S行列とレッジェ理論(8)

前回の相対論的運動学の続きです。 

　一般反応をａ₁＋ａ₂ → ａ₃＋ａ₄とし,粒子ａ₁,ａ₂,ａ₃,ａ₄の質量を,それぞれｍ₁,ｍ₂,ｍ₃,ｍ₄,そして４元運動量を,それぞれｐ₁,ｐ₂,－ｐ₃,－ｐ₄とします。 

　このとき,保存則はｐ₁＋ｐ₂＋ｐ₃＋ｐ₄＝0 となります。

　また,運動学の不変式,不変量はｐ₁²＝ｍ₁²,ｐ₂²＝ｍ₂²,ｐ₃²＝ｍ₃²,ｐ₄²＝ｍ₄²,およびｓ＝(ｐ₁＋ｐ₂)²＝(ｐ₃＋ｐ₄)²,ｔ＝(ｐ₁＋ｐ₃)²＝(ｐ₂＋ｐ₄)²,ｕ＝(ｐ₁＋ｐ₄)²＝(ｐ₂＋ｐ₃)²と表現されます。

　ｓ,ｔ,ｕに対する拘束条件は,ｓ＋ｔ＋ｕ＝ｍ₁²＋ｍ₂²＋ｍ₃²＋ｍ₄²となります。 

こうした反応で,４つの質量ｍ₁,ｍ₂,ｍ₃,ｍ₄が全く任意の場合には,物理的領域の境界を見ることは,かなり複雑になります。

しかし,先に見たように３つの物理的領域が,ある３次の代数曲線Ｃの分枝で境界されていることは確かなことです。この曲線Ｃは近似的には次のとても簡単なルールに従って描くことができます。 

１. ３つの軸ｓ＝0,ｔ＝0,ｕ＝ 0 を引く。これらの軸は少なくとも１点でＣを切る漸近線である。そして,この３直線で作られる三角形の高さはｍ₁²＋ｍ₂²＋ｍ₃²＋ｍ₄²である。 

２. 次の12個の直線を引く。これはｓ＝(ｍ₁±ｍ₂)²,ｓ＝(ｍ₃±ｍ₄)²,ｔ＝(ｍ₁±ｍ₃)²,ｔ＝(ｍ₂±ｍ₄)²,ｕ＝(ｍ₁±ｍ₄)²,ｕ＝(ｍ₂±ｍ₃)²の12本である。

これらの全てはＣの勾配であり,それらが一致しない場合には交叉しない。一致するのは,Ｃ自身と∀ｍ≠0 で交叉するときで,２重交点を通ってのみ通過する場合である。 

　各２重交点によって３つの一致するラインのペアが存在する。

３. この曲線は３つの無限分枝と中心blobを有する。最低閾値を持った分枝は,その漸近線やより高い閾値の分枝,第３の分枝を切る。

４. ２つの２重交点があればＣは双曲線と直線とに分解される。 

５. ３つの２重交点があればＣは３つの直線に分離する。 

６. ２重交点が３つより多い場合,どんな直線も中心blobを含まない。

第１の例として,陽子-中性子散乱を考えて物理的領域を再決定します。ここでも両者の質量差を無視します。

このときは,12個の直線は２つずつ一致して,３つの２重交点があります。そして,"５. ３つの２重点があればＣは３つの直線に分離する"の通りに,Ｃは３つの直線ｓ＝0,ｔ＝0,ｕ＝0 に分解されます。

以下,陽子-中性子散乱の３つの物理敵領域については,既に考察済みなので割愛します。

第２の例として,π中間子－核子散乱の物理的領域を決定します。

π,核子Ｎのそれぞれの質量をμ,ｍとし,まずルール通りに高さが,2ｍ²＋2μ²の三角形を描きます。そして,核子を１と３に,πを２と４に取ります。

ｓ＝0 に平行な勾配はｓ＝(ｍ±μ)²の２本です。そこで,少なくとも２つの２重交点があります。ｕの交叉反応は２と４の交換で,ｕ＝(ｍ±μ)²の２本も交叉チャンネルと同じです。 

もう１種類の反応は,Ｎ＋Ｎ~→π＋π (１＋３→２＋４)です。これに関する平行勾配はｔ＝0,t＝4μ²,ｔ＝4ｍ²で２重交点はｔ＝0 上でｓ＝(ｍ＋μ)²,ｕ＝(ｍ－μ)²,およびｓ＝(ｍ－μ)²,ｕ＝(ｍ＋μ)²にあります。 

曲線Ｃは境界直線ｔ＝0 を２つの物理的領域の境界に分割し,ｓ＝0,ｕ＝0 を漸近線とする双曲線であり,各々の分枝はそれぞれ,t＝4μ²とｔ＝4ｍ²の12直線との２重交点を通ります。

中心blobというのは,t＝4μ²を通る分枝がｔ＝0 を切って,0＜ｔ＜4μ²の部分です。 

第３の例は,Ｋ中間子の３体崩壊Ｋ → π＋μ＋ν~(ｐ₁ → ｐ₃＋ｐ₄＋ｐ₂)です。ただし,強い相互作用ではなく弱い相互作用の例です。

しかし,ここでは運動学にのみ興味があり,相互作用の種類という動力学にこだわる理由はありません。

Ｋ＋μ~ → π＋ν~(入射エネルギー√ｕ),Ｋ＋ν → π＋μ(入射エネルギー√ｓ),Ｋ＋π~ → μ＋ν~(入射エネルギー√ｔ)の３つの交叉反応が考えられます。

今度は物理域を与える曲線Ｃは真の３次曲線です。ただしニュートリノν~の質量はゼロです。

Ｋ,π,μの質量を同じ記号Ｋ,π,μで表わす標的直線は,ｕ＝(Ｋ±μ)²＝π²,ｕ＝(π±μ)²＝Ｋ²,ｔ＝(Ｋ±π)²＝μ²です。 

この場合は,２重交点にタッチするループがあります。

これは,Dalitz Plotと呼ばれるループです。

こうしたループは１つの粒子が物理的に他の３つに崩壊可能な場合にのみ現れるもので,別にν＝0 に起因するものではなく,もっと一般的な運動学に関係しています。

今日はここまでにします。(実は,この具体的計算の部分は直訳して掲載しただけで,私自身,必ずしも内容を全て理解して書いたわけではありません。サラッと流し読みしてください。) 

参考文献:R.omnes,M.Froissart「Mandelstam Theory and Regge Poles」W.A.Benjamin,Inc,New York(1963)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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