解析接続の意味

例によって「ＥＭＡＮの物理学」の談話室での話題なのですが,ゼータ関数の定義に関連して,無限級数(の和)によって定義された関数の解析接続とか一致の定理というのは何か？についての議論が進み,ほぼ終局の状態です。

私自身はまだ言い足りないことがあったので,ここでの記事にしますが,実は投稿したものとほぼ同じです。

ダブルポストなので,通常はルール違反なのですが,自分のブログなのでかまわないでしょう。

それに掲示板ではフォントなどが限られているので,ブログでは自分の好きな形式で書けるという意味もあります。

　結局は,2006年４月23日の記事「くりこみ回避のアイデア」で書いた話を少し精密にしただけです。

　私は,複素関数論での通常の解析接続の説明では飽き足らず,物理屋的な解説を目指しました。

　まず,ｚを任意の複素数とすると,Σ_k=1ⁿｚ^k-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＋ｚ^n-1＝(1－ｚⁿ)/(1－ｚ)です。これは有限級数の和なので,|ｚ|＜1でも,ｚ＝－1でもｚ＝2でも成り立つ等式です。

　そして,|ｚ|＜1ならｎ→ ∞ で|ｚⁿ|→ 0 なので,Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＝1/(1－ｚ)が成り立ちます。

　　しかし,ｚ＝2ではｎ→ ∞ で|ｚⁿ|→ ∞ であり,ｚ＝－1ではｎ→ ∞ でｚⁿが確定値を取らないので,Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＝1/(1－ｚ) は成立しません。

　　そこで,複素関数ｆ(ｚ)を|ｚ|＜１で与えられる定義域においてｆ (ｚ)≡Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...(|ｚ|＜１)によって定義することにします。

　こう定義すれば,|ｚ|＜１の領域では ｆ (ｚ)は関数１/(1－ｚ)に一致します。

　|ｚ|＞1やｚ＝－1では等式Σ_k=1ⁿｚ^k-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＋ｚ^n-1＝(1－ｚⁿ)/(1－ｚ)は成立しますが,Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＝1/(1－ｚ)は成立しません。

　しかし,そうした|ｚ|＜１の領域以外のｚに対しても部分和を表わす右辺の(1－ｚⁿ)/(1－ｚ)での分子のｚⁿを無視して,(1－ｚⁿ)を１としたものと ｆ (ｚ)を同一視してｚ＝１を除く全複素平面でｆ (ｚ)＝1/(1－ｚ) (ｚ≠1)と定義することにします。

　つまり,ｆ (ｚ)≡lim_ｎ→∞［{1＋ｚ＋ｚ²＋...＋ｚ^n-1}＋ｚⁿ/(1－ｚ)]という式を関数ｆ (ｚ)の正しい定義とするわけです。

　|ｚ|＜1なら,この後の定義も|ｚ|＜1 におけるｆ(ｚ)に対する前の定義ｆ(ｚ)≡Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...(|ｚ|＜１)と全く一致します。

　一方,|ｚ|＞１やｚ＝－１では差し引くべき項:{－ｚⁿ/(1－ｚ)}は収束しません。

　特に|ｚ|＞1なら|ｚⁿ/(1－ｚ)|→∞ なので, ｆ (ｚ)≡lim_ｎ→∞［{1＋ｚ＋ｚ²＋...＋ｚ^n-1}＋ｚⁿ/(1－ｚ)]は形式的に無限大から無限大を引くという意味に取ることも可能で,これは物理学でのくりこみの処方に似ています。。

　ここまでは,直接には解析接続とは無関係な話です。

　そして複素関数論では ｆ (ｚ)≡Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＝1/(1－ｚ) (|ｚ|＜1)を特異点ｚ＝１を避けて延長した点でも,それが正則関数になるように,|ｚ|≧1,ｚ≠１なる点まで接続すれば,一致の定理によってそうした点でも ｆ (ｚ)は１/(1－ｚ)に一致する場合しか有り得ないことがわかります。

　実際,ｚ＝－1＋αと置けばΣ_k=1ⁿｚ^k-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋・・＋ｚ^n-1＝(1－ｚⁿ)/(1－ｚ)なる等式はｃ₀,ｃ₁,..,ｃ_n-1をある定数の複素係数としてΣ_k=1ⁿ(α－1)^k-1＝Σ_k=1ⁿｃ_k-1α^k-1＝{(α－1)ⁿ－1}/(α－2)と変形できます。

そして,|ｚ|＝|α－1|＞1なら右辺は,1/(1－ｚ)＝－1/(α－2)にはなりません。

　しかし一方,αの絶対値が十分小さいならｚ＝－1＋αの絶対値が１より大きくても,つまり|ｚ|＝|－1＋α|＞1でも ｆ (ｚ)＝1/(1－ｚ)＝－1/(α－2)＝(1/2)/(1－α/2)＝(1/2)Σ_n=1^∞(α/2)^n-1＝(1/2)[1＋(α/2)＋(α/2)²＋...]＝(1/2)Σ_n=1^∞{(ｚ＋1)/2}^n-1＝(1/2)[1＋{(ｚ＋1)/2}＋{(ｚ＋1)/2}²＋...]とテイラー展開されます。

　つまり,ｚ＝0 のまわりでは|ｚ|＝|－1＋α|＞1なので, ｆ (ｚ)＝1/(1－ｚ)はｚのべきでは展開できなくても,ｚ＝－1のまわりではα＝(ｚ＋1)の無限べき級数に展開可能ですから,ｆ (ｚ)は確かに|ｚ|＞1,ｚ≠１なる領域でも解析的です。

　また,"一致の定理"の内容というのは同じ点を中心としたテイラー級数の展開係数の一意性により,今の ｆ (ｚ)の場合,|ｚ|＜１ 以外の領域でも,その解析性(ベキ級数への展開可能性)を保持しながら ｆ (ｚ)を|ｚ|＜１から連続的に延長していったとき,もしも２通り以上の延長(接続)方法があったとしても,それらは一致するという定理です。

　このことから,解析接続する方法は一意的に決まります。

　今日は,短かいけれどこれで終わりです。

http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/「ＴＲＳ健康ランド」-- 黒ウコン,ＳＣＳ(洗浄剤)専売などの店：  私が店長 です。

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http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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