Ｓ行列とレッジェ理論(7): TOSHIの宇宙

2007年9月 5日 (水)

Ｓ行列とレッジェ理論(7)

前回の続きです。

今日は相対論的な散乱理論に入るための準備段階として相対論的運動学,特に散乱のｓ,ｔ,ｕチャンネルの定義とそれらの交叉対称性などを中心に述べてゆきたいと思います。

まず,相対論的散乱の運動学を解説するための題材として典型的な２体反応ａ₁＋ａ₂ → ａ₁'＋ａ₂'の運動学について解析します。

　質量も変わる一般的な場合を考えて粒子ａ₁,ａ₂,ａ₁',ａ₂'の質量を,それぞれ,ｍ₁,ｍ₂,ｍ₁',ｍ₂'とします。

　そして,これらの粒子は全てスピンゼロと仮定して,反応は完全に運動エネルギーと散乱角のみに依存する散乱振幅で記述されるとします。

　ところが,実はこのすぐ後でこの一般的解析で得た知見を具体的な中性子-陽子散乱に適用する予定なのですが,その場合は既にスピンゼロという仮定が成立していません。

　しかし,要するに,ここでのスピンゼロという仮定は,それほど厳密な意味ではなく,エネルギー・運動量のみを考察の対象と考えて,スピン変数の効果が問題になるケースまで考えると煩雑なので,取り合えずは考えないでおこう,という程度の意味です。

　さて,これらの粒子ａ₁,ａ₂,ａ₁',ａ₂'の４元運動量を,それぞれｐ₁,ｐ₂,ｐ₁',ｐ₂'とします。

　このとき,エネルギー･運動量の保存は,ｐ₁＋ｐ₂＝ｐ₁'＋ｐ₂'で与えられます。

　この反応を記述するには任意の準拠系を選ぶことができますが,よく用いられるのは,ａ₁ or ａ₂が静止している実験室系か,あるいは質量中心系(重心系)です。

　一般に運動エネルギーや散乱角の値は準拠系の選択に依存します。

　そこで相対論的不変性を完全に用いるためには,これまで用いていた運動量遷移や散乱角というような系に依存する変数を,系によらない不変変数に置き換えるのが有用です。

　ではどのようにすれば準拠系の選択に依らない不変変数を定義できるのでしょうか？

　まず,ｐ₁＋ｐ₂＝ｐ₁'＋ｐ₂'ですから,４つの４元ベクトルｐ₁,ｐ₂,ｐ₁',ｐ₂'のうちで独立なのは３つだけです。したがって,例えばｐ₁,ｐ₂,ｐ₁'のみを考えれば十分であり,残るｐ₂'は保存則から決まります。

　保存則を示す等式ｐ₁＋ｐ₂＝ｐ₁'＋ｐ₂'は簡単な幾何学的描像で表現できます。

　すなわち,４次元ベクトル空間を想定し,そこでｐ₁に等しくベクトルＡＢを描き,ｐ₂に等しくＢＣを描きます。

　そして,ＡＢ＝ｐ₁と始点を一致させて,ｐ₁'に等しくＡＤを描けば,上記保存則は,ベクトルＤＣがｐ₂'に等しくなることを意味します。

　任意のローレンツ変換は４次元スカラーである空間の２点の間の４次元距離を常に不変に保つので,そうした変換は上記の４面体ＡＢＣＤの形を保ったままの移動,すなわち平行移動を除く合同変換に対応しています。

　そして,この４面体は全ての辺の長さの平方を与えれば完全に決定されます。(４面体は６つの辺を持ちます。)

　そこで,４つの質量を示す不変式ｐ₁²＝ｍ₁²,ｐ₂²＝ｍ₂²,ｐ₁'²＝ｍ₁'²,ｐ₂'²＝ｍ₂'²,および２つのスカラー量ｓ≡ＡＣ²＝(ｐ₁＋ｐ₂)²＝(ｐ₁'＋ｐ₂')²,ｔ≡ＢＤ²＝(ｐ₁－ｐ₁')²＝(ｐ₂－ｐ₂')²を与えれば完全に決まります。

　質量は明らかに固定された不変量ですから,散乱振幅を示すためのｋ²とcosθに代わる変数としては,準拠系の選択に依存しない独立な不変変数ｓとｔを採用するのは妥当であると思われます。

　また,ＡＤ＝ｐ₁'としてＤからＤＣ＝ｐ₂'を得る代わりに,ＡＤ'＝ｐ₂'としてＤ'からＤ'Ｃ＝ｐ₁'を得るという,もう1つの選択で４面体ＡＢＣＤ'を作り,これを基準にして定式化することも可能です。

　そして,ＡＢＣＤとＡＢＣＤ'のどちらを優先すべきという先験的理由はないので,ｔ＝ＢＤ²の代わりにｕ≡ＢＤ'²＝(ｐ₁－ｐ₂')²＝(ｐ₂－ｐ₁')²を不変変数として採用しても,この反応を記述する変数として対等な資格を持つはずです。

　しかし,独立な不変量は４つの質量とｓ,ｔ,ｕの７つのうち,６つだけなので,ｕは残りの６つの関数で表わせるはずです。

　実際,ｓ＋ｔ＋ｕ＝ｍ₁²＋ｍ₂²＋ｍ₁'²＋ｍ₂'²＋2ｐ₁(ｐ₁＋ｐ₂－ｐ₁'－ｐ₂')＝ｍ₁²＋ｍ₂²＋ｍ₁'²＋ｍ₂'²なる拘束条件があります。

　以上をまとめます。

　準拠系の選択によらないローレンツ不変な変数として,ｓ＝(ｐ₁＋ｐ₂)²＝(ｐ₁'＋ｐ₂')²,ｔ＝(ｐ₁－ｐ₁')²＝(ｐ₂－ｐ₂')²,ｕ＝(ｐ₁－ｐ₂')²＝(ｐ₂－ｐ₁')²の３つを取ることが可能です。

　しかし,これらのうち独立なのは２つだけです。実際,ｓ＋ｔ＋ｕ＝ｍ₁²＋ｍ₂²＋ｍ₁'²＋ｍ₂'²という関係式が成立します。

　これらの変数には,簡単な物理的解釈を与えることができます。

　質量中心系では,ｐ₁＋ｐ₂＝ｐ₁'＋ｐ₂'＝0 ですから,ｓ＝(ｐ₁＋ｐ₂)²＝(ｐ₁⁰＋ｐ₂⁰)²＝(ｐ₁⁰'＋ｐ₂⁰')²;ｐ₁⁰＝(ｐ₁²＋ｍ₁²)^1/2,ｐ₂⁰＝(ｐ₂²＋ｍ₂²)^1/2,ｐ₁⁰'＝(ｐ₁'²＋ｍ₁'²)^1/2,ｐ₂⁰'＝(ｐ₂'²＋ｍ₂'²)^1/2；ｐ₁²＝ｐ₂²,ｐ₁'²＝ｐ₂'²です。

　それ故,ｓには入射２粒子,または散乱２粒子の全エネルギーの平方という意味があります。

　次に弾性散乱のケースを仮定して,ｍ₁＝ｍ₁',ｍ₂＝ｍ₂'とすれば,質量中心系では,ｐ₁⁰＝ｐ₁⁰',ｐ₂⁰＝ｐ₂⁰'であり,それ故ｔ＝－Δ²＝－(ｐ₁'－ｐ₁)²＝－(ｐ₂'－ｐ₂)²となります。

　なぜなら,ｔ＝(ｐ₁－ｐ₁')² ＝(ｐ₁⁰－ｐ₁⁰')²－(ｐ₁－ｐ₁')²で,かつｐ₁⁰＝ｐ₁⁰'であるからです。

　さらに,中性子-陽子散乱のように,ｍ₁とｍ₂が等しいとみなしてよい場合には,質量中心系で,ｐ₁⁰＝ｐ₁⁰'＝ｐ₂⁰＝ｐ₂⁰'なので,ｕ≡ＢＤ'^２＝(ｐ₁－ｐ₂')²＝－(ｐ₂'－ｐ₁)²＝－(ｐ₁'－ｐ₂)²となります。

　そこで,ｔもｕも,運動量遷移の平方にマイナス符号を付けたものと解釈されます。

　ここで,しばらくの間,問題としている２体散乱を具体的な中性子-陽子散乱と考え,中性子と陽子の共通質量をｍとします。またｋを入射時の重心運動量,θを散乱角とします。

　このケースでは,ｓ＝4(ｋ²＋ｍ²),ｔ＝－2ｋ²(1－cosθ),ｕ＝－2ｋ²(1＋cosθ)と書けます。

　既に,これまで論じてきた非相対論的ポテンシャル散乱の理論において散乱振幅:Ｆ(ｋ²,Δ²)＝ｆ(ｋ²,cosθ)に対する物理的領域はｋ²＞0,かつ－1＜cosθ＜1 に対応して,ｋ²－Δ²平面で 0＜Δ²＜4ｋ²,かつｋ²＞0 なる領域で与えられることを見ました。

　今の場合,新変数ｓ,ｔによるこの同じ物理的領域の表現はｓ＞4ｍ²,かつ－4ｋ²＜ｔ＜0 となります。そして－4ｋ²＝4ｍ²－ｓなので,結局ｓ－ｔ平面での物理的領域は4ｍ²－ｓ＜ｔ＜0 ,かつｓ＞4ｍ²で与えられることがわかります。

　ところでｓ＋ｔ＋ｕ＝4ｍ²なので,4ｍ²－ｓ＜ｔはｕ＜0 に対応しています。つまり,今の場合の物理的領域はｓ＝4ｍ²,ｔ＝0,ｕ＝0 の３つの直線で囲まれた三角形の領域:ｓ＞4ｍ²,ｔ＜0 ,ｕ＜0 で与えられることになります。

　次に非相対論のポテンシャル散乱の場合とは異なり,相対論的散乱においては反粒子の存在があります。このことに関連して相対論的な散乱振幅には粒子と反粒子の交換に対してある対称性があります。

　これを交叉対称性(crossing symmetry)といいます。

この交叉対称性を説明するために,ディラック(Dirac)の相対論的量子力学で展開されたパウリの排他原理に基づく空孔理論で保証されたフェルミ粒子(Fermion)の反粒子の因果的表現の１つであるスティッケルベルグ表示を採用し,陽子や中性子の反粒子の表示としてはそうした取り扱いをします。

すなわち,物理的な正エネルギーを持つ反粒子を因果的に逆行する負エネルギーを持ち運動量の向きも反対の非物理的な粒子と同一視する描像を採用します。

つまり,４元運動量がｑの反粒子を４元運動量が－ｑの粒子であると見なすわけです。

　陽子-中性子散乱の２体反応を陽にｐ＋ｎ → ｐ＋ｎと書きます。

　これらの重心系での４元運動量ベクトルを,改めてｐ₁,ｐ₂,ｐ₁',ｐ₂'と書き,対応する散乱振幅をＡ^Ⅰ(ｐ₁,ｐ₂,ｐ₁',ｐ₂')とします。

　次に,この２体反応:ｐ＋ｎ → ｐ＋ｎの左辺(始状態)に運動量がｐ₂'の中性子ｎと運動量が－ｐ₂'の仮想的粒子に対応する反中性子ｎ~を加え,一方,右辺(終状態)には運動量がｐ₂の中性子ｎと運動量が－ｐ₂の仮想的粒子に対応する反中性子ｎ~を加えます。

すると,４体反応の反応式ｐ＋ｎ＋ｎ＋ｎ~ → ｐ＋ｎ＋ｎ＋ｎ~が得られます。

そして,これらの操作が実質的に元の反応ｐ＋ｎ → ｐ＋ｎには何の影響も及ぼさないと考えます。

ｐ＋ｎ＋ｎ＋ｎ~ → ｐ＋ｎ＋ｎ＋ｎ~の両辺で,全く同じ運動量を持つ共通な真ん中の２つの中性子(ｎ＋ｎ)を両辺から取り除くと,この４体反応は２体反応:ｐ＋ｎ~ → ｐ＋ｎ~に帰着します。

この２体反応での粒子の４元運動量は順にｐ₁,－ｐ₂',ｐ₁',－ｐ₂となっています。

一方,これとは別に４元運動量ベクトルがそれぞれｑ₁,ｑ₂,ｑ₁',ｑ₂'の一般的な２体反応:ｐ＋ｎ~ → ｐ＋ｎ~の散乱振幅をＡ^Ⅱ(ｑ₁,ｑ₂,ｑ₁',ｑ₂')と定義します。

交叉対称性というのは,元の２体反応ｐ＋ｎ → ｐ＋ｎから上述の"同値変形"によって得られる２体反応ｐ＋ｎ~ → ｐ＋ｎ~の散乱振幅が,実質的に元の反応のそれと同じものと見なせるという性質のことです。

すなわち,交叉対称性は,散乱振幅に関して等式Ａ^Ⅰ(ｐ₁,ｐ₂,ｐ₁',ｐ₂')＝Ａ^Ⅱ(ｐ₁,－ｐ₂',ｐ₁',－ｐ₂)が成立することと定義されます。

しかし,同値変形で得られた交叉反応ｐ＋ｎ~ → ｐ＋ｎ~の方の物理的領域は,一般に元の反応ｐ＋ｎ → ｐ＋ｎの物理的領域とは異なっています。

物理的領域というのは,反応が物理的,つまり現実に可能であるための条件ですが,ｐ＋ｎ~ → ｐ＋ｎ~では(ｑ₁,ｑ₂,ｑ₁',ｑ₂')≡(ｐ₁,－ｐ₂',ｐ₁',－ｐ₂)で定義された変数(ｑ₁,ｑ₂,ｑ₁',ｑ₂')の満たすべき条件として与えられるはずです。

そして,これを元の反応に対する不変変数ｓ,ｔ,ｕの満たすべき条件として表わすために,逆に(ｐ₁,ｐ₂,ｐ₁',ｐ₂')＝(ｑ₁,－ｑ₂',ｑ₁',－ｑ₂)と書けば,ｓ＝(ｐ₁＋ｐ₂)²＝(ｑ₁－ｑ₂')²,ｔ＝(ｐ₁－ｐ₁')²＝(ｑ₁－ｑ₁')²,ｕ＝(ｐ₁－ｐ₂')²＝(ｑ₁＋ｑ₂)²となります。