ベリーの位相とアハラノフ・ボーム効果(5）

続きです。一応,これで本項目についての記事は終わります。

さて,前記事まででファイバー束(fiber bundle)に関する基本的説明も終わったので話をベリーの(Berry)の位相に戻し,ここまでの説明を生かして次のようなファイバー束:(Ｅ,π,Ｆ,Ｇ,Ｍ)を考えます。

　前の記事「ベリーの位相とアハラノフ・ボーム効果(2)」において,

　"系のハミルトニアンＨ(ｔ)が周期的で時間周期Ｔを持っていて,その時間依存性はパラメータの集合を一般的なｎ次元のベクトルで表現したＲ(ｔ)を通してのみ現われるとします。(ただしＲ(0)＝Ｒ(Ｔ)です)"

　と書きました。

ここで,底空間ＭはハミルトニアンＨ(ｔ)の時間依存性を示すパラメータＲ(ｔ)の構成する空間であり,ファイバーＦは,そこで定義した自明な時間発展の位相因子を除去した波動関数|φ(Ｒ(ｔ))＞のつくる空間であるとします。

そして構造群Ｇは,その作用が波動関数|φ(Ｒ(ｔ))＞にかかる位相因子として現われる１次元ユニタリ群Ｕ(1)です。

つまり,そこで書いたように,ハミルトニアンＨ(ｔ)の表現する物理系が断熱定理の条件を満足するようなごく一般的な場合には,ｔ＝0 でＨ(ｔ)のｍ番目の固有値Ｅ_m(0)に属する固有状態:|ｍ(Ｒ(0))＞にあった波動関数|ψ(ｔ)＞は時刻ｔでは|ψ(ｔ)＞＝|ｍ(Ｒ(ｔ))＞exp{{(－i/ｈ_c)∫₀^tＥ_m(ｔ')ｄｔ'}exp{－iγ_m(ｔ)}なる形に表わされます。

これの右辺から因子exp{{(－i/ｈ_c)∫₀^tＥ_m(ｔ')ｄｔ'}を取り去った残りを|φ(Ｒ(ｔ)＞≡|ｍ(Ｒ(ｔ))＞exp{－iγ_m(ｔ)}と定義して,これらの全体で作られる空間をＭとするわけです。

既に記述したように,Ｒ(ｔ)が 0≦ｔ≦Ｔにおいて閉路Ｃを構成し,しかも状態ベクトルの１価性:|ｍ(Ｒ(Ｔ))＞＝|ｍ(Ｒ(0))＞が満たされる場合には,波動関数の１周期当たりの全体としての位相のずれはγ_m(Ｃ)≡γ_m(Ｔ)＝－Im∫_Ｃ＜ｍ(Ｒ)|∇ｍ(Ｒ)＞ｄＲ＝－∫∫_ＳＶ_m(Ｒ)ｄＳ;ただしＶ_m(Ｒ)≡Im[Σ_n≠m{＜ｍ(Ｒ)|∇Ｈ|ｎ(Ｒ)＞×＜ｎ(Ｒ)|∇Ｈ|ｍ(Ｒ)＞/(Ｅ_n－Ｅ_m)²]で与えられます。

この閉路Ｃ,あるいは１周期Ｔ当たりの位相変化量γ_m(Ｃ)のことをベリーの位相と呼びます。

波動関数の非１価な位相の動きを制限する条件式は＜φ(Ｒ(ｔ))|(ｄ/ｄｔ)|φ(Ｒ(ｔ))＞＝0 で与えられます。

これはγ_m(ｔ)の定義γ_m(ｔ)≡i∫₀^t＜ｍ(Ｒ(ｔ'))|(ｄ/ｄｔ')|ｍ(Ｒ(ｔ'))＞ｄｔ'を考慮して実際に計算をすれば確かめられます。

そして,この条件を満足する位相変化を,このファイバー束(Ｅ,π,Ｆ,Ｇ,Ｍ)の中での理論,つまりＨのＧ＝Ｕ(1)不変性という対称性に対応する平行移動であると定義します。

つまり,平行移動は|φ(Ｒ(ｔ))＞の変化ｄ|φ(Ｒ(ｔ))＞が|φ(Ｒ(ｔ))＞に直交する方向に向かう動きであることを示すとします。

|φ(Ｒ(Ｔ)＞≡|ｍ(Ｒ(0))＞exp{－iγ_m(Ｃ)}であり,γ_m(Ｃ)＝γ_m(Ｔ)＝i∫₀^T＜ｍ(Ｒ(ｔ))|(ｄ/ｄｔ)|ｍ(Ｒ(ｔ))＞ｄｔ＝i∫_Ｃ＜ｍ(Ｒ(ｔ))|∇_Rｍ(Ｒ(ｔ))＞ｄＲ(ｔ)です。

それ故,Ａ(Ｒ)≡i＜ｍ(Ｒ)|∇|ｍ(Ｒ)＞と置いて,これをベクトルポテンシャルと呼べば,結局,|φ(Ｒ(Ｔ)＞≡|Φ(Ｒ(0))＞exp{－i∫Ａ(Ｒ)ｄＲですから,このファイバー束Ｅにおける平行移動に関連した接続Ａ_μはベクトルポテンシャルＡ(Ｒ)≡i＜ｍ(Ｒ)|∇|ｍ(Ｒ)＞となります。

そして,ベリーの位相:γ_m(Ｃ)は,このファイバー束のホロノミー群に対応していて,exp{－iγ_m(Ｃ)}∈Ｇが,このホロノミー群の個々の要素になっています。

ベクトル束Ｅの底空間Ｍが,２次元リーマン多様体で与えられる例として,通常の我々の３次元ユークリッド空間内での,単位球面上の点における長さ１の接ベクトルａの平行移動について考察してみます。

接ベクトルａの単位球面上での平行移動を次のように定義します。まず,ａをこの球面が存在する３次元ユークリッド空間内の通常の意味での平行移動を行い,その後にそれから球面に対する垂直成分を切り捨てて球面の接ベクトルとし,残ったベクトルの長さを１にします。

この移動は次のような条件式で表現されます。すなわち,ｄａ/ｄｔ＝ｓ×ａです。ここでｓは,ａが接している点の位置ベクトルをｒとしたとき,ｓ≡ｒ×(ｄｒ/ｄｔ)で定義されます。

実際,ａはｒにおける接ベクトルなのでａ・ｒ＝0 であり,またｓ(ｄｒ/ｄｔ)＝0 です。そして(ａ＋ｄａ)(ａ＋ｄａ)＝1＋2ａｄａ＝1＋2ａ(ｓ×ａ)ｄｔ＝1 ですから確かにｄａ/ｄｔ＝ｓ×ａなる移動はａの長さ:１を保存します。

単位球面上ではｒと(ｄｒ/ｄｔ)は垂直であり,ｓはｒと(ｄｒ/ｄｔ)が作る平面に垂直ですから,任意のベクトルはｓ,ｒと(ｄｒ/ｄｔ)の１次結合で表わされますがａ・ｒ＝0 なのでａはｓと(ｄｒ/ｄｔ)だけでａ＝ｃ₁(ｄｒ/ｄｔ)＋ｃ₂ｓと書けます。ｃ₁,ｃ₂は定数です。 

仮にｃ₁＝0 なら,|ｄｒ/ｄｔ|＝ｒω＝ωとすると|ｓ|＝|ｒ×(ｄｒ/ｄｔ)|＝ωです。そしてａは長さが１なのでａ＝(ｄｒ/ｄｔ)/ωです。

そこで(ｄａ/ｄｔ)－ｓ×ａ＝(ｄ²ｒ/ｄｔ²)/ω＋(ｄｒ/ｄｔ)²ｒ/ωとなりますが,|ｄｒ/ｄｔ|＝ωであり,球面運動なのでｒではｄ²ｒ/ｄｔ²＝－ω²ｒですから,(ｄａ/ｄｔ)－ｓ×ａ＝0 すなわち,ｄａ/ｄｔ＝ｓ×ａです。

一方,ｃ₂＝0 ならｄａ/ｄｔ＝ｓ×ａはｄａ/ｄｔ＝0 を意味します。

ｒの球面上の運動では(ｄｒ/ｄｔ)は,ｓに垂直なので,この場合にはａに垂直ですから,確かにｄａ/ｄｔ＝0 です。

以上から一般の重ね合わせ:ａ＝ｃ₁(ｄｒ/ｄｔ)＋ｃ₂ｓで与えられるａについても,ｄａ/ｄｔ＝ｓ×ａが成立するわけです。

ついでにｂ≡ｒ×ａなるベクトルｂも定義しておきます。

そして記号的に,|ψ＞≡(1/2)^1/2(ａ＋iｂ)と置きます。

今の場合,|ψ＞,|φ＞etc.は単なる３次元複素ベクトルであり,＜φ|ψ＞はそれらの数ベクトルとしての内積を示しているとします。

ｄａ/ｄｔ＝ｓ×ａと同じく,ｄｂ/ｄｔ＝ｓ×ｂですから(ｄ/ｄｔ)|ψ＞＝ｓ×|ψ＞が成立します。

ところで,＜ψ|ψ＞＝1(時間に依らず一定)なので,Re＜ψ|(ｄ/ｄｔ)|ψ＞＝0 です。

そして,Im＜ψ|(ｄ/ｄｔ)|ψ＞＝(1/2){ａ(ｄｂ/ｄｔ)－ｂ(ｄａ/ｄｔ)}＝(1/2){ａ(ｓ×ｂ)－ｂ(ｓ×ａ)}＝ｓ(ｂ×ａ)＝0 です。

故に球面上の平行移動の条件ｄａ/ｄｔ＝ｓ×ａは条件＜ψ|(ｄ/ｄｔ)|ψ＞＝0 と同等であることがわかりました。

ベクトルａ,あるいは|ψ＞は単位球面上のあるループに沿って平行移動して元の位置に戻ったとき,出発時とは異なるベクトルになるということは既によく知られている事実です。

そして今問題としているファイバー束:(Ｅ,π,Ｆ,Ｇ,Ｍ)においては,ファイバーＦは波動関数|ψ＞(＝(1/2)^1/2(ａ＋iｂ))の空間,Ｇはユニタリ群Ｕ(1)で,これは|ψ＞に位相因子exp(iθ)を掛ける作用を示す群です。

そして底空間Ｍは|ψ＞＝|ψ(Ｒ(ｔ))＞のパラメータＲ(ｔ)の空間ですが,今これを単位球面とします。

単位球面上の点ｒ＝(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)における局所的に１価の基底を次のように選択します。

すなわち,|ｎ₁(θ,φ)＞≡(－sinφ,cosφ,0),|ｎ₂(θ,φ)＞≡(－cosθcosφ,－cosθsinφ,sinθ)とします。

|ψ＞＝(1/2)^1/2(ａ＋iｂ)なる表式でｎ₁からａへの方向への角度がγであるとするとａ＝cosγ|ｎ₁＞＋sinγ|ｎ₂＞,ｂ＝－sinγ|ｎ₁＞＋cosγ|ｎ₂＞です。

そして,|ｎ(θ,φ)＞≡＝(1/2)^1/2{|ｎ₁(θ,φ)＞＋i|ｎ₂(θ,φ)＞}と置くと|ψ＞＝(1/2)^1/2(ａ＋iｂ)＝|ｎ＞exp(－iγ)と書けます。

ここで|ψ＞をＭの元であるＲ(ｔ)の単位球面上のループＣに沿って平行移動させて１回転させたときの複素数としての偏角のずれγ(Ｃ)≡∫_Cｄγを計算します。

まず,＜ｎ｜ｄｎ＞＝＜ψ|exp(－iγ){iｄγ|ψ＞exp(iγ)＋ｄ|ψ＞exp(iγ)}＝iｄγ＋＜ψ|ｄψ＞です。

平行移動の条件によって＜ψ|ｄψ＞＝0 ですから,ｄγ＝－i＜ｎ|ｄｎ＞より,偏角のずれはγ(Ｃ)＝∫_Cｄγ＝－i∫_C＜ｎ|ｄｎ＞＝Im∫_C＜ｎ|ｄｎ＞＝Im∫∫_Ｓ＜ｄｎ|×|ｄｎ＞と表現されます。

これは,γ(Ｃ)＝Im∫∫_Ｓ＜ｄｎ|×|ｄｎ＞＝∫∫_Ｓｄθｄφsinθ＝∫∫_ＳｄΩと書けます。

偏角のずれγ(Ｃ)＝∫∫_ＳｄΩは.ループＣによって囲まれる立体角,つまり単位球面上でループＣによって囲まれる面積に等しいことがわかります。

なお,基底ベクトル:|ｎ(θ,φ)＞を変更しても,それはθ,φを変更するのと同等で単に位相因子の変更に過ぎないので,今の結果には影響しません。

以上,で一般の状態ベクトルの平行移動＜ψ|ｄψ＞＝0 が初等幾何学的な平行移動と同等な概念であることの例示による説明を終わります。

次にアハラノフ・アナンダン(Aharonov-Anandan)の位相というものを定義します。 

そのために,以前の記事「ベリーの位相とアハラノフ・ボーム効果(2)」で系のハミルトニアンとして与えたＨ＝－σ・Ｂ(ｔ)において特にＨ＝－Ｂ₃σ₃の場合を考えます。 

シュレーディンガー方程式:iｈ_c∂ψ(ｔ)/∂ｔ＝Ｈψ(ｔ)(ｈ_c≡ｈ/(2π)はプランク定数)の解ψ(ｔ)＝ｕ(ｔ)で,初期時刻ｔ＝0 でｕ(ｔ＝0)＝^t(cos(θ/2),sin(θ/2))を満たすものを考えます。

すると,その後の時間発展はｕ(ｔ)＝exp(－iＨｔ/ｈ_c)ｕ(0)＝exp(iＢ₃σ₃ｔ/ｈ_c)ｕ(0)＝^t(exp(iＢ₃ｔ/ｈ_c)cos(θ/2),exp(－iＢ₃ｔ/ｈ_c)sin(θ/2))で与えられます。

ｕ(ｔ)はＨ＝－Ｂ₃σ₃の固有状態ではありませんから,エネルギーが一定の定常状態ではありません。

この状態でのσ₃の期待値はｕ^＋(ｔ)σ₃ｕ(ｔ)＝cos²(θ/2)－sin²(θ/2)＝cosθです。

ここで前の記事「ベリーの位相とアハラノフ・ボーム効果(2)」を思い起こします。

そこでは"Ｈ(ｔ)＝－σＢ(ｔ);Ｂ(ｔ)≡(Ｂ₀cosωt,Ｂ₀sinωt,Ｂ₃)であり,Ｈ(ｔ)の固有値は±Ｂ;Ｂ≡(Ｂ₀²＋Ｂ₃²)^1/2であって,それの－Ｂ,Ｂのそれぞれに属する固有ベクトルｕ₁(ｔ),ｕ₂(ｔ)はｕ₁(ｔ)＝^t(exp(iωｔ)cos(θ/2),sin(θ/2)),ｕ₂(ｔ)＝^t(exp(iωｔ)sin(θ/2),－cos(θ/2))で与えられます。"と書きました。

このうちの１つの固有ベクトルｕ₁(ｔ)＝^t(exp(iωｔ)cos(θ/2),sin(θ/2))と,Ｈ＝－Ｂ₃σ₃に対する波動関数ｕ(ｔ)＝^t(exp(iＢ₃ｔ/ｈ_c)cos(θ/2),exp(－iＢ₃ｔ/ｈ_c)sin(θ/2))の類似性に着目します。

特にＢ₃/ｈ_c＝ω/2と置けば,ｕ(ｔ)＝exp(－iωｔ/2)ｕ₁(ｔ)です。

したがって,Ｂ₃/ｈ_c＝ω/2なら,ｕ(ｔ)はｕ₁(ｔ)と同様,Ｈ(ｔ)＝－σＢ(ｔ);Ｂ(ｔ)≡(Ｂ₀cosωt,Ｂ₀sinωt,Ｂ₃)のＨ(ｔ)の固有値－Ｂ；Ｂ＝(Ｂ₀²＋Ｂ₃²)^1/2に属する固有ベクトルになっていますが,今のＨ＝－Ｂ₃σ₃の場合には固有ベクトルではありません。

しかし,ｕ(ｔ)はこれの正確な解です。

ここでアハラノフとアナンダンは,次のようなファイバー束:(Ｅ,π,Ｆ,Ｇ,Ｍ)を考察しました。

まず,ファイバーＦは規格化された状態ベクトルの空間をＨとし,ψの底空間Ｍへの射影πはπ(ψ)＝{ψ'∈Ｈ:ψ'＝ｃψ,ｃ∈Ｕ(1)}であるとします。

つまり,底空間Ｍは長さ１の波動関数からなる空間Ｈのベクトルから位相の差異を無視した空間です。

すなわち,ＭはＨ/Ｕ(1)なる商空間,つまり位相を無視するとした同値関係による"同値類＝射線(ray)"の空間です。また,構造群ＧはもちろんＵ(1)です。

こうした前提の下で,先に述べた波動関数ｕ(ｔ)を考察します。

この波動関数は時刻ｔと共にＥの中で曲線Ｃ^を描きますが,この曲線のＭへの射影をＣとします。

このときＭ内の曲線Ｃは時間Ｔ＝ω/(2π)の後に出発点に戻りますからＣは閉曲線です。

しかしＥの中での曲線Ｃ^は一般に閉じていません。

そこでｕ(0)とｕ(Ｔ)の位相の差φを求めてみると,明らかにｕ(Ｔ)＝exp(iπ)ｕ(0)です。

この全位相差φ＝πから,通常の力学的発展部分φ_d≡－(1/ｈ_c)∫₀^Tｕ^＋(ｔ)Ｈｕ(ｔ)ｄｔ＝πcosθを除いて,φ≡φ_d＋γと書けば,γ＝π(1－cosθ)でγ＝－π(1＋cosθ)(mod 2π)です。 

　これは以前の記事で,"断熱近似の下では,ψ(ｔ)～ｕ₁(ｔ)exp(－iＥ_－ｔ/ｈ_c);Ｅ_－～ －Ｂ＋(ｈ_cω/2)(1＋cosθ)ですからψ(ｔ)の位相因子exp(－iＥ_－ｔ/ｈ_c)の位相(－Ｅ_－ｔ/ｈ_c)は(Ｂｔ/ｈ_c)－(ωｔ/2)(1＋cosθ)＝{(Ｂ/ｈ_c)－(ω/2)(1＋cosθ)}ｔで近似されます。"と書いたものと一致しています。

こうした結果は位相γがハミルトニアンに依存するというよりもむしろ,波動関数がファイバー束の中でどのように時間発展してゆくかに依存することを示しています。

一般的には,状態ベクトル:|ψ(ｔ)＞に対して新しい波動関数|φ(ｔ)＞を|φ(ｔ)＞≡exp{－iγ(ｔ)}|ψ(ｔ)＞;γ(ｔ)≡i∫₀^t＜ψ(ｔ')(ｄ/ｄｔ')|ψ(ｔ')＞ｄｔ'と定義し,この波動関数|φ(ｔ)＞がファイバー束の中を移動する様子を考えます。

今の場合には|ψ(ｔ)＞は正確なシュレーディンガー方程式に従うのでγ(ｔ)＝(1/ｈ_c)∫₀^t＜ψ(ｔ')|Ｈ|ψ(ｔ')＞ｄｔ'＝(1/ｈ_c)∫₀^tＥ(ｔ')ｄｔ'です。

こうして定義した新しい波動関数|φ(ｔ)＞は＜φ(ｔ)(ｄ/ｄｔ)|φ(ｔ)＞＝0 なる条件を満たします。

そこでπ(φ)がファイバー束の底空間Ｍで閉曲線Ｃを描くとき,|φ(ｔ)＞自身の描く曲線Ｃ^は閉じていません。そしてＣ^の両端での|φ(ｔ)＞の位相差をアハラノフ・アナンダンの位相と呼びます。

これも今考えているファイバー束でのホロノミ－群の要素として捉えることができます。これは断熱定理が成立しない場合にも適用可能であり,Ｈが周期的でない場合,パラメータＲ(ｔ)が周期的に元に戻るとは限らない場合にも拡張されたベリーの位相です。

最後にアハラノフ・ボーム効果(ＡＢ効果:Aharonov-Bohm effect)について考察します。

1つの荷電粒子が空間のある点Ａから遠方のスクリーンに向かって運動してスクリーン上の点Ｃに到達するとします。

そして,その途中のある位置での２つのスリットＵとＤで挟まれた場所に遮蔽された磁場Ｂが存在しているとします。

その磁場Ｂはスクリーン面に平行で荷電粒子の進行方向,およびＵＤに垂直な向きを持ち,Ｂの大きさと向きは時間的に一定でその全磁束はΦであり,しかも遠方のスクリーン上,特に点ＣではＢ＝0 になっているような系を考察します。

この物理系を"ＡＢ系＝アハラノフ・ボーム系"と呼びます。

このとき,ベクトルポテンシャルＡはＢ＝∇×Ａで定義されますから,空間内の閉曲線ＣをＡ→Ｄ→Ｃ→Ｕ→Ａに取れば,∫_CＡｄｓ＝∫∫_Ｓ(∇×Ａ)ｄＳ＝∫∫_ＳＢｄＳ＝Φです。 

古典電磁気学によれば,荷電粒子に対する電磁場の作用は電場Ｅと磁場Ｂによって生じるはずでＡには関係なく,それゆえ全磁束Φにも無関係なはずです。

しかし,上述の実験では点ＣではＥもＢもゼロであるにも関わらず,荷電粒子が作用を受けるという結果が得られ,古典電磁気学での素朴な常識が否定されています。

この場合の荷電粒子のハミルトニアンは以前の2007年11/24の記事「解析力学の初歩」で与えたように,Ｈ＝(ｐ－ｅＡ/ｃ)²/(2ｍ)＋ｅＶ(ｑ)です。

これはラグランジアンＬ＝ｐ(ｄｑ/ｄｔ)－Ｈ＝ｍ(ｄｑ/ｄｔ)²/2＋ｅＡ/ｃ－ｅＶ(ｑ),および運動量の定義ｐ＝∂Ｌ/∂(ｄｑ/ｄｔ)＝ｍ(ｄｑ/ｄｔ)＋ｅＡ/ｃから得られるものです。ただし,今の場合のＡＢ系ではＶ(ｑ)＝0 です。

これによる波動関数の時間発展の結果を簡単に得るために,ファインマンの経路積分の手法に頼れば,ψ(ｑ,ｔ)＝∫Ｋ(ｑ,ｔ;ｑ₀,ｔ₀)ψ(ｑ₀,ｔ₀)ｄｑ₀,Ｋ(ｑ,ｔ;ｑ₀,ｔ₀)≡∫exp(iＳ(ｑ)/ｈ_c)Ｄｑです。

ここで,Ｓ(ｑ)は作用積分で,Ｓ(ｑ)≡∫_t0^tＬ(ｑ),ｄｑ/ｄｔ',ｔ')ｄｔ'です。ただし,ｑ₀≡ｑ(ｔ₀),ｑ≡ｑ(ｔ),ｔ₀＜ｔです。 

離散近似では,Ｓ₀＝Ｓ₀(ｑ)を電磁場のない自由粒子の作用として,Ｓ(ｑ)＝Ｓ₀＋(ｅ/ｃ)Σ_i=1^ＮＡ[(ｑ_i＋ｑ_i-1)/2][(ｑ_i－ｑ_i-1)/(ｔ_i－ｔ_i-1)](ｔ_i－ｔ_i-1)と書けます。

この式の右辺第２項は細分の個数Ｎが無限大の極限で,(ｅ/ｃ)∫_qＡ(ｑ)ｄｑなる線積分になります。

結局,ファインマンの積分核ＫはＫ＝∫Ｄｑexp(iＳ₀(ｑ)/ｈ_c)exp[{iｅ/(ｃｈ_c)}∫_qＡ(ｑ)ｄｑ]で与えられます。 

経路積分∫Ｄｑというのは点Ａ:ｑ₀≡ｑ(ｔ₀)からスクリーン上の点Ｃ:ｑ≡ｑ(ｔ)に到達するあらゆる経路を総和するものですから,それは磁場Ｂを多数回周回する経路も全て含んでいます。

１つの経路とホモトピー同値な経路をホモトピー類として同値類別し,経路Ａ→Ｄ→Ｃを基準として,それとホモトピ－同値な経路をホモトピー類ゼロとし,Ｂをｎ回周回する経路にホモトピーなホモトピー類ｎの積分核Ｋへの寄与をＫ_n(ｎ＝0,±1,±2,...)と定義してＫの１価性を要求すれば,Ｋ＝Σ_nＫ_nとなります。 

基準となるホモトピー類ゼロの経路ｑ⁰に対してＦ≡∫_q0Ａ(ｑ)ｄｑと定義すれば,経路ｑⁿに対しては∫_qnＡ(ｑ)ｄｑ＝Ｆ＋ｎΦ(ｎ＝0,±1,±2,..,)です。

故に,Ｋ_n(ｑ,ｔ;ｑ₀,ｔ₀)＝exp{iｅ(Ｆ＋ｎΦ)/(ｃｈ_c)}∫_qnＤｑexp(iＳ₀(ｑ)/ｈ_c)≡exp{iｅ(Ｆ＋ｎΦ)/(ｃｈ_c)}Ｋ_n⁰(ｑ,ｔ;ｑ₀,ｔ₀)となります。

自由粒子の作用Ｓ₀(ｑ)は,経路ｑが古典力学の運動方程式を満足するときに極小値を取ること(最小作用の原理)がわかっています。

その経路からずれるほどＳ₀(ｑ)は大きくなって,急激な振動のためにＫ_nへの寄与は小さくなり,事実上,経路Ａ→Ｄ→ＣによるＫ₀と経路Ａ→Ｕ→ＣによるＫ₁の寄与以外は無視してよいことになります。 

それ故,ＣではＥもＢもゼロであるにも関わらず,ＡがゼロでないためにゼロでないＫ₀とＫ₁の位相の効果として荷電粒子が力を受けます。

これがアハラノフ・ボーム効果と呼ばれる現象です。

これはψ(ｑ,ｔ)∝exp{iｅＦ/(ｃｈ_c)}Ｋ₀⁰＋exp{iｅ(Ｆ＋Φ)/(ｃｈ_c)}Ｋ₁⁰によって,荷電粒子の存在確率|ψ|²が磁束Φの多寡によって変化する干渉パターンとして出現します。 

参考文献：矢吹治一 著「量子論における位相」(日本評論社)

http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/「ＴＲＳ健康ランド」-- 黒ウコン,ＳＣＳ(洗浄剤)専売などの店：  私が店長 です。

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン！メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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