S行列とレッジェ理論(4)

　前回の続きです。

　今までは部分波振幅の解析性を論じてきましたが,ここでこれまで

　の議論も踏まえて全散乱振幅ｆ(ｋ²,cosθ)の性質を調べます。

ここでもｋ²の複素数値への拡張の誘惑にかられますが,さらに

cosθの複素数値を導入するとより便利な解析が可能となります。

しかし,cosθという変数のままでは有用な拡張がむずかしいので,

cosθの代わりに運動量遷移の平方:Δ²を用いることにします。

すなわち,ｋを入射粒子,ｋ'を散乱粒子の運動量(波数)として,

Δ²をΔ²≡(ｋ'－ｋ)²＝ｋ'²＋ｋ²－2ｋ'ｋ＝2ｋ²(1－cosθ)で

定義します。

この式から逆に,cosθがcosθ＝1－Δ²/(2ｋ²)と表現できます。

そこで,散乱振幅ｆ(ｋ²,cosθ)を(ｋ²,Δ²)の関数と考えて視覚

化します。

この段階では,２つの変数:ｋ²とΔ²は実数で,ｋ²-Δ²平面上の点

として表示できます。

そうした２次元平面上に点(ｋ²,Δ²)をプロットすると,ｋ²の物理的

な値は正の実数値ですが,

cosθの物理的に可能な値は－1と1の間ですから,これに対応して

２次元平面上での物理的領域は, 0≦Δ²≦4ｋ²(ｋ²≧0)で示され

る領域です。

これは,正のｋ²軸(Δ²＝0)とΔ²＝4ｋ²なる直線で区切られた角度

領域を示しています。

Δ²＝2ｋ²(1－cosθ)なので,cosθ＝(定数)は原点(ｋ²,Δ²)＝(0,0)

を通る直線で表わされます。

特に物理的領域の境界:正のｋ²軸(Δ²＝0),および,Δ²＝4ｋ²は,

それぞれ,cosθ＝＋1,および,cosθ＝－1に対応しています。

散乱振幅ｆ(ｋ²,cosθ)＝ｆ(ｋ²,1－Δ²/(2ｋ²))に対してＦ(ｋ²,Δ²)

なる新しい表記を与えます。

そしてＦ(ｋ²,Δ²)をｋ²,Δ²の複素関数として,その解析性を調べる

ことにします。

散乱振幅Ｆ(ｋ²,Δ²)を部分波に展開することが可能な場合には,

Ｆ(ｋ²,Δ²)＝∑_l=0^∞(2ｌ＋1)ａ_l(ｋ²)Ｐ_l(cosθ)

＝∑_l=0^∞(2ｌ＋1)ａ_l(ｋ²)Ｐ_l(1－Δ²/(2ｋ²))と,

級数表示で書けます。

そして,こうした場合,Ｆ(ｋ²,Δ²)が,各部分波振幅ａ_l(ｋ²)が

持つような解析性を持つことを期待して,Ｆ(ｋ²,Δ²)自体の解

析性を論じるのに部分波振幅ａ_l(ｋ²)の解析性を利用すること

も考えられます。

しかし,一般の物理的とは限らない固定したΔ²に対して,上に

示したＦ(ｋ²,Δ²)の展開級数の収束性を調べると,それが収束

することは必ずしも自明なことではなく,当然有限な収束半径

を持つと考えられます。

Ｆ(ｋ²,Δ²)の解析性を論じる際には,右辺の級数の収束半径

より外部の領域まで解析接続された(ｋ²,Δ²)の関数として

定義可能な全領域を対象とすべきであると思われるので,

これとは全く異なるアプローチをすることにします。

そして,以下に記述する方法の正当性についての証明を与える

ということに関しては,如何なる試みもしませんが,ある程度

もっともらしい論旨での簡単な説明はします。

実際,以下の方法による結果を厳密に証明しようとすれば,高度

な数学的道具が必要になりますから,それを証明するという問題

についての論議は別の機会に回します。

ここで採用する方法は以前に与えた散乱振幅のBorn級数展開に

おいて,個々の項の解析的性質を分析する方法です。

そして,ここでは級数が収束するかどうか気にせず,散乱振幅

の解析性は下に再掲するBorn級数の和の解析性と同一である

と仮定します。

既に以前の記事で与えた散乱振幅:Ｆ(ｋ²,Δ²)≡ｆ(ｋ,ｋ')の

Born級数展開式は,

－4πＦ(ｋ²,Δ²)＝－4πｆ(ｋ,ｋ')

＝＜ｋ'|Ｖ|ｋ＞

＋(2π)^-3∫ｄｐ＜ｋ'|Ｖ|ｐ＞[(ｋ＋iε)²－ｐ²]^-1＜ｐ|Ｖ|ｋ＞

＋(2π)^-6∫ｄｐ₁ｄｐ₂＜ｋ'|Ｖ|ｐ₁＞[(ｋ＋iε)²－ｐ₁²]^-1

＜ｐ₁|Ｖ|ｐ₂＞[(ｋ＋iε)²－ｐ₂²]^-1＜ｐ₂|Ｖ|ｋ＞＋..

です。

まず,ポテンシャルＶが純粋に湯川ポテンシャル:

Ｖ(ｒ)＝ｇexp(－μｒ)/ｒであるような単純な場合

を考えます。

Born級数を陽に表現するには,＜ｐ|Ｖ|ｐ'＞を評価することが

必要なのでこれを計算します。

＜ｐ|Ｖ|ｐ'＞＝ｇ∫exp{－i(ｐ－ｐ')ｘ}{exp(－μｒ)/ｒ}ｄｘ

なる表式において,右辺を極座標表示して積分を実行します。

＜ｐ|Ｖ|ｐ'＞

＝ｇ∫exp{－i|ｐ－ｐ'|ｒcosθ－μｒ}ｒｄｒｄ(cosθ)ｄΦ

＝2πｇ∫₀^∞ｄｒ[{exp(－i|ｐ－ｐ'|ｒ)－exp(i|ｐ－ｐ'|ｒ)}

/(－i|ｐ－ｐ'|)]{exp(－μｒ)}

＝4πｇ/{(ｐ－ｐ')²＋μ²]

なる陽な表式が得られます。

この結果は,直ちにBorn級数:Ｆ(ｋ²,Δ²)＝－∑_n=1^∞Ｆ_n(ｋ²,Δ²)

に反映されて,

Ｆ₁(ｋ²,Δ²)＝ｇ/(Δ²＋μ²),

Ｆ₂(ｋ²,Δ²)＝{ｇ²/(2π²)}∫ｄｐ/[{(ｋ'－ｐ)²

＋μ²}(ｋ²－ｐ²＋iε){(ｐ－ｋ)²＋μ²}],

Ｆ₃(ｋ²,Δ²)＝{ｇ³/(4π⁴)}∫ｄｐ₁ｄｐ₂/[{(ｋ'－ｐ₁)²＋μ²}

(ｋ²－ｐ₁²＋iε){(ｐ₁－ｐ₂)²＋μ²}(ｋ²－ｐ_２²＋iε)

{(ｐ₂－ｋ)²＋μ²}] and so on,

と書けることになります。

第１項Ｆ₁(ｋ²,Δ²)＝ｇ/(Δ²＋μ²)は単純で,ｋ²にはよらないの

で固定したΔ²に対しては,もちろん全てのｋ²に関して解析的です。

他の項の解析性については,それほど容易ではないですが,対応する

積分は分母が消えない限りはｋ²とΔ²についてwell-definedであり,

解析的であると思われます。

この条件から直ちに,正のｋ²軸上に1つの特異性が存在することが

わかります。

何故なら,ｋ²－ｐ²のような分母があり,ｐ²が 0 から ∞ まで変動

するので,それはｐ²のある値に対して消えるからです。

この特異性は,前に部分波振幅の解析で見た右切断であると考えら

れます。

そして,ｋとｋ'の虚部が十分小さい限り,ポテンシャルに由来

する(ｋ－ｐ)²＋μ²や(ｋ'－ｐ)²＋μ²の分母が消えることは

ありません。

というのは,ｋ≡ｋ₁＋iｋ₂と置くと,(ｋ－ｐ)²＋μ²＝0 は,

(ｋ₁－ｐ)²－ｋ₂²＋μ²＝0  ,かつ ｐｋ₂＝0 を意味し,最初の

等式は虚部の２乗ｋ₂²が少なくともμ²より大きいことを要求

するからです。 

生憎,このｋ₂²に対する制限はそれほど十分な拘束条件を与える

ものではありません。

そして,より大きな領域での解析性を見出すには,例えばｐ₁に関

する実積分を複素積分に変更するとか,部分的にFeynmanの方法に

よる積分を実行するとか,ここで展開する予定には入っていない

複雑な数学的手法に頼る必要があります。

そこで,ここでは単にそうした手法で証明できる結果を述べるだけ

にします。

すなわち,

"固定した非負のΔ²に対して,ポテンシャルが湯川ポテンシャルで

ある場合のBorn級数:Ｆ(ｋ²,Δ²)＝－∑_n=1^∞Ｆ_n(ｋ²,Δ²)の右辺各

項は,ｋ²軸の右切断を除く全ての複素数ｋ²について解析的である。"

という結論が得られています。 

Ｆ(ｋ²,Δ²)のΔ²の関数としての解析性は,より複雑であり,既に

与えたＦ_n(ｋ²,Δ²)の陽な積分表現から容易に帰納することはで

きません。

しかし,Δ²の特異性は物理的領域に密接したところにあると

考えられるので,それの物理的意味を調べるのは重要であると

思われます。 

第１の特異点は,最も単純なもので,それはBorn級数の第１項:

Ｆ₁(ｋ²,Δ²)＝ｇ/(Δ²＋μ²)に由来する１つの極:Δ²＝－μ²

です。

これは明らかにポテンシャルに依存する特異点,つまり動力学

的特異点です。 

この特異性が単純な極であるという事実は,明らかに相互作用

ポテンシャルが単一の湯川ポテンシャルのみから成る,とした

事実とユニークに関連しています。

そして,この極の位置はポテンシャルのレンジ(＝有効範囲):

1/μで決まります。

レンジが大きいほど,μは小さく,極Δ²＝－μ²は,

"物理的領域＝0≦Δ²≦4ｋ²；ｋ²≧0 "に近くなります。

(極限のケースは,"μがゼロの湯川型＝Coulombポテンシャル"で

あり,その場合の特異点はΔ²＝0 で,これはθ＝0 の前方散乱を

意味し物理的領域の端点です。)

Born級数の他の項に由来する特異性を理解するには,それらの項

の物理的意味を思い出すのが最善です。

つまり,項Ｆ_nはポテンシャルによるｎ回の継続的散乱に対応して

いることを思い出すわけです。

こうした単に物理的意味だけから複雑な特異性を理解しようと

する扱いは,実際上厳密な扱いとはいえませんが,ここではこの

方法で得られる特異性についての可能な限りの情報を理解しよ

うと努めるのみです。 

Ｆの第１項Ｆ₁がΔ²＝－μ²におい無限大になるという事実は,

多くの粒子が非物理的な遷移運動量:Δ₁

(ｋ'＝ｋ＋Δ₁；Δ₁＝iμ:Δ₁²＝－μ²)を持ち逃げするという

意味に解釈できます。

何故なら,このケースには散乱振幅が無限大になるように見える

からです。

もしも,それら散乱振幅において支配的な粒子が再び散乱される

なら,それらは再び同じ大きさの運動量遷移Δ₂：Δ₂＝iμをもた

らすと予期されます。

しかし,この第２の運動量遷移は,一般に同じ空間方向に生じると

は限りません。

すなわち,ｋ'＝ｋ＋Δ₁＋Δ₂であり,

Ｆ₂(ｋ²,Δ²)＝{ｇ²/(2π²)}∫ｄｐ/[{(ｋ'－ｐ)²＋μ²}

(ｋ²－ｐ²＋iε){(ｐ－ｋ)²＋μ²}]において,

Δ＝Δ₁＋Δ₂です。

|ｐ－ｋ|＝iμはｋの特異性に属しますが,

Δ²の特異性に対応して,|ｐ－ｋ|＝iμのとき常に,

|ｋ'－ｐ|＝iμが成立する場合は,ｋ,ｐ,ｋ'が同一直線上

にあって,Δ＝|ｋ'－ｋ|＝|Δ₁＋Δ₂|＝2iμとなる場合

だけです。

そこで,Ｆ₂において特異点Δ²＝－4μ²が存在すると予測されます。

同様に考えてＦ_nには特異点Δ²＝－ｎ²μ²が存在します。 

しかし,問題はそれほど直線的で単純ではなくて,特異性を生じる

別の道筋もあります。

運動量の代わりに角度を考えると,Δ²＝－μ²における特異性は,

またcosθ₀＝1＋μ²/(2ｋ²)で決まる角度θ＝θ₀における特異性です。 

この角度θ＝θ₀があたかも物理的な角度であるかのような推論をしてみます。

この角度に１回散乱された粒子群は前方のまわりに半角がθ₀の円錐を作ります。

ただし散乱強度はとても大きいと仮定しています。

それらが再び散乱されると,その円錐上の粒子は再び優先的に角度θ₀で散乱されて滑らかに半角がθ＝2θ₀の円錐内に分布します。 

そして,この新しい円錐表面の散乱粒子群は再び散乱角θ＝2θ₀の特異性に対応していてこの仮想的散乱角において粒子散乱振幅が増大するという特異現象が存在するはずです。

そしてcosθ₀＝1＋μ²/(2ｋ²)と２倍角の公式cos2θ₀＝2cos²θ₀－１から cos2θ₀＝1＋2μ²/ｋ²＋μ⁴/(2ｋ⁴)となるので,Δ²の特異点としてΔ²＝2ｋ²(1－cos2θ₀)＝－4μ²－μ⁴/ｋ²が得られます。 

Ｆ₂におけるΔ²の特異性は,２つの特異点Δ²＝－4μ²とΔ²＝2ｋ²(1－cos2θ₀)＝－4μ²－μ⁴/ｋ²のみです。 

Ｆ₃では特異点が３つあってΔ²＝－9μ²とΔ²＝2ｋ²(1－cos3θ₀),およびこの２つのメカニズムの混合に由来するものです。

つまりＦ₂におけるΔ²＝－4μ²からcosθ₁＝1＋4μ²/(2ｋ²)によって得られるθ₁方向への第３の散乱によって,θ＝θ₀＋θ₁の方向に起こる特異性によりΔ²＝2ｋ²{1－cos(θ₀＋θ₁)}に持つと考えられる特異点です。

Ｆ₄は５つの特異点を持ちます。

そしてＦ_nの持つ特異点の個数はｎの増加につれてｎの任意のベキよりも急速に増加します。

各々の特異点の具体的な位置を書き下すことも可能ですが,それらは全てΔ²≦－4μ²を満たすΔ²の負の実数値に対応しています。 

以上からＦはΔ²≦－4μ²の実Δ²軸上に無限個の特異点を持つことがわかりましたが,特異点Ｆ_nの全ての特異点は大きい正のｋ²の値に対して,負の方から特異点Δ²＝－ｎ²μ²に群がるという傾向を持ちます。 

結論として,あらゆるｋ²とΔ²≦－4μ²の実Δ²軸と極Δ²＝－μ²を除くΔ²のあらゆる値に対して,Ｆ(ｋ²,Δ²)は解析的であるといえます。

そしてポテンシャルが単独の湯川ポテンシャルではなくて幾つかの湯川型の重ね合わせの場合なら,Δ²＝－μ²に対応した幾つかの極を持ち,他の特異性についても詳細な構造については,はるかに複雑になると考えられますが本質においては何ら変わらず,新しい特異性が生じることはないと思われます。 

次に,核子-核子散乱のような多粒子問題を想定すると,こうした相互作用では直接力だけではなくて交換力もあることを知っています。

この修正に対してこれまでの結論がどのような影響を受けるかを考察します。

交換力における交換とはどういう意味であったか,を思い起こしましょう。交換ポテンシャルの演算子Ｖ_exは,次式に従って波動関数Ψ(ｘ)に作用します,すなわちＶ_exΨ(ｘ)＝Ｖ^e(ｒ)Ψ(－ｘ)です。

※注:"交換力"とはハイゼンベルク(Heisenberg)とマヨラナ(Majorana)によって導入された概念です。

一般に水素Ｈと水素イオンＨ⁺の間には,１つの電子が２つの陽子(水素原子核)の間で交換されることによって,ＨがＨ⁺に,Ｈ⁺がＨになってＨとＨ⁺の位置が入れ替わることで働く力があります。

核力もこれに類似したものであり,中性子と陽子の間に何らかの粒子交換があって,"陽子と中性子の位置が入れ替わることで働く力＝交換力"がその主要な力であろうと想定されます。 

そして,彼らは中性子と陽子の位置座標をそれぞれｘ₁,ｘ₂とし,ｒ＝|ｘ₁－ｘ₂|として,スピン座標を無視したとき,これら２粒子系の波動関数をΨ(ｘ₁,ｘ₂)としてこれに働く核力ポテンシャルの演算子をＶ_HとすればＶ_HΨ(ｘ₁,ｘ₂)＝ｖ_H(ｒ)Ψ(ｘ₂,ｘ₁)となると考えました。

実際には,核力には交換力だけではなく非交換力の寄与もあります。

そしてこの２体問題を１体のポテンシャル問題としてｘ＝ｘ₁－ｘ₂とすれば,交換力はＶ_HΨ(ｘ)＝ｖ_H(ｒ)Ψ(－ｘ)と表現されます。(注終わり)※

通常の相互作用ポテンシャルＶ(ｒ)の他に交換力Ｖ_exがある場合にもこれまでの議論が適用できるようにするために,まず波動関数Ψが偶関数である,すなわちΨ(－ｘ)＝Ψ(ｘ)と仮定します。

このときはＶ_exは明らかに通常のポテンシャルＶ^e(ｒ)に等価です。

そこで入射波が偶数角運動量のみを含むならば有効ポテンシャルとしてＶ⁺(ｒ)≡Ｖ(ｒ)＋Ｖ^e(ｒ)を定義して,Ｖ(ｒ)の代わりにＶ⁺(ｒ)を用いれば,これまでの議論はそのまま当てはまります。

ポテンシャルＶ⁺(ｒ)に対するシュレーディンガー方程式を普通に解いて得られる散乱振幅をｆ⁺(ｋ²,cosθ),ポテンシャル{Ｖ(ｒ)＋Ｖ_ex}に対する真の散乱振幅をｆ(ｋ²,cosθ)とすると,{ｆ(ｋ²,cosθ)＋ｆ(ｋ²,－cosθ)}/2＝{ｆ⁺(ｋ²,cosθ)＋ｆ⁺(ｋ²,－cosθ)}/2となります。

なぜなら,(∇²＋ｋ²)[exp(iｋｒ)ｆ(ｋ²,cosθ)/ｒ]＝[Ｖ(ｒ)ｆ(ｋ²,cosθ)＋Ｖ^e(ｒ)ｆ(ｋ²,－cosθ)]{exp(iｋｒ)/ｒ}かつ,(∇²＋ｋ²)[exp(iｋｒ)ｆ(ｋ²,－cosθ)/ｒ]＝[Ｖ(ｒ)ｆ(ｋ²,－cosθ)＋Ｖ^e(ｒ)ｆ(ｋ²,cosθ)]{exp(iｋｒ)/ｒ}より,

(∇²＋ｋ²)[exp(iｋｒ){ｆ(ｋ²,cosθ)＋ｆ(ｋ²,－cosθ)}/ｒ]＝{Ｖ(ｒ)＋Ｖ^e(ｒ)}[exp(iｋｒ){ｆ(ｋ²,cosθ)＋ｆ(ｋ²,－cosθ)}/ｒ]となるからです。

同様に入射波も散乱波も奇関数の場合は,Ｖ_exΨ(ｘ)＝Ｖ^e(ｒ)Ψ(－ｘ)＝－Ｖ^e(ｒ)Ψ(ｘ)なので,散乱は有効ポテンシャルＶ^-(ｒ)≡Ｖ(ｒ)－Ｖ^e(ｒ)で記述されます。

これに対応するシュレーディンガー方程式による散乱振幅をｆ^-(ｋ²,cosθ)とすると,{ｆ(ｋ²,cosθ)－ｆ(ｋ²,－cosθ)}/2＝{ｆ^-(ｋ²,cosθ)－ｆ^-(ｋ²,－cosθ)}/2が得られます。

以上から,ｆ(ｋ²,cosθ)＝{ｆ⁺(ｋ²,cosθ)＋ｆ⁺(ｋ²,－cosθ)＋ｆ^-(ｋ²,cosθ)－ｆ^-(ｋ²,－cosθ)}/2 が得られます。

そして,cosθ＝１－Δ²/(2ｋ²)より,－cosθ＝1－(4ｋ²－Δ²)/(2ｋ²)ですから,cosθを－cosθに変えるのはΔ²を(4ｋ²－Δ²)に変えるのと同じことになります。

そこで,Ｆ(ｋ²,Δ²)＝{Ｆ⁺(ｋ²,Δ²)＋Ｆ⁺(ｋ²,4ｋ²－Δ²)＋Ｆ^-(ｋ²,Δ²)－Ｆ^-(ｋ²,4ｋ²－Δ²)}/2 と書けます。

振幅Ｆ⁺(ｋ²,Δ²)とＦ^-(ｋ²,Δ²)は共に交換力を含まないポテンシャルに対する散乱振幅なので,明らかにこれまでに確立した散乱振幅が有するのと同じ解析性を持っています。

したがって,それらはｋ²の正の実軸とΔ²の負の実軸上に生じる特異性を除いて解析的です。

そして,Ｆ⁺(ｋ²,4ｋ²－Δ²)とＦ^-(ｋ²,4ｋ²－Δ²)は同じｋ²の正の実軸の特異性と4ｋ²－Δ²が実数で4ｋ²－Δ²＜0 なる領域にあるｋ²,Δ²を除いて解析的です。 

ポテンシャルが十分大きくて引力ならば束縛状態があると予想されます。既に記述したように束縛状態があるときはＢ＞0 をその束縛エネルギーとして部分波振幅ａ_l(ｋ²)はｋ²＝－Ｂ＜ 0 に極を持ちます。

この極は,もちろん全振幅ｆ(ｋ²,cosθ)における極でもあり部分波展開から示される特異性であると思われます。

実際ｋ²＝－Ｂの近傍ではａ_l(ｋ²)は本質的にＮ/(ｋ²＋Ｂ)という形になり,そうしたｋ²の値に対しては全振幅ｆ(ｋ²,cosθ)においても,この項が支配的に出現すると考えられます。

すなわち,ｋ²＝－Ｂの近傍ではｆ(ｋ²,cosθ)＝(2ｌ＋1)[ＮＰ_l(cosθ)/(ｋ²＋Ｂ)]＋(正則関数),Ｆ(ｋ²,Δ²)＝(2ｌ＋1)[ＮＰ_l(１－Δ²/(2ｋ²))/(ｋ²＋Ｂ)]＋(正則関数)となるはずです。

しかし,Ｆ(ｋ²,Δ²)のボルン級数展開の項では,こうした束縛状態に対応するｋ²の極が存在するという性質を見出すことができません。

それは,少なくともボルン級数が束縛状態の存在と同時に発散するのがその理由であるということを示しています。

ボルン級数の解析性から全振幅の解析性を得るという推論において,ボルン級数だけが全てではない,ということも含めて手法的に注意を要することを示しています。

しかし,今まで述べてきたあらゆる結果は,普通にシュレーディンガー方程式から出発して地道に解を求めることからも証明できます。

我々がボルン級数の解析を展開したのは,それらが相対論的Ｓ行列理論に属する唯一のツールであるからです。

ここで得られた一般的で正しい結果は,ポテンシャル散乱の場合には,ここで言及したあらゆる特異性が存在するという事実だけであって,それ以上ではありません。

この部分を終わるのに際して得られた特異性を列挙しておきます。

(1)ｋ²：実数で正,Δ²:任意 (2) Δ²：実数,Δ²＜－4μ²,ｋ²：任意

(3) 4ｋ²－Δ²：実数,4ｋ²－Δ²＜－4μ²,ｋ²：任意 

　もしもこれらの特異性が複素平面上での切断を作り,これを横切ることを禁止するならどんな特異性を横切ることも避けられます。

　我々の見出した結果は散乱振幅Ｆ(ｋ²,Δ²)を２つの引数の解析関数として扱うことを許すということです。

　ただし,これは非相対論的ポテンシャル散乱にはそれほど有用ではありません。というのも,これらについての全ての有益で適切な物理的情報は直接シュレーディンガー方程式から得ることができるからです。

散乱振幅Ｆ(ｋ²,Δ²)の解析性への関心は,これを相対論的な相互作用に拡張できるところにあります。

今日はここまでにします。

次回はいよいよ角運動量を複素数に拡張して"レッジェ極"の話題に入る予定です。

参考文献:R.omnes,M.Froissart「Mandelstam Theory and Regge

poles」W.A.Benjamin,Inc,New York(1963)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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