無限次元ヒルベルト空間

　ちょっと前にEMANさんのボードで話題になっていて,私のブログ

　でも数人がコメントを寄せて論じ合っている量子論の状態空間

　に関する話題では,私自身に説明が求められているようです。

　しかし私自身がそうした話について.完全にスッキリしていると

　いうわけではないし,かなり本質的な話題なので現時点での認識

　を覚書き程度に書いておきます。 

　量子論では,物理系の状態は,Hilbert(ヒルベルト)空間:Ｈ の,

　ある規格化可能なベクトルとして記述されます。

　そして一般に量子力学では,Ｈ は可分(separable)な空間である

　とされています。

　可分とは,一般に位相空間が与えられているとき,それが可算で稠密

　な部分空間を含むことをいいます。

　例えば,実数集合:Ｒは,可算稠密な部分集合として有理数集合:Ｑを

　含むので距離空間として可分です。

　状態ベクトルの空間が,可分ということは,その空間には高々可算個

　の基底ベクトルが存在して,任意の状態は,必ずそれらの高々可算個

　の重ね合わせ(1次結合)で,いくらでも精密に近似できることを意味

　します。

　これは,事実上,任意のベクトルが可算基底で展開できるという意味

　に取れます。

　一方,2006年８/19の記事;「スペクトル展開と超関数(量子力学) 」

　や,2006年12/14の過去記事:

　「演算子のスペククトル展開の例(空洞光子の量子場）」,

　そして,最近の2007年８/８の「量子力学の基礎(表示の話)(1)」

　で書いたように,

　関数解析の,"Riesz(リース)の表現定理"や,演算子(作用素)の

　"スペクトル展開定理"というものがあります。

　それらは,物理量を表わす演算子の固有ベクトル全体が完全系を

　作っていて,その固有ベクトル全体を直交基底として任意の状態

　ベクトルを展開できるという定理です。

　しかし位置座標や運動量・エネルギーを表示対象の物理量とした

　場合,それらの固有値は一般に連続的な値を取り,基底をなすと見

　える固有ベクトルの個数は一般に可算個ではなく非可算個である

　ということになります。

　しかし,こうした連続固有値に属する"ベクトル"は,固有ベクトル

　とは呼んでいるものの,これらの"線スペクトル"は,

　先に,"物理系の状態はヒルベルト空間Ｈ のある規格化可能な

　ベクトルとして記述されます。"と書いた条件,

　を満足していません。

　これらは,規格化可能ではなく,ノルムとして無限大の大きさを

　持ちますから,Ｈ に属するべクトルでさえないので,物理的状態

　とは云えない,ということになります。 

　そして,2007年５/24の記事:

　「有限な１次元空間に限定された運動量演算子」では,私自身が

　"物理的状態としての境界条件を満たさないような固有ベクトル

　で展開できたとしても,それに何の意味があるのか？"と書いて

　言及しています。

　要するに,

　連続スペクトルによる積分展開形式というのは,必ずしも物理

　的状態による展開ではなく,状態空間が可分なヒルベルト空間

　であるなら,もしも本質的な意味で物理的状態のみで展開しよ

　うとするなら,基底は可算個で十分である,ということになる

　はずです。

　つまり,台のLebesgue測度がゼロの超関数のような存在を認めない

　なら,そもそも位置座標や運動量・エネルギーというような

　"連続固有値を持つ"と見える物理量は,実は,

　"Hilbert空間:Ｈ においては全く固有値を持たない。"

　とさえ云えるわけです。

　EMANさんのボードで,hirotaさんもその証明を書かれておられる

　ように,

　"連続(非可算)固有ベクトルによる積分スペクトル展開が存在する

　ことは,可分であるということと矛盾するものではない。"

　ということがわかっています。

　つまり,任意の状態を示す波は,形式上は"ある点で大きさ無限大

　の確率密度を持つ波,あるいはノルムが無限大の波の積分として

　連続個,非可算個のスペクトルに展開されているように見えます。

　しかし,これらのスペクトルを有限な大きさの波束とし,正しい

　Hilbert空間:Ｈ の物理的ベクトルの集まりとして構成すれば,

　状態は高々可算個の基底ベクトルの和の形で,正しく展開され,

　表現される,と考えられます。

2007年８/12の記事:「真空のゆらぎ,エネルギー」や,

2007年８/14の記事:「プランクの法則と零点エネルギー」

でも書きましたが,

物理的に許されない無限大のノルムの固有基底のようなものが

出現するのは,

無限大の零点エネルギーや,"紫外発散部分＝くりこみ部分"が

存在するのと同じく,そもそも量子論自体の確率波という性格,

あるいは不確定性原理に根本の原因があると考えられます。

そこで,量子論では,それらを注意深く考察することは避けて通

れない問題だと思われます。

場の理論では時空点における物理量の密度演算子は局所的場の

双1次形式で与えられ,それらが局所的な１点での場の積で与え

られる限り超関数としてしか定義できません。

ゆらぎの期待値が無限大になるということは,連続固有値の

１点での固有ベクトルのノルムが無限大になることと無縁

ではありません。

ただ,デルタ関数のように,空間の点の関数として見たとき

１点では無限大ですが,総和すると有限というような性格

を持っています。

(ただし,２乗して積分すると無限大になるので,

Ｌ²-空間のベクトルのノルムというような意味では,

有限ではありませんが。。。)

もっとも,通常の量子力学の状態空間は可分とされていますが,

場の量子論での状態空間(フォック空間)は,そうした連続

スペクトルの物理的状態としての存在をも許していると

いう側面もあるように見えるので,その空間は可分でさえない

と思っています。

　まあ,ここらへんの量子論の本質的問題を考えることで,ときどき

　夢の中でもうなされることがあります。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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