S行列とレッジェ理論(12)

前記事の続きです。

今日は不変散乱振幅Ａ(ｓ,ｔ,ｕ)において核子のスピンを無視したπ-Ｎ散乱(π＋Ｎ→π＋Ｎ)を仮定して,いわゆる分散関係を導くことにします。

"Ａ(ｓ,ｔ,ｕ)はｓ,ｔ,ｕの解析関数であって,その特異性は各チャンネルでの中間状態の粒子のエネルギーの閾値に依存するというルールで決まる極と切断のみである。"という散乱振幅に対するマンデルスタームの仮説は,複素変数ｓ,t,ｕの関数としてのＡ(ｓ,ｔ,ｕ)の解析性を与えます。

変数ｔを１つの負の実数値に固定したとき,Ａ(ｓ,ｔ,ｕ)は複素変数ｓのみの関数と考えられます。あるいは同じことですが,ｕ＝2ｍ²＋2μ²－ｔ－ｓの関数と考えることもできます。

このｓあるいはｕの関数の特異性は次のように読み取れます。

１. 点Ｂ:ｓ＝(ｍ＋μ)²から始まってｓ＝＋∞まで走るｓの実軸上の切断がある。(これは実は幾つかの切断の重ね合わせです。しかし,ここではそのことは重要ではありません。)

２. 中間状態として核子１個の状態に対応する極Ｐがその留数ｇ²を持ってｓ＝ｍ²に存在する。

３. もう1つの核子１個の極Ｐ'がｕ＝ｍ²に存在する。

４. 点Ｂ':ｕ＝(ｍ＋μ)²から始まってｕ＝＋∞ まで走るもう１つの切断がｕの実軸上にある。

以前と同じように,振幅をＡ(ｓ,ｔ)≡Ａ(ｓ,ｔ,2ｍ²＋2μ²－ｓ－ｔ)＝Ａ(ｓ,ｔ,ｕ)と置いて,ｔを固定するとこれは複素数ｓだけの関数と見なせます。

このとき,複素ｓ平面上での切断は右切断((ｍ＋μ)²,∞)と左切断(－∞,－(ｍ＋μ)²＋2ｍ²＋2μ²－ｔ)の２つになります。

そして左切断の始まりであるＢ':ｓ＝－(ｍ＋μ)²＋2ｍ²＋2μ²－ｔのすぐ右側に極Ｐ':ｓ＝－ｍ²＋2ｍ²＋2μ²－ｔがあり,右切断の始まりであるＢ:ｓ＝(ｍ＋μ)²のすぐ左側に極Ｐ:ｓ＝ｍ²があります。 

以前Ｎ-Ｎ散乱を想定した複素数ｔに関するマンデルスターム表示を導いたときに考えた複素ｔ平面での特異性と,今のπ-Ｎ散乱での複素ｓ平面での特異性はほとんど同じです。

実軸上の左右の切断を避けて無限遠を反時計回りにまわる閉じた経路で途中２つの極を時計回りにまわるものをＣとして,コーシーの公式を用いると,Ａ(σ,ｔ)＝{1/(2πi)}∫_Cｄｓ'{Ａ(ｓ',ｔ)/(ｓ'－σ)}と表現できます。

そして,Ａ(ｓ',ｔ)の無限遠(|ｓ'|＝∞)での円周上での積分の右辺への寄与を無視すれば,マンデルスターム表示の導出のときと同様にしてＡ(σ,ｔ)＝{ｇ²/(σ－ｍ²)}＋{ｇ²/(Ｕ－ｍ²)}＋{1/(2πi)}∫_(ｍ＋μ)2^∞ｄｓ'[{Ａ(ｓ'＋iε,ｔ)－Ａ(ｓ'－iε,ｔ)}/(ｓ'－σ)]＋{1/(2πi)}∫_(ｍ＋μ)2^∞ｄｕ'[{Ａ(ｕ'＋iε,ｔ)－Ａ(ｕ'－iε,ｔ)}/(ｕ'－Ｕ)]となります。

ここで,Ｕ≡2ｍ²＋2μ²－σ－ｔと置きました。

　さらに,右辺の項:{1/(2πi)}∫_(ｍ＋μ)2^∞ｄｓ'[{Ａ(ｓ'＋iε,ｔ)－Ａ(ｓ'－iε,ｔ)}/(ｓ'－σ)]において,被積分関数の分子に見られる切断上での不連続性:Ａ_s(ｓ,ｔ)≡{Ａ(ｓ＋iε,ｔ)－Ａ(ｓ－iε,ｔ)}/(2i)を考えます。

　ｔが負の実数値のときには物理的領域:(ｍ－μ)²－ｔ＜ｓ＜(ｍ＋μ)²に対しては,振幅Ａ(ｓ,ｔ)は実数ですから,Ａ_s(ｓ,ｔ)＝ImＡ(ｓ,ｔ)です。

　それ故,この項は(1/π)∫_(ｍ＋μ)2^∞ｄｓ'{ImＡ(ｓ',ｔ)/(ｓ'－σ)}と書けます。

なぜなら,一般に実軸上で実数値をとる複素数ｚの関数ｆ(ｚ)は実軸上ではｆ(ｚ^*)＝{ｆ(ｚ)}^*であり,これを解析接続したときの全領域でもこの関係が保持されるので,ｆ(ｘ－iε)＝{ｆ(ｘ＋iε)}^*となりｆ(ｘ＋iε)－ｆ(ｘ－iε)＝2ｉImｆ(ｘ＋iε)が成立すると考えられるからです。

そして,一般に散乱振幅Ａ(ｓ,ｔ)においては,既に非相対論での考察から,ｔ＜0,かつ Reｓ＞(ｍ＋μ)²ではエネルギーｓの虚部が正の領域が物理的シートであることを知っています。

それ故,ｓ＞(ｍ＋μ)²の物理的領域ではＡ(ｓ－iε,ｔ)ではなくＡ(ｓ＋iε,ｔ)の方が散乱振幅Ａ(ｓ,ｔ)と同定されると考えられるからです。

したがって,Ａ(σ,ｔ)＝{ｇ²/(σ－ｍ²)}＋{ｇ²/(Ｕ－ｍ²)}＋(1/π)∫_(ｍ＋μ)2^∞ｄｓ'{ImＡ(ｓ',ｔ)/(ｓ'－σ)}＋(1/π)∫_(ｍ＋μ)2^∞ｄｕ'{ImＡ(ｕ',ｔ)/(ｕ'－Ｕ)}が得られます。

そして,σ＝ｓ＋iεのときにε→＋0 の極限をとる場合,つまりｓが実数のときは振幅Ａ(ｓ＋iε,ｔ)の極限値:lim_ε→＋0Ａ(ｓ＋iε,ｔ)が,現実の振幅Ａ(ｓ,ｔ)を与えると考えられます。

右辺の積分項は被積分関数が適切な連続性を持つならε→＋0 で有限な極限値を持つと思われます。

このとき,一般的に成立する等式Ａ(ｓ,ｔ)＝{ｇ²/(ｓ－ｍ²)}＋{ｇ²/(ｕ－ｍ²)}＋(1/π)∫_(ｍ＋μ)2^∞ｄｓ'{ImＡ(ｓ',ｔ)/(ｓ'－ｓ－iε)}＋(1/π)∫_(ｍ＋μ)2^∞ｄｕ'{ImＡ(ｕ',ｔ)/(ｕ'－ｕ＋iε)}の両辺で実部をとる操作をしてみます。

ここでは,右切断の近傍を考えているので,左切断の寄与を与える項では(1/π)∫_(ｍ＋μ)2^∞ｄｕ'{ImＡ(ｕ',ｔ)/(ｕ'－ｕ＋iε)}＝(1/π)∫_(ｍ＋μ)2^∞ｄｕ'{ImＡ(ｕ',ｔ)/(ｕ'－ｕ)}と書いていいです。

Re(1/π)∫_(ｍ＋μ)2^∞ｄｓ'{ImＡ(ｓ',ｔ)/(ｓ'－ｓ－iε)}＝(1/π)∫_(ｍ＋μ)2^∞ｄｓ'[ImＡ(ｓ',ｔ)(ｓ'－ｓ)/{(ｓ'－ｓ)²＋ε²}]＝(1/π)Ｐ∫_(ｍ＋μ)2^∞ｄｓ'{ImＡ(ｓ',ｔ)/(ｓ'－ｓ)}です。

最右辺のＰはコーシーの主値を示しています。この主値は|ImＡ(ｓ₁,ｔ)－ImＡ(ｓ₂,ｔ)|≦Ｃ|ｓ₁－ｓ₂|^αのような非常に弱い連続性条件の下で存在します。

　したがって最終的な積分関係式 ReＡ(ｓ,ｔ)＝{ｇ²/(ｓ－ｍ²)}＋{ｇ²/(ｕ－ｍ²)}＋(1/π)Ｐ∫_(ｍ＋μ)2^∞ｄｓ'{ImＡ(ｓ',ｔ)/(ｓ'－ｓ)}＋(1/π)∫_(ｍ＋μ)2^∞ｄｕ'{ImＡ(ｕ',ｔ)/(ｕ'－ｕ)}が得られます。これは分散関係として知られています。

　この分散関係式は運動量遷移ｔがゼロのときに特に興味深い形になります。例えばπ^-ｐ散乱を考えてみます。

　光学定理によれば,σ^-(ｓ)をπ^-ｐ散乱の全断面積とするとき,ImＡ(ｓ,0)＝ｋｓ^1/2σ^-(ｓ)/(4π)です。

　同様にｕチャンネルの交叉反応であるπ⁺ｐ散乱からはImＡ(ｕ,0)＝ｑｕ^1/2σ⁺(ｕ)/(4π)が得られます。ここにｋ≡ｋ_s,ｑ≡ｋ_uです。

　一方,前方散乱の微分断面積(ｄσ^-_el/ｄΩ)|_θ=0＝|Ａ(ｓ,0)|²/ｓ＝[ReＡ(ｓ,0)}²/ｓ＋{ImＡ(ｓ,0)}²/ｓから,ReＡ(ｓ,0)が導出されます。そこで分散関係は測定可能な量のみで表現できます。

　ReＡ(ｓ,0)＝{ｇ²/(ｓ－ｍ²)}＋{ｇ²/(ｕ－ｍ²)}＋{1/(4π²)}Ｐ∫_(ｍ＋μ)2^∞ｄｓ'{ｋ'ｓ'^1/2σ^-(ｓ')/(ｓ'－ｓ)}＋{1/(4π²)}∫_(ｍ＋μ)2^∞ｄｕ'{ｑ'ｕ'^1/2σ⁺(ｕ')/(ｕ'－ｕ)}なる表式を得ます。

　ところが,σ^±の実験による測定値はエネルギーの大きい極限で定数に収束することを示しているように見えるため,このケースには右辺の積分は収束しません。

　しかし,分散関係の公式を,Ａ(ｓ,0)に対して書く代わりにある定数値をｓ₀としてＡ(ｓ,0)/(ｓ－ｓ₀)に対してコーシーの公式を書くことにより,この困難は容易に解消できます。

　この公式を実際に求める手続きを行う代わりに,先の積分式が収束すると仮定して単に引き算を行うだけで,この手法による結果が推定されます。

ReＡ(ｓ,0)－ReＡ(ｓ₀,0)＝[ｇ²(ｓ₀－ｓ)/{(ｓ－ｍ²)(ｓ₀－ｍ²)}]＋[ｇ²(ｕ₀－ｕ)/{(ｕ－ｍ²)(ｕ₀－ｍ²)}]＋{(ｓ－ｓ₀)/(4π²)}Ｐ∫_(ｍ＋μ)2^∞ｄｓ'[ｋ'ｓ'^1/2σ^-(ｓ')/{(ｓ'－ｓ)(ｓ'－ｓ₀)}]＋{(ｓ₀－ｓ)/(4π²)}∫_(ｍ＋μ)2^∞ｄｕ'[ｑ'ｕ'^1/2σ⁺(ｕ')/{(ｕ'－ｕ)(ｕ'－ｕ₀)}]です。

　上の手法は引き算法として知られています。そして最終関係式はこれも分散関係と呼ばれますが,この式を陽子ｐにスピン1/2があることを考慮して補正したものは,実際の実験結果と比較してかなり精度の良い一致を示しています。

　しかし,一般に分散関係をゼロ(＝前方散乱)とは異なるｔの値に対して実用的に用いるというのはとても難しい問題です。

　実際,その際にはImＡ(ｓ,ｔ)を測定から決定する必要がありますが測定可能なのは物理的領域のみであり,非物理的領域での値は直接的方法ではわかりません。

そこでＡ(ｓ,ｔ)のルジャンドル多項式による展開を用いて位相のずれδ_l(ｓ)に対して物理的領域からの外挿がなされ,それによって非物理的領域でのImＡ(ｓ,ｔ)が表現されるような工夫がなされましたが,これは実験的測定でのかなりの大きさの不確実性を含んでいます。

最後に,ｔがゼロの近傍についてのπ-Ｎ散乱の分散関係は場の量子論の厳密な意味では,いわゆる因果性原理を用いた公理論的場理論から証明されています。

そこで上で導出した分散関係式は仮説に過ぎないマンデルスターム理論よりも堅固な理論的基礎に基づいているといえます。

当面の目的が達せられたので,今日はこれくらいにします。

参考文献:R.omnes,M.Froissart「Mandelstam Theory and Regge Poles」W.A.Benjamin,Inc,New York(1963)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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