ベリーの位相とアハラノフ・ボーム効果(2）

ベリー(Berry)の位相に関する記事の続きです。

前回は断熱定理の証明をしたところまででした。ここでは,まず断熱定理が有効な具体例を１つ挙げます。

ハミルトニアンがＨ(ｔ)≡－σ・Ｂ(ｔ)で与えられる簡単な物理系を考えます。ここにＢ(ｔ)≡(Ｂ₀cosωt, Ｂ₀sinωt,Ｂ₃)です。また,σ＝(σ₁,σ₂,σ₃)はパウリ(Pauli)のスピン行列です。

そして,ベクトルＢ(ｔ)の角度θをtanθ≡Ｂ₀/Ｂ₃で定義します。 

つまり,Ｂ＝Ｂ(ｔ)はｚ軸の正の向きと角度θをなす向きを持つ磁場でありσは定数係数を無視したスピン磁気モーメントμを表わします。

一般には,μ＝{ｇｅｈ_c/(2ｍｃ)}σです。ただしｇは磁気回転比で構造のないフェルミ粒子なら,ｇ＝2 です。また,ｈ_c≡ｈ/(2π)はプランク定数です。

すなわち,μ＝ｅｇｈ_cσ/(2ｍｃ),Ｈ＝－μ・Ｂという普通の表現においてσをμと同一視して,Ｈ＝－σ・Ｂと簡略化したものです。

そして,このハミルトニアンは,例えば座標原点にあるスピンσ,あるいは磁気モーメントμの"磁石"が磁場Ｂの影響を受ける状況を記述していると考えられます。

スピン行列σは２行２列の行列ですから,ハミルトニアンＨ(ｔ)＝－σ・Ｂ(ｔ)も２行２列の行列です。

そして具体的にパウリのスピン行列σの成分を代入し線形代数の固有値問題としてＨの固有値を求めると,それらは±Ｂとなります。Ｂ≡(Ｂ₀²＋Ｂ₃²)^1/2です。 

これらの,Ｈ(ｔ)＝－σ・Ｂ(ｔ)の固有値－Ｂ,Ｂのそれぞれに属する固有ベクトルを２次元の縦ベクトルとして,ｕ₁(ｔ),ｕ₂(ｔ)と表わせば,ｕ₁(ｔ)＝^t(exp(iωｔ)cos(θ/2),sin(θ/2)),ｕ₂(ｔ)＝^t(exp(iωｔ)sin(θ/2),－cos(θ/2))と書けます。

ここで,特に有用な公式としてtan(θ/2)＝Ｂ₀/(Ｂ₃＋Ｂ)が成立することにも留意しておきます。

念のため再掲しますが,Ｂ＝(Ｂ₀²＋Ｂ₃²)^1/2です。

つまり,今の場合には,ｕ_n(ｔ)(ｎ＝1,2)の位相(自由に選択できます)を条件:ｕ_n(ｔ＝2π/ω)＝ｕ_n(ｔ＝0)を満たすように取っています。

初期時刻ｔ＝0 で,系がＨの固有状態ｕ₁(ｔ＝0)にあるとし,その後の任意時刻ｔでの状態を示すベクトルをψ(ｔ)とすると,ψ(ｔ)＝ｃ₁(ｔ)ｕ₁(ｔ)＋ｃ₂(ｔ)ｕ₂(ｔ);ｃ₁(0)＝1,ｃ₂(0)＝0 と表現されます。

そして,ψ(ｔ)の時間発展は,それの運動方程式であるシュレーディンガー方程式:iｈ_c∂ψ(ｔ)/∂ｔ＝Ｈ(ｔ)ψ(ｔ)に従って決まります。

そこで,ψ(ｔ)＝ｃ₁(ｔ)ｕ₁(ｔ)＋ｃ₂(ｔ)ｕ₂(ｔ)をこれに代入すると,(ｄｃ₁(ｔ)/ｄｔ)ｕ₁(ｔ)＋ｃ₁(ｔ)(∂ｕ₁(ｔ)/∂ｔ)＋(ｄｃ₂(ｔ)/ｄｔ)ｕ₂(ｔ)＋ｃ₂(ｔ)(∂ｕ₂(ｔ)/∂ｔ)≡(－i/ｈ_c){－σ・Ｂ(ｔ)}{ｃ₁(ｔ)ｕ₁(ｔ)＋ｃ₂(ｔ)ｕ₂(ｔ)}となります。

そして,先述したように,ｕ₁(ｔ)＝^t(exp(iωｔ)cos(θ/2),sin(θ/2)),ｕ₂(ｔ)＝^t(exp(iωｔ)sin(θ/2),－cos(θ/2))なので,∂ｕ₁(ｔ)/∂ｔ＝iω^t(exp(iωｔ)cos(θ/2),0),∂ｕ₂(ｔ)/∂ｔ＝iω^t(exp(iωｔ)sin(θ/2),0)です。

また,{－σ・Ｂ(ｔ)}ｕ₁(ｔ)＝－Ｂｕ₁(ｔ),{－σ・Ｂ(ｔ)}ｕ₂(ｔ)＝Ｂｕ₂(ｔ)です。

そこで,結局,ｃ(ｔ)≡^t(ｃ₁(ｔ),ｃ₂(ｔ))と置いて具体的に整理すると,ある２×２の定数行列をＫとして,ｄｃ(ｔ)/ｄｔ＝(－i/ｈ_c)Ｋｃ(ｔ)なる定数係数の線形斉次微分方程式が得られます。

これの解はもちろん,ｃ(ｔ)＝exp(－iＫｔ/ｈ_c)ｃ(0)です。

特にＫの固有値をＥ_±とし,それぞれに属する固有ベクトルをｔ₁,ｔ₂とすると,Ｋ(ｔ₁,ｔ₂)＝(Ｅ_＋ｔ₁,Ｅ_－ｔ₂)ですからＴ≡(ｔ₁,ｔ₂)と置けば,Ｔ^-1ＫＴは固有値Ｅ_±を対角成分とする対角行列になります。

そこで,ｃ(ｔ)＝Ｔｅ(ｔ);ｅ(ｔ)≡^t(ｅ_＋(ｔ),ｅ_－(ｔ))と定義すると,先述した解の形ｃ(ｔ)＝exp(－iＫｔ/ｈ_c)ｃ(0)はｅ_±(ｔ)＝ｅ_±(0)exp(－iＥ_±ｔ/ｈ_c)となり,簡単な定常解の形に帰着します。

そしてまた,初期条件ｃ(0)＝^t(1,0)は,ｅ(0)＝^t(ｅ_＋(0),ｅ_－(0))＝Ｔ^-1t(1,0)と書くことができます。

ここで,断熱近似として,磁場Ｂ(ｔ)≡(Ｂ₀cosωt,Ｂ₀sinωt,Ｂ₃);Ｂ＝(Ｂ₀²＋Ｂ₃²)^1/2において,時間変動を示す角振動数ωが非常に小さい,という近似:ｈ_cω/Ｂ＜＜1を適用します。

これを用いると,行列Ｔ＝(ｔ₁,ｔ₂)の具体的な形はｔ₁～^t(ｈ_cωsinθ/Ｂ,1),ｔ₂～^t(1,ｈ_cωsinθ/Ｂ)と近似され,この近似では初期条件は(ｅ_＋(0),ｅ_－(0))～(ｈ_cωsinθ/(4Ｂ),1)と書けます。

こうして,断熱近似の下ではψ(ｔ)～ｕ₁(ｔ)exp(－iＥ_－ｔ/ｈ_c);Ｅ_－～－Ｂ＋(ｈ_cω/2)(1＋cosθ)となります。

そして,ψ(ｔ)の位相因子exp(－iＥ_－ｔ/ｈ_c)の位相＝－Ｅ_－ｔ/ｈ_cの値は,Ｂｔ/ｈ_c－(ωｔ/2)(1＋cosθ)＝{(Ｂ/ｈ_c)－(ω/2)(1＋cosθ)}ｔで近似されます。

一方,ｕ₁(ｔ)はＨ(ｔ)の固有値－Ｂに属する固有ベクトルですから,Ｈ(ｔ)ｕ₁(ｔ)＝{－σ・Ｂ(ｔ)}ｕ₁(ｔ)＝－Ｂｕ₁(ｔ)です。

ここで,前回の論議で与えた任意の状態ベクトル|ψ(ｔ)＞のＨ(ｔ)の固有ベクトルによる展開式の表現:|ψ(ｔ)＞＝Σ_nｃ_n(ｔ)|ｎ(ｔ)＞exp{(－i/ｈ_c)∫₀^tＥ_n'(ｔ')ｄｔ'};Ｅ_n'(ｔ)≡Ｅ_n(ｔ)－ｈ_cη_n(ｔ),η_n(ｔ)≡i＜ｎ(ｔ)|(ｄ/ｄｔ)|ｎ(ｔ)＞を,今の場合に適用します。

ただし,|ψ(ｔ)＞→ ψ(ｔ),|ｎ(ｔ)＞→ ｕ₁(ｔ)と読み換えます。

このとき,定義式Ｅ₁'(ｔ)＝Ｅ₁(ｔ)－ｈ_cη₁(ｔ)におけるＨ(ｔ)の固有値Ｅ₁(ｔ)はＥ₁(ｔ)＝Ｂなる定数で与えられます。

一方,∫₀^tη₁(ｔ')ｄｔ'＝∫₀^t[iｕ₁^*(ｔ'){ｄｕ₁(ｔ')/ｄｔ'}]ｄｔ'＝－∫₀^t[ωcos²(θ/2)]ｄｔ'＝－(ωｔ/2)(1＋cosθ)です。

そこで,ψ(ｔ)の位相－Ｅ_－ｔ/ｈ_c＝Ｂｔ/ｈ_c－(ωｔ/2)(1＋cosθ)のうちで,Ｅ₁(ｔ)＝Ｂに由来する(Ｂｔ/ｈ_c)を除いた－(ωｔ/2)(1＋cosθ)が確かに∫₀^tη₁(ｔ')ｄｔ'に一致しています。

この例のように,ハミルトニアンＨ(ｔ)が時刻ｔと共にゆっくりと変化する場合,つまり断熱近似が可能であり,その上ある時間Ｔの後には再び出発時と同一のＨ(ｔ)に戻る場合を考えます。

そしてハミルトニアンＨ(ｔ)の周期的な時間依存性が,あるパラメータの集合を一般的なｎ次元ベクトルで表現したものＲ(ｔ)を通してのみ出現するとします。さらに以下ではｎ≧2 であると仮定します。

以下では,しばらくの間,上述のパラメータ依存性を強調するために波動関数やハミルトニアン等,系を記述する物理変数をＲ(ｔ)のみの関数として表現し,他の変数に関する依存性については省略します。

さらに,こうして表現されたハミルトニアンＨ(Ｒ(ｔ))は断熱定理が成立するための諸条件を全て満たしていると仮定します。

さらに,Ｈ(Ｒ(ｔ))の固有値は全て離散的であるとします。

そして,特に出発時:ｔ＝0 において,波動関数は,その１つの固有状態：ｍ番目の固有状態にあったとします。すなわち,|ψ(ｔ＝0)＞＝|ｍ(Ｒ(0))＞と仮定します。

出発後:ｔ＞0 での波動関数は一般に|ψ(ｔ)＞＝Σ_nｃ_n(ｔ)|ｎ(ｔ)＞exp{(－i/ｈ_c)∫₀^tＥ_n'(ｔ')ｄｔ'};Ｅ_n'(ｔ)≡Ｅ_n(ｔ)－ｈ_cη_n(ｔ),η_n(ｔ)≡i＜ｎ(ｔ)|(ｄ/ｄｔ)|ｎ(ｔ)＞なる形で与えられます。

これに断熱定理の結論:ｃ_n(ｔ)＝δ_nm＋Ｏ(1/Ｔ)を考慮して右辺第２項のＯ(1/Ｔ)を無視すると,|ψ(ｔ)＞＝|ｍ(Ｒ(ｔ))＞exp{(－i/ｈ_c)∫₀^tＥ_m'(ｔ')ｄｔ'}＝|ｍ(Ｒ(ｔ))＞exp{(－i/ｈ_c)∫₀^tＥ_m(ｔ')ｄｔ'}exp{－iγ_m(ｔ)};γ_m(ｔ)≡∫₀^tη_m(ｔ')ｄｔ'＝i∫₀^t＜ｍ(Ｒ(ｔ'))|(ｄ/ｄｔ')|ｍ(Ｒ(ｔ'))＞ｄｔ'なる|ψ(ｔ)＞の表式を得ます。

Ｒ(ｔ)の周期Ｔに対して,0≦ｔ≦Ｔの間にＲ(ｔ)が描くループ(閉路)をＣとすると,γ_m(Ｔ)＝i∫₀^T＜ｍ(Ｒ(ｔ))|(ｄ/ｄｔ)|ｍ(Ｒ(ｔ))＞ｄｔ＝i∫_Ｃ＜ｍ(Ｒ(ｔ))|∇_Rｍ(Ｒ(ｔ))＞ｄＲ(ｔ)＝γ_m(Ｃ)です。

先に述べたように,i＜ｍ(Ｒ(ｔ))|(ｄ/ｄｔ)|ｍ(Ｒ(ｔ))＞は実数ですから,γ_m(Ｔ)＝γ_m(Ｃ)は実数です。

さらに,この閉路Ｃに対してストークスの定理を適用すると,γ_m(Ｃ)＝－Im∫_Ｃ＜ｍ(Ｒ)|∇ｍ(Ｒ)＞ｄＲ＝－Im∫∫_Ｓ[∇×＜ｍ(Ｒ)|∇ｍ(Ｒ)＞]ｄＳですが,∇×∇ｍ(Ｒ)＝0 ですから,γ_m(Ｃ)＝－Im∫∫_Ｓ[＜∇ｍ(Ｒ)×|∇ｍ(Ｒ)＞]ｄＳと書けます。

そして,各Ｒにおける状態ベクトルの完全性Σ_n|ｎ(Ｒ)＞＜ｎ(Ｒ)|＝1 を挿入し,＜ｍ(Ｒ)|∇ｍ(Ｒ)＞が純虚数ゆえｎ＝ｍは寄与しないことを考慮すると,γ_m(Ｃ)＝－Im∫∫_Ｓ[Σ_n≠m＜∇ｍ(Ｒ)|ｎ(Ｒ)＞×＜ｎ(Ｒ)|∇ｍ(Ｒ)＞]ｄＳが得られます。

前記事では,＜ｋ|[(iｈ_c)Σ_n{(ｄｃ_n/ｄｔ)|ｎ＞－(i/ｈ_c)Ｅ_n'ｃ_n}|ｎ＞exp{(－i/ｈ_c)∫Ｅ_n'(ｔ')ｄｔ'}]＝＜ｋ|[Σ_nｃ_nＨ|ｎ＞exp{(－i/ｈ_c)∫Ｅ_n'(ｔ')ｄｔ'}]によって＜ｋ|(ｄ/ｄｔ)|ｎ＞＝－＜ｋ|∂Ｈ/∂ｔ|ｎ＞/(Ｅ_k－Ｅ_n) (ｋ≠ｎ)が成立することを示しました。

これとほぼ同様にして,＜ｎ(Ｒ)|∇ｍ(Ｒ)＞＝－＜ｎ(Ｒ)|∇Ｈ|ｍ(Ｒ)＞/(Ｅ_n－Ｅ_m)(ｎ≠ｍ)が成立します。ここでも,Ｅ_nのｔへの依存性,つまりＲ(t)への依存性を示す表現:Ｅ_n(Ｒ)を省略した表現Ｅ_netc.を用いました。

この表現を代入すれば,γ_m(Ｃ)＝－∫∫_ＳＶ_m(Ｒ)ｄＳ,ただしＶ_m(Ｒ)≡Im[Σ_n≠m{＜ｍ(Ｒ)|∇Ｈ|ｎ(Ｒ)＞×＜ｎ(Ｒ)|∇Ｈ|ｍ(Ｒ)＞/(Ｅ_n－Ｅ_m)²],なる表式が得られます。

こうした線積分や面積分等々で表わされる量:γ_m(Ｃ)は一般にはゼロとは限らない有限値であり,1953年にこれの最終的定式化を与えたベリー(Berry)の名をとってベリーの位相と呼ばれています。

先に述べたように,固有ベクトル|ｍ(Ｒ(ｔ))＞の時間ｔへの依存性はＲ(ｔ)を通してのみ生ずるとしています。

閉路,あるいはループＣではＲ(Ｔ)＝Ｒ(0)であり,上では|ｍ(Ｒ(ｔ))＞はＲ(ｔ)について１価であって,特に|ｍ(Ｒ(Ｔ))＞＝|ｍ(Ｒ(0))＞であるとしています。

しかし,大域的にはＲの構成する空間全てにおいて,|ｍ(Ｒ)＞に連続的に１価性を要求できない場合も有り得ます。

ただ,ここでの議論では局所的に１価であれば十分な話です。

こうした場合にはＲの構成する空間は幾つかのシートを持つことになり,この空間の中でシートを変更するときには,|ｍ(Ｒ)＞の位相をシートごとに翻訳して変動させることになります。

しかし,ベリーの位相γ_m(Ｃ)については|ｍ(Ｒ)＞と＜ｍ(Ｒ)|で位相が相殺するので,このγ_m(Ｃ)には|ｍ(Ｒ)＞の位相は関与しないため,別段,困った問題は生じません。

ただし,Ｒの空間そのものが多重連結の場合には,どうしても|ｍ(Ｒ)＞が,|ｍ(Ｒ(Ｔ))＞＝|ｍ(Ｒ(0))＞を満たさないような多価性を持つ場合があり,こうしたときにはベリーの位相とは別の位相も発生します。

しかし,以下ではこの後者の場合は例外であるとして考えないことにします。

さて,|ψ(ｔ)＞＝|ｍ(Ｒ(ｔ))＞exp{{(－i/ｈ_c)∫₀^tiＥ_m(ｔ')ｄｔ'}exp{－iγ_m(ｔ)}のうちで因子:exp{{(－i/ｈ_c)∫₀^tiＥ_m(ｔ')ｄｔ'}を取り去った残りを,|φ(Ｒ(ｔ)＞≡|ｍ(Ｒ(ｔ))＞exp{－iγ_m(ｔ)}と定義します。

もしもＥ_m(ｔ)≡0 なら|φ(Ｒ(ｔ)＞は|ψ(ｔ)＞と一致しますから,そのときには,これはシュレーディンガー方程式の解です。

こう定義したとき,|φ(Ｒ(Ｔ)＞≡|ｍ(Ｒ(Ｔ))＞exp{－iγ_m(Ｃ)}＝|ｍ(Ｒ(0))＞exp{－iγ_m(Ｃ)}ですから,|ｍ(Ｒ(ｔ))＞が１価であるのに対して|φ(Ｒ(ｔ)＞は一般に１価ではなく,"非可積分の位相＝ベリーの位相":γ_m(Ｃ)を伴うことになります。

こうした非１価性を特徴付ける式は＜φ(Ｒ(ｔ))|(ｄ/ｄｔ)|φ(Ｒ(ｔ))＞＝0 です。

この等式はγ_m(ｔ)の定義:γ_m(ｔ)≡i∫₀^t＜ｍ(Ｒ(ｔ'))|(ｄ/ｄｔ')|ｍ(Ｒ(ｔ'))＞ｄｔ'を考慮して,左辺を実際に計算してみれば容易に確かめられます。

途中ですが,この後の論議が思っていたよりかなり遠大な話で,数日考察しながら,続きの記事を書いていましたが簡単には終わらないようなので,ここで一旦中断し,残りについては次回にまわします。

参考文献：矢吹治一 著「量子論における位相」(日本評論社)

ＰＳ:ついでに普通の日記を少し書きます。

昨日11/16(金)は,久しぶりに昼頃,帝京大病院で診察を受けた後,都営三田線の志村坂上にある会社に行こうと思いましたが,バスで板橋駅まで行くお金がもったいないと思って,徒歩で三田線板橋本町駅に向かいました。

障害者手帳があるため,都営交通の料金は全て無料なので,駅まで歩けば交通費はいらないのですが,ここを通るバスは民営なので半額になるだけなのです。

しかし,はじめてで道がよくわからなかったので,病院のそばにあった小学校か中学校かの門のそばで,私より年配のガードマンに道を尋ねたところ「この道をまっすぐ進めば中山道(国道17号)に出る,橋があろうと何があろうととにかく進みなさい。」と教えられました。

例によってイタズラ心が湧いてきて「フムフム,まっすぐね。塀があったら乗り越えるとか,ぶち破るとかして,どこかの家の中を通ってね。」と冗談を交えて念を押しました。

ひょっとして怒られるかと思ったら,ニコニコと笑って「いや,そんなことはないよ。」と真面目に答えられました。

そして,その通りまっすぐ進みましたが,かなり進んだ途中で案の定,道がなくなり,まっすぐ進むと川の中に入るという状況が生じましたが,周りをよく見ると,少し左側に移動すれば,また,まっすぐな道が続いているのが見えて,結局,無事に中仙道にぶつかり,板橋本町駅にも,たどりつきました。

ガードマンのじいさん,どうもありがとうございました。。

そういえば,病院でも医者から名前を呼ばれているのにノートパソコンで作業中で,パソコンの電源切断中にまた呼ばれたので,少し大声で「ちょっと待ってください。」などと苛立ち気味に答えていたら,待合室にいた他の患者が何事かと驚いていました。

そうですね,病院の待合室では患者の方が今か今かと呼ばれるのを待っていて呼ばれると待ってましたとばかりに病室に向かう,という方が普通の光景でしょうから,その逆は少し違和感があったかも。。

さらに,病室でもシモネタや「男性の自信回復には黒ウコンがいい」などとネットショップのパンフレットを出して商品の宣伝をしたりして,医者をからかうような話もあったりで,診察受けるにしても,道を尋ねるにしても,どんな場合でも楽しむ,という自分の生き方の指針に忠実な１日でした。

http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/「ＴＲＳ健康ランド」-- 黒ウコン,ＳＣＳ(洗浄剤)専売などの店：  私が店長 です。

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン！メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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