ローレンツ変換の導出

有名なEMANの物理学の「掲示板(談話室)」において,最近,あまり注目されていませんでしたが,相対論における慣性座標系間の変換について言及する投稿をされておられる方がいました。

これは,電磁気学の方程式の共変性によるのではなく,光速度不変の原理,および最低限の運動学的な条件だけから,慣性座標系間の変換を空間座標や時間の線形変換(１次変換)に限定することなく,一般的に考えてもローレンツ変換に一致するようになるのかどうか？を問題にしておられた投稿です。

これは,かつてのパソコン通信時代のニフティのフォーラムでも,たびたび出ていた話題です。

これが可能なことは,既にいろいろな方により何度も示されていたので,私もよく知ってはいましたが,試しに私的に具体的に示してみよう,という気になりました。

一応,必ずしも光速度が不変である必要はないけれど,有限な限界速度が存在してそれが不変であり,それが今のところは,たまたま光速と一致している,ということを想定した形にしました。

元々,歴史的には時空間の一様性などから,"特殊相対性原理を満たす座標変換は線形変換(１次変換)である"と直感的に設定され,最初からそれを仮定すれば,簡単にローレンツ変換(Lorents transformation)を導くことができます。

そして,実際にそうして得られるローレンツ変換が現実の物理現象と合致することもわかっているので,いまさらという感もありますが,そうした物理的な発想を意識することなく,数学であると考え,変換の不変式などの条件から数式的な考察で導出してみます。

まず,ある慣性座標系Ｓ:Ｏ-ｘｙｚ-ｔ系と,これに対してＳ系から見て相対的に等速度ｖで運動している別の慣性座標系Ｓ':Ｏ'-ｘ'ｙ'ｚ'-ｔ'系を考えます。

そして,(ｘ,ｙ,ｚ,ｔ)を(ｘ,ｔ),(ｘ',ｙ',ｚ',ｔ')を(ｘ',ｔ')と書くことにします。

これらの座標系で,全く同一の"事象(event)＝時空点"がＳ系では座標(ｘ,ｔ)で,Ｓ'系では座標(ｘ',ｔ')で与えられるとき,両者の関係式を一般的に導出することが本記事の目的です。

用いるべき条件は,まず第１には,"Ｓ系での時刻ｔ＝0 の瞬間にはＳ系から見てＳ'系の空間部分は完全にＳ系のそれと重なっている。

特にt＝0 の瞬間での原点ｘ＝ｘ'＝0 では,Ｓ'系での時刻もｔ'＝0 でＳ系での時刻ｔ＝0 と一致している"という条件です。

そして第２には,"物理的な速度の大きさには有限な限界が存在して,それは光速,あるいは限界速度ｃで与えられ,この値は如何なる慣性座標系でも同じ値をとる"という,いわゆる"光速度不変の原理,あるいは限界速度不変の原理,が成立する"ことを仮定します。

さらに,第３の条件は,

"Ｓ'系で常に空間座標系に張り付いて共に運動している,Ｓ'系に静止して固定されている全ての点:(ｘ'(ｔ'),ｔ')＝(ｘ',ｔ')は,

ｄｘ'/ｄｔ'＝0,あるいはｄｘ'＝0 を満たしていますが,

これに対応する点のＳ系での時系列としての軌跡:(ｘ(ｔ),ｔ)は,

ｄｘ/ｄｔ＝ｖ,あるいはｄｘ＝ｖｄｔで与えられる",

というものです。

ここで,後の便宜上,ｖ≡|ｖ|,β≡ｖ/ｃと置きます。

そして,簡単のためにＸ≡ｘ,Ｔ≡ｃｔ；Ｘ'≡ｘ',Ｔ'≡ｃｔ'と表記します。

また,未知の座標変換の変換式をＸ'＝ｆ(Ｘ,Ｔ),Ｔ'＝ｇ(Ｘ,Ｔ)という関数形で書いておきます。

光速(限界速)をｃとすると,時刻Ｔ＝Ｔ₀にＸ＝Ｘ₀を通る光の軌跡は|Ｘ―Ｘ₀|＝Ｔ－Ｔ₀を満たしますが,限界速度ｃが不変である,という条件から,Ｓ'系でも|Ｘ'―Ｘ₀'|＝Ｔ'－Ｔ₀',または|ｆ(Ｘ,Ｔ)－ｆ(Ｘ₀,Ｔ₀)|＝ｇ(Ｘ,Ｔ)－ｇ(Ｘ₀,Ｔ₀)が成立します。

さらに単純化して,Ｓ系のｘ軸をＳ'系のＳ系に対する相対速度ｖの向きに選び,ｔ＝0 のときにＳ系とＳ'系の空間直交座標の軸は全て一致しているとします。

そして,ｄｘ'＝0 を満たす運動をする点はｄｘ＝ｖｄｔを満たすという条件から,Ｓ'系で座標系に張り付いて固定されたあらゆる点はｄｙ'＝0 を満たしますから,これはｄｙ＝0 に対応します。

そこで,ｔ＝0 でｘ＝ｘ'＝0 のｙｚ面＝ｙ'ｚ'面上に固定された点に対して常にｙ'＝ｙ,ｚ'＝ｚとなりますから,この座標系のｘ軸に沿う相対運動では運動方向に垂直な向きには影響しないと考えます。

そこで座標の変換性としてはｘ座標と時間の２つのパラメータだけを考えれば十分ですから,改めて２次元の座標(ｘ,ｔ)と(ｘ',ｔ')の関係,すなわち(Ｘ,Ｔ)と(Ｘ',Ｔ')の関係だけを考察することに集中します。

そして,(Ｘ',Ｔ')を一般的に(Ｘ,Ｔ)と速度βの関数として,座標変換の変換性を,改めてＸ'＝ｆ(Ｘ,Ｔ;β),Ｔ'＝ｇ(Ｘ,Ｔ;β)なる関数で表現します。

限界速度(光速)が不変であるという条件は,|Ｘ'―Ｘ₀'|＝Ｔ'－Ｔ₀',または|ｆ(Ｘ,Ｔ;β)－ｆ(Ｘ₀,Ｔ₀;β)|＝ｇ(Ｘ,Ｔ;β)－ｇ(Ｘ₀,Ｔ₀;β)と書けます。

これは,ｆ(Ｘ,Ｔ;β)±ｇ(Ｘ,Ｔ;β)＝ｆ(Ｘ₀,Ｔ₀;β)±ｇ(Ｘ₀,Ｔ₀;β)を意味します。

つまり,|Ｘ―Ｘ₀|＝Ｔ－Ｔ₀,またはＸ²－Ｔ²＝Ｘ₀²－Ｔ₀²を満たす光の軌跡:(Ｘ,Ｔ)＝(Ｘ(Ｔ),Ｔ)に対しては,ｆ²(Ｘ(Ｔ),Ｔ;β)－ｇ²(Ｘ(Ｔ),Ｔ;β)＝ｆ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β)－ｇ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β)が成立します。

Ｃ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β)≡ｆ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β)－ｇ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β)と置くと,Ｃ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β)は,定数Ｘ₀,Ｔ₀;βだけの関数ですから,Ｘ,Ｔにはよらない単なる任意定数です。

そこで,これを単にＣ²と書けば,光の軌跡群はＸ'²－Ｔ'²＝ｆ²(Ｘ(Ｔ),Ｔ;β)－ｇ²(Ｘ(Ｔ),Ｔ;β)＝Ｃ²なる双曲線族で与えられることがわかります。

今,Ｆ(Ｘ,Ｔ;β)≡ｆ²(Ｘ,Ｔ;β)－ｇ²(Ｘ,Ｔ;β) によって新しくＸとＴの関数:Ｆを定義します。

このとき,ｄＦ＝(∂Ｆ/∂Ｘ)ｄＸ＋(∂Ｆ/∂Ｔ)ｄＴですが,上に示したように,光の軌跡上ではＦ(Ｘ,Ｔ)＝Ｃ²ですからｄＦ＝0 です,

そこで,Ｘ＝Ｘ₀±(Ｔ－Ｔ₀):ｄＸ＝±ｄＴに対しては常に±(∂Ｆ/∂Ｘ)＋(∂Ｆ/∂Ｔ)＝0 が成立します。このことから,Ｆ(Ｘ,Ｔ;β)はｄＸ＝ｄＴに対しては(Ｘ－Ｔ)だけの関数,ｄＸ＝－ｄＴに対しては(Ｘ＋Ｔ)だけの関数となることがわかります。

すなわち,ある１変数関数φ^±が存在して,光線の上ではＦ(Ｘ₀＋(Ｔ－Ｔ₀),Ｔ;β)＝φ^－(Ｘ－Ｔ;β)＝φ^－(Ｘ₀－Ｔ₀;β)＝Ｃ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β),かつＦ(Ｘ₀－(Ｔ－Ｔ₀),Ｔ;β)＝φ^＋(Ｘ＋Ｔ;β)＝φ^＋(Ｘ₀＋Ｔ₀;β)＝Ｃ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β)と表現することが可能です。

ところが,(Ｘ,Ｔ)を任意の時空点とすると,その点を通過する光線は必ず存在します。つまりＸ±Ｔ＝Ｘ₀±Ｔ₀となるように(Ｘ₀,Ｔ₀)を選べば,いいわけです。このときには(Ｘ,Ｔ)と(Ｘ₀,Ｔ₀)を結ぶ光線が存在可能なのは明らかですね。

したがって,任意の時空点(Ｘ,Ｔ)に対し,Ｘ±Ｔ＝Ｘ₀±Ｔ₀なる(Ｘ₀,Ｔ₀)を取れば,これに関してＦ(Ｘ,Ｔ;β)＝φ^±(Ｘ±Ｔ;β)＝Ｃ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β)が成立します。

Ｘ±Ｔ＝(一定),またはＸ²－Ｔ²＝(一定)の(Ｘ,Ｔ)に対しては共通の(Ｘ₀,Ｔ₀)を与えることができますから,それらの点に共通な値Ｃ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β)はＸ²－Ｔ²のみの関数になります。

結局,ある１変数関数Φによって,Ｆ(Ｘ,Ｔ;β)＝Ｃ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β)＝Φ(Ｘ²－Ｔ²;β)と書くことができるわけです。

言い換えると,Ｘ'²－Ｔ'²＝ｆ²(Ｘ,Ｔ;β)－ｇ²(Ｘ,Ｔ;β)＝Φ(Ｘ²－Ｔ²;β) と書けることになります。

Ｘ＝Ｔ＝0 のときにはＸ'＝Ｔ'＝0 ですから,特にΦ(0;β)＝0 です。また,恒等変換β＝0 の場合には,もちろんＸ²－Ｔ²＝ｆ²(Ｘ,Ｔ;0)－ｇ²(Ｘ,Ｔ;0)＝Φ(Ｘ²－Ｔ²;0)です。または,簡単にいうと,Φ(Ｘ²－Ｔ²;0)＝Ｘ²－Ｔ²です。

一方,ｄＸ'/ｄＴ'＝0:ｄＸ'＝0 に対応する点の軌跡:(Ｘ(Ｔ),Ｔ)はｄＸ/ｄＴ＝β:ｄＸ＝βｄＴを満たすという条件により,Ｘ'＝Ｘ₁'＝(一定)の軌跡はＳ系ではＸ(Ｔ)＝Ｘ₁＋βＴと書けます。

そこで,この軌跡:Ｘ'＝ｆ(Ｘ,Ｔ,β)＝(一定)の上では,ｆ²(Ｘ₁＋βＴ,Ｔ;β)＝ｆ²(Ｘ₁,0;β)です。そして,任意の(Ｘ,Ｔ)に対しても,Ｘ₁≡Ｘ－βＴと置けば,Ｘ'²＝ｆ²(Ｘ,Ｔ;β)＝ｆ²(Ｘ－βＴ,0;β)が得られます。

この等式は,任意の(Ｘ,Ｔ)に対して成立しますから,結局,Ｘ'²＝ｆ²(Ｘ,Ｔ;β)はＸ－βＴだけの関数で表現できることがわかりました。

そして,Ｘ'²－Ｔ'²＝ｆ²(Ｘ,Ｔ;β)－ｇ²(Ｘ,Ｔ;β)＝Φ(Ｘ²－Ｔ²;β)から, 0＝ｆ²(Ｘ,Ｔ;β)－ｆ²(Ｘ－βＴ,0;β)＝Φ(Ｘ²－Ｔ²;β)－Φ((Ｘ－βＴ)²;β)＋ｇ²(Ｘ,Ｔ;β)－ｇ²(Ｘ－βＴ,0;β) です。

そこで,Ｔ'²＝ｇ²(Ｘ,Ｔ;β)＝ｇ²(Ｘ－βＴ,0;β)＋Φ((Ｘ－βＴ)²;β)－Φ(Ｘ²－Ｔ²;β)も成立します。

ところで,Ｘ'²－Ｔ'²＝Φ(Ｘ²－Ｔ²;β)でしたから,Ｘ²－Ｔ²＝Φ^-1(Ｘ'²－Ｔ'²;β)ですが,変換の対称性を考慮すると,明らかにΦ^-1(ξ;β)＝Φ(ξ;－β)なので,Ｘ²－Ｔ²＝Φ(Ｘ'²－Ｔ'²;－β)＝Φ(Φ(Ｘ²－Ｔ²;β);－β)となるはずです。

ところが,Ｓ'系の運動の向きが正反対:β→－β(ｖ→－ｖ)の場合でも,Ｓ系の同一の点(Ｘ,Ｔ)に対応する点(Ｘ',Ｔ')についてＸ'²－Ｔ'²の値は同一であろう,という物理的な考察によれば,Φ(ξ;－β)＝Φ(ξ;β)であると考えられます。

この考察から,Φ(Φ(ξ;β);－β)＝Φ(Φ(ξ;β);β)＝Φ(ξ;η(β)),つまり,Ｘ²－Ｔ²＝Φ(Ｘ²－Ｔ²;η(β))が得られます。

ここでη(β)は速度合成に関わるあるβの関数ですが,とにかく一般にゼロではないので,Φ(Ｘ²－Ｔ²;β)はβには無関係ですから,Φ(Ｘ²－Ｔ²;β)＝Ｘ²－Ｔ²と結論されます。

これで,やっと重要な関係式:Ｘ'²－Ｔ'²＝ｆ²(Ｘ,Ｔ;β)－ｇ²(Ｘ,Ｔ;β)＝Ｘ²－Ｔ²を得ることができました。最初から座標や時間の１次式を仮定していれば,これは苦も無く得られる関係なのですが。。。

これを用いると,Ｔ'²＝ｇ²(Ｘ,Ｔ;β)＝ｇ²(Ｘ－βＴ,0;β)＋Φ((Ｘ－βＴ)²;β)－Φ(Ｘ²－Ｔ²;β)なる関係式は,ｇ²(Ｘ,Ｔ;β)－ｇ²(Ｘ－βＴ,0;β)＝(Ｘ－βＴ)²－Ｘ²＋Ｔ²に帰着します。

この式に,Ｘ＝βＴを代入するとｇ²(βＴ,Ｔ;β)＝(1－β²)Ｔ²が得られます。

ところで,Ｘ'＝Ｘ₁'＝(一定)のＴに沿っての軌跡は,Ｘ(Ｔ)＝Ｘ₁＋βＴでしたが,Ｔ'＝Ｔ₁'＝(一定)のＸに沿っての軌跡Ｔ＝Ｔ(Ｘ)はどのように表現されるのでしょうか？

Ｘ'²－Ｔ'²＝Ｘ²－Ｔ²において,Ｔ'＝Ｔ₁'＝(一定)の軌跡を仮定すると,この上ではＴ'²＝ｇ²(Ｘ,Ｔ;β)＝Ｔ₁'²＝(一定)ですから,ｆ²(Ｘ,Ｔ;β)＝Ｘ'²＝Ｘ²－Ｔ²＋Ｔ₁'²,またはｆ²(Ｘ－βＴ,0;β)＝Ｘ²－Ｔ²＋Ｔ₁'²です。

βを固定すると,左辺はＸ－βＴだけに依存する関数ですが,一見したところ,右辺はＸ－βＴだけの関数には見えません。

そこで,Ｙ≡Ｘ－βＴとして,これをＹで表わすとｆ²(Ｙ,0;β)＝(Ｙ＋βＴ)²－Ｔ²＋Ｔ₁’²となります。βを固定した今の場合,左辺はＹだけの関数です。

Ｙを固定して,Ｔで偏微分すると∂ｆ²(Ｙ,0;β)/∂Ｔ＝2β(Ｙ＋βＴ)－2Ｔ＋ｄＴ₁'²/ｄＴ＝0 となります。つまり,ｄＴ₁’²/ｄＴ＝2Ｔ－2β(Ｙ＋βＴ)＝2Ｔ－2βＸ＝2(Ｔ－βＸ)です。これをＴで積分するとＴ₁'²＝ (Ｔ－βＸ)²＋const.が得られます。

以上から,Ｔ'＝Ｔ₁'＝(一定)のＸに沿っての軌跡は,Ｔ₁を定数としてＴ＝βＸ＋Ｔ₁なる表式で与えられることがわかりました。

よって,ｇ²(Ｘ,βＸ＋Ｔ₁;β)＝Ｔ₁'²＝ｇ²(0,Ｔ₁;β)により,任意の点(Ｘ,Ｔ)に対してｇ²(Ｘ,Ｔ;β)＝ｇ²(0,Ｔ－βＸ;β)が成立します。すなわち,Ｔ'²＝ｇ²(Ｘ,Ｔ;β)はＴ－βＸだけの関数になります。

したがって,ｆ²(Ｘ,Ｔ;β)－ｇ²(Ｘ,Ｔ;β)＝Ｘ²－Ｔ²なる関係はｆ²(Ｘ－βＴ,0;β)－ｇ²(0,Ｔ－βＸ;β)＝Ｘ²－Ｔ²と書き直されます。

これにＴ＝βＸを代入すれば,ｆ²((1－β²)Ｘ,0;β)＝(1－β²)Ｘ²です。また,Ｘ＝βＴを代入すれば,ｇ²(0,(1－β²)Ｔ;β)＝(1－β²)Ｔ²を得ます。

それ故,ｆ(Ｘ,0;β)＝Ｘ/(1－β²)^1/2,ｇ(0,Ｔ;β)＝Ｔ/(1－β²)^1/2,すなわち,ｆ(Ｘ－βＴ,0;β)＝(Ｘ－βＴ)/(1－β²)^1/2,ｇ(0,Ｔ－βＸ;β)＝(Ｔ－βＸ)/(1－β²)^1/2です。

結局,最終的には,Ｘ'＝ｆ(Ｘ,Ｔ,0;β)＝(Ｘ－βＴ)/(1－β²)^1/2,Ｔ'＝ｇ(Ｘ,Ｔ;β)＝(Ｔ－βＸ)/(1－β²)^1/2となります。

すなわち,ｘ'＝(ｘ－ｖｔ)/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2,ｔ'＝(ｔ－ｖｔ/ｃ²)/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2なる最終的な変換式を得ることができました。

これは確かに通常のローレンツ変換です。

こんなのは,すぐできるだろうと簡単に考えていたら,ほぼ１日かかりました。恐らくはもっと簡単にできるトリックなどがあるのでしょうが,関数方程式を立てて地道に解くと大変なことがわかりました。

最近は計算などはほとんどパクリなので,自力で計算する力は歳のせいもあるのか,かなり落ちているようです。

もっとも,物理学とか数学とか,理論が主体の学問は,自分で発見しない限りは所詮,全てパクリの連続で単に誰かが考えて述べたことを追体験するだけですが。。。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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