S行列とレッジェ理論(9)

　運動学についての論議に続いて,今回から動力学理論としての相対論的散乱理論に入ります。

既に見たように,交叉する幾つかの反応の物理的散乱振幅は,ある単一の関数Ａ(ｓ,ｔ,ｕ)によって共通に定められると考えられます。しかし,この関数の厳密に意味するところは何でしょうか？

まず,この相対論的に不変な４元スカラーとしての散乱振幅Ａ(ｓ,ｔ,ｕ)を明確に定義して複素数ｓ,ｔ,ｕの複素数値関数としてのＡの解析的性質を調べることにします。

ただし,ここでの話は相対論的散乱の一般論ではなく,強い相互作用を分析することが主題なので,核子やπ中間子の散乱を中心とした話題に限定したいと思います。

簡単のため,既に物理的領域がⅠ:ｓ＞4ｍ²,ｔ＜0,ｕ＜0 ,Ⅱ:ｓ＜0,ｔ＜0,ｕ＞4ｍ²,Ⅲ:ｓ＜0,ｔ＞4ｍ²,ｕ＜0 の３つで与えられることがよくわかっていて,ｓ-チャンネルでの表示では陽子-中性子散乱:ｐ＋ｎ → ｐ＋ｎ (ｐ₁＋ｐ₂ → ｐ₃＋ｐ₄)となる核子の２体散乱の反応から始めます。

既にｓ-チャンネルでの物理的領域Ⅰの反応に対し,非相対論における散乱振幅ｆ^Ⅰ(ｋ²,cosθ)＝ｆ^Ⅰ(ｋ²,Δ²)を導入しました。

これを改めてｆ^Ⅰ(ｓ,ｔ,ｕ)と書くことにします。

この反応の微分断面積はｄσ^Ⅰ/ｄΩ^Ⅰ＝|ｆ^Ⅰ|²で与えられます。

同様に,ｕ-チャンネルでの交叉反応:ｐ＋ｎ~ → ｐ＋ｎ~に対して別の振幅ｆ^Ⅱ(ｓ,ｔ,ｕ)を定義します。もちろん,ここでもｄσ^Ⅱ/ｄΩ^Ⅱ＝|ｆ^Ⅱ|²です。

同じくｔ-チャンネルでの交叉反応:ｐ＋ｐ~ → ｎ＋ｎ~に対して,ｆ^Ⅲ(ｓ,ｔ,ｕ)が定義されて,ｄσ^Ⅲ/ｄΩ^Ⅲ＝|ｆ^Ⅲ|²も成立します。 

しかし,ｆ^Ⅰの代わりに,これに比例した別の量を散乱振幅として採用できる可能性もあります。

例えば,ｇ^Ⅰ≡ｆ^Ⅰ/(2ｋ²)^1/2とすれば,ｔ＝－2ｋ²(1－cosθ)なので,|ｇ^Ⅰ|²＝|ｆ^Ⅰ|²/(2ｋ²)＝(ｄσ/ｄΩ)/(2ｋ²)＝{ｄσ/ｄ(cosθ)}/(4πｋ²)＝(ｄσ/ｄｔ)/(2π)となります。

ところが,同様にして,ｇ^Ⅱ≡ｆ^Ⅱ/(2ｋ_u²)^1/2と定義しても,交叉関係としてｆ^Ⅰ(ｓ,ｔ,ｕ)＝ｆ^Ⅱ(ｓ,ｔ,ｕ)とｇ^Ⅰ(ｓ,ｔ,ｕ)＝ｇ^Ⅱ(ｓ,ｔ,ｕ)が同時に成立することは不可能です。

何故なら,ｆ^Ⅰ＝ｆ^Ⅱなる等式は,(ｓ－4ｍ²)^1/2ｇ^Ⅰ＝(ｕ－4ｍ²)^1/2ｇ^Ⅱなる等式の成立を意味しますから,ｓ＝ｕでない限り,ｆ^Ⅰ＝ｆ^Ⅱ,かつｇ^Ⅰ＝ｇ^Ⅱというのは矛盾となるからです。

結局,場の理論においてローレンツ不変な規格化での状態間の散乱を示すＳ行列要素を取る考察から,散乱の不変振幅Ａ(ｓ,t,ｕ)として,ｓ-チャンネルでＡ(ｓ,t,ｕ)≡ｓ^1/2ｆ^Ⅰ(ｋ_Ⅰ²,Δ_Ⅰ²)で与えられる量を採用すべきであることがわかります。

そこで,交叉対称性:Ａ(ｓ,t,ｕ)＝Ａ(ｕ,t,ｓ)はｓ^1/2ｆ^Ⅰ(ｋ_Ⅰ²,Δ_Ⅰ²)＝ｕ^1/2ｆ^Ⅱ(ｋ_Ⅱ²,Δ_Ⅱ²)を意味します。

結局,交叉対称性は,非相対論近似ではＡ(ｓ,t,ｕ)＝ｓ^1/2ｆ^Ⅰ(ｋ_Ⅰ²,Δ_Ⅰ²)＝ｕ^1/2ｆ^Ⅱ(ｋ_Ⅱ²,Δ_Ⅱ²)＝ｔ^1/2ｆ^Ⅲ(ｋ_Ⅲ²,Δ_Ⅲ²)なる等式で表現されます。

ｓ-チャンネルでのｐ-ｎ散乱に話を戻し,特にエネルギーｓ^1/2が十分小さくて,非相対論的なシュレーディンガー方程式に湯川型の局所的ポテンシャルを仮定して散乱境界条件を満たす波動関数を用いて散乱が記述可能な場合を考えます。

これにより,これまで非相対論的散乱理論で得られた知見を相対論的理論,特に不変散乱振幅Ａ(ｓ,t,ｕ)に利用することを考えます。　 

ここで,ポテンシャルＶ(ｒ)はあまり特異ではなく,次のように湯川型の重ね合わせで一般的な積分形で書けるものとします。

すなわち,スペクトルμに対する展開係数をπ(μ)として,ポテンシャルＶ(ｒ)は,Ｖ(ｒ)≡∫_a^∞π(μ){exp(－μｒ)/ｒ}ｄμなる形で与えられるとします。

シュレーディンガー方程式から確立されたｓ-チャンネルでの散乱振幅ｆ^Ⅰ(ｋ²,Δ²)のあらゆる性質は,慣性中心系での運動エネルギーｋ²と運動量遷移ｔ＝－Δ²が共に,ｍ²よりはるかに小さくて非相対論的近似が有効な場合には,Ａ(ｓ,t,ｕ)≡ｓ^1/2ｆ^Ⅰ(ｋ²,Δ²)で与えられる不変散乱振幅においても満足される必要があります。

つまり,非相対論的振幅:ｆ^Ⅰ(ｋ²,Δ²)の性質は,フルな不変振幅Ａ(ｓ,t,ｕ)に反映されるべきであると考えられます。 

そして,ｓ＝4(ｋ²＋ｍ²),ｔ＝－Δ²なので,不変散乱振幅:Ａ(ｓ,t,ｕ)は,ｓ-ｔ平面の３つの物理的領域やある円の内部で示される領域では,ｓとｔの解析関数となり,以下のような特異性を持つと考えられます。 

１.    Ａ(ｓ,t,ｕ)は陽子-中性子(ｐ-ｎ)の１つの束縛状態,または共鳴

である重水素核(deuteron)の存在に対応して,ｓに１つの極を持つ。

　このＡ(ｓ,t,ｕ)のｓの極は,非相対論の散乱振幅ｆ^Ⅰ(ｋ²,Δ²)にお

けるｋ²の極に対応します。すなわち,Ｂ＞0 を重水素核の束縛エネル

ギーとすると,非相対論でのｓの極に対応するｋ²の極はｋ²＝－Ｂで与

えられます。

　ところが,核子の質量をｍとすると,ｐ-ｎ散乱という２体問題を１体

のポテンシャル散乱と見たときの１体の換算質量はｍ/2です。

　一方,我々は非相対論では,ｈ_c＝2ｍ＝1,Ｅ＝ｈ_c²ｋ²/(2ｍ)＝ｋ²なる

単位を採用していたので,２体散乱の相対論的な量としては,このｋ²の

極はｋ²＝－ｍＢとなります。

　つまり,非相対論で用いていた単位では,ｈ_c＝ｍ＝(ｍ/2)×2＝１,Ｅ＝

ｈ_c²ｋ²/ｍ＝ｋ²により,束縛状態のエネルギー準位Ｅ＝－Ｂに対する極

はｋ²＝Ｅ＝－Ｂでした。

　しかし,核子質量ｍに対してのｐ-ｎ散乱では,その換算質量がｍ/2な

ので,ｈ_c＝１はそのままで,質量が1/2ではなく通常のｍ/2となる単位

に戻せば,極ｋ²＝－Ｂはｋ²＝ｍＥ＝－ｍＢとすべきです。

　それ故,これは変数ｓの極としてはｓ＝4(ｋ²＋ｍ²)＝4(ｍ²－ｍＢ)＝

4ｍ(ｍ－Ｂ)となりますが,非相対論的極限を取るなら,Ｂ/ｍ＜＜1とし

ていいので,これをｓ＝4ｍ(ｍ－Ｂ)～(2ｍ－Ｂ)²＝Ｍ²と見なせます。

　ただし,Ｍ≡2ｍ－Ｂは重水素核の質量です。(Ｂは結合エネルギー)

　そこで,このｓの極は系のエネルギーｓ^1/2が重水素核の質量Ｍによる

質量エネルギーＭ(＝Ｍｃ²)に非常に近い値であることを示すものであ

るといえます。

　束縛状態,または共鳴状態が散乱振幅の極として出現するというこの性質は,相対論的散乱振幅でも確かに保持されなければなりません。

　それ故,この極は正確に陽子-中性子系の慣性中心系でのｓ^1/2が重水素核の質量Ｍに等しいとき,つまりｓ＝Ｍ²において生じるものと考えることができます。 

２. Ａ(ｓ,t,ｕ)はｋ²＝0 ,つまりｓ＝4ｍ²に始まる切断を持つ。

　この切断は散乱が可能な十分大きいエネルギーにおいて出現するも

のです。

３. Ａ(ｓ,t,ｕ)はｔ＝－Δ²について実,正の切断を持つ。

　実際,ポテンシャルＶ(ｒ)が有効レンジｒ₀の孤立した湯川ポテンシ

ャルを持つとき,すなわちＶ^Ⅰ(ｒ)＝exp(－ｒ/ｒ₀)/ｒ＋∫_b^∞σ'(μ)

{exp(－μｒ)/ｒ}ｄμのときでさえ,Ａ(ｓ,ｔ,ｕ)にはｔの極と切断が

あります。

　ｔ≧ｒ₀^-1なら,ｔ＝ｒ₀^-2 に極を持ちます。また,切断はｔ＝ｂ²から

始まります。

そして,ｔ＝－Δ²より,この領域の近傍でのＡ(ｓ,t,ｕ)のｔについての特異性は,ｆ^Ⅰ(ｋ²,Δ²)におけるΔ²の特異性であり,既述したように極の位置は湯川ポテンシャルの有効レンジ 1/μに関係します。

４. Ａ(ｓ,t,ｕ)はｕにおいてｔの特異性に双対な場所にｕの正の実軸

上の切断と恐らくは極を持つと考えられる。これらの特異性はＶ^Ⅰ(ｒ)

に双対なポテンシャルＶ^Ⅱ(ｒ)の有効レンジに関係する。

今日はここまでにします。 

参考文献:R.omnes,M.Froissart「Mandelstam Theory and Regge Poles」W.A.Benjamin,Inc,New York(1963)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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