l(ｋ²)の物理的シート(Imｋ＞0)上の極はこの系の

束縛状態を示しています。

ところが束縛状態ではエネルギーは負の実数ですから,この極ｋ²

は負の実数です。 

通常の相互作用ポテンシャルＶ(ｒ)には現実に物理的状態として

束縛状態がありますから,物理的シートの上には確かにこれに対

応する実軸上でｋ²＜0 のａ_l(ｋ²)の極があるはずです。

そして物理的シートの上には,それ以外の極は存在しないでしょう。

しかし非物理的シートの上にはどこかに極があるかも知れません。

なぜなら非物理的シート上の極ｋ²の近傍での動径波動関数の

漸近近似ｕ_l(ｋ²,ｒ)～ φ^-(ｌ,ｋ²)exp(iｋｒ)はImｋ＜0

のため,爆発的に増加する指数関数を与え,

極の位置を固定(fix)するような如何なる物理的情報も与えない

からです。

とにかく,そうした非物理的シート上の極に物理的解釈を与える

ことが可能か否かを考察してみます。

実際,その極が物理的領域の非常に近くにあるとき,つまり負の

虚部が小さいＢ:ｋ²－iε(非物理的シート)のような点であれば

物理的解釈が可能です。

そうした極はｋ²の正の実数値に対応する物理的な点の非常に近く

で部分波振幅:ａ_l(ｋ²)の挙動に大きな影響を与えます。

それを見るために再びＳ(l,ｋ²)＝exp{2iδ_l(ｋ²)}

＝1＋2iｋａ_l(ｋ²)を考えます。

ａ_l(ｋ²)の極とＳ(l,ｋ²)の極は一致します。

Ｓ(l,ｋ²)が非物理的シート上のｋ²＝ｋ_r²－iΓ_r/2 に1つの極

を持つとすると,

そこではＳ^Im(l,ｋ²)＝1/Ｓ(l,ｋ²)＝∞となりますが,

より正確に書けば,Ｓ^Im(l,ｋ)＝1/Ｓ(l,－ｋ)＝∞ です。

したがって,それは物理的シート上でのＳ(l,ｋ²)＝Ｓ(l,－ｋ)

の零点になりますが,この状況をより詳細に分析してみます。

Schroedingerの動径方程式:

ｄ²ｕ_l(ｋ²,ｒ)/ｄｒ²＋[ｋ²－Ｖ(ｒ)－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²]ｕ_l(ｋ²,ｒ)

＝0 を満たすｕ_l(ｋ²,ｒ)と,これの複素共役を取った方程式

の解ｕ_l(ｋ^2*,ｒ)とを比較すると,ｕ_l(ｋ^2*,ｒ)＝[ｕ_l(ｋ²,ｒ)]^*

であると考えられます。

一方,Imｋの符号が保存されるように,√ｋ^2*＝－ｋ^*なる合理的な

規約を取れば,

ｕ_l(ｋ²,ｒ)の漸近形から,ｕ_l(ｋ^2*,ｒ)

～ φ^-(ｌ,ｋ^2*)exp(－iｋ^*ｒ)＋φ⁺(ｌ,ｋ^2*)exp(iｋ^*ｒ)

なる漸近表式が得られます。

したがって,ｕ_l(ｋ²,ｒ)＝[ｕ_l(ｋ^2*,ｒ)]^*によって,

ｕ_l(ｋ²,ｒ)

～ [φ^-(ｌ,ｋ^2*)]^*exp(iｋｒ)＋[φ⁺(ｌ,ｋ^2*)]^*exp(－iｋｒ)

となり,φ^±(ｌ,ｋ^2*)＝[φ^±(ｌ,ｋ²)]^*となるはずです。

それ故,Ｓ(ｌ,ｋ^2*)＝[Ｓ(ｌ,ｋ²)]^*です。

より明確にＳ(ｌ,ｋ²)をＳ(ｌ,ｋ)と表記すれば,

Ｓ(ｌ,－ｋ^*)＝[Ｓ(ｌ,ｋ)]^*です。 

今,Ｓが非物理的シート上のｋ²＝ｋ_r²－iΓ_r/2に極を持つとすると,

Ｓ^Im(l,ｋ_r²－iΓ_r/2)＝1/Ｓ(l,ｋ_r²－iΓ_r/2)＝∞です。

このときｋ_r＞0と仮定して,Ｓ^Im(l,ｋ_r²－iΓ_r/2)をＳ^Im(l,ｋ_r－iε)

と書き,Ｓ(l,ｋ_r²－iΓ_r/2)をＳ(l,－ｋ_r＋iε)と書いておきます。

Ｓ(ｌ,ｋ^2*)＝[Ｓ(ｌ,ｋ²)]^*,

つまりＳ(ｌ,－ｋ^*)＝[Ｓ(ｌ,ｋ)]^*は物理的シート上では,

Ｓ(ｌ,ｋ_r＋iε)＝[Ｓ(ｌ,－ｋ_r＋iε)]^*であり,

非物理的シート上では,

Ｓ^Im(l,ｋ_r－iε)＝[Ｓ^Im(ｌ,－ｋ_r－iε)]^*であること

を意味します。

ここで,ｋ²の複素関数Ｓ(ｌ,ｋ²)が非物理的シート上

ｋ²＝ｋ_r²－iΓ_r/2に極を持つので,

Ｓ^Im(l,ｋ_r²－iΓ_r/2)＝Ｓ^Im(l,ｋ_r－iε)＝1/Ｓ(ｌ,－ｋ_r＋iε)

＝∞ですから,Ｓ(ｌ,－ｋ_r＋iε)＝0 であり,

そこでＳ(ｌ,ｋ_r＋iε)＝[Ｓ(ｌ,－ｋ_r＋iε)]^*＝0 ,

すなわち,Ｓ(l,ｋ_r²＋iΓ_r/2)＝0 となります。

つまり,元々のSchroedingr方程式の係数の実数性のために

Ｓ行列の部分波成分がｋ²＝ｋ_r²－iΓ_r/2に極を持つことは,

ｋ²＝ｋ_r²＋iΓ_r/2 に零点を持つことを意味します。

Ｓ行列の部分波成分Ｓ(l,ｋ²)は非物理的シートから正の実軸

(右切断)を避けて物理的シートに解析接続したものであると

考えられますから,

それはｋ²＝ｋ_r²－iΓ_r/2 に極を持ち,ｋ²＝ｋ_r²＋iΓ_r/2 に零点

を持つことがわかりました。

そこで,物理的,非物理的云々ではなくＳ(l,ｋ²)は複素数ｋ²の

１価の複素関数としてはｋ²＝ｋ_r²付近で,

Ｓ(l,ｋ²)＝[(ｋ²－ｋ_r²－iΓ_r/2)/(ｋ²－ｋ_r²＋iΓ_r/2)]Ｓ_p(l,ｋ²)

という形式に書けると考えられます。

ここでＳ_p(l,ｋ²)はｋ²について比較的ゆっくり変動する関数です。

Ｓ(l,ｋ²)＝[(ｋ²－ｋ_r²－iΓ_r/2)/(ｋ²－ｋ_r²＋iΓ_r/2)]Ｓ_p(l,ｋ²)

を,δ_l(ｋ²)を使って,

exp{2iδ_l(ｋ²)}

＝[(ｋ²－ｋ_r²－iΓ_r/2)/(ｋ²－ｋ_r²＋iΓ_r/2)]exp{2iδ_lp(ｋ²)}

と書けば,

cos{2(δ_l－δ_lp)}＋isin{2(δ_l－δ_lp)}

＝{(ｋ²－ｋ_r²)²－Γ_r²/4－iΓ_r(ｋ²－ｋ_r²)}/{(ｋ²－ｋ_r²)²＋Γ_r²/4}

となります。

結局,位相のずれ:δ_l(ｋ²)のｋ²の関数としての表現:

δ_l＝tan^-1{Γ_r/{2(ｋ²－ｋ_r²)}＋δ_lp が得られます。

これはエネルギーがｋ_r²,幅がΓ_rの共鳴の近傍での位相のずれ

に対する"Breit-Winerの表現"そのものです。

δ_lpは慣習的にポテンシャル・フェーズ・シフトと呼ばれ,主要な

第１項は共鳴フェーズ・シフトと呼ばれます。

以上を要約すると次のような発見がなされたことになります。

すなわち,部分波振幅の動力学的特異性(ポテンシャル特異性)は

次の３つの事実に対応しています。

1.     その位置が力の到達距離(レンジ)と関連する左切断の存在

2.     束縛状態のエネルギー位置に物理的シート上の極がある。

3.     エネルギーｋ²の正の実軸に近いならば共鳴と解釈できる非物理的シート上の極がある。

　さらにｋ²の負の実軸に近い非物理的シート上の極に言及して

　おけば,例えば低エネルギーでの単一の陽子-中性子散乱では,

　100keV程度の負エネルギーの非物理的シート上に１つの極が

　ある,ことなど仮想状態に対応していると考えられます。

　束縛状態と共鳴の両方に部分波振幅の極が関わっているという

　事実はこの２つの概念の間には強い一致があることを示唆して

　いると考えられます。

　洋書を読んで翻訳した後に理解して要約したものを記事にして

　いるので若干直訳調でわかりにくくなっているところもありま

　すがご容赦ください。

　今日はここまでにします。

参考文献:R.omnes,M.Froissart

「Mandelstam Theory and Regge Poles」

W.A.Benjamin,Inc,New York(1963)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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