ベリーの位相とアハラノフ・ボーム効果（1）

　今日はカシミール効果(Casimir effect)と一見似ているように見えて,実は零点効果とは異なる種類の現象であるアハラノフ・ボーム効果(ＡＢ効果)を,量子論におけるベリー(Berry)の位相と関連付けるという話題を取り上げます。

　今日のところは,第１段階として"量子力学における断熱定理"を紹介することにします。

通常の１粒子系の運動を記述する波動方程式がシュレーディンガー方程式:iｈ_c∂ψ(ｑ,ｔ)/∂ｔ＝Ｈ(ｑ,ｐ,ｔ)ψ(ｑ,ｔ)で与えられるのは既成の事実です。(ｈ_c≡ｈ/(2π)はプランク定数)

　もしも,ハミルトニアンＨが時間ｔに陽には依存しない場合に,ｑとｔを変数分離した形の波動関数ψ,ψ(ｑ,ｔ)＝exp(－iＥｔ/ｈ_c)ψ(ｑ)なる形の場合を仮定すると,ψ(ｑ)は定常型の波動方程式,すなわち,時間に依存しないシュレーディンガー方程式:Ｈ(ｑ,ｐ)ψ(ｑ)＝Ｅψ(ｑ)を満足します。

このとき,右辺の定数ＥはハミルトニアンＨの固有値,すなわち,エネルギー固有値です。そして,ψ(ｑ)はこの固有値Ｅに属するＨの固有ベクトルと呼ばれる関数です。

ここで,この時間に依存しないシュレーディンガー方程式:Ｈ(ｑ,ｐ)ψ(ｑ)＝Ｅψ(ｑ)を一般化して,Ｈが時間ｔに陽に依存するとした"定常型"の方程式:Ｈ(ｑ,ｐ,ｔ)φ(ｑ,ｔ)＝Ｅ(ｔ)φ(ｑ,ｔ)を考えます。

この方程式も,Ｈの固有値方程式であることには違いありませんが,φ(ｑ,ｔ)が通常の意味の時間に依存する物理的な波動関数かどうかは,不明です。

ここでは議論を見易くするためにＨの固有値は全て離散的であると仮定し,また当分の間ｔ依存性のみを強調して座標変数ｑは省略します。

さらにディラック括弧(Dirac's bracket)の表記法を採用すると,方程式は,Ｈ(ｔ)|ｎ(ｔ)＞＝Ｅ_n(ｔ)|ｎ(ｔ)＞と書けます。

ただし,|ｎ(ｔ)＞は固有値の平均値が小さい方から第ｎ番目のエネルギーに対応する時間依存の固有値Ｅ_n(ｔ)に属する固有ベクトルです。

さらに,一般に第ｎ番目というｎは単なる整数ではなく,多成分の量ｎ(ｔ)≡(ｎ₁,ｎ₂,...,ｎ_N)を意味する拡張された概念とします。

つまり,記号は単純に見えるのですが,主量子数以外の量子数により分類した暗に縮退を考慮した表現になっています。

そして,ハミルトニアンＨ(ｔ)はエルミート作用素なので,異なる固有値に属する固有ベクトルは直交します。

さらに,固有ベクトルは規格化されているとして,＜ｋ(ｔ)|ｎ(ｔ)＞＝δ_kn を満たしているとします。

ここに,＜ｋ(ｔ)|は|ｋ(ｔ)＞のエルミート共役を意味し,＜ｋ(ｔ)|ｎ(ｔ)＞は状態のヒルベルト空間の２つのベクトル|ｋ(ｔ)＞と|ｎ(ｔ)＞の内積を意味します。

ディラックの記法では,座標ｑの固有ベクトル|ｑ＞が存在すると想定したとき,状態ベクトル|ｎ(ｔ)＞の波動関数:φ_n(ｑ,ｔ)は規格化定数を適切に指定すればφ_n(ｑ,ｔ)＝＜ｑ|ｔ＞と表わされます。

ここで,Ｈ(ｔ)|ｎ(ｔ)＞＝Ｅ_n(ｔ)|ｎ(ｔ)＞の両辺をｔで微分した後,左から＜ｋ(ｔ)|を掛けると＜ｋ(ｔ)|Ｈ(ｔ)(ｄ/ｄｔ)|ｎ(ｔ)＞＋＜ｋ(ｔ)|∂Ｈ/∂ｔ|ｎ(ｔ)＞＝＜ｋ(ｔ)|Ｅ_n(ｔ)(ｄ/ｄｔ)|ｎ(ｔ)＞＋(∂Ｅ_n/∂ｔ)＜ｋ(ｔ)|ｎ(ｔ)＞となります。

それ故,{－Ｅ_k(ｔ)＋Ｅ_n(ｔ)}＜ｋ(ｔ)|(ｄ/ｄｔ)|ｎ(ｔ)＞＝＜ｋ(ｔ)|∂Ｈ/∂ｔ|ｎ(ｔ)＞となりますから,ｋ≠ｎなら＜ｋ(ｔ)|(ｄ/ｄｔ)|ｎ(ｔ)＞＝－＜ｋ(ｔ)|∂Ｈ/∂ｔ|ｎ(ｔ)＞/[Ｅ_k(ｔ)－Ｅ_n(ｔ)]なる等式が得られます。

また,ｋ＝ｎなら＜ｋ(ｔ)|ｎ(ｔ)＞＝＜ｎ(ｔ)|ｎ(ｔ)＞＝1なので(ｄ＜ｎ(ｔ)|/ｄｔ|ｎ(ｔ)＞＋＜ｎ(ｔ)|(ｄ/ｄｔ)|ｎ(ｔ)＞＝0 も成立します。

第１項と第２項は複素共役なので,これは＜ｎ(ｔ)|(ｄ/ｄｔ)|ｎ(ｔ)＞の実部がゼロになることを意味しますから,＜ｎ(ｔ)|(ｄ/ｄｔ)|ｎ(ｔ)＞は純虚数です。

以下の論議の準備として,これらの性質を念頭に入れておきます。

ところで,方程式Ｈ(ｔ)|ｎ(ｔ)＞＝Ｅ_n(ｔ)|ｎ(ｔ)＞の解|ｎ(ｔ)＞はシュレーディンガー方程式:iｈ_c∂|ψ(ｔ)＞/∂ｔ＝Ｈ(ｔ)|ψ(ｔ)＞の解である実際の物理的な状態ベクトル|ψ(ｔ)＞とどのような関係にあるのでしょうか？

これの意味を理解するために,一般の状態ベクトル|ψ(ｔ)＞を次のように|ｎ(ｔ)＞で展開した形で表現することにします。

すなわち,展開係数をｃ_n(ｔ)として|ψ(ｔ)＞＝Σ_nｃ_n(ｔ)|ｎ(ｔ)＞exp{(－i/ｈ_c)∫Ｅ_n'(ｔ')ｄｔ'}と表現します。ここにＥ_n'(ｔ)≡Ｅ_n(ｔ)－ｈ_cη_n(ｔ),η_n(ｔ)≡i＜ｎ(ｔ)|(ｄ/ｄｔ)|ｎ(ｔ)＞と定義しています。

この展開において,指数関数因子の部分を単純なエネルギーＥ_n(ｔ)自身の指数関数ではなく,上に定義したようなＥ_n'(ｔ)の積分の指数関数で表現した理由については,後述する文脈から理解できるはずです。

この展開式による|ψ(ｔ)＞の表現を,運動方程式 iｈ_c∂|ψ(ｔ)＞/∂ｔ＝Ｈ(ｔ)|ψ(ｔ)＞に代入して,それから＜ｋ(ｔ)|を左から掛けます。

こうすれば,状態関数におけるｔを省略して＜ｋ|[(iｈ_c)Σ_n{(ｄｃ_n/ｄｔ)|ｎ＞－(i/ｈ_c)Ｅ_n'ｃ_n}|ｎ＞exp{(－i/ｈ_c)∫Ｅ_n'(ｔ')ｄｔ'}]＝＜ｋ|[Σ_nｃ_nＨ|ｎ＞exp{(－i/ｈ_c)∫Ｅ_n'(ｔ')ｄｔ'}]となります。

したがって,＜ｋ|(ｄ/ｄｔ)|ｎ＞＝－＜ｋ|∂Ｈ/∂ｔ|ｎ＞/(Ｅ_k－Ｅ_n) (ｋ≠ｎ)により,ｄｃ_k/ｄｔ＝Σ_n≠k[{＜ｋ|∂Ｈ/∂ｔ|ｎ＞/(Ｅ_k－Ｅ_n)}exp{(i/ｈ_c)∫Ｅ_kn'(ｔ')ｄｔ'}ｃ_n]となります。

ここで,Ｅ_kn'(ｔ)≡Ｅ_k'(ｔ)－Ｅ_n'(ｔ)と置いています。

ここまではエネルギー固有値が離散的であると仮定しましたが,それ以外の点では,これらのことは大体において一般的に成立する話です。

さて,時刻ｔ＝0 で系はｍ番目の固有状態にあるとします。すなわち,|ψ(ｔ＝0)＞＝|ｍ(0)＞とします。

ハミルトニアンＨ(ｔ)はｔ＝0 からｔ＝Ｔにかけて断熱過程である,つまり,"対象としている系は時間と共に非常にゆっくりと変化する"と仮定します。

これを表現するために,ｔ≡τＴ,0≦τ≦1なる関係式によって新しく無次元のパラメータτを導入します。またＴは非常に大きな数であるとします。

今想定している状態の波動関数|ψ(ｔ)＞は,固有状態|ｍ(0)＞から出発しても,時間発展と共に先に表現した|ψ(ｔ)＞＝Σ_nｃ_n(ｔ)|ｎ(ｔ)＞exp{(－i/ｈ_c)∫Ｅ_n'(ｔ')ｄｔ'}の形で明らかなように,一般に干渉して初期状態とは異なる固有ベクトル成分|ｎ(ｔ)＞を含むようになります。

しかし,以下に示す断熱定理の条件の下では,エネルギー固有値Ｅ_m(ｔ)に属するベクトル|ｍ(ｔ)＞以外の成分の|ψ(ｔ)＞への寄与はほとんど無いことがわかります。

つまり,|ψ(ｔ)＞は,ほぼ確実にエネルギー固有値の準位の番号を変えることなく時間発展していくということを証明できます。

以下では,簡単のためにＥ_n(ｔ)＝Ｅ_n(τＴ)をＥ_n(τ)なる簡略化した表記で表現することにします。

そして,量子力学における断熱定理は,初期条件ｃ_n(0)＝δ_nmに対し,"ｃ_n(ｔ)＝δ_nm＋Ｏ(1/Ｔ)である"という表現で与えられます。

断熱定理が成立するための条件,"ハミルトニアンＨ(ｔ)がｔ＝0 からｔ＝Ｔにかけて断熱過程である,あるいは時間と共に非常にゆっくりと変化する"というのは,厳密には次に与える２つの条件を満足することを意味しています。

すなわち,物理系は(1):|＜ｋ(τ)|∂Ｈ(τ)/∂τ|ｎ(τ)＞/[Ｅ_k(τ)－Ｅ_n(τ)]|＜Ｍ_kn (2):|1/[Ｅ_k'(τ)－Ｅ_n'(τ)]|＜Ｎなる２条件を満たすとするわけです。

ただし,これらの条件式においては,ｋ≠ｎを仮定しています。そして,Ｎはある正の定数,Ｍ_knはある定数行列の成分です。

こうした条件は,エネルギー準位が縮退していないなら大抵の物理系で成立すると予期されるもので,物理系の有する一般的な性質であると考えてよいと思われます。

以下は,上述の条件の下で,"ｃ_n(0)＝δ_nm⇒ ｃ_n(ｔ)＝δ_nm＋Ｏ(1/Ｔ)"なる断熱定理が成立することの証明です。

(証明) まず,係数ｃ_k(ｔ)に対する時間発展の運動方程式ｄｃ_k/ｄｔ＝Σ_n≠k[{＜ｋ|∂Ｈ/∂ｔ|ｎ＞/(Ｅ_k－Ｅ_n)}exp{(i/ｈ_c)∫Ｅ_kn'(ｔ')ｄｔ'}ｃ_n]をｄｃ_k(τ)/ｄτ＝Σ_nＵ_kn(τ)ｃ_n(τ)と書き換えます。

ここで,ｋ＝ｎならＵ_kn(τ)≡0,ｋ≠ｎならＵ_kn(τ)≡＜ｋ(τ)|∂Ｈ(τ)/∂τ|ｎ(τ)＞/[Ｅ_k(τ)－Ｅ_n(τ)]exp{(iＴ/ｈ_c)∫Ｅ_kn'(τ')ｄτ'}です。

そうして,ｄｃ_k(τ)/ｄτ＝Σ_nＵ_kn(τ)ｃ_n(τ)は１階線形微分方程式ですから解くのは極めて簡単で,初期条件ｃ_k(0)＝δ_kmを満たす解ｃ_k(τ)は次のようになります。

ｃ_k(τ)＝δ_km＋Σ_j=1^∞∫₀^τｄτ_j∫₀^τjｄτ_j-1..∫₀^τ3ｄτ₂∫₀^τ2ｄτ₁[Ｕ(τ)Ｕ(τ_j)..Ｕ(τ₂)Ｕ(τ₁)]_knと書けます。

ここで,積分Ｉ_kn(τ)≡∫₀^τｄτ'Ｕ_kn(τ')を考えれば,|Ｉ_kn(τ)|＜Ｍ_kn|∫₀^τｄτ'exp{(iＴ/ｈ_c)∫₀^τ'Ｅ_kn'(τ")ｄτ"}|です。

この不等式は,Δ_kn(τ)≡∫₀^τＥ_kn'(τ')ｄτ'と置けば,|Ｉ_kn(τ)|＜Ｍ_kn|∫₀^Δkn(τ)ｄΔ_kn(τ')[exp{iＴΔ_kn(τ')/ｈ_c}/{ｄΔ_kn(τ')/ｄτ'}]|と変形されます。

そして,1/{ｄΔ_kn(τ)/ｄτ}＝1/Ｅ_kn'(τ)＝1/[Ｅ_k'(τ)－Ｅ_n'(τ)]により,｜Ｉ_kn(τ)|＜ＮＭ_kn|∫₀^Δkn(τ)ｄΔ_kn(τ')exp{iＴΔ_kn(τ')/ｈ_c}|となります。

ところで,∫₀^Δ(τ)ｄΔexp(iＴΔ/ｈ_c)＝[exp(iＴΔ/ｈ_c)－1]/(iＴ/ｈ_c)＝2(ｈ_c/Ｔ)exp{iＴΔ/(2ｈ_c)}sin{ＴΔ/(2ｈ_c)}ですから,結局,|Ｉ_kn(τ)|＜2ｈ_cＮＭ_kn/Ｔ が得られます。

ｃ_k(τ)＝δ_km＋Σ_j=1^∞∫₀^τｄτ_j∫₀^τjｄτ_j-1..∫₀^τ3ｄτ₂∫₀^τ2ｄτ₁[Ｕ(τ)Ｕ(τ_j)..Ｕ(τ₂)Ｕ(τ₁)]_kmにおいて,∫₀^τｄτ_j∫₀^τjｄτ_j-1..∫₀^τ3ｄτ₂∫₀^τ2ｄτ₁[Ｕ(τ)Ｕ(τ_j)..Ｕ(τ₂)Ｕ(τ₁)]_km＝∫₀^τｄτ_j∫₀^τjｄτ_j-1..∫₀^τ3ｄτ₂[Ｕ(τ)Ｕ(τ_j).. Ｕ(τ₂)]_kl∫₀^τ2ｄτ₁Ｕ_lm(τ₁)と変形できます。

そこで,|ｃ_k(τ)－δ_km|＜Σ_j=1^∞|∫₀^τｄτ_j∫₀^τjｄτ_j-1..∫₀^τ3ｄτ₂[Ｕ(τ)Ｕ(τ_j).. Ｕ(τ₂)]_kl|(2ｈ_cＮＭ_lm/Ｔ)と書けます。

したがって,帰納的に,|ｃ_k(τ)－δ_km|＜(2ｈ_cＮＭ_lm/Ｔ)Σ_j=1^∞(Ｍ^j-1)_kl∫₀^τｄτ_j∫₀^τjｄτ_j-1..∫₀^τ3ｄτ₂|＝(2ｈ_cＮＭ_lm/Ｔ)Σ_j=1^∞{(τＭ)^j-1}_kl/(ｊ－1)!です。

よって,|ｃ_k(τ)－δ_km|＜(2ｈ_cＮ/Ｔ)exp(Ｍτ)_klＭ_lm＜(2ｈ_cＮ/Ｔ){exp(Ｍτ)Ｍ}_kmとなります。

{exp(Ｍτ)Ｍ}_kmは明らかに有限値ですから,これは断熱定理の結論:ｃ_k(ｔ)＝δ_km＋Ｏ(1/Ｔ)の成立を意味します。(証明終わり)

今日は切りがいいのでここまでにします。

参考文献：矢吹治一 著「量子論における位相」(日本評論社)

http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/「ＴＲＳ健康ランド」-- 黒ウコン,ＳＣＳ(洗浄剤)専売などの店：  私が店長 です。

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン！メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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