形式論理学(4)

　これまでは文の分析は,文そのものを最小単位とするところで終わっていました。

　今日は,より複雑な論証の分析に耐えられるように,論証を構成する文とその規則を一般化します。

　"ワトソン(Dr.Watson)がモリアーテイ(Pf.Moriarty)を捕まえることができるならホームズ(S.Holmes)にもできる"は,Ｗ⇒Ｈ;"ホームズはモリアーテイを捕らえることができない"は,￢Ｈ;そこで,"ワトソンはモリアーテイを捕まえることができない"は,￢Ｗ;

　のような論証の前提や結論は,単に分析の最小単位となる原子文:Ｗ,Ｈを,⇒ や ￢ といった真理関数的結合子で結合した,いわば"分子"になっています。

上の論証の前提と結論の論理構造は,分析の最小単位となる原子文を示す文字と,原子から分子を作るための括弧,否定記号,条件法を表わす矢印を使って表現されています。

こうした論証の妥当性は,前提と結論が持つ分子構造による妥当性であって,原子文の内部構造はとりあえず無視されていました。

ところが,一般に我々が行う論証の多くは,こうした単純なやり方での分析では手に負えない有機的で複雑な構造を持っています。

"誰であれ,モリアーティを捕まえることができるとしたら,それはホームズだ。";"ホームズはモリアーティをを捕まえることができない。"それ故,"誰もモリアーテイを捕まえることができない。"

という論証を与えたとき,これは今までのような単純な構造になっていないことがわかります。

この論証が妥当であるということを示すためには,分析を原子よりもさらに下のレヴェルまで行なう必要があります。

つまり,原子文を,それ自体が文でも真理関数的結合子でもない構成要素にまで分解して分析しなければなりません。

そこで我々は単純な真理関数的論理に別れを告げることになります。

手始めに前提と結論を既に自由に扱えるようになった論理的表記法と日本語を混ぜた形に直して論理的構造を見やすくしてみます。

"あらゆるｘについて(ｘはモリアーティを捕まえることができる⇒ホームズはモリアーティを捕まえることができる)";"￢(ホームズはモリアーティを捕まえることができる)":それ故,"￢(モリアーティを捕まえることができるようなｘが存在する) "

こうすると,第１の前提と結論に出てくる,"あらゆるｘについて～"とか,"～のようなｘが存在する"に対応する論理的表記法が必要になります。そこで,これらを次のように表わすことにします。

すなわち,"あらゆるｘについて～"を,∀ｘ(普遍量化子,または全称量化子)で,そして,"～のようなｘが存在する"を,∃ｘ(存在量化子)で表現します。

そこで小文字ａ,ｂで,それぞれ,ホームズとモリアティという人称を表わし,大文字のＴを"～は～を捕まえることができる"という関係を表わす句の代わりに用いれば,上に例示した論証は全て論理的表記法で表現することができます。

こうした表記法ではＴａｂなどが原子文になります。この例では,∀ｘ(Ｔｘｂ⇒Ｔａｂ)；￢Ｔａｂ;故に￢∃ｘＴｘｂと表現されます。

こうした∀ｘや∃ｘのような論理的表記におけるｘを,変項と呼ぶことにします。そして,それぞれの論証で変項が表わすことのできるものを集めた集合を,その変項の論議領域といいます。

そして,この論証が妥当であることを示すためには,変項ｘがどのような範囲のものを表わしていようと,つまりｘの論議領域が何から成っていようと,そしてその何かがａ,ｂという名称で指定されていようと,さらにＴなる関係を如何なるものと解釈しようと,論証の前提の全てと結論の否定が同時に真になることは決して有り得ないことを示せばいいわけです。

こうした論証の妥当性もテストできるように真理の木の方法を拡張することを試みます。

まず,論証の前提と結論の否定とをリストアップします。

1.∀ｘ(Ｔｘｂ⇒Ｔａｂ);2.￢Ｔａｂ;3.￢￢∃ｘＴｘｂと書きます。

まず,3.￢￢∃ｘＴｘｂをチェックして,4.∃ｘＴｘｂを得ます。

ところで,1.∀ｘ(Ｔｘｂ⇒Ｔａｂ)において,(Ｔｘｂ⇒Ｔａｂ)の前提は∀ｘなので,ｘが何であっても括弧の中の命題は成り立つはずです。

そこでｘ＝ｂとして,5.Ｔｂｂ⇒Ｔａｂが成立します。

しかし,命題 1.からは,なお,5.とは独立な別の情報をも引き出せる余地があるので,この時点で 1.にチェックをつけることはしません。

この新しい規則を普遍例化(ＵＩ)と呼びます。

そして,5.Ｔｂｂ⇒Ｔａｂは,￢Ｔｂｂ∨Ｔａｂと論理的に同値ですから,このステップで２つに分岐して,6.￢Ｔｂｂ,Ｔａｂの左右両方の２つの経路になります。

この段階で,6.の右側のＴａｂの分枝は,2.￢Ｔａｂ があるので閉じています。

しかし, 6.の左側の￢Ｔｂｂにつながる分枝は,なお開いています。

一方,4.∃ｘＴｘｂはＴｘｂを成立させる,ある人物ｘが存在することを意味するので,この少なくとも１人の存在する誰かの名称をｃと置いて, 7.Ｔｃｂと書くことができます。

この4.は１度しか使えないので,4.にはチェック印をつけます。この新しい規則は存在例化(ＥＩ)と呼びます。

さらに,1.∀ｘ(Ｔｘｂ⇒Ｔａｂ)をもう１度用いて,ｘ＝ｃとおいて,8.Ｔｃｂ⇒Ｔａｂ,あるいは 8.￢Ｔｃｂ∨Ｔａｂと書くことができますから,9.￢Ｔｃｂ,Ｔａｂと展開できます。

これで9.の左側の分枝:￢Ｔｃｂは 7.Ｔｃｂ によって閉じます。

また,9.の右の分枝:Ｔａｂも再び 2.￢Ｔａｂ によって閉じます。

以上で木のあらゆる経路＝分枝は全て閉じて,全体として閉じた木になるため,例として出された論証の妥当性は真理の木によって証明されました。

したがって,真理の木による妥当性検証の方法は量化子と変項を含んだ一般的な論証に対しても拡張適用が可能なことがわかりました。

内部構造を有する原子文は一般にＭａ,Ｔａｂ,Ｒａｂｃ，..などの形をとります。

そこで我々は在庫として,まず個体の名称,原子文を表わす文字(文記号),そして個体の持つ属性を表わす記号:２つの個体,３つの個体,あるいはそれ以上の数の個体の間に成り立つ関係を表わす記号を持つ必要があります。

特定の論証を分析するには,こうした記号は有限個あれば足ります。

しかし,我々が出会うあらゆる論証を分析するには一体どれだけの記号が必要であるかわかりません。

とにかく今のところは,アルファベットの小文字を名称に使い,これを大文字の後に続けて書くことで文を作ることにします。

この大文字の方は述語と呼びます。

0-項述語とは原子文を表わす文字・文記号の別の言い方です。

１項述語とは,変項ｘの値に成れるもの,つまり個体の属性を表わしています。

こうして例えばＭなる属性を文にするためには,１つの個体を示す名称＝小文字が必要でＭａと書けば文になります。

同様に２項述語:Ｔ,３項述語:Ｒはそれぞれ２つ,３つの個体の間の関係を表わします。すなわち,Ｔａｂ,Ｒａｂｃです。

同様に,一般に任意の非負整数ｎについてｎ項述語が定義できます。

かくして,論理形式に適した文の新しい形成規則としては,出発点となる文の範囲(0)をやや拡張し,与えられている文から新しい文を作るための方法を定める規則:1～5 に,量化子∀,∃を扱う規則;6を追加したもので与えられることになります。

0：出発点.任意のｎ項述語の後ろにｎ個の名称を続けたものは文である。（ｎ＝２の場合の例：Ｔａｂ,Ｔｂｂは文です。しかし,Ｔｘｂは文ではありません。ｘは変項であって名称(名前)ではないからです。）

※新しい文を生み出す６つの操作　

　1：否定.任意の文の先頭に ￢ をつける。

　2：連言：２つ以上の任意の文の列において隣り合う文の間に∧を書き,そうしてできたものを括弧でくくる。

　3：選言：２つ以上の任意の文の列おいて隣り合う文の間に∨を書き,そうしてできたものを括弧でくくる。

　4：条件. 任意の２つの文の間に⇒を書き,そうしてできたものを括弧でくくる。

　5：双条件. 任意の２つの文の間に ⇔ を書き,そうしてできたものを括弧でくくる。

　6：量化.何らかの名称ｒが現われているが変項が現われない全ての文,..ｒ..において,ｒが現われる全ての箇所をｘで置き換え,先頭に ∀ｘ,または ∃ｘを付ける。

　後にさらに改定した規則を与えるまでの間は,規則:0～6 から得られるもの以外に文であるようなものは存在しないとします。

　今日はここまでにします。

　参考文献:Richard Jeffrey著(戸田山和久 訳)「形式論理学」(その展望と限界)(産業図書)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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