光線の湾曲(一般相対論)

現在,EMANさんが「趣味で物理学」に続いて「趣味で相対論」という本の出版を計画しているらしいこともあり,EMANさんのボードやT_NAKAさんのブログなどで一般相対論が話題にあがることが多いようです。

そういえば,退院直後の2007年４月27日の私のブログ記事「シュヴァルツシルト時空内の測地線(惑星の公転軌道）」やそれに続く４月29日の記事「惑星の近日点の移動」で関連した話題を取り上げました。

しかし,太陽付近を通過する光線の太陽の重力による湾曲についての計算はまだやってなかったなと思い出しました。

しかし,実は４月27日の記事での惑星の公転軌道の計算結果で,惑星を光に置き換え,その質量をゼロとするという簡単な修正を行なうだけで,直ちにこの問題が解けることに気づきました。

そこで,ちょっと手抜きですが４月27日の記事を再掲して一般相対性理論に従って太陽重力による光線の湾曲の角度を計算してみます。

まず,2007年４/27の記事「シュヴァルツシルト時空内の測地線(惑星の公転軌道）」を再掲します。

※(再掲開始)

　ニュートン力学では,太陽と１つの惑星だけの２体問題を想定して惑星の近似的な公転軌道を求めるという昔から有名な問題があります。

　すなわち,太陽は１点に固定されて対象とする惑星よりもはるかに大きい質量を持つ不動点であり,一方惑星は質点であるという近似の下で,太陽と惑星の間には万有引力と呼ばれる重力のみが働く,という想定でニュートンの運動方程式の解としての公転軌道を求める問題ですね。

　この解は,太陽に近いという通常の初期条件の下では,いわゆるケプラーの法則(Kepler's law)に従う楕円軌道になりますが,こうした計算問題は,通常は大学初年級での力学の演習で学ぶと思われます。

　しかし,最近ニフティ(@nifty)から移動して新装開店したfolomy「物理フォーラム」の「相対論の部屋」で次のような質問を受けました。

　"ケプラー運動を一般相対論で計算したいのですが,どうすればいいのでしょうか？"という内容の質問でした。

　これは大げさだなとは思いましたが,

"とりあえず太陽中心を中心と考えて,球対称で静的な解であるシュヴァルツシルト解を採用して,その計量でシュヴァルツシルト半径より外側の点であるという初期条件の下での質点の測地線を計算することによって軌道を求めたらどうか？"

　と答えたのですが,その後,まったく音信不通でした。

　そこで,クリストッフェルの記号の計算などが面倒だとは思いましたが,それは普通,重力場のシュヴァルツシルト解を求める際に得られるものなので,こうしたクリストッフェルの記号などについては,相対論の参考書をフルに参照しながら微分方程式を導き,これを自分で解いてみようと思います。 

　そもそも重力が弱いとき,ニュートンの万有引力の法則に近似的に一致するシュヴァルツシルト時空(シュワルツシルト時空)の計量(metric)を実際に書き下すと,ｄｓ²＝ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^ν＝(1－2ｍ/ｒ)ｃ²ｄｔ²－ｄｒ²/(1－2ｍ/ｒ)－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)となります。

　ここで,ｘ^μ＝(ｘ⁰,ｘ¹,ｘ²,ｘ³)≡(ｃｔ,ｒ,θ,φ)ですが,これは極座標で表わした時空の座標です。また,2ｍ＝2ＧＭ/ｃ²はシュヴァルツシルト半径を示しています。Ｇは万有引力定数でｃは光速,Ｍは今の場合は太陽の質量です。 

　そして,重力場の中での自由粒子の運動を表わす測地線の方程式はλを任意パラメータとしてｄ²ｘ^μ/ｄλ²＋Γ_ρν^μ(ｄｘ^ρ/ｄλ)(ｄｘ^ν/ｄλ)＝0 で与えられます。

　ただし,Γ_ρν^μはクリストッフェル(Christoffel)の記号です。Γ_ρν^μ≡(1/2)ｇ^μσ(ｇ_σρ,ν＋ｇ_σν,ρ－ｇ_ρν,σ)で与えられます。ここで,ｇ_ρν,σ≡∂ｇ_ρν/∂ｘ^σ etc.です。

　光の運動が対象の場合はｄｓ²＝0 ですが,質量を持つ質点の運動の場合はτを固有時としてｄｓ²＝ｃ²ｄτ²と書けます。

　そこで,今の惑星を質点近似する場合なら,λ≡τと置いて測地線の方程式をｄ²ｘ^μ/ｄτ²＋Γ_ρν^μ(ｄｘ^ρ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＝0 と書いてよいことになります。

　そして,計量によりｃ²＝ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)という拘束があります。

　シュヴァルツシルト時空ではゼロでない計量成分は対角成分だけであり,それはｇ₀₀＝(1－2ｍ/ｒ),ｇ₁₁＝－1/(1－2ｍ/ｒ),ｇ₂₂＝－ｒ²,ｇ₃₃＝－ｒ²sin²θです。

　また,ゼロでないクリストッフェルの記号は,Γ₀₁⁰＝Γ₁₀⁰＝(ｍ/ｒ²)/(1－2ｍ/ｒ)＝ｍ/[ｒ(ｒ－2ｍ)],Γ₀₀¹＝{ｍ/ｒ²)(1－2ｍ/ｒ)＝ｍ(ｒ－2ｍ)/ｒ³, Γ₁₁¹＝(－ｍ/ｒ²)/(1－2ｍ/ｒ)＝－ｍ/[ｒ(ｒ－2ｍ)], Γ₂₂¹＝－ｒ(1－2ｍ/ｒ)＝－(ｒ－2ｍ),Γ₃₃¹＝－ｒsin²θ(1－2ｍ/ｒ)＝－(ｒ－2ｍ)sin²θ,Γ₁₂²＝Γ₂₁²＝1/ｒ,Γ₃₃²＝－sinθcosθ,Γ₁₃³＝Γ₃₁³＝1/ｒ,Γ₂₃³＝Γ₃₂³＝cosθ/sinθとだけになります。 

　故に,測地線の方程式は,

(1)ｄ²ｔ/ｄτ²＋[2ｍ/{ｒ(ｒ－2ｍ)}](ｄｔ/ｄτ)(ｄｒ/ｄτ)＝0 ,

(2)ｄ²ｒ/ｄτ²＋[ｃ²ｍ(ｒ－2ｍ)/ｒ³](ｄｔ/ｄτ)²－[ｍ/{ｒ(ｒ－2ｍ)}](ｄｒ/ｄτ)²－(ｒ－2ｍ)(ｄθ/ｄτ)²－(ｒ－2ｍ)sin²θ(ｄφ/ｄτ)²＝0 ,

(3)ｄ²θ/ｄτ²＋(2/ｒ)(ｄｒ/ｄτ)(ｄθ/ｄτ)－sinθcosθ(ｄｒ/ｄτ)(ｄφ/ｄτ)＝0 (4)ｄ²φ/ｄτ²＋(2/ｒ)(ｄｒ/ｄτ)(ｄφ/ｄτ)＋(2cosθ/sinθ)(ｄθ/ｄτ)(ｄφ/ｄτ)＝0 となります。

　また,拘束条件はｃ²＝[ｃ²(ｒ－2ｍ)/ｒ](ｄｔ/ｄτ)²－[ｒ/(ｒ－2ｍ)](ｄｒ/ｄτ)²－ｒ²(ｄθ/ｄτ)²－sin²θ(ｄφ/ｄτ)²です。

　これは単に計量の式:ｄｓ²＝ｃ²ｄτ²＝(1－2ｍ/ｒ)ｃ²ｄｔ²－ｄｒ²/(1－2ｍ/ｒ)－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)を書き直しただけなので,方程式を解く際には積分定数を決めるのに役立つだけです。

　まず,(3)ｄ²θ/ｄτ²＋(2/ｒ)(ｄｒ/ｄτ)(ｄθ/ｄτ)－sinθcosθ(ｄｒ/ｄτ)(ｄφ/ｄτ)＝0 は,あるτにおいてθ＝π/2,ｄθ/ｄτ＝0 という初期条件で解くと,ｄ²θ/ｄτ²＝0 となります。

　結局,常にｄθ/ｄτ＝0 (一定)であり,θ＝π/2(一定)となります。

　すなわち,このような初期条件では"質点＝惑星"の運動は常に,赤道面θ＝π/2という特別な平面内に束縛された運動になります。

そして,θ＝π/2 (一定)を,(4)ｄ²φ/ｄτ²＋(2/ｒ)(ｄｒ/ｄτ)(ｄφ/ｄτ)＋(2cosθ/sinθ)(ｄθ/ｄτ)(ｄφ/ｄτ)＝0 に代入すると,ｄ²φ/ｄτ²＋(2/ｒ)(ｄｒ/ｄτ)(ｄφ/ｄτ)＝0 ,つまり[ｄ(ｒ²ｄφ/ｄτ)/ｄτ]/ｒ²＝0 が得られます。

すなわち,ｄ(ｒ²ｄφ/ｄτ)/ｄτ＝0 なので,ｒ²ｄφ/ｄτ＝ｈ (一定)となります。

これは角運動量の保存則,または面積速度一定の法則を示しています。後者はケプラーの法則の１つです。

一方,(1)ｄ²ｔ/ｄτ²＋[2ｍ/{ｒ(ｒ－2ｍ)}](ｄｔ/ｄτ)(ｄｒ/ｄτ)＝0 にｄｔ/ｄτを掛けると,(1/2)ｄ(ｄｔ/ｄτ)²/ｄτ＋[2ｍ/{ｒ(ｒ－2ｍ)}](ｄｔ/ｄτ)²(ｄｒ/ｄτ)＝0 となります。

そこで,Ａ≡(ｄｔ/ｄτ)²とおけば,ｄＡ/ｄτ＝－[4ｍＡ/{ｒ(ｒ－2ｍ)}](ｄｒ/ｄτ)です。

ｄＡ/Ａ＝－[4ｍ/{ｒ(ｒ－2ｍ)}]ｄｒ＝2[ｄｒ/ｒ－ｄｒ/(ｒ－2ｍ)]より,lnＡ＝2ln[ｒ/(ｒ－2ｍ)]＋const.となります。

つまり,(Ｂ/ｃ)²を適当な積分定数として(ｄｔ/ｄτ)²＝[Ｂ²ｒ²/{ｃ²(ｒ－2ｍ)²}]＝(Ｂ²/ｃ²)/(1－2ｍ/ｒ)²,あるいはｄｔ/ｄτ＝±[Ｂｒ/{ｃ(ｒ－2ｍ)}]＝±(Ｂ/ｃ)/(1－2ｍ/ｒ)を得ます。

最後に,これらを全て(2)ｄ²ｒ/ｄτ²＋[ｃ²ｍ(ｒ－2ｍ)/ｒ³](ｄｔ/ｄτ)²－[ｍ/{ｒ(ｒ－2ｍ)}](ｄｒ/ｄτ)²－(ｒ－2ｍ)(ｄθ/ｄτ)²－(ｒ－2ｍ)sin²θ(ｄφ/ｄτ)²＝0 に代入すると,ｄ²ｒ/ｄτ²＋ｍＢ²/{ｒ(ｒ－2ｍ)}－[ｍ/{ｒ(ｒ－2ｍ)}](ｄｒ/ｄτ)²－ｈ²(ｒ－2ｍ)/ｒ⁴＝0 が得られます。

さらに,この全体に[2/(1－2ｍ/ｒ)](ｄｒ/ｄτ)を掛け,Ｃ≡(ｄｒ/ｄτ)²/(1－2ｍ/ｒ)]と置けば,(ｄ/ｄτ)[Ｃ－Ｂ²/(1－2ｍ/ｒ)＋ｈ²/ｒ²]＝0 です。

したがって,Ｃ－Ｂ²/(1－2ｍ/ｒ)＋ｈ²/ｒ²≡－ε(一定),すなわち,[(ｄｒ/ｄτ)²－Ｂ²]/(1－2ｍ/ｒ)＋ｈ²/ｒ²＝－ε(一定)となります。

そこで,(ｄｒ/ｄτ)²/(1－2ｍ/ｒ)＝－ε－ｈ²/ｒ²＋Ｂ²/(1－2ｍ/ｒ)により,ｄｒ/ｄτ＝±[{(－(ε＋ｈ²/ｒ²)(1－2ｍ/ｒ)＋Ｂ²}^1/2＝±[Ｂ²－ε＋2ｍε/ｒ－ｈ²/ｒ²＋2ｍｈ²/ｒ³]^1/2を得ます。

定数εを決定するために,計量の拘束式ｄｓ²＝ｃ²ｄτ²＝(1－2ｍ/ｒ)ｃ²ｄｔ²－ｄｒ²/(1－2ｍ/ｒ)－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)に,θ＝π/2＝一定とｄθ＝0 ,そしてｄφ/ｄτ＝ｈ²/ｒ²,(ｄｔ/ｄτ)²＝Ｂ²/[ｃ²(1－2ｍ/ｒ)²]を代入します。

すると,ｃ²＝[－(ｄｒ/ｄτ)²＋Ｂ²]/(1－2ｍ/ｒ)－ｈ²/ｒ²となるので,結局ε＝ｃ²であることがわかります。 

したがって,2ｍ＝2ＧＭ/ｃ²を使用するとｄｒ/ｄτ＝±[Ｂ²－ｃ²＋2ＧＭ/ｒ－ｈ²/ｒ²＋2ＧＭｈ²/(ｃ²ｒ³)]^1/2が得られます。

あるいは,これを運動エネルギーを表わす式と考え,(ｄｒ/ｄτ)²/2＝(Ｂ²－ｃ²)/2＋ＧＭ/ｒ－ｈ²/(2ｒ²)＋ＧＭｈ²/(ｃ²ｒ³)と書くこともできます。

ここで,軌道を求めることを優先するのであれば,ｄｒ/ｄτの表式の両辺をｄφ/ｄτ＝ｈ/ｒ²で割ることにより,ｄｒ/ｄφ＝±[(Ｂ²－ｃ²)ｒ⁴/ｈ²＋2ＧＭｒ³/ｈ²－ｒ²＋2ＧＭｒ/ｃ²]^1/2が得られるので,これを積分すると±∫ｄｒ/[(Ｂ²－ｃ²)/ｈ²)ｒ⁴＋(2ＧＭ/ｈ²)ｒ³－ｒ²＋(2ＧＭ/ｃ²)ｒ]^1/2＝φ＋αとなります。

便宜上,ｒ≡1/ｓと変数変換すればｄｒ＝－ｄｓ/ｓ²であり,±∫ｄｓ/[(Ｂ²－ｃ²)/ｈ²) ＋(2ＧＭ/ｈ²)ｓ－ｓ²＋(2ＧＭ/ｃ²)ｓ³]^1/2＝－(φ＋α)となります。

ここで,(2ＧＭ/ｃ²)ｓ³,あるいはｄｒ/ｄτ＝±[Ｂ²－ｃ²＋2ＧＭ/ｒ－ｈ²/ｒ²＋2ＧＭｈ²/(ｃ²ｒ³)]^1/2における 2ＧＭｈ²/(ｃ²ｒ³)は分母のｃ²のせいで,ｒが十分大きいときには他の項と比較してごく小さいという意味で無視します。

そうすれば,±∫ｄｓ/[(Ｂ²－ｃ²)/ｈ²＋(2ＧＭ/ｈ²)ｓ－ｓ²]^1/2＝－(φ＋α)となるため,±∫ｄｓ/[(Ｂ²ｈ²－ｃ²ｈ²＋Ｇ²Ｍ²)/ｈ⁴－(ｓ―ＧＭ/ｈ²)²]^1/2＝－(φ＋α)と近似されます。

さらに,ｓ－ＧＭ/ｈ²≡[(Ｂ²ｈ²－ｃ²ｈ²＋Ｇ²Ｍ²)^1/2/ｈ²]cosｕと置くことにより,±∫ｄｕ＝φ＋αときわめて簡単になります。

そこで例えば左辺で＋符号を取って惑星が正の向き(反時計周り)に回転すると仮定すれば,ｕ＝φ＋αとなります。

ｓ－ＧＭ/ｈ²＝1/ｒ－ＧＭ/ｈ²＝[(Ｂ²ｈ²－ｃ²ｈ²＋Ｇ²Ｍ²)^1/2/ｈ²]cos(φ＋α),つまりｒ＝(ｈ²/ＧＭ)/[1＋{(Ｂ²－ｃ²)ｈ²＋Ｇ²Ｍ²}^1/2/(ＧＭ)]cos(φ＋α)]が得られます。

ここで,ℓ≡ｈ²/(ＧＭ),ｅ≡{(Ｂ²－ｃ²)ｈ²＋Ｇ²Ｍ²}^1/2/(ＧＭ)≡{1－ℓ(ｃ²－Ｂ²)/(ＧＭ)}^1/2とおけば,この軌道はニュートン力学で得られる円錐曲線の式:ｒ＝ℓ/[1＋ｅcos(φ＋α)]と完全に一致します。

この曲線は離心率ｅの値によって楕円,放物線,双曲線になりますが,一般に太陽系の惑星軌道はＢ²＜ｃ²であって,離心率ｅが 0≦ｅ＜1を満たす場合に相当し,この２体近似では惑星の軌道は一方の焦点に太陽が位置する楕円を表わします。

特にｅがゼロのときは２つの焦点が一致して完全な円を表わしますが,実際の太陽系の惑星の軌道の離心率ｅはかなりゼロに近く軌道が円に近いものが多いようです。

これらの結果はケプラーの法則を示しているので,ｄｒ/ｄτ＝[Ｂ²－ｃ²＋2ＧＭ/ｒ－ｈ²/ｒ²＋2ＧＭｈ²/(ｃ²ｒ³)]^1/2において2ＧＭｈ²/(ｃ²ｒ³)を無視する近似は,丁度ニュートン理論に対応している,と考えることができます。

ニュートン力学は相対論的力学での計算結果において光速ｃが無限大の極限を取れば得られると予想されるので,2ＧＭｈ²/(ｃ²ｒ³)→ 0 という近似がこれに対応するのでしょうね。

また,時間についてのニュートン近似はｄτ→ ｄｔなので,これは(ｄｔ/ｄτ)²＝(Ｂ²/ｃ²)/(1－2ｍ/ｒ)²＝(Ｂ²/ｃ²)/{1－2ＧＭ/(ｃ²ｒ)}²→1 に相当します。

それ故,ｃ²→∞ と同時にＢ²→∞ となるべきことが示唆されます。そして,この極限で(Ｂ²－ｃ²)は有限に留まると予想されます。

そこで,さらに進めて,恐らく初等的に積分することは不可能だと思われますが,ｄｒ/ｄτの中に項 2ＧＭｈ²/(ｃ²ｒ³)を含む正しい式を考え,この項がごく小さいことを考慮して何らかの摂動展開によって,より高次の近似計算を行なえば,惑星の近日点の移動なども計算できるだろうと予測されます。

しかし,今日のところは相対論での球対称なシュヴァルツシルト計量の時空の測地線を求めるという見地から,ニュートン理論で得られるケプラーの法則に従う惑星の楕円軌道を再現できたことに満足してひとまず終わりにします。

精確な相対論に基づく高次の計算については,機会があればまた別の日にやってみようと思います。(以上再掲終わり)※

さて今日のブログに戻って,光線の湾曲を計算します。

上の過去記事では重力場の中での測地線の方程式はλを任意パラメータとしてｄ²ｘ^μ/ｄλ²＋Γ_ρν^μ(ｄｘ^ρ/ｄλ)(ｄｘ^ν/ｄλ)＝0 で与えられる。と書いた後で,惑星の運動ではｄｓ²＝ｃ²ｄτ²＝(1－2ｍ/ｒ)ｃ²ｄｔ²－ｄｒ²/(1－2ｍ/ｒ)－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)によって与えられる固有時τを任意パラメータλとして採用し,λ＝τとして以下の計算を実行しています。

しかし,惑星でなく光の場合にはｄｓ²＝ｃ²ｄτ²＝0 なので,常にｄτ＝0 のため,パラメータをλ＝τに選ぶことはできません。そこで,λは任意のパラメータとして残しておきます。

そうすると,θ＝π/2＝一定やｄθ＝0 はそのままですが,角運動量の保存(面積速度＝一定)ｄφ/ｄτ＝ｈ/ｒ²は,ｄφ/ｄλ＝ｈ/ｒ²とする必要があります。

また,ｄｔ/ｄτ＝±Ｂｒ/[ｃ(ｒ－2ｍ)]＝±Ｂ/[ｃ(1－2ｍ/ｒ)]も,ｄｔ/ｄλ＝±Ｂｒ/[ｃ(ｒ－2ｍ)]＝±Ｂ/[ｃ(1－2ｍ/ｒ)]に変更する必要があります。

しかし,実はパラメータλは任意に取っていいので,ここで積分定数ＢをＢ≡ｃと取れば,ｄｔ/ｄλ＝±1/(1－2ｍ/ｒ)と簡単になります。

さらに,ｄｓ²＝ｃ²ｄτ²＝(1－2ｍ/ｒ)ｃ²ｄｔ²－ｄｒ²/(1－2ｍ/ｒ)－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)から得られたｃ²＝[－(ｄｒ/ｄτ)²＋Ｂ²]/(1－2ｍ/ｒ)－ｈ²/ｒ²は, 0＝[－(ｄｒ/ｄλ)²＋ｃ²]/(1－2ｍ/ｒ)－ｈ²/ｒ²です。

そこで,結局,2ｍ＝2ＧＭ/ｃ²を使用してｄｒ/ｄλ＝＝±[ｃ²－ｈ²/ｒ²＋2ＧＭｈ²/(ｃ²ｒ³)]^1/2になります。または,(ｄｒ/ｄλ)²/2＝ｃ²/2－ｈ²/(2ｒ²)＋ＧＭｈ²/(ｃ²ｒ³)とも書けます。

そして,ｄｒ/ｄλの表式の両辺をｄφ/ｄλ＝ｈ/ｒ²で割ることにより,ｄｒ/ｄφ＝±[ｃ²ｒ⁴/ｈ²－ｒ²＋2ＧＭｒ/ｃ²]^1/2が得られ,例えば＋符号をとって惑星が正の向き(反時計回り)に回転すると仮定すれば∫ｄｒ/[(ｃ²/ｈ²)ｒ⁴－ｒ²＋(2ＧＭ/ｃ²)ｒ]^1/2＝φ＋αとなります。

ｄφ/ｄλ＝ｈ/ｒ² ですから,ｈは任意パラメータλをどう取るかに依存するわけですが,今の場合はＢ＝ｃとなるようにλの単位を定めています。

上に得られた光の軌道は,パラメータ次第で十分遠方から直進して来て太陽半径付近を通過して去っていく光線(恐らく双曲線)の軌道をも表わすと考えられます。

そして,太陽半径の位置の動径をｒ＝ｒ₀とすると,φ(ｒ)＝φ(ｒ₀)＋∫_ｒ0^ｒｄｒ/[(ｃ²/ｈ²)ｒ⁴－ｒ²＋(2ＧＭ/ｃ²)ｒ]^1/2と書けます。

特にφ(ｒ₀)＝0 となるようにφの始線を選ぶと,φ(ｒ)＝∫_ｒ0^ｒｄｒ/[(ｃ²/ｈ²)ｒ⁴－ｒ²＋(2ＧＭ/ｃ²)ｒ]^1/2です。

このとき, 遠方から飛来して太陽付近を通過して曲げられた後に方向を変えた遠方へと去っていく光線の正味の角度変化をΔφとすれば,明らかにΔφ＝2φ(∞)－πと書くことができます。

特に,ニュートン近似として,2ＧＭｒ/ｃ²を無視すると,ｒ＝ｈ/{ｃcos(φ＋α)],すなわち,ｒ＝ｈ/[ｃcos{φ(ｒ)}]です。

このときには太陽半径ｒ₀はｒ₀＝ｈ/ｃで与えられます。ｒ＝ｈ/[ｃcos{φ(ｒ)}]なら,cos{φ(∞)}＝0ですから,φ(∞)＝π/2 です。それ故,Δφ_Newton＝φ(∞)_Newton－π＝0 です。

一方,ニュートン近似をせず,φ(ｒ)＝∫_r0^rｄｒ/[(ｃ²/ｈ²)ｒ⁴－ｒ²＋(2ＧＭ/ｃ²)ｒ]^1/2を直接用いれば,(ｄｒ/ｄφ)_ｒ=ｒ0＝1/(ｄφ/ｄｒ)_ｒ=ｒ0＝0 です。

そこで,ｆ(ｒ)≡1－(2ＧＭ/ｃ²)/ｒとおけば,(ｄｒ/ｄφ)_ｒ=ｒ0＝0 により,(ｃ²/ｈ²)ｒ₀⁴－ｆ(ｒ₀)ｒ₀²＝0 ですからｃ²/ｈ²＝ｆ(ｒ₀)/ｒ₀²でありφ(∞)＝∫_r0^∞ｄｒ/[ｒ⁴ｆ(ｒ₀)/ｒ₀²－ｒ²ｆ(ｒ)]^1/2です。

そして,[ｒ⁴ｆ(ｒ₀)/ｒ₀²－ｒ²ｆ(ｒ)]^-1/2＝ｒ^-1{ｒ²ｆ(ｒ₀)/ｒ₀²－ｆ(ｒ)}^-1/2＝ｒ^-1 [(ｒ²/ｒ₀²){1－2ＧＭ/(ｃ²ｒ₀)}－{1－2ＧＭ/(ｃ²ｒ)]^-1/2＝(ｒ₀/ｒ)[ｒ²－ｒ₀²－2ＧＭ(ｒ²/ｒ₀－ｒ₀²/ｒ)/ｃ²]^-1/2 ～ (ｒ₀/ｒ)(ｒ²－ｒ₀²)^-1/2＋(ＧＭ/ｃ²)ｒ^-2(ｒ³－ｒ₀³)(ｒ²－ｒ₀²)^-3/2と近似できます。

これの,第１項はニュートン近似ですから,前と同様φ_Newton(∞)＝∫_r0^∞ｄｒ(ｒ₀/ｒ)(ｒ²－ｒ₀²)^-1/2＝π/2となります。　

一方,第２項の積分は(ＧＭ/ｃ²)∫_r0^∞(ｄｒ/ｒ²)(ｒ³－ｒ₀³)(ｒ²－ｒ₀²)^-3/2＝(ＧＭ/ｃ²)∫_r0^∞ｄｒ{ｒ(ｒ²－ｒ₀²)^-3/2－ｒ₀³ｒ^-2(ｒ²－ｒ₀²)^-3/2}＝＝(ＧＭ/ｃ²)∫₀^s0ｄｓ{ｓ₀³(ｓ₀²－ｓ²)^-3/2－ｓ³(ｓ₀²－ｓ₀²)^-3/2}＝2ＧＭｓ₀/ｃ²＝2ＧＭ/(ｃ²ｒ₀)ですから,φ(∞) ～ 2ＧＭ/(ｃ²ｒ₀)＋π/2 となり,曲がり角としてΔφ＝2φ(∞)－π ～ 4ＧＭ/(ｃ²ｒ₀)が得られます。

現実の太陽半径:ｒ₀ ～ 7.0×10⁵km,およびシュヴァルツシルト半径:ｒ_g ～2ＧＭ/ｃ²～ 3.0kmを代入すれば,Δφ～　2ｒ_g/ｒ₀ ～ (6/7)×10^-5×180/π×3600～ 1.76秒という光線の曲がり角の近似計算値が得られます。

これは観測結果とよく一致しています。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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