ベリーの位相とアハラノフ・ボーム効果(3）

ベリー(Berry)の位相に関する話の続きです。

ここで,中断して一息入れたのは,ちょっと数学的な話で私的にはむずかしいと思われるファイバー束,あるいはファイバー・バンドル(fiber bundle)の概念を使用する必要があって,これについての説明から始めなければならないからです。

例えば,多様体の接ベクトル空間(接空間)をファイバー(fiber)に持つファイバー束であるなら,これは接ベクトル束,あるいは接束と呼ばれますが,これについては私だけかもしれませんが,多様体を勉強しているとき,いつも躓いていたところです。

(ファイバーというのは元々は繊維という意味で,織物とかプラスチックなどを構成する細い繊維状の物質を指すものですが,数学的には空間や集合の個々の構成分子という意味で使用しているようです。）

多様体上の各点に接空間,余接空間なる線形空間(ベクトル空間)がそれぞれ付随しているというベクトル場の概念くらいまでなら,なんとか素直に受け入れられたのですが,その先の接空間,余接空間の集合から成るという接ベクトル束までいくと,何でそんなものまで考える必要があるのか,何の利用価値があるのか,などという疑問が生じ,私的にはここで躓くことが多かったものです。

しかし,計量(metric)の入った多様体であるリーマン多様体,擬リーマン多様体の上での共変微分概念に関連して,局所的な微小平行移動変換に伴う計量の変動としてアフィン接続という概念が出現します。

これは,特にレヴィ・チビタ(Levi-Civita)接続なら,クリストッフェルの記号で与えられますが,これがいわゆる物理学での"接触変換＝ゲージ変換"に対応するという認識に遭遇し,結局,素粒子論においてベクトル束の接続を考えることの重要性に気付いたため,少しは理解しようという気持ちが湧いたのでした。

前置きが長くなりましたが,今の考察対象では,われわれの３次元,あるいは４次元の空間Ｍの各点ｘに対して複素数全体Ｃというファイバーが付随していて,波動関数ψ(ｘ)はｘ∈Ｍの上のファイバーＣのうちの１つの複素数値ψ(ｘ)∈Ｃに対応すると解釈する,という話になるわけです。

そして,この場合には直積空間:Ｍ×ＣはＭを底空間とするファイバー束である,といいます。

一般には,Ｅをファイバー束の全空間を示す多様体とするとき,底空間Ｍも多様体です。そして,∀ｘ∈Ｍに対してｘ上のファイバーＥ_xがあり,Ｅ_xの全ての点は射影πによって底空間Ｍの１点ｘに写されると考えます。

すなわち,式で表わせばπ(Ｅ_x)＝ｘ,π^-1(ｘ)＝Ｅ_xと表現されます。そして,Ｅは局所的には底空間Ｍと多様体ファイバーＦの直積空間:Ｍ×Ｆになります。

すなわち,任意の１点ｘ∈Ｍに対し,ｘの適切な近傍Ｕを取るとπ^-1(Ｕ)がＵ×Ｆと同型になっています。つまり,適切な座標を導入すればπ^-1(Ｕ)とＵ×Ｆの両者は同じものとみなせます。

あるいは,同型写像φ:π^-1(Ｕ)→Ｕ×Ｆがあって,特にφ(ｘ)をφ_xと書くとφ_x:Ｅ_x→{ｘ}×Ｆでφ_xがＥ_x上の各点の座標を与えます。

そして底空間Ｍの極大近傍系に属する異なる近傍系の座標達を対応させる同型写像からなる群,すなわち構造群をＧで表わし,これら全てによって,このファイバー束は(Ｅ,π,Ｆ,Ｇ,Ｍ)の組として特徴付けられるとするわけです。

特に,ファイバー束であり,かつファイバーＦが構造群Ｇ自身の場合,このときのファイバー束:ＥをＰと書いて主ファイバー束と呼びます。

そして以下では特に,構造群Ｇはリー群(Lie group)である,つまり,Ｇは群であって,かつ連続微分可能な多様体であるとします。

そして群の作用は,ファイバー上の点を垂直方向にのみ移動させ,これが座標の取り方と整合的であるとし,さらにファイバー上の任意の２点は群Ｇの作用によって必ず一意的に推移可能であるとします。

ところで底空間Ｍをわれわれの３次元,あるいは４次元空間とし,複素数体Ｃを付随するファイバーとするファイバー束Ｍ×Ｃにおいては,波動関数ψ(ｘ)の全体はｘ∈Ｍに対する各ファイバーを１点だけで横切る,Ｍ×Ｃの１つの切断面とみなす描像も可能です。

一般にはファイバー束の切断面σというのは,底空間Ｍからバンドル(束)空間Ｅへの１つの写像σであって,∀ｘ∈Ｍについてπ(σ(ｘ))＝ｘを満たすものをいいます。

つまり,σは,∀ｘ∈ＭについてＥ_x上の１点σ(ｘ)を対応させる写像のことです。

そして,各点ｘを固定して,そのファイバーＥ_xに沿う移動方向を垂直と呼ぶわけです。では水平方向とは如何なるものでしょうか？

以下ではファイバー束における水平方向を定義し,その方向を維持したままの平行移動という概念を考えます。

まず,主ファイバー束Ｐの底空間Ｍの上の"水平"な曲線Ｃ:ｘ^μ(ｔ)(ｔは時間ではなく曲線を定義するパラメータ)上の各点ｘ^μ(ｔ)∈Ｍに対して,"ファイバーＦ＝Ｇ"のある値ｆ(ｔ)∈Ｇを対応させることによって定められた,Ｐにおけるある曲線Ｃ^を考えると,これの座標は(ｘ^μ(ｔ),ｆ(ｔ))と書けます。

そして曲線Ｃ^が"水平"に保たれるという条件を与えて水平を定義しＣ→Ｃ^なる移動を与えるｆ(ｔ)∈Ｇによって平行移動を定義します。

リー群ＧがＳＵ(Ｎ)のような線形ユニタリなＮ次の行列群なら,ｆ(ｔ)はｆ_ij(ｔ)(ｉ,ｊ＝1,2,..,Ｎ)のような添字を持ちます。

以下では,このような場合のみを考えますが,添字は必要に応じて表記したり省略したりします。

ｘ^μ(ｔ)のμも,必ずしも４次元ミンコフスキー空間の座標添字ではありません。

主ファイバー束Ｐの１点(ｘ,ｆ)での方向の基準として,ファイバー上を垂直に動く方向単位ベクトルは,多様体ではお馴染みの１次写像を微分演算子として与える表記法,すなわちｘ^μが増加する向きの方向単位ベクトルを(∂/∂ｘ^μ)で与えるという表記により,ｆ(∂/∂ｆ)と書けます。

そう書ける理由は次の通りです。 

つまり,線形リー群Ｇ＝ＳＵ(Ｎ)の任意の点における接ベクトルの集合はリー環,あるいはリー代数と呼ばれる多元環ｇとなりますが,大雑把にいえばＧの無限小変換ｆ∈Ｇは生成元を行列Ａ∈ｇとして,ある無限小パラメータｔによって,ｆ＝1＋ｔＡと表わされます。

結局,Ｇの単位元１と連結した部分であれば,ｔが無限小でなく有限なパラメータの場合にも,ｆ＝exp(ｔＡ)なる形になります。

単位元１と連結した部分でなくても,あるｆ₀に連結した部分はｆ＝ｆ₀exp(ｔＡ)ですから,リー群Ｇの構造自体は基本的にexp(ｔＡ)によって特徴付けられます。

すなわち,Ｇはｄｆ/ｄｔ＝ｆ₀Ａexp(ｔＡ)＝ｆＡなる線形微分方程式で特徴付けられるわけです。

これの左辺＝ｄｆ/ｄｔはｆ(ｔ)のｔの増加するときの接線方向への動きを示しています。

そして,"接線の傾き＝接ベクトル"というのは,Δｆ/ｆで定義されますから,右辺のＡがパラメータｔの微小増分Δｔに対するそれ,と同定されます。

そこで,Ｇの要素ｆを１つ固定して,単位元:1＝ｆ(ｔ＝0)からのあらゆる接線方向への動きを考えると,微分方程式の右辺にはリー代数ｇのあらゆる要素Ａがｆの接線方向として出現すると考えられます。

そこでＧの接ベクトルのなす空間は,Ｇのリー代数ｇと同一視されるわけです。 

このとき,ｆ(ｔ)∈Ｇの任意関数ｈ(ｆ)に対して,{ｄｈ(ｆ)/ｄｔ}|_ｔ＝0＝ｆＡ(∂ｈ/∂ｆ)となりますが,{ｄｈ(ｆ)/ｄｔ}|_ｔ＝0＝Ｘｈ(ｆ)なる線形演算子Ｘが多様体Ｇ上の１点ｆにおける接ベクトルと定義されます。

今の場合にはＸ＝ｆＡ(∂/∂ｆ),or Ｘ＝Σ_kＡ_kjｆ_ik(∂/∂ｆ_ij)ですから,ｆ(∂/∂ｆ)がｆ(ｔ)∈Ｇでの,"主ファイバー束Ｐに対する変換群Ｇによる運動＝垂直向きを示す単位ベクトル"を示し,一方,Ａ＝(Ａ)_ij＝(ｄｆ/ｄｔ)/ｆの方は"多様体＝群Ｇ"の1つの点ｆにおける"接ベクトルＸの大きさ＝成分"を示していると考えられます。

以下では,簡単のため,式の中で"同一の添字が２回現われ,それについて和をとる＝縮約する",場合には和記号Σを省略します。

例えばΣ_kＡ_kjｆ_ik(∂/∂ｆ_ij)を単にＡ_kjｆ_ik(∂/∂ｆ_ij)と表記するアインシュタインの規約を用いることにします。 

そして,多分に天下り的ですが,主ファイバー束Ｐの１点(ｘ,ｆ);ｆ＝ｆ₀exp(ｔＡ)における水平方向は,1次結合:{∂/∂ｘ^μ－Ａ_μ,kjｆ_ik(∂/∂ｆ_ij)}なる形で与えられると定義します。

リー代数ｇの元:Ａ_μ(ｘ)は通常無限個ありますから,実は水平方向というのは無数にあることになります。

特にＧがユニタリ群ＳＵ(Ｎ)の場合を考えているので,ｆ^＋ｆ～ (1＋ｔＡ^＋)(1＋ｔＡ)＝1より,Ａ^＋＝－Ａですから,Ａは反エルミート行列(anti-Hermitian)です。

Ａ_μ(ｘ)が物理量としてのゲージ場であればエルミート行列であるべきですから,水平方向の定義:{∂/∂ｘ^μ－Ａ_μ,kjｆ_ik(∂/∂ｆ_ij)}においての(－iＡ)を改めてＡと考えます。

そうすれば,Ａ^＋＝ＡとなってＡはエルミート行列となり,水平方向は{∂/∂ｘ^μ－iＡ_μ,kjｆ_ik(∂/∂ｆ_ij)}なる形になります。

さて,主ファイバー束Ｐのパラメータｔによる底空間Ｍ上の曲線Ｃ:ｘ(ｔ)をｆ(ｔ)∈Ｇによって移動させた曲線Ｃ^上の点ｐ＝(ｘ(ｔ),ｆ(ｔ))における接線は,通常の感覚では(ｄｘ/ｄｔ,ｄｆ/ｄｔ)です。

しかし,任意関数ｈ(ｆ)に対して{ｄｈ(ｘ,ｆ)/ｄｔ}|_ｔ＝0＝Ｘｈ(ｘ,ｆ)によって定義される微分演算子Ｘを接ベクトルとする見地では,接ベクトルはＸ＝ｄ/ｄｔ＝(ｄｘ/ｄｔ)(∂/∂ｘ)＋(ｄｆ/ｄｔ)(∂/∂ｆ)＝(ｄｘ^μ/ｄｔ)(∂/∂ｘ^μ)＋(ｄｆ_ij/ｄｔ)(∂/∂ｆ_ij)です。

この曲線Ｃ^上の点における接線方向が,底空間上の水平面上の曲線Ｃの接線方向(ｄｘ^μ/ｄｔ)(∂/∂ｘ^μ)と同じく水平になること,つまり,曲線Ｃ^が曲線Ｃの平行移動になる条件は,

ｄ/ｄｔ＝(ｄｘ^μ/ｄｔ)(∂/∂ｘ^μ)＋(ｄｆ_ij/ｄｔ)(∂/∂ｆ_ij)の右辺が[∂/∂ｘ^μ－iＡ_μ,kjｆ_ik(∂/∂ｆ_ij)]の１次結合になること,(ｄｘ^μ/ｄｔ)[∂/∂ｘ^μ－iＡ_μ,kjｆ_ik(∂/∂ｆ_ij)]となることです。

このことから,平行移動の条件として(ｄｆ_ij/ｄｔ)＝－iＡ_μ,kjｆ_ik(ｄｘ^μ/ｄｔ)が結論されます。

これを形式的に解けば,ｆ(ｔ)＝ｆ(0)Ｐexp{－i∫₀^tＡ_μ(ｘ(τ))(ｄｘ^μ/ｄτ)ｄτ}となります。

こうして,ｆ(0)から出発して水平な曲線が定義されます。

ここで右辺の記号Ｐは,行列Ａ_μ(ｘ)は一般に積分が経路に依存する回転的な量であって,非可換な量なので,右辺の指数部分が経路順化されているという意味,つまりＰ積(Ｐ-product)で定義されていることを示しています。

つまり,指数関数因子は,Ｐexp{－i∫₀^tＡ_μ(ｘ(τ))(ｄｘ^μ/ｄτ)ｄτ}≡Σ_n[{(－i)ⁿ/ｎ!}∫₀^tｄτ₁...∫₀^tｄτ_nＰ{Ａ_μ(ｘ(τ₁))...Ａ_μ(ｘ(τ_n))}{ｄｘ^μ(τ₁)/ｄτ₁}...{ｄｘ^μ(τ_n)/ｄτ_n}]で定義されているわけです。

ところが,(ｄｆ_ij/ｄｔ)＝－iＡ_μ,kjｆ_kj(ｄｘ^μ/ｄｔ)のＡ_μ(ｘ)は一般に座標ｆの取り方に依存します。

すなわち,同一のｘ＝ｘ(ｔ)に対してｆの代わりにｆ'(ｔ)＝ｆ(ｔ)・ｕ∈Ｇを取って主ファイバー束Ｐの点ｐの座標として(ｘ,ｆ')を採用したときのｐにおける水平方向は,{∂/∂ｘ^μ－iＡ'_μ,kjｆ'_ik(∂/∂ｆ'_ij)}＝{∂/∂ｘ^μ－i(ｆ'Ａ'_μ)(∂/∂ｆ')}となります。

そして,これが{∂/∂ｘ^μ－iＡ_μ,kjｆ_ik(∂/∂ｆ_ij)}と一致することが要求されます。それ故,ｆ'＝ｆ・ｕ,∂/∂ｆ＝ｕ^-1・(∂/∂ｆ)を代入するとＡ'_μ(ｘ)＝ｕ^-1Ａ_μ(ｘ)ｕとなります。

また,"近傍系＝地図(chart)"の選択が違う場合,つまり,ｘの属する地図Ｕ_βが別の地図Ｕ_αに代わるとき,もちろん,ｘ∈Ｕ_β∩Ｕ_αですが転移関数をφ_αβ(ｘ)とするとき,すなわち地図Ｕ_β上での点ｐの座標(ｘ,ｆ)が地図Ｕ_β上では(ｘ,ｆ')となるときｆ'＝φ_αβｆによって転移が表わされるわけですが,一方,このときも,あるｕ∈Ｇにより,ｆ'＝ｆ・ｕと書くこともできます。

したがって,ｆおよび,ｆ'がそれぞれ,Ｕ_α,およびＵ_β上でのｘを含む切断面ｆ_α(ｘ),ｆ_β(ｘ)であるとし,地図Ｕ_βから別の地図Ｕ_αへの転移に伴なう変換:ｕをｕ_βα(ｘ)で表現するなら,ｆ_β(ｘ)＝ｆ_α(ｘ)ｕ_βα(ｘ)と書けてφ_αβ(ｘ)の代わりにｕ_βα(ｘ)を転移関数と称してもいいわけです。

ところで水平性の性質は,多様体上の地図(つまり,座標系)の取り方によって変化しては困る概念です。

それ故,{∂/∂ｘ^μ－iＡ'_μ,kjｆ'_ik(∂/∂ｆ'_ij)}と{∂/∂ｘ^μ－iＡ_μ,kjｆ_ik(∂/∂ｆ_ij)}を等しいと置けば,先の同じ座標系での異なる座標の話ではＡ'_μ(ｘ)＝ｕ^-1Ａ_μ(ｘ)ｕになると書きましたが,ｕが転移関数としてｘの関数ｕ(ｘ)である場合には,ｆ'Ａ'_μ(∂ｈ/∂ｆ')＝ｆＡ_μ(∂ｈ/∂ｆ)となるべきです。

ｆ'(ｘ)＝ｆ(ｘ)ｕ(ｘ)より,ｄｆ'＝ｄｆ・ｕ＋ｆ・ｄｕなので(∂ｈ/∂ｆ')^-1＝(∂ｈ/∂ｆ)^-1ｕ＋ｆ(∂ｈ/∂ｕ)^-1＝(∂ｈ/∂ｆ)^-1ｕ－ｆ(∂ｈ/∂ｘ)^-1(∂ｕ/∂ｘ)ですから,上式の両辺に右からこれを掛けて,ｕＡ'_μ＝Ａ_μ(∂ｈ/∂ｆ)[(∂ｈ/∂ｆ)^-1ｕ－ｆ(∂ｈ/∂ｘ)^-1(∂ｕ/∂ｘ)]＝Ａ_μｕ－Ａ_μ(∂ｈ/∂ｆ)ｆ(∂ｈ/∂ｘ)^-1(∂ｕ/∂ｘ)を得ます。

それ故,Ａ'_μ＝ｕ^-1Ａ_μｕ－ｕ^-1Ａ_μ(∂ｈ/∂ｆ)ｆ(∂ｈ/∂ｘ)^-1(∂ｕ/∂ｘ)となります。

ところが,(ｄｆ_ij/ｄｔ)＝－iＡ_μ,kjｆ_ik(ｄｘ^μ/ｄｔ)により,ｄｆ＝－i(ｆＡ_μ)ｄｘなので,(∂ｈ/∂ｆ)＝iＡ_μ^-1ｆ^-1(∂ｈ/∂ｘ)と書けますから,結局,Ａ'_μ＝ｕ^-1Ａ_μｕ－iｕ^-1(∂ｕ/∂ｘ)なる変換性が要求されます。 

Ｕ_αとＵ_βでＣ＾上の点の座標が(ｘ,ｆ)から(ｘ,ｆ')へと変わるだけでなく,(ｘ,ｆ)→(ｘ',ｆ')に変えられる場合,例えばｘが時空座標を表わし,群Ｇが時空自身の一様性や等方性などの対称性と関わる場合などもありますが,ｘ→ｘ'の変化は容易に扱えるので,上記の論議ではｘ＝ｘ'とした場合,になっていますが,そうした拡張は容易です。

そして,物理学ではこの変換はゲージ変換と呼ばれています。

今日こそは終わりまで進もうと思っていましたが,まだまだ長くなりそうなので,切りのいいところということで,ここで,またまた一旦，中断します。

参考文献：矢吹治一 著「量子論における位相」(日本評論社),松本幸夫著「多様体の基礎」(東京大学出版会)

http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/「ＴＲＳ健康ランド」-- 黒ウコン,ＳＣＳ(洗浄剤)専売などの店：  私が店長 です。

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン！メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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