ベリーの位相とアハラノフ・ボーム効果(4）

　続きです。今日もまだ終わらず,さらに続きます。

平行移動の変換ｆ(ｔ)＝ｆ(0)Ｐexp{－i∫₀^tＡ_μ(ｘ(τ))(ｄｘ^μ/ｄτ)ｄτ}をｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ₀)Ｐexp{－i∫_CＡ_μ(ｘ)ｄｘ^μ}なるより簡明な形に書き換えます。

ここで,曲線Ｃ:ｘ(ｔ)は底空間の上でｘ₀＝ｘ(0)からｘ＝ｘ(ｔ)まで動く点の軌跡を示しています。

ｆ(ｘ)∈Ｇに対して,群Ｇの作用は右側に掛かるとして扱ってきていますから,これに座標ｘに依存しないＧの元ｕ∈Ｇを作用させると,ｆ(ｘ)ｕ＝ｆ(ｘ₀)Ｐexp{－i∫_CＡ_μ(ｘ)ｄｘ^μ}ｕです。

ここで,この変換に対してＡ_μ(ｘ)がＡ'_μ(ｘ)に変換されるとするとＡ'_μ(ｘ)＝ｕ^-1Ａ_μ(ｘ)ｕです。

よって,ｕＰexp{－i∫_CＡ'_μ(ｘ)ｄｘ^μ}＝ｕＰexp{－i∫_Cｕ^-1Ａ_μ(ｘ)ｕｄｘ^μ}＝Ｐexp{－i∫_CＡ_μ(ｘ)ｄｘ^μ}ｕです。

それ故,両辺の左からｆ(ｘ₀)を掛けると,ｆ(ｘ)ｕ＝ｆ(ｘ₀)Ｐexp{－i∫_CＡ_μ(ｘ)ｄｘ^μ}ｕ＝{ｆ(ｘ₀)ｕ}Ｐexp{－i∫_CＡ'_μ(ｘ)ｄｘ^μ}となります。

つまりｆ(ｘ)ｕ＝{ｆ(ｘ₀)ｕ}Ｐexp{－i∫_CＡ'_μ(ｘ)ｄｘ^μ}です。

既に,Ａ_μ∈ｇに基づく平行移動を与える微分方程式:(ｄｆ_ij/ｄｔ)＝－iＡ_μ,kjｆ_ik(ｄｘ^μ/ｄｔ),すなわちｄｆ/ｄｔ＝－i(ｆＡ_μ)(ｄｘ^μ/ｄｔ)が解ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ₀)Ｐexp{－i∫_CＡ_μ(ｘ)ｄｘ^μ}を与えることを見ました。

そこで,ｆ(ｘ)ｕ＝{ｆ(ｘ₀)ｕ}Ｐexp{－i∫_CＡ'_μ(ｘ)ｄｘ^μ}の等式の右辺はｆ(ｘ₀)ｕをＡ'_μ∈ｇに基づいて曲線Ｃに沿って平行移動したものを表わすと考えられます。つまり,ｆ(ｘ₀)にｕを作用させた後に平行移動したものです。

一方,左辺ｆ(ｘ)ｕはｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ₀)Ｐexp{－i∫_CＡ_μ(ｘ)ｄｘ^μ}によってｆ(ｘ₀)を曲線Ｃに沿ってｆ(ｘ)まで平行移動した後にｕを作用させたものです。

Ｇの任意の元の作用は垂直方向への移動を表わすので,Ａ_μとＡ'_μの違いはあるものの,以上のことから"平行移動作用とＧの元による垂直移動の作用は可換である"と言えます。

この可換性は次のようにも読めます。

"Ａ_μとＡ'_μは本質的には同一のものでありｕＰexp{－i∫_CＡ'_μ(ｘ)ｄｘ^μ}＝Ｐexp{－i∫_CＡ_μ(ｘ)ｄｘ^μ}ｕの右辺右端に掛かっているｕを指数関数のＰ積を通って左側に移動させていくと,左辺のようにＡ_μをＡ'_μに変えながら進んでゆき,最後に左端に到達する"

という見方もできます。

つまり,始点ｘ₀でのｘに依らない垂直移動ｆ(ｘ₀)に別の垂直移動ｕを作用させて移動した後,平行移動してｆ(ｘ)ｕに対応する点に到達した結果と,曲線Ｃ全体をｆ(ｘ)で平行移動した後,その曲線Ｃ^全体に垂直移動ｕを作用させて移動した結果,が同じということを意味します。

主ファイバー束Ｐの底空間Ｍの上で曲線Ｃが閉じていても,Ｐの中でｆ(ｘ)に従って平行移動した曲線Ｃ^が閉じているとは限りません。

曲線Ｃ上の始点ｘ₀に対応する曲線Ｃ^上のファイバー座標をｆ₀とし, 始点と同じｘ₀に対応する終点の座標をｆ₁と書くとｆ₁＝ｆ₀Ｐexp{－i∫_CＡ_μ(ｘ)ｄｘ^μ}となります。

Ｃが閉曲線の場合でも,一般にはＡ_μ(ｘ)が非回転的:∫_CＡ_μ(ｘ)ｄｘ^μ≠0 なので,Ｐexp{－i∫_CＡ_μ(ｘ)ｄｘ^μ}＝1(単位元)とはならないため,ｆ₁≠ｆ₀となり曲線Ｃ^は閉曲線ではないのです。

そして,こうして曲線Ｃによって一般にはｆ₀と異なるｆ₁をｆ₀に関係付ける上の表現をｆ₁＝ｆ₀Ｈ(Ｃ)と書くことにします。

このとき,Ｈ(Ｃ)≡Ｐexp{－i∫_CＡ_μ(ｘ)ｄｘ^μ}は群Ｇのある要素ｈ_Cと同一視できてｆ₁＝ｆ₀ｈ_Cとも書けることがわかります。

実際には,Ｈ(Ｃ)はＣのみの関数ではなく,同じ曲線Ｃに対してＰexp{－i∫_CＡ'_μ(ｘ)ｄｘ^μ}も曲線Ｃに関する平行移動ですが,ここではＡ_μとＡ'_μは本質的には同一のものであると同一視しています。

一方,曲線Ｃと同じくｘ₀を始点かつ終点とする別の閉曲線Ｃ'を考えてｆ₁をＣ'に沿って平行移動した終点をｆ₂と書けばｆ₂＝ｆ₁Ｈ(Ｃ')と書けます。

故に,ｆ₂＝{ｆ₀Ｈ(Ｃ)}Ｈ(Ｃ')＝ｆ₀Ｈ(Ｃ'Ｃ)＝ｆ₀ｈ_C'Cとなります。ここでＨ(Ｃ'Ｃ)はＣの次にＣ'に沿って動く二重閉曲線Ｃ'Ｃに沿っての平行移動を表わしています。

一方,Ａ_μとＡ'_μの同一視によって,群Ｇの作用と平行移動は完全に可換とみなせるなので,ｆ₂＝(ｆ₀ｈ_C)Ｈ(Ｃ')＝{ｆ₀Ｈ(Ｃ')}ｈ_C＝(ｆ₀ｈ_C')ｈ_C＝ｆ₀(ｈ_C'ｈ_C)です。したがって,ｈ_C'C＝ｈ_C'ｈ_Cです。

また,閉曲線Ｃの逆向きの閉曲線をＣ^-1と書けば,ｈ_C-1＝(ｈ_C)^-1ですから逆元も存在します。

よって,ｘ₀を始点かつ終点とする閉曲線Ｃ全体に対するｈ_Cの集合:{ｈ_C}は１つの群(Ｇの部分群)を成すことがわかります。この群をｘ₀を基点とするホロノミー(holonomy)群と呼びます。

次に,具体的に波動関数ψ(ｘ)の平行移動について考察してみます。

例えばψがクォーク場で構造群ＧがカラーSU(3)群であるとすると,ψはSU(3)の３次元基本表現に従います。つまり,このときにはψは３次元複素ベクトル空間で与えられる表現空間の要素です。

ここで,一般にベクトル空間Ｆの上での群Ｇの表現:ρを考えます。波動関数ψはＧのこの表現ρに従うとします。

すなわち,関数としてのψ全体はベクトル束(Ｅ,π,Ｆ,ρ(Ｇ),Ｍ)の切断面であるとします。ファイバーＦはＧの表現空間なのでρ(Ｇ)はＦからＦへの同型写像を与えるものです。

このベクトル束と深い関係を持つ主ファイバー束は(Ｐ,π,;,Ｇ,Ｍ)と書けます。

ここで混乱は生じないと考えてＥとＰの底空間Ｍへの射影に関して同じ記号πを用いています。

また底空間Ｍの多様体としての"座標近傍系＝地図帳"はＥとＰの両者のファイバー束において同一であるとしておきます。

ＥとＰで共通なｘ∈Ｍの近傍の地図Ｕ_α上での群Ｇ,およびファイバーＦの座標を示す座標関数をそれぞれΦ_α,およびφ_αと書くと,Ｐの転移関数はＴ_αβ(ｘ)＝Φ_α・Φ_β^-1(ｘ)∈ＧでありＥの転移関数はｔ_αβ(ｘ)＝φ_α・φ_β^-1(ｘ)∈ρ(Ｇ)ですが,ｔ_αβ(ｘ)＝ρ(Ｔ_αβ(ｘ))を満たしているとします。

このような場合,ＥとＰは構造群Ｇの作用に関してはほぼ同一の挙動を示します。そこでＥはＰの同伴ファイバー束と呼ばれています。

そこで,ベクトル束Ｅの中での平行移動は,対応する主ファイバー束Ｐの中の平行移動をＥの言葉に翻訳して表現したものとします。

これまでに定義されている平行移動の概念Ｐに対するものだけです。

底空間Ｍ上の曲線Ｃ:ｘ(ｔ)を考え,その始点をｘ₀,終点をｘとします。そして,Ｍの1つの"近傍＝地図"の中に曲線Ｃ全体が収まっているとします。(これで一般性を失うことはありません。)

　主束Ｐの中でｘ₀に付随するファイバーの１点ｆ₀を取り,このｆ₀を曲線Ｃに沿って平行移動していった終点をｆとします。

　すなわち,π(ｆ₀)＝ｘ₀,π(ｆ)＝ｘとします。

　このとき,同伴ベクトル束Ｅの中で,ｘ₀に付随するファイバーの１点:ψ₀ (π(ψ₀)＝ｘ₀)を始点としたときの曲線Ｃに沿った平行移動を定義して終点ψ (π(ψ)＝ｘ)を決定したいわけです。

　群Ｇの表現ρ(Ｇ)というのは,ＧからＦの中への準同型写像ですからｆ₀→ｆの作用を示すｆｆ₀^-1∈Ｇの表現はρ(ｆｆ₀^-1)です。

　それ故,ＥにおけるＧの表現空間Ｆの上では曲線Ｃに沿った平行移動をψ＝ρ(ｆｆ₀^-1)ψ₀ (ψ₀ ,ψ∈Ｆ)によって定義するのが妥当であると思われます。

　この定義がwell-definedであること,つまり地図の選択やＧの中の始点ｆ₀の選択に依存せず,一意的に決まることは直接,計算で確かめることにより簡単に示されるので,ここではそれの証明は省略します。

　次に,これら平行移動概念に基づいて,Ｍの点ｘ₀におけるψ(ｘ)の共変微分(covariant derivative):∇_uψ|_x0を∇_uψ|_x0≡lim_t→0[{Ｈ(0←ｔ)ψ(ｘ(ｔ))－ψ₀}/t]で定義しておきます。

　ここで,右辺の記号:Ｈ(0←ｔ)ψ(ｘ(ｔ))はｘ(ｔ)における波動関数ψ(ｘ(ｔ))を曲線Ｃに沿ってｘ＝ｘ(ｔ)からｘ₀＝ｘ(0)へ平行移動した終点のファイバー座標を表わすものです。

　したがって,共変微分:∇_uはψ(ｘ)が水平方向からずれていく"変化率＝傾き"を与えます。

　たった今,求めたように,Ｈ(0←ｔ)ψ(ｘ(ｔ))＝ρ(ｆ(0)ｆ(ｔ)^-1)ψ(ｘ(ｔ))です。

　そして,ｆ(ｔ)＝ｆ(0)Ｐexp{－i∫₀^tＡ_μ(ｘ(τ))(ｄｘ^μ/ｄτ)ｄτ}と陽に表現すればＨ(0←ｔ)ψ(ｘ(ｔ))＝ρ(Ｐexp{－i∫₀^tＡ_μ(ｘ(τ))(ｄｘ^μ/ｄτ)ｄτ})^-1ψ(ｘ(ｔ))と書けます。

　これを∇_uψ|_x0＝lim_t→0[{Ｈ(0←ｔ)ψ(ｘ(ｔ))－ψ₀}/t]に代入すると,∇_uψ|_x0＝(ｄｘ^μ/ｄｔ)(∂ψ/∂ｘ^μ)|_ｔ＝0＋iρ(Ａ_μ(ｘ₀))(ｄｘ^μ/ｄｔ)|_ｔ＝0)ψ(ｘ₀)です。

　すなわち,ｕ^μ≡(ｄｘ^μ/ｄｔ)|_ｔ＝0と置けば∇_uψ|_x0＝＝ｕ^μ{∂/∂ｘ^μ＋iρ(Ａ_μ(ｘ))}ψ(ｘ)|_x0なる結果を得ます。

　通常はゲージ場の表現ρ(Ａ_μ(ｘ))を単にＡ_μ(ｘ)と書きますが,これによって混同は生じません。

　そこで,波動関数に対する共変微分演算子をＤ_μ≡∂_μ＋Ａ_μ (∂_μ≡∂/∂ｘ^μ)で定義すれば,∇_u＝ｕ^μＤ_μと書けます。

　そこで,改めて平行移動の条件を考えると,それは水平条件:Ｄ_μψ(ｘ)＝0 です。これを形式的に解けば,やはり予想通りψ(ｘ)＝Ｐexp{－i∫_CＡ_μ(ｘ)ｄｘ^μ}ψ(ｘ₀)なる表式が得られます。

　例として,ｘｙ平面に垂直に一様な磁場があって,このｘｙ平面内の１辺の長さが１の正方形領域ＯＡＢＣの中を運動する電荷ｅを持った荷電粒子の波動関数ψ(ｘ,ｙ)を考察します。

　ただし,ＯＡとＣＢ,およびＯＣとＡＢを同一視してこの領域をトポロジー的にトーラス(torus)に等しいとします。

　一様磁場の磁束密度をΦとしてＢ＝(0,0,Φ),Ｂ＝∇×ＡによってＢを与えるベクトルポテンシャルＡがＡ＝(0,Φｘ,0)と選択されている場合を考えると,系を記述するハミルトニアンＨはＨ＝－{1/(2ｍ)}{(∂/∂ｘ)²＋(∂/∂ｙ－iｅΦｘ)²}と書けます。

　ただしプランク定数ｈ_cを１に取る自然単位を採用しています。

　ＯＣ:ｘ＝0 とＡＢ:ｘ＝1 を同一視するトーラスを想定していますが,ベクトルポテンシャルのゼロでない成分Ａ_yはこの辺の上でゼロとΦなので大きさΦだけのずれが生じます。

　そこで,ε＞0 を与えてＯＣの両側に－ε≦ｘ＜ε,ＡＢの両側に1－ε＜ｘ≦1＋εと,それぞれ幅が2εの長方形領域を取り,これらを張り合わせることによって実際に幾何学的なトーラスを作ります。

　この際の,こうした領域での地図の読み替えは次のゲージ変換によるものとします。すなわち,Ａ(1＋ｘ,ｙ)＝Ａ(ｘ,ｙ)－∇χ,ψ(1＋ｘ,ｙ)＝ｅ^－iｅχψ(ｘ,ｙ)；－ε＜ｘ≦εとします。

　ここでχ＝－Φｙです。ｙ方向については元々連続なので単にＯＡ:ｙ＝0 とＣＢ:ｙ＝1 を同一視するだけで不都合は生じません。

このときトーラスをｘ方向に１周して元に戻ると,ゲージ変換のために波動関数ψに位相変化ｅΦｙが生じます。したがって波動関数ψはｙに関しては１価ですが,ｘ方向には１価ではありません。

こうした波動関数の非一価性はベクトルポテンシャルをどう取っても避けられません。ただ,この問題では,特にｅΦ＝2πの場合には閉じた形で解が得られます。

すなわち,以前に2007年８/24の記事「磁気単極子(モノポール)」の中述べたことですが,

条件:"(1)Ｃが１点にホモトピーである"が満たされない場合,これは今の場合は正方形Ｃがトーラスなので単連結ではなく多重連結である場合に相当しますが,電磁場が働いているときの波動関数が一価関数になるとは限らないといえます。

今日はここまでにします。

参考文献：矢吹治一 著「量子論における位相」(日本評論社)

http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/「ＴＲＳ健康ランド」-- 黒ウコン,ＳＣＳ(洗浄剤)専売などの店：  私が店長 です。

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン！メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学