S行列とレッジェ理論(11)

　前記事の続きです。

不変散乱振幅Ａ(ｓ,ｔ,ｕ)において,ｕ＝4ｍ²－ｓ－ｔなので,

Ａ(ｓ,ｔ)≡Ａ(ｓ,ｔ, 4ｍ²－ｓ－ｔ)と置き,ｓを固定してＡを

ｔの複素関数と考えると,複素ｔ平面での物理的領域は,実数ｔ

に関しては,4ｍ²－ｓ＜ｔ＜0 です。

そこで,複素ｔ平面で実軸上の左右の切断:(－∞,－4μ²＋4ｍ²－ｓ),

(4μ²,∞)を避けて,無限遠を反時計回りにまわる閉じた経路で,

途中２つの極ｔ＝μ²とｕ＝4ｍ²－ｓ－ｔ＝μ²:

ｔ＝μ²とｔ＝－μ²－(ｓ－4ｍ²)を時計回りにまわるものをＣとして,

Cauchyの公式を用います。

すると,不変振幅は,

Ａ(ｓ,ｔ)＝{1/(2πi)}∫_Cｄｔ'{Ａ(ｓ,ｔ')/(ｔ'－ｔ)}

と表現できます。

　ただし,Ａ(ｓ,ｔ)はｔ→ ∞ で十分急激にゼロになると仮定します。

　こう仮定すれば複素ｔ平面上の無限大半径の円周上での積分部分の

　右辺への寄与は無視できます。

　そして,Ａ(ｓ,ｔ)の極:ｔ＝μ²とｕ＝4ｍ²－ｓ－ｔ＝μ²の留数の

　右辺の積分への寄与は,単にｇ²/(ｔ－μ²)とｇ²/(ｕ－μ²)です。

　また,積分への右切断からの寄与は,{1/(2πi)}

　×∫_4μ2^∞ｄｔ'[{Ａ(ｓ,ｔ'＋iε)－Ａ(ｓ,ｔ'－iε)}/(ｔ'－ｔ)]

　です。

　そこで,ｔの切断の上での不連続性を,

　Ａ_t(ｓ,ｔ)≡{Ａ(ｓ,ｔ＋iε)－Ａ(ｓ,ｔ－iε)}/(2i)

　で定義すれば,

　この切断の寄与は,

　(1/π)∫_4μ2^∞ｄｔ'{Ａ_t(ｓ,ｔ')/(ｔ'－ｔ)}　と書けます。

　そして左切断からの寄与は,ｔをｕに置き換えるだけで全く同様に

　与えられます。

　それ故,結局,Ａ(ｓ,ｔ,ｕ)＝Ａ(ｓ,ｔ)

　＝{ｇ²/(ｔ－μ²)}＋{ｇ²/(ｕ－μ²)}

　＋(1/π)∫_4μ2^∞ｄｔ'{Ａ_t(ｓ,ｔ')/(ｔ'－ｔ)}

　＋(1/π)∫_4μ2^∞ｄｕ'{Ａ_u(ｓ,ｕ')/(ｕ'－ｕ)}

　と書くことができます。

　こうした積分表示は,最初,S.Mandelstam(マンデルスターム,or

　マンデルシュターム)によって得られたので,Mandelstam表示と

　呼ばれます。

　これによると,極からの寄与は非相対論での湯川ポテンシャルからの

　第一Born近似に類似していることがわかります。

　また,新しい特徴は切断の寄与が不連続性Ａ_t(ｓ,ｔ')と,Ａ_u(ｓ,ｕ')に

　比例していて,その寄与はｔ',またはｕ'の最小値において最大に

　なると考えられることです。

　Ａ(ｓ,ｔ,ｕ)とπ-π散乱振幅の関係を調べることで,不連続性Ａ_tを

　陽に表現することは可能ですが,この方面での理論展開は,G.F.Chew

　らの著書に詳述されており,それらは我々の主題ではないので,こう

　した理論の詳細には入りません。

　Ａ(ｓ,ｔ,ｕ)＝{ｇ²/(ｔ－μ²)}＋{ｇ²/(ｕ－μ²)}

　＋(1/π)∫_4μ2^∞ｄｔ'{Ａ_t(ｓ,ｔ')/(ｔ'－ｔ)}

　＋(1/π)∫_4μ2^∞ｄｕ'{Ａ_u(ｓ,ｕ')/(ｕ'－ｕ)}

　なる表示の興味深い応用としては,

　例えば,この表現からρ中間子のような不安定粒子の交換が

　Ｎ-Ｎ散乱振幅にどのように寄与するかを見ることができる

　ことです。

　ρ中間子は質量が5.5μ程度の２つのπの共鳴であることを思い起

　こすと,仮にρがπと同程度に安定な粒子であると想定した場合は,

　それの核子による粒子交換の効果はπ中間子の交換と同じく,

　Ａ(ｓ,ｔ,ｕ)の１つの極を与えるはずです。

　そこで,振幅の積分表示にとって,ｇ_NNρ²/(ｔ－ｍ_ρ²)なる寄与をす

　ると予測されます。

　しかし,実際にはρは安定ではなく単に不安定な共鳴であるため,

　その質量ｍ_ρは明確には定義できず,振幅はρがやがて分解する２

　つのπに対して,質量がｍの共鳴状態が見出される確率をσ(ｍ²)

　として,これを重みとする質量スペクトルで表現されると思われ

　ます。

そして,σ(ｍ²)は共鳴粒子の安定性を示す確率ですから,

Breit－Wigner関数で与えられると考えられます。

そこで,現実のρの寄与は,ｇ_NNρ²/(ｔ－ｍ_ρ²)ではなく,

∫ｄｍ²{σ(ｍ²)ｇ_NNρ²(ｍ²)/(ｔ－ｍ²)}のような形になる

はずです。

　実際,Ａ(ｓ,ｔ,ｕ)への２つのπの交換の場合の寄与は,先の

　G.F.Chewらの著書によれば,不連続性Ａ_t(ｓ,ｔ')の寄与として

　上述の質量スペクトルσ(ｍ²)による形に非常に近いことがわか

　っています。

　すなわち,Ａ_t(ｓ,ｔ')～πσ(ｔ')ｇ_NNρ²(ｔ')であり,それ故,ｄｔ'

　積分によって確かに∫ｄｍ²{σ(ｍ²)ｇ_NNρ²(ｍ²)/(ｔ－ｍ²)}なる表現

　に一致します。

　次に,こうした不変散乱振幅の積分による表示式の解釈をπ-Ｎ散乱に

　適用します。

Ｎ-Ｎ散乱では,ｓ-チャンネルでの主要な１次の中間状態はπの

１粒子状態であり,それに双対なグラフは丁度それぞれｕチャンネル

とｔ-チャンネルでのπの交換になり,散乱振幅における１粒子の極

が得られました。

これに対して,π-Ｎ散乱(π＋Ｎ→π＋Ｎ)でのｓ-チャンネルのグラ

フでは,中間状態はＮの１粒子状態です。

そして,変数ｓについてはｓ＝(ｍ＋μ)²に始まる弾性切断や

ｓ＝(ｍ＋2μ)²に始まる2π-Ｎチャンネルの非弾性切断があり

ます。

この場合,ｕ-チャンネルでの"交叉反応＝双対"も同じになるので,

ｕの特異性はｓのそれと全く同じです。

そして,π-Ｎ散乱の頂点はＮ-Ｎ散乱と同じなので,反応に伴う対称

性から,極があればその留数はＮ-Ｎ散乱と同じ値ｇ²になります。

　一方,ｔ-チャンネルでの交叉反応はＮ＋Ｎ~→π＋π~ですから,

　強い相互作用での量子数の保存則から,これの中間状態は角運動量

　がゼロ,パリティが偶であることが要求されます。

　これに相当するｔでの１粒子の中間状態(ｓでの１粒子の交換)は

　存在しないため,ｔ-チャンネルには１粒子の極は存在しないとい

　えます。

　しかし,"ｓでの２つのπの交換＝ｔでの2-πの中間状態"のチャン

　ネルは存在可能ですから,ｔの特異性としてｔ＝(2μ)²＝4μ²に始

　まる切断があります。

　ところが,強い相互作用で成立すべき,Isotopic-spin(荷電スピン:

　アイソスピン)の保存が成立しないので,3-πに対応する切断はあり

　ません。

　次に相対論的特徴を見るため,高エネルギー領域での振幅の性質を

　考察します。

　高エネルギーでの最も決定的な事実の１つは,エネルギーが増加す

　るにつれて開いていくチャンネルの数です。

　最初に非弾性反応の弾性反応への影響に着目します。

　このため,ｓチャンネルでの表示から,不変振幅が,

　Ａ(ｓ,ｔ)＝ｓ^1/2ｆ(ｋ²,cosθ)

　＝ｓ^1/2Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)ａ_l(ｓ)Ｐ_l(cosθ)と部分波展開表現できる

　ことを利用します。

　既に以前の記事で見たように,ａ_l(ｓ)は部分波散乱振幅であり,

　部分波ごとの入射波に対する散乱波の比は,位相のずれδ_l(ｓ)

　を用いて,exp{2iδ_l(ｓ)}＝Ｓ_l(ｓ)＝1＋2iｋａ_l(ｓ)なる表現

　で与えられることを知っています。

　そして,このように定義された位相のずれ:δ_l(ｓ)は非弾性散乱では

　実数ではないと考えてよいので,

　一般に,|exp{2iδ_l(ｓ)}|＝|1＋2iｋａ_l(ｓ)|＜1です。

　しかし,散乱のうち弾性散乱部分の微分断面積ｄσ_el/ｄΩは,

　依然としてｄσ_el/ｄΩ＝|ｆ(ｋ²,cosθ)|²＝|Ａ(ｓ,ｔ)|²/ｓ

　なる式で与えられます。

そこで,弾性散乱の総断面積σ_elはLegendre多項式の直交性により,

σ_el＝(4π)Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)|ａ_l(ｓ)|²と表わすことができます。

　他方,非弾性散乱の断面積の部分波成分は,明らかに,

　{1－|1＋2iｋａ_l(ｓ)|²}に比例するはずです。

　実際,散乱に関する他の典型的なテキストを参照することにより,

　非弾性散乱の総断面積は,

　σ_inel＝(π/ｋ²)Σ_l=0^∞(2ｌ＋1){1－|1＋2iｋａ_l(ｓ)|²}

　となることがわかります。

　したがって,全断面積は,σ_tot＝σ_el＋σ_inel

＝(4π/ｋ)Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)Im{ａ_l(ｓ)}

　なる表式で与えられます。

　一方,"散乱角θがゼロの散乱振幅＝前方散乱振幅"は,明らかに

　Ａ(ｓ,0)＝ｓ^1/2Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)ａ_l(ｓ)　と書けます。

　これと,σ_tot＝σ_el＋σ_inel＝(4π/ｋ)Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)Im{ａ_l(ｓ)}

　を比較すると,ImＡ(ｓ,ｔ)|_t=0＝ｋｓ^1/2σ_tot/(4π)が得られます。

　これは,Imｆ(ｋ²,cosθ＝1)＝ｋσ_tot/(4π)と書けば,よく知られた

　"光学定理(Optical Theorem)＝Bohr-Peierl-Placzokの関係式"

そのものです。

　ところで,ｐ-ｐ,ｐ-ｐ~,π-ｐ,Ｋ^±-ｐのような陽子と陽子,

　あるいは陽子と他の素粒子との散乱に対する実際の実験から,

　種々の散乱の全断面積や微分断面積の精密な測定結果が得られ

　ています。

　これら２つの量を比較するとＡ(ｓ,0)の虚部と実部の両方を決める

　ことができます。

　実際,虚部ImＡ(ｓ,0)は光学定理:ImＡ(ｓ,0)＝ｋｓ^1/2σ_tot/(4π)

　により,全断面積σ_totがわかればわかります。

　一方,(ｄσ_el/ｄΩ)|_θ=0＝|Ａ(ｓ,0)|²/ｓ

　＝[{ReＡ(ｓ,0)}²＋{ImＡ(ｓ,0)}²]/ｓなので,

　微分断面積(ｄσ_el/ｄΩ)|_θ=0がわかれば,実部 ReＡ(ｓ,0)も

　わかります。

　上述の実験結果によれば,エネルギーｓの増加と共にImＡ(ｓ,0)は

　増加し,比 ReＡ(ｓ,0)/ImＡ(ｓ,0)は限りなくゼロに近づくことが

　わかっています。

　後者は,ReＡ(ｓ,0)/ImＡ(ｓ,0)

　＝(4π)[Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)Re{ａ_l(ｓ)}]/(ｋσ_tot)→ 0 as ｓ→ ∞

　と表現できます。

　この結果は,ｓ→ ∞のとき,各部分波の振幅ａ_l(ｓ)の実部の虚部に

　対する比がゼロに近づくことを示唆しています。

　振幅のこの性質は,いわゆる光学模型によって理解可能です。

　例えばπ-Ｎ散乱なら有限な広がり(半径)Ｒを持つ核子Ｎを標的に

　してπがｚの向きに高速で,つまり非常に大きい運動量ｐで衝突す

　ると想定します。

　ｐのｚに垂直な成分の不確定性Δｐ_x,Δｐ_yは入射運動量ｐに関係

　なく小さくできます。

　そしてｐ＞＞Ｒ^-1である限り,ｘ,ｙ座標の不確定性は,

　Δｘ＜＜Ｒ,Δｙ＜＜Ｒで与えられます。

　これは波長がＲと比較して十分小さいことを意味しています。

　そこで核子の"中心からπ-中間子の飛跡までの距離＝衝突径数

　"ｂ＝(ｘ²＋ｙ²)^1/2は運動量ｐが十分大きいときには"well-defined"

　であることがわかります。

　核子の拡がり半径がＲなので,ｂがＲより大きいときにはπはＮと

　相互作用しません。

　これはπの軌道角運動量ｌがｐｂに等しいことに着目すれば,

　部分波振幅によって表現できます。

　すなわち,ｌ＞ｐＲならａ_l＝0 と解釈します。

　しかし,ｂ＜Ｒではπは標的を打ち,幾つかの可能なチャンネルが

　開きます。

　こうした高エネルギーでは非弾性衝突があるため,こうしたｌの

　部分波は|1＋2iｋａ_l(ｓ)|＜1 を満たします。

　極端な場合には,{1＋2iｋａ_l}がゼロになり,

　σ_inel＝(π/ｋ²)Σ_l=0^∞(2ｌ＋1){1－|1＋2iｋａ_l|]

　～ (π/ｋ²)Σ_l=0^l=pR(2ｌ＋1)となって,弾性散乱断面積の

　最大値が実現されます。

　この場合は光学の言葉で核子は黒い,つまり黒体であるといいます。

　逆に|1＋2iｋａ_l|＝1のときには核子は透明であるといい,中間的な

　場合には核子は灰色であるといいます。

　そして,黒い核子の場合,ｌ≦ｐＲなるｌについてはａ_l＝i/(2ｋ),

　つまりａ_lは純虚数であり,そこで散乱振幅Ａ(ｓ,ｔ)も純虚数です。

　この場合,σ_inel＝(π/ｋ²)Σ_l=0^l=pR(2ｌ＋1)＝(π/ｐ²)(ｐＲ)²

＝πＲ²で,σ_tot＝(4π/ｋ)Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)Imａ_l

＝(2π/ｋ²)Σ_l=0^l=pR(2ｌ＋1)＝2πＲ²となります。

　したがって,全断面積が非弾性のそれの２倍ですから,弾性散乱の

　断面積と非弾性散乱の断面積が等しいことになります。

　この結果は,古典光学でよく知られていて黒い球体の半径が光の

　波長よりもはるかに大きくて完全吸収するときの,Babinetの原理

　による帰結ですが,球体は吸収するのと同じくらい多くの光を回折

　散乱します。

　このようにして,Ｓ_l＝1＋2iｋａ_l＝0 でも起こる弾性散乱を影散乱

　と呼びます。

　この黒い核子の模型が光学模型であり,先の強い相互作用の実験結果

　から得られた高エネルギーでの散乱振幅の傾向:

　ReＡ(ｓ,0)/ImＡ(ｓ,0)

　＝(4π)[Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)Re{ａ_l(ｓ)}]/(ｋσ_tot)→ 0 as ｓ→ ∞

　は,このモデルでうまく説明できます。

　こういうわけで,散乱振幅がこうした傾向を持つ散乱は回折散乱

　と呼ばれています。

　これらの散乱の特徴としては,全ての弾性散乱が小角度θ～(ｐＲ)^-1

の内部に閉じ込められるため,散乱振幅の角度分布曲線が前方散乱

　(θ～ 0)の部分に,回折ピークと呼ばれる散乱振幅の鋭いピークを

　持つことが挙げられます。

　つまり,吸収されて観測されない非弾性散乱はｌ＜(ｐＲ)でのみ生じ,

　弾性散乱(影散乱)はｌ＞(ｐＲ)でのみ生じますが,不確定性;

　ｌθ～ ｈ＝1 により,散乱振幅が観測される軌道角運動量

　ｌ＞(ｐＲ)は角度θ＜(ｐＲ)^-1に対応するわけです。

振幅Ａ(ｓ,ｔ,ｕ)の高エネルギーでの挙動は,以前に述べた,

"Ａ(ｓ,ｔ,ｕ)はｓ,ｔ,ｕの解析関数であって,その特異性は

各チャンネルでの中間状態の粒子のエネルギーの閾値に依存する,

というルールで決まる極と切断のみである。"というMandelstamの

仮説によって,どのような制限を受けるのでしょうか？

これを明確にするため,再びπ-Ｎ散乱を考察します。

　Mandelstamの仮説は本質的に運動量遷移の切断の位置を固定します。

π-Ｎ散乱では,切断はｔ＝4μ²から始まります。

　そしてこの仮定は与えられたチャンネルでの散乱が,有効レンジ

　が(2μ)^-1よりも小さい湯川ポテンシャルの重ね合わせから生じる

　ものと同じである,ことを述べています。

　この条件から決まるポテンシャルは一般には複素数であり,

　複雑でエネルギーに依存すると考えられますが,有限なレンジを

　持つという性質は非常に高いエネルギー領域においてさえ保持さ

　れます。

　ここで,簡単のために散乱の相互作用ポテンシャルとして,完全な

　湯川ポテンシャルの重ね合わせの代わりに,単一の湯川ポテンシャル

　Ｖ(ｒ)＝ｇ_K²exp(－Ｋｒ/ｒ)を想定します。

　ただし,ｇ_K²はｓの複素関数であるとし,Ｋも定数ではなくエネルギー

　と共に変動して下にＫ＝4μ²なる境界があるとします。

　つまり,Ｋ＞4μ²とします。

　高エネルギーでも,衝突径数ｂには十分意味があると考えられます。

　また,ｐをπ中間子の運動量,Ｅをそのエネルギーとすれば,πの質

　量は無視できるのでｐ²＝Ｅ－Ｖと書けます。

　Ｖは複素数なので,ｐも虚部を持ち,それ故,πの波動関数:

　ψ～ exp(iｐｘ)は,吸収による減衰を示します。

　これは,πから見た総ポテンシャルによって定義される総吸収を

　表現するものです。

　ここで,πから見た総ポテンシャルとは,Ｕ(ｂ)≡∫_-∞^∞Ｖ(ｒ)ｄｚ；

　ｚ²＋ｂ²＝ｒ²によって定義される量のことを意味します。

　かくして,|Ｕ(ｂ)|＜＜１なら,πは相互作用をしないし,

　逆に|Ｕ(ｂ)|＞＞１なら十分な相互作用があることになります。

　Ｕ(ｂ)は,ｇ_K²(ｓ)exp(－Ｋｂ)程度の大きさの量ですから,Ｕ(ｂ)

　がｂ＝Ｒで１に等しくなるように標的の半径Ｒを定義すると,

　これは|ｇ_K²(ｓ)|exp(－ＫＲ)＝1,またはＲ＝(1/Ｋ)log|ｇ_K²(ｓ)|

　を意味します。

　一方,光学模型によれば,このポテンシャルによる散乱の全断面積

　σ_totはπＲ²のオーダーです。

　そこで散乱の全断面積の可能な値を決めるためには,ｇ_K²(ｓ)の挙動,

　すなわちｓが大きいときの運動量遷移ｔの切断の上での散乱振幅の

　不連続性Ａ_tの可能な挙動を知る必要があります。

　なぜなら,ｇ_K²(ｓ)は不連続性Ａ_tの切断全体での平均だからです。

　通常,全振幅Ａ(ｓ,ｔ,ｕ),あるいは不連続性Ａ_t(ｓ,ｔ)はｓ→∞

　のときに,ｓのある固定ベキ:ｓ^ｎよりも急激には増加しない,

　と仮定されています。

　この仮定は,後述するような分散関係が成立するために必要とされる

　仮定です。

　そして,これが成立するならlog|ｇ_K²(ｓ)|は,高々,ｎlogｓの

　オーダーの量ですから,Ｒ～(ｎ/Ｋ)logｓでありσ_tot～πＲ²

によってσ_tot ～ (定数)×(logｓ)²と見積もることができます。

　そこで,Mandelstamの仮説,および,ｓ→ ∞のとき,Ａ_t(ｓ,ｔ)が

　s^ｎより急激には増加しないという仮定は,散乱断面積の漸近的挙動

　に強い制限を与えます。

　これは,散乱の総断面積は入射粒子のエネルギーｓの対数の平方より

　急激には増加できないという制限:σ_tot～ (定数)×(logｓ)²です。

これから,光学定理ImＡ(ｓ,0)＝ｋｓ^1/2σ_tot/(4π)を使用して,

ReＡ(ｓ,0)が常にImＡ(ｓ,0)より小さいとすれば,ｓ→ ∞のとき,

前方散乱振幅Ａ(ｓ,0)が次のような挙動をすることがわかります。

すなわち,Ａ(ｓ,0)～(定数)×ｓ(logｓ)²です。

　この最終形式は,理論に厳密な無矛盾性の要求を突きつけます。

　ｔ-チャンネルには１より大きい角運動量ｌ,例えばｌ＝2の束縛

　状態が存在すると考えられます。

　そして,Ｍをこの状態の質量とします。

　あらゆる散乱粒子は同じ質量μを持つとすれば,

　Ａ(ｓ,ｔ)＝{Ｇ²Ｐ₂(cosθ_t)/(ｔ－Ｍ²)}＋(正則項)であり,

　cosθ_t＝1＋{2ｓ/(ｔ－4μ²)}です。

　そして,Ｐ₂(ｘ)＝(3ｘ²－1)/2ですから,ｓ→ ∞ のとき右辺で

　極を与える項は,(6Ｇ²ｓ²)/{(ｔ－Ｍ²)(ｔ－4μ²)²}となります。

　そこで,Ａ(ｓ,ｔ)はｔがＭ²に十分近くて,この極の周辺項が

　支配的なとき,ｓ²に比例して増大します。

　したがって,ｓ-チャンネルとｔ-チャンネルの物理的領域が共存

　できて,そこで接続されると想定できる境界領域で,先の漸近的な

　挙動:Ａ(ｓ,0) ～ (定数)×ｓ(logｓ)²と,たった今,求めた挙動:

　Ａ(ｓ,ｔ)～(6Ｇ²ｓ²)/{(ｔ－Ｍ²)(ｔ－4μ²)²}が一致することが

　要求されます。

　そして,この無矛盾性の要求が満たされるためには,Ａ(ｓ,ｔ)への

　極の項の寄与と,ｔ切断の寄与との間にある種の相殺が生じる必要

　があります。

　そして後述するように,レッジェ極(Regge poles)の仮定はこの相殺

　を自動的に与えることがわかります。

　これは,理論的立場から見たRegge極の際立った特徴です。

　とりあえず今日はここまでにします。

(参考文献):

R.omnes,M.Froissart「Mandelstam Theory and Regge Poles」

W.A.Benjamin,Inc,New York(1963),

砂川重信「散乱の量子論」(岩波書店)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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