形式論理学(2)

　形式論理学の続きです。

　以下では,論証の妥当性を論じるのに,全ての場合について真理値を与えて,そのテーブル(表)を調べるという有る意味で真っ正直な真理表を用いる非効率的と思える方法よりも,はるかに効率的でしかも機械的に行なえる真理の木の方法を紹介して説明します。

　例えば"前提がＢ⇒￢Ａ,￢Ｂ⇒Ｃ;結論がＡ⇒Ｃ"という論証が妥当であることは集合{Ｂ⇒￢Ａ,￢Ｂ⇒Ｃ,￢(Ａ⇒Ｃ)}が矛盾することと同等です。

　実際,この論証は妥当で集合は矛盾していますが,これは真理の木という手法では閉じた木になっているという事実によって示されます。

　これはどういう意味かというと,木のてっぺんから末端まで続く経路のなかの,継続したいくつかの分枝のどれにも,それぞれ何らかの文(肯定)とその否定の両方が現われているような木のことです。

真理の木の導入的な説明のために,上に例示した論証の妥当性を対応する集合の元の全てが同時に真となるような場合があるかどうかで確かめる真理の木を作ってみます。

　まず,出発点;startです。１.Ｂ⇒￢Ａ,２.￢Ｂ⇒Ｃ,３.￢(Ａ⇒Ｃ)ですね。

次に第１段階です。startの１と２については,それぞれ真になる場合は１つしかないので,３から始めます。

実はどこから始めても全体として経路が短いか長いかだけの違いですから,始まりはどこでもかまいません。

当然,推論規則として集合論ではド・モルガンの法則(deMorgan's law)とよばれる論理命題は大いに活用します。

つまり,￢(Ａ∧Ｂ)＝￢Ａ∨￢Ｂ,￢(Ａ∨Ｂ)＝￢Ａ∧￢Ｂですね。

その他,否定の否定は肯定である：￢(￢Ａ)＝Ａとか,紛らわしくないときには,￢￢Ａ＝Ａと書きますが,こうした規則を使用します。

そして,１.Ｂ⇒￢Ａ(前提),２.￢Ｂ⇒Ｃ(前提)ですが,３.￢(Ａ⇒Ｃ)から,４.Ａ,５.￢Ｃを得ます。

４,５がどうして得られるのかも考えるのが嫌なら,Ａ⇒Ｂと￢(Ａ∧￢Ｂ)が論理的に同値であることを既に真理表によって示しているので,￢(Ａ⇒Ｃ)はＡ∧￢Ｃと論理的に同値ですから,これも推論規則に含めておいてよいので,これの理由を考える必要がなくなります。

４.Ａ,５. ￢Ｃは４'.Ａ∧￢Ｃとまとめて書いてもいいわけです。

次に第２段階です。１.Ｂ⇒￢Ａ(前提)を考えると,これと同値な言明(は￢(Ｂ∧Ａ)＝￢Ｂ∨￢Ａです。

これは￢Ｂ,または￢Ａであることを意味しますから,ここで木は２つの場合に分岐します。

４.Ａ,５.￢Ｃと６.￢Ａの分枝では,Ａと￢Ａの両方が現われているのでこの経路は閉じています。

つまり,この流れでは共に真になることは有り得ないＡとＡの否定の両方が現われているので,こちらの道では真に到ることに失敗したということで,下にバツ:×を書いてこの道はここで終わりにします。

次に,第３段階です。既に１.Ｂ⇒￢Ａ(前提),２.￢Ｂ⇒Ｃ(前提),３.￢(Ａ⇒Ｃ),４.Ａ,５. ￢Ｃ,６.￢Ｂの分枝しか残っていません。

２.￢Ｂ⇒Ｃ(前提)を考えると,これと同値な言明は￢(￢Ｂ∧￢Ｃ)＝Ｂ∨Ｃです。

これはＢまたはＣを意味しますから,再びＢとＣに分岐しますが,Ｂのほうは６.￢Ｂによって直ちに閉じるし,Ｃの方も５.￢Ｃ,６.￢ＢよりＣと￢Ｃが共存しますから閉じます。

こうして木は完成し,集合{Ｂ⇒￢Ａ,￢Ｂ⇒Ｃ,￢(Ａ⇒Ｃ)}が矛盾することが示されたので,論証:"前提がＢ⇒￢Ａ,￢Ｂ⇒Ｃ;結論がＡ⇒Ｃ"が妥当であることを明示することに成功したわけです。

もちろん,この例のような単純な論証では,むしろ複雑になったと感じるかもしれませんが,これの威力がわかるのはより複雑な論証に適用する場合です。

一方,妥当でない論証:"前提がＡ⇒Ｂ,￢Ａ;結論がＢ"を真理の木でテストをするとどのようになるかを見てみます。

対応する集合は{Ａ⇒Ｂ,￢Ａ,￢Ｂ}です。

Ａ⇒Ｂは￢Ａ∨Ｂと同値です。これを￢Ａ,￢Ｂの後に書くとそこで￢Ａ,￢Ｂ,￢Ａの経路と￢Ａ,￢Ｂ,Ｂの経路に分かれますが,後者は￢ＢとＢがあるので閉じていて,一方は開いたままです。

開いた経路:￢Ａ,￢Ｂ,￢Ａはこれらが同時に真になる場合,つまり反例の存在を意味します。

短かいけれど,今日はここまでにします。

　参考文献:Richard Jeffrey著(戸田山和久 訳)「形式論理学」(その展望と限界)(産業図書)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学