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2007年11月11日 (日)

ベリーの位相とアハラノフ・ボーム効果(1)

 今日はカシミール効果(Casimir effect)と一見似ているように見えて,実は零点効果とは異なる種類の現象であるアハラノフ・ボーム効果(AB効果)を,量子論におけるベリー(Berry)の位相と関連付けるという話題を取り上げます。

 今日のところは,第1段階として"量子力学における断熱定理"を紹介することにします。

通常の1粒子系の運動を記述する波動方程式がシュレーディンガー方程式:ihc∂ψ(q,t)/∂t=H(q,p,t)ψ(q,t)で与えられるのは既成の事実です。(hc≡h/(2π)はプランク定数)

 もしも,ハミルトニアンHが時間tに陽には依存しない場合に,qとtを変数分離した形の波動関数ψ,ψ(q,t)=exp(-iEt/hc)ψ(q)なる形の場合を仮定すると,ψ(q)は定常型の波動方程式,すなわち,時間に依存しないシュレーディンガー方程式:H(q,p)ψ(q)=Eψ(q)を満足します。

このとき,右辺の定数EはハミルトニアンHの固有値,すなわち,エネルギー固有値です。そして,ψ(q)はこの固有値Eに属するHの固有ベクトルと呼ばれる関数です。

ここで,この時間に依存しないシュレーディンガー方程式:H(q,p)ψ(q)=Eψ(q)を一般化して,Hが時間tに陽に依存するとした"定常型"の方程式:H(q,p,t)φ(q,t)=E(t)φ(q,t)を考えます。

この方程式も,Hの固有値方程式であることには違いありませんが,φ(q,t)が通常の意味の時間に依存する物理的な波動関数かどうかは,不明です。

 

ここでは議論を見易くするためにHの固有値は全て離散的であると仮定し,また当分の間t依存性のみを強調して座標変数qは省略します。

 

さらにディラック括弧(Dirac's bracket)の表記法を採用すると,方程式は,H(t)|n(t)>=En(t)|n(t)>と書けます。

ただし,|n(t)>は固有値の平均値が小さい方から第n番目のエネルギーに対応する時間依存の固有値En(t)に属する固有ベクトルです。

 

さらに,一般に第n番目というnは単なる整数ではなく,多成分の量n(t)≡(n1,n2,...,nN)を意味する拡張された概念とします。

 

つまり,記号は単純に見えるのですが,主量子数以外の量子数により分類した暗に縮退を考慮した表現になっています。

そして,ハミルトニアンH(t)はエルミート作用素なので,異なる固有値に属する固有ベクトルは直交します。

 

さらに,固有ベクトルは規格化されているとして,<k(t)|n(t)>=δkn を満たしているとします。

 

ここに,<k(t)|は|k(t)>のエルミート共役を意味し,<k(t)|n(t)>は状態のヒルベルト空間の2つのベクトル|k(t)>と|n(t)>の内積を意味します。

ディラックの記法では,座標qの固有ベクトル|q>が存在すると想定したとき,状態ベクトル|n(t)>の波動関数:φn(q,t)は規格化定数を適切に指定すればφn(q,t)=<q|t>と表わされます。

ここで,H(t)|n(t)>=En(t)|n(t)>の両辺をtで微分した後,左から<k(t)|を掛けると<k(t)|H(t)(d/dt)|n(t)>+<k(t)|∂H/∂t|n(t)>=<k(t)|En(t)(d/dt)|n(t)>+(∂En/∂t)<k(t)|n(t)>となります。

  

それ故,{-Ek(t)+En(t)}<k(t)|(d/dt)|n(t)>=<k(t)|∂H/∂t|n(t)>となりますから,k≠nなら<k(t)|(d/dt)|n(t)>=-<k(t)|∂H/∂t|n(t)>/[Ek(t)-En(t)]なる等式が得られます。

また,k=nなら<k(t)|n(t)>=<n(t)|n(t)>=1なので(d<n(t)|/dt|n(t)>+<n(t)|(d/dt)|n(t)>=0 も成立します。

 

第1項と第2項は複素共役なので,これは<n(t)|(d/dt)|n(t)>の実部がゼロになることを意味しますから,<n(t)|(d/dt)|n(t)>は純虚数です。

 

以下の論議の準備として,これらの性質を念頭に入れておきます。

ところで,方程式H(t)|n(t)>=En(t)|n(t)>の解|n(t)>はシュレーディンガー方程式:ihc|ψ(t)>/∂t=H(t)|ψ(t)>の解である実際の物理的な状態ベクトル|ψ(t)>とどのような関係にあるのでしょうか?

 

これの意味を理解するために,一般の状態ベクトル|ψ(t)>を次のように|n(t)>で展開した形で表現することにします。

すなわち,展開係数をcn(t)として|ψ(t)>=Σnn(t)|n(t)>exp{(-i/hc)∫En'(t')dt'}と表現します。ここにEn'(t)≡En(t)-hcηn(t),ηn(t)≡i<n(t)|(d/dt)|n(t)>と定義しています。

 

この展開において,指数関数因子の部分を単純なエネルギーEn(t)自身の指数関数ではなく,上に定義したようなEn'(t)の積分の指数関数で表現した理由については,後述する文脈から理解できるはずです。

この展開式による|ψ(t)>の表現を,運動方程式 ihc|ψ(t)>/∂t=H(t)|ψ(t)>に代入して,それから<k(t)|を左から掛けます。

  

こうすれば,状態関数におけるtを省略して<k|[(ihcn{(dcn/dt)|n>-(i/hc)En'cn}|n>exp{(-i/hc)∫En'(t')dt'}]=<k|[Σnn|n>exp{(-i/hc)∫En'(t')dt'}]となります。

したがって,<k|(d/dt)|n>=-<k|∂H/∂t|n>/(Ek-En) (k≠n)により,dck/dt=Σn≠k[{<k|∂H/∂t|n>/(Ek-En)}exp{(i/hc)∫Ekn'(t')dt'}cn]となります。

 

ここで,Ekn'(t)≡Ek'(t)-En'(t)と置いています。

 

ここまではエネルギー固有値が離散的であると仮定しましたが,それ以外の点では,これらのことは大体において一般的に成立する話です。

さて,時刻t=0 で系はm番目の固有状態にあるとします。すなわち,|ψ(t=0)>=|m(0)>とします。

 

ハミルトニアンH(t)はt=0 からt=Tにかけて断熱過程である,つまり,"対象としている系は時間と共に非常にゆっくりと変化する"と仮定します。

これを表現するために,t≡τT,0≦τ≦1なる関係式によって新しく無次元のパラメータτを導入します。またTは非常に大きな数であるとします。

 

今想定している状態の波動関数|ψ(t)>は,固有状態|m(0)>から出発しても,時間発展と共に先に表現した|ψ(t)>=Σnn(t)|n(t)>exp{(-i/hc)∫En'(t')dt'}の形で明らかなように,一般に干渉して初期状態とは異なる固有ベクトル成分|n(t)>を含むようになります。

しかし,以下に示す断熱定理の条件の下では,エネルギー固有値Em(t)に属するベクトル|m(t)>以外の成分の|ψ(t)>への寄与はほとんど無いことがわかります。

 

つまり,|ψ(t)>は,ほぼ確実にエネルギー固有値の準位の番号を変えることなく時間発展していくということを証明できます。

以下では,簡単のためにEn(t)=n(τT)をn(τ)なる簡略化した表記で表現することにします。

 

そして,量子力学における断熱定理は,初期条件cn(0)=δnmに対し,"n(t)=δnm+O(1/T)である"という表現で与えられます。

断熱定理が成立するための条件,"ハミルトニアンH(t)がt=0 からt=Tにかけて断熱過程である,あるいは時間と共に非常にゆっくりと変化する"というのは,厳密には次に与える2つの条件を満足することを意味しています

すなわち,物理系は(1):|<k(τ)|∂H(τ)/∂τ|n(τ)>/[Ek(τ)-En(τ)]|<Mkn (2):|1/[Ek'(τ)-En'(τ)]|<Nなる2条件を満たすとするわけです。

 

ただし,これらの条件式においては,k≠nを仮定しています。そして,Nはある正の定数,Mknはある定数行列の成分です。

 

こうした条件は,エネルギー準位が縮退していないなら大抵の物理系で成立すると予期されるもので,物理系の有する一般的な性質であると考えてよいと思われます。

以下は,上述の条件の下で,"n(0)=δnm⇒ cn(t)=δnm+O(1/T)"なる断熱定理が成立することの証明です。

(証明) まず,係数k(t)に対する時間発展の運動方程式dck/dt=Σn≠k[{<k|∂H/∂t|n>/(Ek-En)}exp{(i/hc)∫Ekn'(t')dt'}cn]をdck(τ)/dτ=Σnkn(τ)cn(τ)と書き換えます。

 

ここで,k=nならUkn(τ)≡0,k≠nならUkn(τ)≡<k(τ)|∂H(τ)/∂τ|n(τ)>/[Ek(τ)-En(τ)]exp{(iT/hc)∫Ekn'(τ')dτ'}です。

そうして,dck(τ)/dτ=Σnkn(τ)cn(τ)は1階線形微分方程式ですから解くのは極めて簡単で,初期条件ck(0)=δkmを満たす解ck(τ)は次のようになります。

 

k(τ)=δkm+Σj=10τdτj0τjdτj-1..∫0τ3dτ20τ2dτ1[U(τ)U(τj)..U(τ2)U(τ1)]knと書けます。

ここで,積分Ikn(τ)≡∫0τdτ'Ukn(τ')を考えれば,|Ikn(τ)|<Mkn|∫0τdτ'exp{(iT/hc)∫0τ'kn'(τ")dτ"}|です。

 

この不等式は,Δkn(τ)≡∫0τkn'(τ')dτ'と置けば,|Ikn(τ)|<Mkn|∫0Δkn(τ)dΔkn(τ')[exp{iTΔkn(τ')/hc}/{dΔkn(τ')/dτ'}]|と変形されます。

そして,1/{dΔkn(τ)/dτ}=1/Ekn'(τ)=1/[Ek'(τ)-En'(τ)]により,|Ikn(τ)|<NMkn|∫0Δkn(τ)dΔkn(τ')exp{iTΔkn(τ')/hc}|となります。

ところで,∫0Δ(τ)dΔexp(iTΔ/hc)=[exp(iTΔ/hc)-1]/(iT/hc)=2(hc/T)exp{iTΔ/(2hc)}sin{TΔ/(2hc)}ですから,結局,|Ikn(τ)|<2hcNMkn/T が得られます。

k(τ)=δkm+Σj=10τdτj0τjdτj-1..∫0τ3dτ20τ2dτ1[U(τ)U(τj)..U(τ2)U(τ1)]kmにおいて,0τdτj0τjdτj-1..∫0τ3dτ20τ2dτ1[U(τ)U(τj)..U(τ2)U(τ1)]km0τdτj0τjdτj-1..∫0τ3dτ2[U(τ)U(τj).. U(τ2)]kl0τ2dτ1lm1)と変形できます。

 

そこで,|ck(τ)-δkm|<Σj=1|∫0τdτj0τjdτj-1..∫0τ3dτ2[U(τ)U(τj).. U(τ2)]kl|(2hcNMlm/T)と書けます。

したがって,帰納的に,|ck(τ)-δkm|<(2hcNMlm/T)Σj=1(Mj-1)kl0τdτj0τjdτj-1..∫0τ3dτ2|=(2hcNMlm/T)Σj=1{(τM)j-1}kl/(j-1)!です。

 

よって,|ck(τ)-δkm|<(2hc/T)exp(Mτ)kllm(2hc/T){exp(Mτ)M}kmとなります。

  

{exp(Mτ)M}kmは明らかに有限値ですから,これは断熱定理の結論:k(t)=δkm+O(1/T)の成立を意味します。(証明終わり)

今日は切りがいいのでここまでにします。

参考文献:矢吹治一 著「量子論における位相」(日本評論社)

http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/「TRS健康ランド」-- 黒ウコン,SCS(洗浄剤)専売などの店:  私が店長 です。

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン!メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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コメント

>目安としては,文字のサイズが小さいものは途中で未完成です。
申し訳ありませんでした。

投稿: 凡人 | 2007年11月12日 (月) 07時21分

 あ,すみません。。書いてる途中で野暮用で出かけなくちゃならなかったのでまだ途中です。

 本当は未完成のものをアップしてはいけないのでしょうが、ほぼ完成していて急用だったのでそうしました。

 目安としては,文字のサイズが小さいものは途中で未完成です。

 今日の場合は結局,飲みに行ったので夜中の12時を越えました。まだ寝る予定はないので朝までには完成するでしょう。。。

            TOSHI

 

投稿: TOSHI | 2007年11月12日 (月) 02時40分

「準虚数」は、もしやして、「純虚数」の誤りではないでしょうか?

投稿: 凡人 | 2007年11月11日 (日) 15時44分

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