Ｓ行列とレッジェ理論(5)

　前回の続きです。

今回はRegge極(レッジェ極:Regge pole),あるいは,Regge軌跡

(レッジェ軌跡:Regge trajectory)に関して説明し,

ツールとしてSommerfeld-Watson(ゾンマーフェルト・ワトソン)

変換を紹介します。

例として,２つの異なるポテンシャル:Coulombと３次元調和振動子

のポテンシャルを考察することから始めます。

これらは幾つか共通の特徴を持っています。

　これは,それらを相互作用ポテンシャルとするSchroedinger方程式

　が共に正確に解けて,エネルギー固有状態として無数の束縛状態を

　持つこと,しかもそれらのほとんどが縮退していることなどです。

　Coulombポテンシャルにおける束縛状態には,

　角運動量ｌ,磁気量子数ｍ,および,単にエネルギー列の階級を示す

　主量子数ｎというラベルを付けるのが習慣です。

　しかし,主量子数ｎの性質というのは,明らかに他とちょっと変わ

　っていて,小さい摂動があるとエネルギーレベルの縮退が解けて

　分離するので,主量子数の定義は完全に修正する必要があります。

　一方,３次元調和振動子にも,角運動量ｌや主量子数ｎがあって,

　これらには奇妙な関係式があります。

　すなわち,(ｌ－ｎ)は常に偶数でなければならないという性質を

　持っています。

　実際,Ｅ_n＝(ｎ＋3/2)ｈ_cωであって,

　ｎ＝0 ならｌ＝0；ｎ＝1 ならｌ＝1;

　ｎ＝2ならｌ＝0,2;ｎ＝3ならｌ＝1,3 etc.

　です。

　そして,ｎにはあまり物理的意味はありません。

　ここで,ｈ_c≡ｈ/(2π)でｈはPlanck定数です。

　ときには,主量子数の代わりに内部量子数,すなわち,節の数ｎ_r

を動径量子数と呼びｎに置き換えます。

　そして,ｎよりこのｎ_rの方がより多くの意味を持つ可能性が

　あります。

　ｎ_rとｎの関係は,Coulombポテンシャルでは,

　ｎ＝ｎ_r＋ｌ＋1(ｎ_r＝0,1,2,..),

　３次元調和振動子ではｎ＝2ｎ_r＋ｌ(ｎ_r＝0,1,2,..)

　です。

　正確な解による情報から,

　原子番号がＺの原子のCoulombポテンシャル内の電子の束縛状態

　のエネルギー準位はＥ_n＝ｈ_c²ｋ²/(2ｍ)＝－Ｚ²Ｂ/ｎ²

＝－Ｚ²Ｂ/(ｎ_r＋ｌ＋1)² (ｎ_r＝0,1,2,..) (Ｂ≡ｍｅ⁴/(2ｈ_c))

　で与えられることがわかっています。

　これにより,角運動量ｌをエネルギーｋ² ～ｈ_c²ｋ²/(2ｍ)の関数

　として表現すると,(ｎ_r＋ｌ＋1)²＝－Ｃ²/ｋ²ですから,

　ｌ＝[Ｃ(－ｋ²)^-1/2]－ｎ_r－1 (ｎ_r＝0,1,2,..)

　(Ｃ≡ｍＺｅ²/ｈ_c^3/2)と表現されます。

　同様に,３次元調和振動子では,

　Ｅ_n＝ｈ_c²ｋ²/(2ｍ)＝(ｎ＋3/2)ｈ_cω＝(2ｎ_r＋ｌ＋3/2)ｈ_cω

　であり,ｌ＝[ｈ_cｋ²/(2ｍω)]－2ｎ_r－3/2 (ｎ_r＝0,1,2,..)

　となります。

　さらに無限に深い球対称な井戸型ポテンシャルでは,井戸の半径

　をａとするときｒ＜ａでの動径方程式の解は,

　ｌ次の球Bessel関数をｊ_l(ｋｒ)≡{π/(2ｋｒ)}^1/2Ｊ_l+1/2(ｋｒ)

　として,ｊ_l(ｋｒ)×(定数)で与えられます。

　そして,エネルギー準位はｊ_l(ｋａ)＝0 を満たすｋから得られます。

　ｊ_l(ｋａ)の零点を小さい順にｋ_nrａ(ｎ_r＝1,2,..)とすると,例えばｋａ＞＞ｌなら,ｊ_l(ｋａ)～{1/(ｋａ)}sin(ｋａ－ｌπ)と近似されるため,ｋ_nrａ＝(ｌ＋ｎ_r)πにより,角運動量ｌとエネルギーｋ²の関係はｌ＝[ｋａ/π]－ｎ_r (ｎ_r＝1,2,..)なる式で与えられます。

　それぞれのケースについて,ｌ-ｋ²平面上に束縛状態に対応する点(ｋ²,ｌ)をプロットし,内部量子数ｎ_rが同じである点をｌの小さい方から順に結んで仮想的な連続曲線群を作ると各々のｎ_rに対応する補間曲線がとても滑らかな曲線であることに気付きます。

　そこで,これらが単に束縛状態の離散的な点の集まりではなく連続曲線になるように内挿補間し,それにwell-definedな意味付けをしたいという誘惑にかられます。

　エネルギーｋ²は元々連続的な量ですから,この内挿補間は動径波動関数のシュレーディンガー方程式において角運動量ｌを整数でない値に拡張することを意味すると考えられます。

　ｌを整数とは限らないパラメータと考えたときにも,動径方程式はなお解を持ち,ｌが実数である限り節の数ｎ_rでラベル付けできます。

　そして,これによって仮想的な補間曲線に正確な定義を与えることができます。

　しかし,非整数角運動量概念を導入するための便宜上で例として挙げたこれら無限に深い井戸とか調和振動子のような,中心力場としては幾分病的なポテンシャルにこれ以上の興味はありません。

　それに,当面の問題である強い相互作用の物理学にとっては無数の束縛状態を持つポテンシャル一般にも大して関心はありません。

　我々が本当に興味があるのは,これまで考察してきた湯川ポテンシャルなので,以下ではこうしたポテンシャルに対する補間曲線の解析に集中することにします。

　ｌが整数であろうとなかろうと,何らかの意味で散乱振幅の部分波展開が可能であって,部分波振幅に対するこれまでの論議はそのまま成立するとします。

　そして,常微分方程式の解に対するポアンカレの定理によってJost関数φ^±(ｌ,ｋ²)は,ｋ²の解析関数であると同時にｌの解析関数でもあることがわかっています。

　角運動量がｌのときの束縛状態のエネルギーｋ²は,φ⁺(ｌ,ｋ²)の零点で与えられます。補間曲線はφ⁺(ｌ,ｋ²)＝0 をｌについて解くことで得られるはずです。その解曲線をｌ＝α(ｋ²)と記述します。

ところで,既に述べたようにｕ_l(ｋ^2*,ｒ)＝[ｕ_l(ｋ²,ｒ)]^*ですから,ｋ²が実数ならｕ_l(ｋ²,ｒ)も実数です。

負の実数ｋ²に対してｋ＝iＫ(Ｋ＞0)とすれば,ｕ_l(ｋ²,ｒ) ～ φ^-(ｌ,ｋ²)exp(iｋｒ)＋φ⁺(ｌ,ｋ²)exp(－iｋｒ)～φ^-(ｌ,ｋ²)exp(－Ｋｒ)＋φ⁺(ｌ,ｋ²)exp(Ｋｒ)ですが,ｒ→ ∞ではexp(Ｋｒ)＞＞exp(－Ｋｒ)なので,ｋ²＜0 ならφ⁺(ｌ,ｋ²)は実数です。

それ故,負の実数ｋ²に対してはφ⁺(ｌ,ｋ²)＝0 の解であるｋ²の関数ｌ＝α(ｋ²)も一般に実数になります。

しかし,正の実数ｋ²に対しては,もはやφ⁺(ｌ,ｋ²)は実数とは限らないので,その場合はφ⁺(ｌ,ｋ²)＝0 の解ｌ＝α(ｋ²)も一般に複素数になります。

そこで,ｌとしては非整数値だけではなく,複素数値をも考える必要があります。

　この拡張は,既に部分波振幅として定義したａ_l(ｋ²)を複素変数ｌとｋ²の両方の複素関数と考えてよいことを意味します。そして,ａ_l(ｋ²)はφ⁺(ｌ,ｋ²)の零点ｌ＝α(ｋ²)を除いて解析的です。

　これらの零点ｌ＝α(ｋ²)はａ_l(ｋ²)の極であり,これを強い相互作用の場にはじめて導入したレッジェ(Regge)の名を取って,レッジェ極と呼びｋ²の関数としてのｌ＝α(ｋ²)をレッジェ軌跡と呼びます。

　レッジェ軌跡ｌ＝α(ｋ²)がｌの整数値を通過するときにはいつでもその点が正確にエネルギーがｋ²＜0 の束縛状態に対応することは既にわかっています。実際,その事実が非整数角運動量概念を導入する動機になりました。

　ここで,より定量的な関連性を得るために現在ゾンマーフェルト・ワトソンの公式と呼ばれている式を導入します。

　これは次の展開から導出されます。

　すなわち,ｆ(ｋ²,cosθ)＝∑_l=0^∞(2ｌ＋1)ａ_l(ｋ²)Ｐ_l(cosθ)なる物理的な部分波展開式が出発点です。

　これの右辺は,ｌを任意の複素パラメータに拡張するとき,動径方程式により定義される部分波振幅としてｌの解析関数(2ｌ＋1)ａ_l(ｋ²)を含みます。

　また,Ｐ_l(ｚ)もｌの解析関数として定義できます。これはルジャンドの微分方程式の解でｚの正則関数です。そしてｚ＝1のときには１に等しい関数です。

　整数でないｌに対しては,この微分方程式の解Ｐ_l(ｚ)はもはやｚの多項式ではなく,ｚ＝－1 から∞ に分岐切断を持つｚの超越関数でルジャンドル関数と呼ばれます。

　そこで,最終的には角運動量ｌを非整数と考えたときには,ｆ(ｋ²,cosθ)＝∑_l=0^∞(2ｌ＋1)ａ_l(ｋ²)Ｐ_l(cosθ)なる部分波展開の右辺の級数表示を如何に解釈すべきか？という問題だけが残ります。

　ところが,今の場合,"右辺の級数和を可算無限個の極を持つ複素関数の全ての留数の和と見なす"という方法を適用することで,ｌを複素数に拡張しても理解が可能な表式に直接移行することができます。

　まず,{(2ｌ＋1)ａ_l(ｋ²)Ｐ_l(－cosθ)/sin(πｌ)}なる式を複素数ｌの関数と見るとき,これはｌの各整数値にsin(πｌ)の零点由来の極を持ちます。

　そして,これはまたａ_l(ｋ²)をｌの関数と見たときのｌの極,つまりレッジェ極と呼ばれる非整数の極ｌ＝α(ｋ²)を持つと思われます。

　ここで,複素ｌ平面上に,実軸上Reｌ＝∞の無限遠の点を出発して実軸に平行で微小な負の虚数部(－iε)(ε＞0)を持つ半直線上を実軸に沿って負の向きに原点Ｏを超えた点まで進み,そこでＯを巻くように転回して今度は正の実軸のすぐ上の虚数部(＋iε)を持つ半直線上を正の向きに進んでReｌ＝∞まで戻る経路を想定して,これをＣ₁と呼びます。

　Ｃ₁を実軸上Reｌ＝∞の点で閉じた閉曲線と考えて,複素数ｌの関数{(2ｌ＋1)ａ_l(ｋ²)Ｐ_l(－cosθ)/sin(πｌ)}を経路Ｃ₁に沿って周回する複素積分を考えます。

　閉経路Ｃ₁は向きが時計回り(負回転)で,被積分関数はその内部に１位の極としてsin(πｌ)の零点ｌ＝0,1,2,..を持つ以外は正則ですから,留数定理によって,この積分の値はそれら無限個の極での全ての留数の和に(－2πi)を乗じたものになります。

　ｌの各整数値におけるｌの関数 1/sin(πｌ)の留数はlim_x→l[(ｘ－ｌ)/sin(πｌ)]＝(－1)^l/πです。

　そして,同じ整数ｌに対してはＰ_l(－cosθ)＝(－1)^lＰ_l(cosθ)ですから,被積分関数{(2ｌ＋1)ａ_l(ｋ²)Ｐ_l(－cosθ)}/sin(πｌ)の留数の和は[∑_l=0^∞(2ｌ＋1)ａ_l(ｋ²)Ｐ_l(cosθ)]/πです。

　結局,ｆ(ｋ²,cosθ)＝(i/2)∫_C1[(2ｌ＋1)ａ_l(ｋ²)Ｐ_l(－cosθ)/sin(πｌ)]ｄｌなる複素積分形式で,ｌを複素数に拡張しても理解可能な"部分波展開"の式を得ることができました。

　ここで,さらに有用な公式を得るために,正の実軸を囲んで負の向きに周回する経路Ｃ₁を,別の経路に変形できる可能性を考えます。

Ｃ₁上の実軸上の端点Reｌ＝∞＝Ｒの点を出発点として,原点Ｏを中心とする半径Ｒ＝∞の円周上を反時計回りに進んでいくと直線Reｌ＝－1/2にぶつかります。

そして交点－1/2＋i∞＝－1/2＋iＲで向きを変えて,直線 Reｌ＝－1/2の上を－1/2＋i∞ から下向きに－1/2－i∞＝－1/2－iＲ まで直進します。そこで再び円Ｏに乗り換えて,円周上を進んで実軸上のReｌ＝∞＝Ｒの点まで戻ります。この経路をＣ₂とします。

このとき,Ｃ₁＋Ｃ₂,すなわちＣ₁を通ったあとに続けてＣ₂を通る経路を考えると,これも１つの閉曲線の経路です。

しかも,この閉曲線:Ｃ₁＋Ｃ₂はsin(πｌ)の零点ｌ＝0,1,2,..による極を全て外部に避けて,逆に内部には直線 Reｌ＝－1/2より右側:Reｌ＞－1/2にある全てのレッジェ極を含みます。

そこで,(i/2)∫_C1+C2[(2ｌ＋1)ａ_l(ｋ²)Ｐ_l(－cosθ)/sin(πｌ)]ｄｌ＝∑_j[β_j(ｋ²)Ｐ_αj(k2)(－cosθ)/sin{πα_j(ｋ²)}]なる表式が得られます。

ここでβ_j(ｋ²)≡－π{(2α_j(ｋ²)＋1)}Res{ａ_l(ｋ²)}|_l=αj(k2)と置きました。(Resは留数(residue)を意味します。)

故に,ｆ(ｋ²,cosθ)＝(i/2)∫_C1[(2ｌ＋1)ａ_l(ｋ²)Ｐ_l(－cosθ)/sin(πｌ)]ｄｌ＝(－i/2)∫_C2[(2ｌ＋1)ａ_l(ｋ²)Ｐ_l(－cosθ)/sin(πｌ)]ｄｌ＋∑_j[β_j(ｋ²)Ｐ_αj(k2)(－cosθ)/sin{πα_j(ｋ²)}]となります。

さらに,Imｌ→±∞ のとき,ｌ(2ｌ＋1)/sin(πｌ)＝[2iｌ(2ｌ＋1)/{exp(iπｌ)－exp(－iπｌ)}]→ 0 なので経路Ｃ₂上の積分においては半径Ｒの円Ｏの上での積分は無視できるので,虚軸に平行な直線 Reｌ＝－1/2 上の積分のみが残ります。

したがって,ｆ(ｋ²,cosθ)＝(i/2)∫_-1/2-i∞^-1/2+i∞[(2ｌ＋1)ａ_l(ｋ²)Ｐ_l(－cosθ)/sin(πｌ)]ｄｌ＋∑_j[β_j(ｋ²)Ｐ_αj(k2)(－cosθ)/sin{πα_j(ｋ²)}]なる公式を得ます。

この公式をゾンマーフェルト・ワトソンの公式と呼び,これを求めた上の手順をゾンマーフェルト・ワトソン変換と呼びます。

　簡単のためにゾンマーフェルト・ワトソンの公式におけるレッジェ極の寄与を与える項β_j(ｋ²)Ｐ_αj(k2)(－cosθ)/sin{πα_j(ｋ²)}で添字ｊをはずした典型的な形の項:β(ｋ²)Ｐ_α(k2)(－cosθ)/sin{πα(ｋ²)}を考察します。

　まず,散乱振幅ｆ(ｋ²,cosθ)は基本的にｋ²の負の実数の領域に束縛状態に対応するｋ²の極を持つはずですから,これを求めた積分路などの経緯は忘れて,ゾンマーフェルト・ワトソンの公式による表式においても,もちろんそうした極が存在するはずです。

　そして,一般項β(ｋ²)Ｐ_α(k2)(－cosθ)/sin{πα(ｋ²)}は,明らかにsin{πα(ｋ²)}が消えるところ,つまりα(ｋ²)が整数になるところに極を持ちます。

　このレッジェ極ｌ(整数)＝α(ｋ²)に対応するエネルギーｋ²が負の実数なら,それは束縛状態に対応する極を示していると考えられます。

　この極:α(ｋ²)＝ｌ(整数)がｋ²のある値ｋ_l²＜0 において生じると仮定します。

　このとき,sin{πα(ｋ²)}＝π{α(ｋ²)－ｌ}cos(πｌ)＋Ｏ({α(ｋ²)－ｌ}²)＝(－1)^lπ(∂α/∂ｋ²)_k2=kl2(ｋ²－ｋ_l²)＋Ｏ((ｋ²－ｋ_l²)²),β(ｋ²)Ｐ_α(k2)(－cosθ)＝(－1)^lβ(ｋ_l²)Ｐ_ｌ(cosθ)＋Ｏ((ｋ²－ｋ_l²))と展開されるはずです。

　そこで,ｋ² ～ｋ_l²では,β(ｋ²)Ｐ_α(k2)(－cosθ)/sin{πα(ｋ²)}～β(ｋ_l²)Ｐ_ｌ(cosθ)/[π(∂α/∂ｋ²)_k2=kl2(ｋ²－ｋ_l²)]＋(正則関数)となります。

Ｎ≡β(ｋ_l²)/[π(2ｌ＋1)(∂α/∂ｋ²)_k2=kl2と置き,Ｂ＝－ｋ_l²＞0 と置けば,上式はｋ²～ －Ｂでｆ(ｋ²,cosθ)＝(2ｌ＋1)[ＮＰ_ｌ(cosθ)/(ｋ²＋Ｂ)]＋(正則関数)となります。

こうして,前記事において求めた束縛状態に対応するｋ²の極(－Ｂ)の近傍での散乱振幅の表式Ｆ(ｋ²,Δ²)＝(2ｌ＋1)[ＮＰ_l(１－Δ²/(2ｋ²))/(ｋ²＋Ｂ)]＋(正則関数)が再現されました。

物理的解釈を与えることができると思われるもう1つのケースは,レッジェ軌跡ｌ＝α(ｋ²)がｋ²の正の実軸上を真っ直ぐに進むとき,ｌの整数値を通過するのではなくｌの実軸の近傍を通過していく場合です。

そうしたｋ²の近傍でｌ＝α(ｋ²)がｋ²について解析的であると仮定すると,そこでは等角写像です。

そこで,ｋ²が実軸で変動するとき,軌跡ｌ＝α(ｋ²)がｌの実軸からlの虚部が正の方向に曲がるときには,その近傍でのｋ²の変動の方向を実軸上からｋ²の虚部が負の方向に曲がる方向に変更すれば,ｌ＝α(ｋ²)が丁度ｌの実軸上の値と一致するようにできるはずです。

しかし,前記事で述べたように,このときの極に対応するｋ²＝ｋ_l²－iεは非物理的シート上の点です。これは実はｌ番目の部分波における非物理的シート上の1つのｋ²の極に対応しているので,前に述べた共鳴と考えることができます。

一方ｋ²を物理的領域の方向に曲げたときにはｌは非物理的になると考えられます。この選択は影状態と呼ばれる準安定状態に対応します。

この場合,ｋ＝ｋ_l＋iε；ｋ_l,ε＞0 で,かつφ⁺(ｌ,ｋ²)＝0 なので,束縛状態の場合と同じく,ｒ→ ∞でｕ_l(ｋ²,ｒ)～φ^-(ｌ,ｋ²)exp(－εｒ)exp(iｋ_lｒ)となって減衰(崩壊)していく状態を表現しています。

ゾンマーフェルト(Sommerfeld)が最初にこうした問題に取り組んだきっかけは,ラジオ波の地球の周りの伝播に関することに関連してであり,水平線を越えての指数的減衰(トンネル効果)の現象を解析するのが彼の主要な研究対象でした。

そして,アンテナから非常に離れたところで生じることについて調べていたのですが,結局,最小の虚部を持つ極,すなわち減衰が最も遅いケースがこれに対する実際的な解答を与えたのでした。

そして,元々こうした無関係な動機から始まったこの種のアプローチがなぜ強い相互作用の物理学にとって興味深い結果をもたらしたのか？ということの理由についてはよくわかりません。

ただ強い相互作用の物理学にとっての最も興味深い極は,ゾンマーフェルトの研究対象とは対照的に最大の実部を持つ極です。

今日はこのくらいにします。次回はまず具体的な形のポテンシャルを想定してそれに対するレッジェ極を調べる予定です。

参考文献:R.omnes,M.Froissart「Mandelstam Theory and Regge Poles」W.A.Benjamin,Inc,New York(1963),猪木慶冶,川合 光 著「量子力学Ⅰ」(講談社)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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