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2007年11月17日 (土)

ベリーの位相とアハラノフ・ボーム効果(2)

ベリー(Berry)の位相に関する記事の続きです。

 

前回は断熱定理の証明をしたところまででした。ここでは,まず断熱定理が有効な具体例を1つ挙げます。

ハミルトニアンがH(t)≡-σ(t)で与えられる簡単な物理系を考えます。ここに(t)≡(B0cosωt, B0sinωt,B3)です。また,σ=(σ123)はパウリ(Pauli)のスピン行列です。

 

そして,ベクトル(t)の角度θをtanθ≡B0/B3で定義します。 

つまり,(t)はz軸の正の向きと角度θをなす向きを持つ磁場でありσは定数係数を無視したスピン磁気モーメントμを表わします。

 

一般には,μ={gehc/(2mc)}σです。ただしgは磁気回転比で構造のないフェルミ粒子なら,g=2 です。また,hc≡h/(2π)はプランク定数です。

 

すなわち,μ=eghcσ/(2mc),H=-μという普通の表現においてσμと同一視して,H=-σと簡略化したものです。

そして,このハミルトニアンは,例えば座標原点にあるスピンσ,あるいは磁気モーメントμの"磁石"が磁場の影響を受ける状況を記述していると考えられます。

スピン行列σは2行2列の行列ですから,ハミルトニアンH(t)=-σ(t)も2行2列の行列です。

 

そして具体的にパウリのスピン行列σの成分を代入し線形代数の固有値問題としてHの固有値を求めると,それらは±Bとなります。B≡(B02+B32)1/2です。 

これらの,H(t)=-σ(t)の固有値-B,Bのそれぞれに属する固有ベクトルを2次元の縦ベクトルとして,1(t),2(t)と表わせば,1(t)=t(exp(iωt)cos(θ/2),sin(θ/2)),2(t)=t(exp(iωt)sin(θ/2),-cos(θ/2))と書けます。

 

ここで,特に有用な公式としてtan(θ/2)=B0/(B3+B)が成立することにも留意しておきます。

 

念のため再掲しますが,B=(B02+B32)1/2です。

つまり,今の場合には,n(t)(n=1,2)の位相(自由に選択できます)を条件:n(t=2π/ω)=n(t=0)を満たすように取っています。

初期時刻t=0 で,系がHの固有状態1(t=0)にあるとし,その後の任意時刻tでの状態を示すベクトルをψ(t)とすると,ψ(t)=c1(t)1(t)+c2(t)2(t);c1(0)=1,c2(0)=0 と表現されます。

 

そして,ψ(t)の時間発展は,それの運動方程式であるシュレーディンガー方程式:ihcψ(t)/∂t=H(t)ψ(t)に従って決まります。

そこで,ψ(t)=c1(t)1(t)+c2(t)2(t)をこれに代入すると,(dc1(t)/dt)1(t)+c1(t)(∂1(t)/∂t)+(dc2(t)/dt)2(t)+c2(t)(∂2(t)/∂t)≡(-i/hc){-σ(t)}{c1(t)1(t)+c2(t)2(t)}となります。

そして,先述したように,1(t)=t(exp(iωt)cos(θ/2),sin(θ/2)),2(t)=t(exp(iωt)sin(θ/2),-cos(θ/2))なので,∂1(t)/∂t=iωt(exp(iωt)cos(θ/2),0),∂2(t)/∂t=iωt(exp(iωt)sin(θ/2),0)です。

 

また,{-σ(t)}1(t)=-B1(t),{-σ(t)}2(t)=B2(t)です。

そこで,結局,(t)≡t(c1(t),c2(t))と置いて具体的に整理すると,ある2×2の定数行列をKとして,d(t)/dt=(-i/hc)K(t)なる定数係数の線形斉次微分方程式が得られます。

これの解はもちろん,(t)=exp(-iKt/hc)(0)です。

 

特にKの固有値をE±とし,それぞれに属する固有ベクトルを1,2とすると,K(1,2)=(E1,E2)ですからT≡(1,2)と置けば,T-1KTは固有値E±を対角成分とする対角行列になります。

 

そこで,(t)=T(t);(t)≡t(e(t),e(t))と定義すると,先述した解の形(t)=exp(-iKt/hc)(0)はe±(t)=e±(0)exp(-iE±/hc)となり,簡単な定常解の形に帰着します。

 

そしてまた,初期条件(0)=t(1,0)は,(0)=t(e(0),e(0))=T-1t(1,0)と書くことができます。

ここで,断熱近似として,磁場(t)≡(B0cosωt,B0sinωt,B3);B=(B02+B32)1/2において,時間変動を示す角振動数ωが非常に小さい,という近似:hcω/B<<1を適用します。

 

これを用いると,行列T=(1,2)の具体的な形は1t(hcωsinθ/B,1),2t(1,hcωsinθ/B)と近似され,この近似では初期条件は(e(0),e(0))~(hcωsinθ/(4B),1)と書けます。

こうして,断熱近似の下ではψ(t)~1(t)exp(-iE/hc);E~-B+(hcω/2)(1+cosθ)となります。

 

そして(t)の位相因子exp(-iE/hc)の位相=-E/hcの値は,Bt/hc-(ωt/2)(1+cosθ)={(B/hc)-(ω/2)(1+cosθ)}tで近似されます。

 

一方,1(t)はH(t)の固有値-Bに属する固有ベクトルですから,H(t)1(t)={-σ(t)}1(t)=-B1(t)です。

ここで,前回の論議で与えた任意の状態ベクトル|ψ(t)>のH(t)の固有ベクトルによる展開式の表現:|ψ(t)>=Σnn(t)|n(t)>exp{(-i/hc)∫0tn'(t')dt'};En'(t)≡En(t)-hcηn(t),ηn(t)≡i<n(t)|(d/dt)|n(t)>を,今の場合に適用します。

 

ただし,|ψ(t)>→ ψ(t),|n(t)>→ 1(t)と読み換えます。

 

このとき,定義式E1'(t)=E1(t)-hcη1(t)におけるH(t)の固有値E1(t)はE1(t)=Bなる定数で与えられます。

 

一方,∫0tη1(t')dt'=∫0t[i1*(t'){d1(t')/dt'}]dt'=-∫0t[ωcos2(θ/2)]dt'=-(ωt/2)(1+cosθ)です。

 

そこで,ψ(t)の位相-E/hc=Bt/hc-(ωt/2)(1+cosθ)のうちで,E1(t)=Bに由来する(Bt/hc)を除いた-(ωt/2)(1+cosθ)が確かに∫0tη1(t')dt'に一致しています。

この例のように,ハミルトニアンH(t)が時刻tと共にゆっくりと変化する場合,つまり断熱近似が可能であり,その上ある時間Tの後には再び出発時と同一のH(t)に戻る場合を考えます。

 

そしてハミルトニアンH(t)の周期的な時間依存性が,あるパラメータの集合を一般的なn次元ベクトルで表現したもの(t)を通してのみ出現するとします。さらに以下ではn≧2 であると仮定します。

以下では,しばらくの間,上述のパラメータ依存性を強調するために波動関数やハミルトニアン等,系を記述する物理変数を(t)のみの関数として表現し,他の変数に関する依存性については省略します。

  

さらに,こうして表現されたハミルトニアンH((t))は断熱定理が成立するための諸条件を全て満たしていると仮定します。

さらに,H((t))の固有値は全て離散的であるとします。

 

そして,特に出発時:t=0 において,波動関数は,その1つの固有状態:m番目の固有状態にあったとします。すなわち,|ψ(t=0)>=|m((0))>と仮定します。

出発後:t>0 での波動関数は一般に|ψ(t)>=Σnn(t)|n(t)>exp{(-i/hc)∫0tn'(t')dt'};En'(t)≡En(t)-hcηn(t),ηn(t)≡i<n(t)|(d/dt)|n(t)>なる形で与えられます。

 

これに断熱定理の結論:cn(t)=δnm+O(1/T)を考慮して右辺第2項のO(1/T)を無視すると,|ψ(t)>=|m((t))>exp{(-i/hc)∫0tm'(t')dt'}=|m((t))>exp{(-i/hc)∫0tm(t')dt'}exp{-iγm(t)};γm(t)≡∫0tηm(t')dt'=i∫0t<m((t'))|(d/dt')|m((t'))>dt'なる|ψ(t)>の表式を得ます。

(t)の周期Tに対して,0≦t≦Tの間に(t)が描くループ(閉路)をとすると,γm(T)=i∫0T<m((t))|(d/dt)|m((t))>dt=i∫<m((t))|∇R((t))>d(t)=γm()です。

 

先に述べたように,i<m((t))|(d/dt)|m((t))>は実数ですから,γm(T)=γm()は実数です。

さらに,この閉路に対してストークスの定理を適用すると,γm()=-Im∫<m()|∇m()>d=-Im∫∫[∇×<m()|∇m()>]dですが,∇×∇m()=0 ですから,γm()=-Im∫∫[<∇m()×|∇m()>]dと書けます。

 

そして,各における状態ベクトルの完全性Σn|n()><n()|=1 を挿入し,<m()|∇m()>が純虚数ゆえn=mは寄与しないことを考慮すると,γm()=-Im∫∫n≠m<∇m()|n()>×<n()|∇m()>]dが得られます。

前記事では,<k|[(ihcn{(dcn/dt)|n>-(i/hc)En'cn}|n>exp{(-i/hc)∫En'(t')dt'}]=<k|[Σnn|n>exp{(-i/hc)∫En'(t')dt'}]によって<k|(d/dt)|n>=-<k|∂H/∂t|n>/(Ek-En) (k≠n)が成立することを示しました。

 

これとほぼ同様にして,<n()|∇m()>=-<n()|∇H|m()>/(En-Em)(n≠m)が成立します。ここでも,Enのtへの依存性,つまり(t)への依存性を示す表現:En()を省略した表現Enetc.を用いました。

この表現を代入すれば,γm()=-∫∫m()d,ただしm()≡Im[Σn≠m{<m()|∇H|n()>×<n()|∇H|m()>/(En-Em)2],なる表式が得られます。

 

こうした線積分や面積分等々で表わされる量:γm()は一般にはゼロとは限らない有限値であり,1953年にこれの最終的定式化を与えたベリー(Berry)の名をとってベリーの位相と呼ばれています。

先に述べたように,固有ベクトル|m((t))>の時間tへの依存性は(t)を通してのみ生ずるとしています。

 

閉路,あるいはループでは(T)=(0)であり,上では|m((t))>は(t)について1価であって,特に|m((T))>=|m((0))>であるとしています。

 

しかし,大域的にはの構成する空間全てにおいて,|m()>に連続的に1価性を要求できない場合も有り得ます。

 

ただ,ここでの議論では局所的に1価であれば十分な話です。

  

こうした場合にはの構成する空間は幾つかのシートを持つことになり,この空間の中でシートを変更するときには,|m()>の位相をシートごとに翻訳して変動させることになります。

 

しかし,ベリーの位相γm()については|m()>と<m()|で位相が相殺するので,このγm()には|m()>の位相は関与しないため,別段,困った問題は生じません。

ただし,の空間そのものが多重連結の場合には,どうしても|m()>が,|m((T))>=|m((0))>を満たさないような多価性を持つ場合があり,こうしたときにはベリーの位相とは別の位相も発生します。

 

しかし,以下ではこの後者の場合は例外であるとして考えないことにします。

さて,|ψ(t)>=|m((t))>exp{{(-i/hc)∫0tiEm(t')dt'}exp{-iγm(t)}のうちで因子:exp{{(-i/hc)∫0tiEm(t')dt'}を取り去った残りを,|φ((t)>≡|m((t))>exp{-iγm(t)}と定義します。

 

もしもEm(t)≡0 なら|φ((t)>は|ψ(t)>と一致しますから,そのときには,これはシュレーディンガー方程式の解です。

こう定義したとき,|φ((T)>≡|m((T))>exp{-iγm()}=|m((0))>exp{-iγm()}ですから,|m((t))>が1価であるのに対して|φ((t)>は一般に1価ではなく,"非可積分の位相=ベリーの位相":γm()を伴うことになります。

こうした非1価性を特徴付ける式は<φ((t))|(d/dt)|φ((t))>=0 です。

 

この等式はγm(t)の定義:γm(t)≡i∫0t<m((t'))|(d/dt')|m((t'))>dt'を考慮して,左辺を実際に計算してみれば容易に確かめられます。

途中ですが,この後の論議が思っていたよりかなり遠大な話で,数日考察しながら,続きの記事を書いていましたが簡単には終わらないようなので,ここで一旦中断し,残りについては次回にまわします。

 

参考文献:矢吹治一 著「量子論における位相」(日本評論社)

  

PS:ついでに普通の日記を少し書きます。

 

昨日11/16(金)は,久しぶりに昼頃,帝京大病院で診察を受けた後,都営三田線の志村坂上にある会社に行こうと思いましたが,バスで板橋駅まで行くお金がもったいないと思って,徒歩で三田線板橋本町駅に向かいました。

 

障害者手帳があるため,都営交通の料金は全て無料なので,駅まで歩けば交通費はいらないのですが,ここを通るバスは民営なので半額になるだけなのです。

 

しかし,はじめてで道がよくわからなかったので,病院のそばにあった小学校か中学校かの門のそばで,私より年配のガードマンに道を尋ねたところ「この道をまっすぐ進めば中山道(国道17号)に出る,橋があろうと何があろうととにかく進みなさい。」と教えられました。

 

例によってイタズラ心が湧いてきて「フムフム,まっすぐね。塀があったら乗り越えるとか,ぶち破るとかして,どこかの家の中を通ってね。」と冗談を交えて念を押しました。

 

ひょっとして怒られるかと思ったら,ニコニコと笑って「いや,そんなことはないよ。」と真面目に答えられました。

 

そして,その通りまっすぐ進みましたが,かなり進んだ途中で案の定,道がなくなり,まっすぐ進むと川の中に入るという状況が生じましたが,周りをよく見ると,少し左側に移動すれば,また,まっすぐな道が続いているのが見えて,結局,無事に中仙道にぶつかり,板橋本町駅にも,たどりつきました。

 

ガードマンのじいさん,どうもありがとうございました。。

 

そういえば,病院でも医者から名前を呼ばれているのにノートパソコンで作業中で,パソコンの電源切断中にまた呼ばれたので,少し大声で「ちょっと待ってください。」などと苛立ち気味に答えていたら,待合室にいた他の患者が何事かと驚いていました。

 

そうですね,病院の待合室では患者の方が今か今かと呼ばれるのを待っていて呼ばれると待ってましたとばかりに病室に向かう,という方が普通の光景でしょうから,その逆は少し違和感があったかも。。

 

さらに,病室でもシモネタや「男性の自信回復には黒ウコンがいい」などとネットショップのパンフレットを出して商品の宣伝をしたりして,医者をからかうような話もあったりで,診察受けるにしても,道を尋ねるにしても,どんな場合でも楽しむ,という自分の生き方の指針に忠実な1日でした。

http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/「TRS健康ランド」-- 黒ウコン,SCS(洗浄剤)専売などの店:  私が店長 です。

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン!メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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コメント

hirotaさん、TOSHIさん。どうも申し訳ありません。

投稿: 凡人 | 2007年11月21日 (水) 21時03分

>移り気
>勉強をろくに行っていない
>自信が持てない
これらは質問をする原因であって、「これで最後」と書く原因にはなりません。
「最後」と判断できるはずがない事を言うのと同様で、非論理的な判断が関係あるみたいですね。
「非論理的判断」は知識や自信は関係なく、何らかの「思い込み」が原因であることが多いと思います。
そういった欠点の修正方法が明らかになって「良い質問者」が増えれば、TOSHIさんの利益にもなるでしょう。

投稿: hirota | 2007年11月21日 (水) 13時49分

hirotaさん
カインドニス(kindness)が有るアドヴァイス(advice)大変有難うございます。
「原因退治」の件ですが、私が移り気旺盛で、数学や物理の勉強をろくに行っていない為、自分に自信が持てないのが一番の原因ではないかと思いました。

TOSHIさん
こんなところでカンフェッシャン(confession)して申し訳ありません。

投稿: 凡人 | 2007年11月20日 (火) 22時19分

「これで最後」と書かなけりゃ良いんです。(そもそも、質問する側が「最後」と判断できるはずがないのに、そう書かずにはいられなくなる原因退治が必要か)

投稿: hirota | 2007年11月20日 (火) 10時27分

私も近年、「これで最後病」に罹患してしまっているのですが、この「病気」を直す薬はありますでしょうか?
それと最近、老眼になって目が霞んできたせいか、「タキシード」を「タキオン」、「セータ」を「ゼータ」等々、文字も満足に読む事が出来なくなってきました。

投稿: 凡人 | 2007年11月20日 (火) 07時24分

ども,明男さん、コメントありがとうございます。TOSHIです。

 病院での詳細ですが、実は今回は心臓血管内科ではなく、ちょっと待合室も隔離されたメンタル何とか、という精神神経科の話で、まだ2回目の診察なのです。

 24歳からかかっているうつ病で、もう診察の必要はほとんどないのですが,これまで30年以上つきあっていたその筋では有名らしい主治医の静岡大学教授で2つ年上の磯田雄二郎先生が定年で東京に週1回のアルバイト?に来れない、ということで帝京病院を紹介してもらったわけです。

 だから待合室もそうした頭の病気の人と付き添いなので変な奴がいても不思議ではないでしょうね。。

 シモネタの話は、そもそも最近、トイレにいく途中で流しのそばを通るとポットにお湯が少ないことを思い出して、あわてて水を補充してトイレに行くのを忘れたり、コーヒーを入れて気づいたら冷たくなっていたり、食べるためにレンジにインスタントの焼うどんを入れて暖めて2日後に開けたら腐っていたとか、歩きながら推理小説読んでいて気づいたら小説本が消えていて手ぶらで歩いてたとかの話で「健忘症」かと聞いた話です。

 今回は直井先生というのですが、先生は「ああ、それは病気ではなくて、エジソンがやったというアレですよ。。」と天才が没頭していて忘れるというヤツだと実はほめてもらったわけです。その流れで「アダルトビデオを見ていても肝心のとことを見る前につい寝てしまうことがよくある。」という話から先生もそっちが強くなさそうなので男性の自信回復の話に脱線したのです。

         ではでは。。TOSHI

投稿: TOSHI | 2007年11月19日 (月) 03時15分

こんばんは、明男です。
ガードマンさんの苦笑が目に浮かぶようです。TOSHIさんの方が年上であったなら、「やれやれ、変なじじいがいるぞ」(あ、TOSHIさんが私にとってじじいだと言っているワケではありません^^;)と思われても仕方ないような。
病院での詳細は分かりませんが、変わったじ・・・ひとだと思われていることは疑いなしですね。いやあ、愉快、ゆかい。かの車寅次郎先生は「恥の多い人生」だったと仰っておりますが、何の、我が人生に悔い無しと思えば、人の善い振りも大概にして、若者におもねる生き方だけはしたくないものです。突っ張りは年を取ってこそ真骨頂ですから(笑)。

投稿: 明男 | 2007年11月18日 (日) 00時00分

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