解析力学の初歩

　今日は,最初はBerryの位相とAharanov-Bohm効果(ＡＢ効果)の関係などを論じることを計画していたのですが。。

　その前に,必要な「断熱定理」と関連してHamiltonianが時間ｔに陽に依存する場合の解析力学の定式化が私は気になりました。

　それを考えているうちに,我ながら解析力学の基本的なことの理解が完全ではないことに気付いて,復習してみようという気になったので記事＝日記にします。

　イヤ,ここで記事に書いていることのほとんどは,私は既に何度も勉強したり考えたりしたことがあることばかりなんですよ。

　でも,そうした論題が出てくるたびに,もちろん,文章や数式の一言一句まで内容を全部記憶しているわけじゃないし,新たな疑問や過去にはヒョットして勘違いしていたのじゃないか?という疑いが出てきます。

　特に物理学や数学に限らず,モノを知るのには必要な知見を全部記憶する必要はなく(そもそもコンピュータでも不可能でしょう),

　どういうときに,どこのどういうモノを調べればいいか？ということがわかり,そういう参考文献を探して読んだときに,小時間のうちに疑問を解決できる能力を体得するのが,過去に学校で学んだ意味だと思っています。

　ですから,気になったらその都度調べたり考えたりするだけです。

　以下は,主として自分のためのおさらいなので,ここで論じている定式化の手順は,必ずしも標準的な教科書の順番ではなく私の思い付きの順になっています。

　通常のNoether(ネーター)の定理で時間の一様性によって,"エネルギー＝Hamiltonian"Ｈが保存されるという描像は,ｑ_r(ｒ＝1,2,...,Ｎ)を自由度がＮの一般化座標,ｐ_r(ｒ＝1,2,...,Ｎ)を一般化運動量とするとき,

　系のHamiltonian:Ｈ(ｐ,ｑ,ｔ)がｔを陽に含まないこと:

　Ｈ(ｐ,ｑ,ｔ)＝Ｈ(ｐ,ｑ)と書けることと同定されます。

　しかし,一般的な力学系においては力学的エネルギーが保存しない場合が存在することも事実です。

　これは,純粋な力学的エネルギーをＨとするとき,その他に熱エネルギーとか,電気的エネルギーなどが存在して摩擦などの散逸により力学的エネルギーの一部が熱に転化して消散していく場合などが,それに相当します。

　もっとも素粒子のレベルまでの微視的な見方では,もはやエネルギーを力学的云々とか,種類ごとに分類する必要もなく,時間の一様性は常に確実に成立していて,Hamiltonian:Ｈは確かに時間ｔを陽に含むこともないので,全体としても微視的過程でもエネルギーの保存は常に正確に成立します。

一般に保存力場の場合には,一般化速度をｑ^d_r≡ｄｑ_r/ｄｔで定義すると,系のLagrangianＬ(ｑ,ｑ^d,ｔ)はＬ＝Ｔ－Ｕで与えられます。

Ｔは運動エネルギーでＴ＝(1/2)Σ_r,s=1^Nａ_rs(ｑ)ｑ^d_rｑ^d_sなる２次形式で与えられ,Ｕは保存力場のポテンシャルで位置座標ｑ＝(ｑ₁,ｑ₂,...,ｑ_N)の関数Ｕ＝Ｕ(ｑ)です。

そして,ｐ_r≡∂Ｌ/∂ｑ^d_rであり,Hamiltonianは,

Ｈ＝Σ_r=1^Nｐ_rｑ^d_r－Ｌ＝Σ_r,s=1^Nａ_rs(ｑ) ｑ^d_rｑ^d_s－(Ｔ－Ｕ)

＝2Ｔ－(Ｔ－Ｕ)＝Ｔ＋Ｕとなります。

この場合にはＨは系全体のエネルギーと一致します。

そして,Ｈがｔを陽に含まないなら,∂Ｈ/∂ｔ＝0 ですから,

ｄＨ/ｄｔ＝Σ_r=1^N(∂Ｈ/∂ｑ_r)ｑ^d_r＋Σ_r=1^N(∂Ｈ/∂ｐ_r)ｐ^d_r

です。

ｐとｑの微小変分に対するＨの変分δＨは,

δＨ＝δ(Σ_r=1^Nｐ_rｑ^d_r－Ｌ)

＝Σ_r=1^N{δｐ_rｑ^d_r ＋ｐ_rδｑ^d_r}－δＬ　

です。

Ｌの変分δＬは,

δＬ＝Σ_r=1^N{(∂Ｌ/∂ｑ_r)_pδｑ_r＋(∂Ｌ/∂ｐ_r)_qδｐ_r}

＝Σ_r=1^N{(∂Ｌ/∂ｑ_r)δｑ_r＋(∂Ｌ/∂ｑ^d_r)}δｑ^d_r

＝Σ_r=1^N(ｐ^d_rδｑ_r＋ｐ_rδｑ^d_r)で与えられます。

ただし,この式の導出仮定で,Euler-Lagrange方程式:

(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｑ^d_r)－∂Ｌ/∂ｑ_r＝0 ,つまり,

∂Ｌ/∂ｑ_r＝ｄｐ_r/ｄｔ＝ｐ^d_rを用いました。 

したがって,δＨ＝

Σ_r=1^N[{δｐ_rｑ^d_r ＋ｐ_rδｑ^d_r}－{(∂Ｌ/∂ｑ_r)_pδｑ_r

＋(∂Ｌ/∂ｐ_r)_qδｐ_r}＝Σ_r=1^N(ｑ^d_r δｐ_r－ｐ^d_rδｑ_r)

となります。

それ故,これから直ちに,∂Ｈ/∂ｐ_r＝ｑ^d_r,∂Ｈ/∂ｑ_r＝－ｐ^d_r

というHamiltonの正準方程式が得られます。

以上から,∂Ｈ/∂ｔ＝0 のときには,

ｄＨ/ｄｔ＝Σ_r=1^N(∂Ｈ/∂ｑ_r)ｑ^d_r＋Σ_r=1^N(∂Ｈ/∂ｐ_r)ｐ^d_r＝0 ,

つまり"エネルギー＝Hamiltonian"Ｈが時間ｔに依らない保存量であるというよく知られた性質が導かれるわけです。

ところが,運動方程式がEuler-Lagrange方程式:

(ｄ/ｄｔ){∂Ｌ/∂(ｄｑ_r/ｄｔ)}－∂Ｌ/∂ｑ_r＝0 で与えられるのは,

必ずしもＬがＬ＝Ｔ－Ｕ,Ｕ＝Ｕ(ｑ)と書ける場合に限定する必要は

ありません。

LagrangianＬを一般のｔを陽に含むＬ＝Ｔ－Ｖ,Ｖ＝Ｖ(ｑ,ｑ^d,ｔ)

なる形であると考えてもよく,この場合,Hamiltonian:

Ｈ＝Σ_r=1^Nｐ_rｑ^d_r－Ｌ,ｐ_r≡∂Ｌ/∂ｑ^d_rもｔを陽に含みます。 

例えば,電荷がｅの荷電粒子１個の自由運動のHamiltonianを

Ｈ₀(ｐ,ｑ)とすると,それが電磁場の中にあるときには,

極小相互作用変換により

HamiltonianはＨ(ｐ,ｑ,ｔ)＝Ｈ₀(ｐ－ｅＡ,ｑ)＋ｅφとなること

が知られています。

一般に電磁場は静的な場ではないので,電磁場のスカラーポテンシャルをφ,ベクトルポテンシャルをＡとすると,これらφ,Ａは時間ｔを陽に含んでいます。

Ｌ＝ｐ(ｄｑ/ｄｔ)－Ｈ＝ｐ(ｄｑ/ｄｔ)－(ｐ－ｅＡ)²/(2ｍ)－ｅφ

となります。

これとｐ＝∂Ｌ/∂(ｄｑ/ｄｔ)を用いると,

ｐ＝ｍｖ＋ｅＡ,ｖ≡ｄｑ/ｄｔ,かつ

Ｌ＝ｍｖ²/2－ｅφ＋ｅＡｖとなるはずです。

ここに,Ａ＝Ａ(ｒ,ｔ),φ＝φ(ｒ,ｔ)であり,どちらもｔを陽に含んでいると想定します。

これから導かれる荷電粒子の運動方程式は,ｑをｒと書き直した

Euler-Lagrange方程式:(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｖ)－∂Ｌ/∂ｒ＝0

です。

これは,

ｄ(ｍｖ)/ｄｔ＋ｅｄＡ/ｄｔ＋ｅ∇φ－ｅ∇(Ａ・ｖ)＝0

という形になります。

ここで,

ｄＡ/ｄｔ＝(∂Ａ/∂ｔ)＋(ｖ∇)Ａ,Ｅ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,

Ｂ＝∇ＸＡであり,

ｖ×Ｂ＝ｖ×(∇ＸＡ)＝∇(Ａ・ｖ)－(ｖ∇)Ａですから,

結局,これはｄ(ｍｖ)/ｄｔ＝ｅＥ＋ｅ(ｖ×Ｂ)

です。

したがって,確かに通常の１荷電粒子が従うべき非相対論的なNewtonの運動方程式が得られました。

しかし,ＨからＬを逆算するのは本末転倒で,運動方程式からLagrangian:Ｌを求め,然る後にＨ＝ｐ(ｄｑ/ｄｔ)－ＬによってHamiltonian:Ｈを導くというのが当然の道筋ですね。

実は,単に私自身が電磁場の中での荷電粒子の運動に対する

LagrangianＬの形を忘れていたので,上のプロセスは,これを安易

に求める道を取ったに過ぎません。

とにかく,古典的電磁場の中では,

Ｌ＝ｍｖ²/2－ｅφ＋ｅＡｖ＝Ｔ－ｅφ(ｒ,ｔ)＋ｅＡ(ｒ,ｔ)ｖ

となり,Ｌ＝Ｔ－Ｖ,Ｖ(ｒ,ｖ,ｔ)＝ｅφ(ｒ,ｔ)－ｅＡ(ｒ,ｔ)ｖ

となることがわかります。

そして,Hamiltonian:Ｈがｔに陽に依存するので,このＨは保存量

ではないことがわかります。

これは,今考えているHamiltonian:Ｈでは,

"全体系＝粒子＋電磁場"の中で,単に荷電粒子のエネルギーだけに

着目して,相互作用部分を除いては電磁場のエネルギーを全く考慮

していないためです。

実際,Ｈを系全体のHamiltonianとするには,電磁場のエネルギー

を表わす(1/2)∫(εＥ²＋μ^-1Ｂ²)ｄｒという項も含む必要が

あります。

ただ,ｐ＝ｍｖ＋ｅＡ,ｖ≡ｄｒ/ｄｔなる表式には,既に系の

運動量ｐが粒子の運動量ｍｖと電磁場の運動量ｅＡの代数和で

与えられることを示してはいます。

さて,より基本的な定式化を行なうために,改めて一般のｎ個

の質点系から成る物理系に対するNewtonの運動方程式から

始めます。

Newtonの運動方程式はｉ番目の粒子の質量をｍ_i,位置ベクトル

をｒ_i,その質点ｉに働く力＝(外力＋内力)をＦ_iとすると,

ｍ_i(ｄ²ｒ_i /ｄｔ²)＝Ｆ_i (ｉ＝1,2,...ｎ)なる式系で表現

されます。

そして,一般的な状況を考え,これが

f_j(ｒ₁,ｒ₂,...,ｒ_n)＝0 (ｊ＝1,2,...,ｍ)なる形で与えられる

ｍ個の拘束(束縛)条件を満たすべきケースを想定します。

静力学では各作用点での力の釣り合い:Ｆ_i＝0 に対しては

仮想仕事の原理が成立します。

これは,釣り合いを保つためには,Σ_i=1ⁿＦ_iδｒ_i＝0 を満たす変位

のみが許される,という原理です。

これを直接に動力学に拡張すると,いわゆるD'Alembertの

原理としてΣ_i=1ⁿ{Ｆ_i－ｍ_i(ｄ²ｒ_i /ｄｔ²)}δｒ_i＝0 なる式

が得られます。

さらに,ある時刻ｔにおけるｍ個の拘束条件:

f_j(ｒ₁,ｒ₂,...,ｒ_n,ｔ)＝0 (ｊ＝1,2,...,ｍ)を,微小変位δｒ_i

に対してΣ_i=1ⁿ(∂f_j/∂ｒ_i)δｒ_i＝0 が成立するという式で置き

換えてよい場合,

Lagrangeの未定係数法を利用すると,未定係数をλ_jとして,

上記,D'Alembertの原理は,

Σ_i=1ⁿ{Ｆ_i－ｍ_i(ｄ²ｒ_i /ｄｔ²)＋Σ_j=1^m{Σ_iλ_j(∂ｆ_j/∂ｒ_i)}δｒ_i＝0

なる形に帰着します。

すなわち,

Σ_i=1ⁿ{Ｆ_i＋Σ_j=1^mλ_j(∂ｆ_j/∂ｒ_i)－(ｄ/ｄｔ)(∂Ｔ/∂ｖ_i)}δｒ_i＝0

と書けるわけです。

そして,ｒ_i＝(ｘ_3i-2,ｘ_3i-1,ｘ_3i)と成分表示すると,

上式はδｒ_i＝(δｘ_3i-2,δｘ_3i-1,δｘ_3i)なる変分:

δｘ_k(ｋ＝1,2,...,3ｎ),の各々に対して独立に成立します。

ｍ個のパラメータλ_jは,最後のｍ個のｋであるｋ＝3ｎ－ｍ＋1,

3ｎ－ｍ＋2,．．,3ｎに対するｍ個の連立方程式:

Ｆ_k＋Σ_j=1^mλ_j(∂ｆ_j/∂ｘ_k)－(ｄ/ｄｔ)(∂Ｔ/∂ｖ_k)＝0

の解として得られるとします。

こうして,Ｎ＝3ｎ－ｍとして,Ｎを対象の力学系の"自由度"

と呼べば,自由度の数Ｎだけの個数の独立な方程式:

Σ_k=1^N{Ｆ_k＋Σ_j=1^mλ_j(∂ｆ_j/∂ｘ_k)－(ｄ/ｄｔ)(∂Ｔ/∂ｖ_k)}δｘ_k＝0

が得られます。

ここで,改めて独立なＮ個の座標:ｑ_r(ｒ＝1,2,...,Ｎ)を用いて,

δｑ_rを各時刻ｔのｑ_rの変分としたときの,時間ｔに陽には依存しない

ｒ_iの変分をδｒ_i＝Σ_r=1^N(∂ｒ_i/∂ｑ_r)δｑ_rと表現すれば,

上の変分方程式は,

Σ_r=1^N(Ｆ_r＋Σ_j=1^mλ_j(∂ｆ_j/∂ｑ_r)－(ｄ/ｄｔ)(∂Ｔ/∂ｑ^d_r)

＋∂Ｔ/∂ｑ_r)δｑ_r＝0 と変形されます。

ここに,Ｆ_r≡Σ_i=1ⁿＦ_i(∂ｒ_i/∂ｑ_r)で定義されるＮ個の量:Ｆ_rを

一般化力と呼びます。

そして先に決定されたパラメータλ_jに対して,

Ｃ_r≡Σ_j=1^mλ_j(∂ｆ_j/∂ｑ_r)を拘束力と呼び,いわゆる滑らかな

拘束:Σ_r=1^NＣ_rδｑ_r＝0 つまり,拘束力は仕事をしないと

考えると,

Σ_r=1^N(Ｆ_r－(ｄ/ｄｔ)(∂Ｔ/∂ｑ^d_r)＋∂Ｔ/∂ｑ_r)δｑ_r＝0

と書けます。

この等式では,Ｎ個のδｑ_rは全て独立なので,

(ｄ/ｄｔ)(∂Ｔ/∂ｑ^d_r)－∂Ｔ/∂ｑ_r＝Ｆ_rなる

Lagrangeの方程式の系が得られます。 

ここで,特にＦ_r＝Σ_i=1ⁿＦ_i(∂ｒ_i/∂ｑ_r)＝(ｄ/ｄｔ)(∂Ｖ/∂ｑ^d_r)

－∂Ｖ/∂ｑ_rとなるようなＶ＝Ｖ(ｑ,ｑ^d,ｔ)が存在する場合なら,

Ｌ＝Ｔ－Ｖとおけば,(ｄ/ｄｔ)(∂Ｔ/∂ｑ^d_r)－∂Ｔ/∂ｑ_r＝Ｆ_rは,

Euler-Lagrangeの方程式(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｑ^d_r)－∂Ｌ/∂ｑ_r＝0

に一致します。

先の,電磁場の中での荷電粒子の運動についての考察から得られた

Ｌ＝Ｔ－Ｖ,Ｖ(ｒ,ｖ,ｔ)＝ｅφ(ｒ,ｔ)－ｅＡ(ｒ,ｔ)ｖでは,

電磁力:Ｆ＝ｅＥ＋ｅ(ｖ×Ｂ)が,上述のＶに対する条件式:

Ｆ＝(ｄ/ｄｔ)(∂Ｖ/∂ｖ)－∂Ｖ/∂ｒを確かに満足しています。

今日は,取り合えず,私的には納得できたのでこれで終わります。

http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/「ＴＲＳ健康ランド」-- 黒ウコン,ＳＣＳ(洗浄剤)専売などの店：  私が店長 です。

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン！メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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