揚力とベルヌーイの定理

　2007年８月２日の記事「ダランベールの背理(D'Alembert's paradox)」において,

　完全流体では流速がＵの一様流の中に置かれた物体に働く揚力Ｆ_yの値を,物体のまわりを反時計回りにまわる流れの循環Γによって,Ｆ_y＝－ρＵΓと評価できることを述べました。

　Ｆ＝(Ｆ_x,Ｆ_y)は物体に働く力でＦ_xは抗力,Ｆ_yは揚力です。 

そこではｆ(ｚ)＝Φ＋iΨ(Φは速度ポテンシャル,Ψは流れ関数)とし,複素関数論を利用して,ベルヌーイの定理:∂Φ/∂ｔ＋ｐ/ρ＋ｖ²/2＋Ω＝Ａ(ｔ)(空間的に一定)とブラウジウスの(第一)公式:Ｆ_x－iＦ_y＝iρ∫_C[(ｄｆ/ｄｚ)²/2]ｄｚを導出するプロセスを記述しました。

それによって,物体に働く力Ｆ＝－∫_C ｐｎｄｓを考察し,そして,クッタ・ジューコフスキーの定理を証明した後,この定理の一部分に従って上述の命題を得るという手続きを行ないました。

　しかし,このような扱いは,私には少々大げさだと感じられたので,今日は物体部分からは全く湧き出しがない:divｖ＝0 という前提の下で,簡略化されたベルヌーイの定理ｐ＋ρｖ²/2＝Ａ(一定)から直接的に揚力と循環の関係Ｆ_y＝－ρＵΓを導いてみたいと思います。 

　まず,ベルヌーイの定理からｐ＝Ａ－ρｖ²/2なので,物体に働く力はＦ＝－∫_C ｐｎｄｓ＝－∫_CＡｎｄｓ＋(ρ/2)∫_Cｖ²ｎｄｓ＝(ρ/2)∫_Cｖ²ｎｄｓです。

　Ｃの線素ベクトルをｄｓ＝(ｄｘ,ｄｙ)とすると,ｎｄｓ＝0 ですから,ｎｄｓ＝(ｄｙ,－ｄｘ)となるので,結局,揚力はＦ_y＝(－ρ/2)∫_Cｖ²ｄｘ＝(－ρ/2)∫_C(ｖ_x²＋ｖ_y²)ｄｘなる式で与えられます。

ところで,物体の外では当然,連続の方程式が成立しており,また仮定によって物体内部に湧き出しがありませんから,空間のいたるところで divｖ＝0 が成立します。

すなわち,閉曲線Ｃで囲まれる任意の領域Ｓにおいて∫_S divｖｄＳ＝∫_S(∂ｖ_x /∂ｘ＋∂ｖ_y /∂ｙ)ｄｘ∧ｄｙ＝0 です。

これは任意の閉曲線Ｃの上で∫_Cｖ_xｄｙ－∫_Cｖ_yｄｘ＝0 が成立することを意味しています。それ故,ｙ＝ｆ(ｘ)なる任意の曲線上の点で常にｖ_xｄｙ＝ｖ_yｄｘです。

つまり,この曲線の傾きｙ'＝ｄｙ/ｄｘ＝ｆ'(ｘ)に対し常にｖ_y＝ｙ'ｖ_xが成立しています。

また,閉曲線Ｃの上での流れの循環ΓはΓ≡∫_Cｖｄｓ＝∫_C(ｖ_xｄｘ＋ｖ_yｄｙ)で定義されます。

(これはΓ＝∫_S rotｖｄＳ＝∫_S(∂ｖ_y /∂ｘ－∂ｖ_x /∂ｙ)ｄｘ∧ｄｙと書き直すこともできます。)

故に,Γ＝∫_Cｖ_xｄｘ＋∫_Cｖ_yｄｙ＝∫_Cｖ_x(1＋ｙ'²)ｄｘです。一方,揚力Ｆ_yもＦ_y＝(－ρ/2)∫_Cｖ²ｄｘ＝(－ρ/2)∫_C(ｖ_x²＋ｖ_y ²)ｄｘ＝(－ρ/2)∫_Cｖ_x²(1＋ｙ'²)ｄｘと表わすことができます。

ここで,流れｖ＝(ｖ_x,ｖ_y)が,一様流Ｕ＝(Ｕ,0)に微小な流れｕ＝(ｕ_x,ｕ_y)を重ね合わせたもの:ｖ＝Ｕ＋ｕで与えられるとします。

ｖ_x＝Ｕ＋ｕ_x,ｖ_y＝ｕ_yですから,これを上の循環と揚力の表式に代入して,Γ＝∫_C(Ｕ＋ｕ_x)(1＋ｙ'²)ｄｘ＝∫_Cｕ_x(1＋ｙ'²)ｄｘ,およびＦ_y＝(－ρ/2)∫_C(Ｕ＋ｕ_x)²(1＋ｙ'²)ｄｘ＝－ρＵ∫_Cｕ_x(1＋ｙ'²)ｄｘ－(ρ/2)∫_Cｕ_x²(1＋ｙ'²)ｄｘを得ます。

ここで,∫_C(1＋ｙ'²)ｄｘ＝∫_Cｄｘ＋∫_Cｙ'ｄｙ＝0 を用いました。さらに,∫_Cｕ_x²(1＋ｙ'²)ｄｘ＝∫_C(ｕ_x²＋ｕ_y²)ｄｘ＝∫_Cｕ²ｄｘ＝∫_Cｕ_xｄΓなのでＦ_y＝－ρＵΓ－(ρ/2)∫_Cｕ_xｄΓです。

最後の表式で∫_Cｕ_xｄΓがゼロになるための条件はｄＷ＝ｕ_xｄΓなるＷが存在することです。

ポアンカレの補題によって,それはｄ(ｕ_xｄΓ)＝ｄｕ_x∧ｄΓ＝[－ｕ_x(∂ｕ_x /∂ｙ)＋ｕ_y(∂ｕ_x /∂ｘ)]ｄｘ∧ｄｙ＝0 すなわち,－ｕ_x(∂ｕ_x /∂ｙ)＋ｕ_y(∂ｕ_x /∂ｘ)＝0 が成り立つことと同値です。

これ以上は,適切なモデルで考えないと無理です。

まず,線素を極座標で書くとｄｓ＝(ｄｘ,ｄｙ)＝ｒ(ｄ(cosθ),ｄ(sinθ))＝ｒｄθ(－sinθ,cosθ)となります。

湧き出しがない条件は∫_S divｖｄＳ＝∫_C(ｖ_xｄｙ－ｖ_yｄｘ)＝0 ですから,∫_Cｖ_xｄｙ＝∫_Cｖ_yｄｘ →∫_C(Ｕ＋ｕ_x)ｄｙ＝∫_Cｕ_yｄｘ,故に∫_Cｕ_xｄｙ＝∫_Cｕ_yｄｘです。

つまり,∫₀^2πｒｕ_xcosθｄθ＝－∫₀^2πｒｕ_ysinθｄθなので,ｒｕ_x≡－Ｂsinθ,ｒｕ_y≡Ｂcosθ(Ｂはｒだけの関数)というモデルを想定すると,これにより上述の湧き出しゼロ条件は自動的に満たされます。

また,循環はΓ≡∫_C(ｖ_xｄｘ＋ｖ_yｄｙ)＝∫_C(ｕ_xｄｘ＋ｕ_yｄｘ)で与えられますから,Γ＝∫₀^2π(－ｒｕ_xsinθ＋ｒｕ_ycosθ)ｄθ＝2πＢ：つまりＢ＝Γ/(2π)です。

そこでＢは定数なので,∫_Cｕ_x²(1＋ｙ'²)ｄｘ＝∫_Cｕ_xｄΓ＝∫_C(ｕ_x²＋ｕ_y²)ｄｘ＝－∫₀^2π(Ｂ²/ｒ)sinθｄθ＝0 が得られます。

したがって,∫_Cｕ_x²(1＋ｙ'²)ｄｘ＝∫_Cｕ_xｄΓ＝0 となり,求める揚力と循環の関係Ｆ_y＝－ρＵΓが得られました。

　したがって,以上の私の試みによって流れが上の面に沿って速く下の面に沿って遅いときに,ベルヌーイの定理から上向きの力＝揚力が生じるというメカニズムを考えれば,このとき負の循環Γ＜0 つまり時計回りの循環があることに相当することがわかります。

　そこで,クッタ・ジュ－コフスキーの定理により上向きの力＝揚力が生じる,という命題と同等である,ということを直接的に示せたのではないかと思います。

　逆に,循環がなくて(rotｖ＝0)湧き出しＱがあるとき抗力Ｆ_xと湧き出しＱの関係Ｆ_x＝－ρＵＱが得られることも上とほぼ同様にして示すことができます。

そして循環も湧き出しも共に存在するときは,例えば電気回路の重ねの理と同じように,この場合を上記の２つの場合の重ね合わせと考えることによって,Ｆ_x＝－ρＵＱとＦ_y＝－ρＵΓが同時に成り立つことも言えます。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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