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2007年12月

2007年12月30日 (日)

ヤングの干渉実験(7)(量子論)

光の干渉(Young's experiment)関連の記事の続きです。

 

年の瀬も押し詰まっている状況であることも相俟って記事が細切れ

気味になってきています。

"光子=輻射場(radiation field)"ではなく気体原子

(あるいは,原子を構成している電子)の方のHamiltonianを,

さらに"量子化=第2量子化"します。

孤立原子のHamiltonian:

E=Σj=1Z{j2/(2m)}+(1/2)∫ρ(,t)φ(,t)d

に対して,エネルギー固有値として,hcωiを持つ固有状態を

|i>と番号付けすると,E|i>=hcωi|i>です。

(ただし,hc≡h/(2π)で,hはPlanck定数です。)

 

そして,{|i>}が状態の完全系を張っているとすると,

Σi|i><i|=1ですから,

 E=Σi|i><i|EΣj|j><j| と書けます。

さらに,|i>は規格直交化されているとしEは|i>によって

対角化されていると想定してかまわないので,

<i|E|j>=hcωiδijと書けるとしていいでしょう。


 そこでEは,E=Σicωi|i><i|と表現されます。

こうした変形操作の手続きを個数量子化あるいは第2量子化

(場の量子化)と呼び,物理系の状態全体で構成される状態空間

は個数状態:|i>を基底とすることができて,その任意の状態

が個数状態の重ね合わせだけでいくらでも精密に表現できる

線形空間であるとする理論を場の量子論といいます。

 

こうした理論の元祖であり,特に光や電子の電磁的な系のみを

扱う伝統的な理論は量子電磁力学(QED)と呼ばれています。

すなわち,このHamiltonianの変形操作の手続きは,まず系を

振動数ωiを持つ調和振動子の集まりと見て,番号iで分類

される系のエネルギー固有状態のエネルギー準位を関連した

ある量子(粒子であり同時に波動であるような不思議な実体)

の個数と同一視します。

 

各々の振動子のエネルギー固有状態を個数状態と呼び,

エネルギーが励起されて準位が1つ上がることを量子が1つ

生成されるといい,逆に準位が1つ下がることを量子が1つ

消滅されると,いい表わします。

 

こうした描像を可能にする量子力学の表示の変換を第2量子化

の手続きと呼ぶわけです。

そして,原子のある固有状態|l>に|i><j|を作用させると

|i><j|l>=δjl|i>ですから,演算子(作用素)

|i><j|は,状態|j>を消滅させて,状態|i>を生成する

ものです。

 

E=Σicωi|i><i|なる表現は,相互作用がなければ実質的

な生成消滅がないことを示しています。

そして,電気双極子近似で見た原子と輻射場(光子)の相互作用は

IED(t)=eDET(0,t)ですが,上述の変形操作に従えば

=Σi|i><i|Σj|j><j|=Σi,jij|i><j|,

ただし,ij≡<i||j>です。

 

それ故,I ED(t)=eDET(0,t)

=Σi,jijT(0,t)|i><j| と書けます。

また,Coulombゲージでの横光子の第2量子化された電場

T(,t)は前の記事で既に述べたように,

T(,t)=Σkk;k

=i{hcωk/(ε0V)}1/2Σλεkλ[akλexp(-iωkt+ikr)

-akλ+exp(iωkt-ikr)]

なる形式で与えられることがわかっています。

しかし,より一般化して原子核は座標原点=0 にあるわけ

ではなくて位置:にあるとするなら,

ED(t)=eDET(,t)と書けます。

 そこで,結局,一般的には,

ED(t)=ieΣkΣλ{hcωk/(ε0V)}1/2εkλij×

[akλexp(-iωkt+ikR)-akλ+exp(iωkt-ikR)]|i><j|

となります。

こうして"微細構造定数αの1次近似=電気双極子近似"である

ことを除けば,原子-輻射系のハミルトニアンを完全に第2量子化

の言葉で表わすことに成功しました。

ここで,実際の単位時間当たりの"遷移確率=遷移速度"を求める

ために時間に依存する摂動論を正しく定式化しておきます。

まず,系を記述する全Hamiltonian:は時間に陽には依存

しないSchroedinger表示の2つの演算子の和として,

01 と表わされるとします。

 

ここで,0は結合のない自由な電子(原子)と輻射の非相互作用

Hamiltonianです。


 一方,1はそれらの間の相互作用Hamiltonianです。

電気双極子近似なら1EDです。

 

全系01を結合系と呼ぶことにします。

ΦS(t)がSchroedingerの波動方程式:

ΦS(t)=ihc{∂ΦS(t)/∂t}を満たす1つの解で,時刻t

におけるシュレーディンガーの波動関数を表わしていると

しします。

 

この線型波動方程式を形式的に解くことにより,時刻t0での

波動関数ΦS(t0)が時間発展して後の任意時刻t(t>t0)には,

ΦS(t)になるという関係を,

ΦS(t)=exp{-i(t-t0)/hcS(t0)

なる表現として表わすことができます。

さて,ψfはエネルギー:hcωfを持つ自由場のHamiltonian0

の固有関数(固有状態)であるとします。

つまり,0ψf=hcωfψfが成立するものとします。

 

このとき,系が時刻tに状態ψfにあると観測される確率は

ψfとΦS(t)との"内積=重なり積分"の大きさの2乗

|<ψfS(t)>|2

=|<ψf| exp{-i(t-t0)/hc}|ΦS(t0)>|2

で与えられます。

一方,時刻t0での初期の結合系の状態は,一般に0の固有状態

の重ね合わせとして表わすことができます。

 

ψuを,0の固有状態の1つとして,0ψu=hcωuψuが成立つ

ものとします。

 

"時刻t0には系が固有状態ψuにあった場合に,時刻tに系が

固有状態ψfに見出される確率=始状態ψuから終状態ψfへの

遷移確率"は|<ψf|exp{-i(t-t0)/hc}|ψu>|2

で与えられます。

 

以下では,この遷移確率の表式を,

|<f|exp{-i(t-t0)/hc}|u>|2

と簡略的に表記することにします。

そして,1つの始状態ψuから特定の終状態ψfへの遷移確率は

ほぼ経過時間に比例するので,"遷移速度=単位時間当りの

遷移確率"を

"遷移確率の時間微分=1/τ≡(d/dt)

|<f|exp{-i(t-t0)/hc}|u>|2によって定義します。

 

始状態ψuからいくつかの終状態ψfへの遷移が同時に観測される

ような実験的状況,例えば実験が終状態のスピンを特定しない

ような場合には,

1/τ≡(d/dt)[Σf|<f|exp{-i(t-t0)/hc}|u>|2]

で遷移速度を定義します。

遷移速度のこの形式的な表式:

1/τ≡(d/dt)[Σf|<f|exp{-i(t-t0)/hc}|u>|2]

は,具体的に計算を実行するのに便利な形をしていません。

しかし,01において,1<<0の場合を想定して

いるので,遷移速度表示の右辺を1の高次項が急速に減衰する

ような,1の行列要素のベキ級数に展開すれば,より使いやすい

近似計算が可能です。

 

つまり,exp{-i(t-t0)/hc}を1のベキで展開する

わけです。

一般に,01は非可換なため,

exp(-it/hc)≠exp(-i0t/hc)exp(-i1t/hc)

ですから,この展開は簡単にはできません。

 

しかし,等式:exp(i0t/hc)1exp(-it/hc)

=(ihc)(d/dt)[exp(i0t/hc)exp(-it/hc)]

が成立します。

 

そこで,∫t0t exp(i01/hc)1exp(-i1/hc)dt1

=(ihc)[exp(i0t/hc)exp(-it/hc)

-exp(i00/hc)exp(-i0/hc)]

が成立します。

 

それ故,exp(-it/hc)

=exp(-i0t/hc)[exp(i00/hc)exp(-i0/hc)

-(i/hc)∫t0t exp(i01/hc)1exp(-i1/hc)dt1]

なる表現を得ることができます。

通常,t=-∞に初期定常状態が既に安定的に存在していた

として,初期時刻をt0=-∞に取ります。

 

時刻t=t0では1=0 ,つまり0ですが相互作用1

スイッチが断熱的にオンオフされる状況を,

exp(εt1)(ただしε→+0 )なる因子の挿入で表現すると,

上の等式は,

exp(-it/hc)=exp(-i0t/hc)

[1-(i/hc)∫-∞t exp(i01/hc)1exp(εt1)

exp(-i1/hc)dt1] なる形になります。

 

※(注)物理学では,計算式等が有限にならないとか数学的に定義

できない場合,これを回避するために無限小のε>0 を便宜的に

導入して計算完了後にε→+0 の極限を取るような操作が正当化

されます。

 

この操作は,例えば電磁気学や散乱理論での遅延Green関数と

先進Green関数の違いなどに関係しています。

 

すなわち,計算すべき散乱振幅などが解として従う微分方程式

において,満たすべき境界条件の指定によって,結果が微妙に

左右される場合の境界条件の選択方法と大いに関わって

います。


(注釈終わり)※

 

さて,<f|exp{-i(t-t0)/hc}|u>の1のベキ展開の

ゼロ次の項は,

<f|exp(-i0t/hc)|u>=exp(-iωut)<f|u>なる因子

を持ちますが,遷移というからにはf≠u,

つまり<f|u>=0 なので,ゼロ次の寄与はゼロに

なります。

1次の項は,<f|exp(-it/hc)|u>

=<f|exp(-i0t/hc)[1-(i/hc)∫-∞t exp(i01/hc)

1exp(εt1)exp(-i1/hc)dt1]|u>の第2項の積分で

最右辺の0に変えたものです。

 

すなわち,-(i/hc)<f|exp(-i0t/hc)∫-∞tdt1

exp(i01/hc)1exp(εt1)exp(-i01/hc)]|u>

=-(i/hc)exp(-iωft)<f|1|u>∫-∞tdt1

exp(iωf1+εt1-iωu1)

={<f|1|u>exp(εt-iωut)/hc}/

u-ωf+iε)となります。

したがって,1次の項だけで遷移速度:1/τ

=(d/dt)[Σf|<f|exp{-i(t-t0)/hc}|u>|2]

を近似すると,

 1/τ=(d/dt)Σf[{|<f|1|u>|2exp(2εt)/hc2}

 /{(ωu-ωf)2+ε2}]

 =(2/hc2f[{|<f|1|u>|2εexp(2εt)/{(ωu-ωf)2+ε2}]

となります。

ε→+0 の極限を取ると,1次近似では,

1/τ=(2π/hc2f{|<f|1|u>|2δ(ωu-ωf)}

が得られます。

 

これは有名なFermiの黄金律(Fermi's golden rule)です。

さらに2次の項は,第2項の積分で,最右辺のexp(-i1/hc)

にこれの1次の近似項を代入すれば得られます。

 

すなわち,

(-1/hc2)<f|exp(-i0t/hc)∫-∞tdt1-∞t1dt2

exp(i01/hc)1exp(εt1)exp{-i0(t1-t2)/hc}

1exp(εt2)exp(-i02/hc)]|u> です。

 

これに,完全系を示す式:1=Σl|l><l|を挟んで整理する

と,-hc-2Σlexp(-iωft)<f|1|l><l|1|u>

-∞tdt1-∞t1dt2

exp{iωf1+εt1-iωl(t1-t2)+εt2+iωu1}

=Σl[{<f|1|l><l|1|u>exp(2εt-iωut)

/{(ωu-ωl+iε)(ωu-ωf+2iε)}} となります。

 

1次の項と2次の項の寄与の総和は,

(1/hc){exp(εt-iωut)/(ωu-ωf+iε)}[<f|1|u>

+(1/hcl{<f|1|l><l|1|u>/{(ωu-ωl+iε/2)}]

です。

そこで,f≠uの2次までの近似で正しい遷移速度は,

1/τ=(2π/hc2)[Σf{|<f|1|u>

+(1/hcl{<f|1|l><l|1|u>/(ωu-ωl)}|2δ(ωu-ωf)}となって,Fermiの黄金律をより精密にした形になります。

2次の摂動計算のために便宜上挿入した完全系の式:

1=Σl|l><l|において,導入されたエネルギーhcωl

持つ個々の状態|l>のことを中間状態(intermediate state),

あるいは仮想状態(virtual state)と呼びます。

 

この"中間状態=仮想状態"においては,エネルギー保存則など

の保存則が破れていてもかまいません。

 

実際,Σl{<f|1|l><l|1|u>/(ωu-ωl)なる

中間状態|l>の寄与において,仮想状態ではなく正確に

エネルギー保存ωl=ωuが要求される実状態なら,分母が

ゼロになって困る事態が起こります。

もっとも,こうした困難を回避するため,(ωu-ωl)の

代わりに(ωu-ωl+iε)と置いて無限小の純虚数を導入し,

計算結果は級数和でなく複素積分で表現されることも多い

わけです。

 

そして,こうした中間状態の振幅への寄与の大部分が,ωu~ωl

なるエネルギーが保存される実状態の近傍の状態に由来する

のは,形から明らかなことです。

 

こうして仮想状態が許容されるのは,遷移現象における時間と

エネルギーの不確定性原理:ΔEΔt~h/2,または

ΔωΔt~1/2の反映と見ることもできます。

つまり,摂動論という便宜的な近似法の中にも量子論の本質

である不確定性原理が現われているように見えるわけです。

この"中間状態=仮想状態"が光子の状態である場合には,このとき

の光子を現実に観測される実光子と区別して仮想光子と呼びます。

 

これも不確定性原理の反映として仮想光子の質量がゼロである

必要はありません。

 

また,中間状態が光子状態ではなく質量を持った,例えばπ中間子

の状態ならば,そのπ中間子は仮想π中間子と呼ばれます。

 

いずれにしても仮想状態の粒子の質量は,実際に観測される粒子

の質量と一致する必要はなく,それ故仮想粒子と呼ばれるわけです。

そして,仮想粒子の質量は実粒子とは違って,観測時間Δtを

短かく取れば-∞ ~+∞ の範囲の全ての値を取ることが

可能です。

 

そのため,実粒子状態は"質量殻の上にある=オンシェル状態に

ある"といわれ,仮想粒子の状態は"質量殻の外にある=

オフシェル状態"にあるといわれることがあります。

さて,電気双極子近似での原子のHamiltonianは,

EED(t);E=Σicωi|i><i|,ED(t)

=ieΣkΣλ{hcωk/(ε0V)}1/2εkλij

[akλexp(-iωkt+ikR)-akλ+exp(iωkt-ikR)]|i><j|

で与えられることがわかっています。

 

そこでΨ(t)を,状態を示す波動関数とするとき,原子に対する

Schroedingerの波動方程式は,

{EED(t)}Ψ(t)=ihc{∂Ψ(t)/∂t}

表わすことができます。

  この方程式は孤立原子のHamiltonian:Eが時間に依らない

Schroedinger表示の演算子であるのに対し,電気双極子相互作用

Kamiltonian:ED(t)が時間tに依存するHeisenberg表示という

混合形式になっています。

 

この式を演算子が時間を陽に含まない,通常のSchroedinger

表示のそれに変換するため,新しいSchroedinger表示の

波動関数:Φs(t)を,Φs(t)≡exp(-iRt/hc)Ψ(t)

によって定義します。

 

ここで,R≡ΣkΣλcωkkλkλ+は輻射光子のHamiltonian

ですが,本質には関わらない零点エネルギーは除いています。

これを先の波動方程式:

{EED(t)}Ψ(t)=ihc{∂Ψ(t)/∂t}に代入すると,

{EED(t)}exp(iRt/hcS(t)

=ihc(∂/∂t){exp(iRt/hcS(t)}

=ihc exp(iRt/hc)

{(iR/hcS(t)+{∂ΦS(t)/∂t} です。

 

ここでERは可換なので,

これは,

{ER+exp(-iRt/hc)ED(t)exp(iRt/hc)}ΦS(t)

=ihc{∂ΦS(t)/∂t} となります。

ところが,陽な表式R≡ΣkΣλcωkkλkλ+を左辺の{ }の

中の最終項:exp(-iRt/hc)ED(t)exp(iRt/hc)に代入

すれば,

 exp(-iRt/hc)ED(t)exp(iRt/hc)

 =ieΣkΣλ{hcωk/(ε0V)}1/2εkλij

 [exp(-iRt/hc)akλexp(iRt/hc)exp(-iωkt+ikR)

 -exp(-iRt/hc)akλ+exp(iRt/hc)

 exp(iωk-ikR)]|i><j|

 =ieΣkΣλ{hcωk/(ε0V)}1/2εkλij

 [akλexp(ikR)-akλ+exp(-ikR)]|i><j|

 となります。

つまり,exp(-iRt/hc)ED(t)exp(iRt/hc)

ED(0) す。

 

右辺のED(0)=ieΣkΣλ{hcωk/(ε0V)}1/2

εkλij[akλexp(ikR)-akλexp(-ikR)]|i><j|

は,時間に依存しない通常のSchroedinger表示の演算子

なので,ED(0)を単にEDと表記すれば波動方程式は非常に

簡単な形:(EREDS(t)=ihc{∂ΦS(t)/∂t}

に帰着します。

 こうして,ERED はSchroedinger表示

での系 の全Hamiltonianに相当します。

  そしてΦS(t)が系の正しい波動関数を示している

 ことがわかりました。

 

そこで,0E,1RED,01と置いて,先に

紹介した時間に依存する摂動論を適用すれば,原理的には

完全に第2量子化された原子光子系の場の量子論の計算と

して,相互作用が電気双極子近似された場合の遷移速度等

の計算を実行することができます。

さらに,それぞれ統計的重みPSを持って幾つかの純粋状態

ΦS(t)が混合した混合状態における時刻tでの密度演算子

をρ(t)≡ΣSSS(t)><ΦS(t)|

=ΣSSexp(-it/hc)|ΦS(0)><ΦS(0)|exp(it/hc)

とおきます。

 

すると,Schroedinger表示での演算子Oの時刻tにおける

観測期待値は,<O(t)>=Tr(ρ(t)O)

で与えられます。

もちろん,時間に依存する演算子である密度演算子:

ρ(t)はHeisenberg方程式に従います。

すなわち,ihc(dρ/dt)=[,ρ]なる方程式に従います。

今年はここまでにします。

 

恐らく,この論題については来年早々終わりになると思います。

あとほんの少しですから。。

 

では,来年もよろしく。。

参考文献:R.Loudon 著(小島忠宣,小島和子 共訳)

「光の量子論(第2版)」(内田老鶴圃)

 

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2007年12月29日 (土)

勝手に点いたり消えたりするテレビ

 昨夜も帰ってみると何やら部屋は真っ暗なのに声がすると思って見ると,テレビを消して出たはずなのに,リモコンで消しただけだったので勝手にテレビが点いていた。この野郎と思った。

 が,もうかなり古いテレビで,酷使しているのでしょうがない。。。

 その後も夜中にまた点いたり消えたりしている。元を切ればいいのだが面倒臭いので,点くたびにこまめに消していた。

 が,気がつくとリモコンも見当たらない。チクショウ,機械に支配されてたまるか,と思って探し回るとやがて寝ている足元の方に落ちていた。

 無意識に放り投げたのだろう。

 これがはじめて起きたときは少々困惑したが,それは真夏の暑い頃だったので部屋はムンムンしていたし赤外線がいっぱい飛び交っているはずなので電波障害と呼ぶべきか,リモコン受信板が誤作動しているな。とすぐに直感したものだった。

 どうしてもわずらわしいときは,元のスイッチを切ればいいだけだが,サッカーを見ていたり,めったには真剣に見ないけど,深刻なドラマの最中に消えたりして中断されるとかなり頭に来る。。

 最近の機種なら電波をうまく遮断する装置がついているらしいが、元のスイッチを切ったり,コンセントを抜いたりする習慣もなく,新しいテレビに買い換える金もなくて,しかもテレビっ子で,かつものぐさな私にはどうしようもない。。

 困ったもんだ。。とイライラする今日この頃でした。。。 

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2007年12月28日 (金)

新しいタイプの中間子(谷川先生の思い出)

 どうも世事に疎いのですが,1976年の私の修士論文「Quark Molecule」 の中でそれとなく予測していたエキゾチックな素粒子(exotic particles)の1種

 "4体クォーク=(クォーク2個+反クォーク2個)"のカラーSU(3)の反対称1重項(シングレット:siglet)の共鳴状態 ,または束縛状態から成る新しい型の中間子)がこの10月にKEK(つくば市の高エネルギー加速器研究機構)で見つかったらしいですね。。 

(↑ 「KEKプレス(Bell実験で新種の中間子を発見)」)

 例えば,フレイバーとしてアップクォーク=uの1種だけから構成される4体クォーク中間子なら,u~をuの反粒子の表記として, uuu~u~ なる電気的に中性な素粒子が考えられますね。

 何か質量がヘリウム(4He2)くらいもある重い粒子だそうな。。

 私の学生時代の30年以上も前の加速器じゃ無理ですね。

 それにしてもボソン(Boson)という理由だけで,こんな重い粒子も中間子と呼んでいいのでしょうか?

 アンダーソンの陽電子,湯川の頃のパイ中間子の発見や坂田,谷川の2中間子論の頃のミュー中間子(今では中間子でなく,レプトン=軽粒子に分類されている)などのように,新粒子の発見がとても珍しかった時代には,その新粒子が存在することの予言そのものが理論的にも大きな話題でした。

 しかし,近頃のように新粒子発見が日常茶飯事になった時代だと,この程度では,"ああそうか",というような程度のものかも知れません。

 ちなみに私が院生時代に属していた研究室が,この(故)谷川(安孝)先生の定年真近の時代の研究室でした。

 私と,もう1人しかいない同級生とで,谷川先生の還暦祝いの幹事をやった記憶があります。場所は確か三宮のオリエンタルホテルです。

 (イヤ,私は幹事というより単に受付だけだったかな?記憶が曖昧です。。)

 とにかくなつかしいですね。。。

 先生が中村(誠太郎)先生や内山(龍雄)先生とお友達だったおかげでしょうか,このお二人の講義も何度か聞けましたね。。

 この関連で,なつかしく思い出される将棋の名誉段と実力の話とか,ユリゲラーのスプーン曲げを実験した話とか,当時の谷川研究室のエピソードも数々ありますが,これは私とその時代の人の頭の中に残しておくことにします。

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ヤングの干渉実験(6)(量子論)

光の干渉関連(Young's experiment)の続きです。

前記事の最後で原子と電磁場との極小相互作用(minimal coupling)を含むクーロンゲージでの全体系のハミルトニアンが'={1/(2m)}Σj=1Z{j+e(j(t),t)}2+(1/2)∫ρ(,t)φ(,t)d+(1/2)∫(ε0T(,t)2+μ0-1(,t)2)dと表わされると書きました。

これの右辺の第2項:(1/2)∫ρ(,t)φ(,t)d=(-1/2)ε0∫φ(,t)∇2φ(,t)d=(1/2)ε0∫{∇φ(,t)}2=(1/2)ε0L2(,t)d={1/(2ε0)}∫L2(,t)dは,形の上では電荷による静電エネルギー,ρ(r,t)=-Σj=1Zeδ(j(t))+Zeδ(),およびφ(,t)={1/(4πε0)}{-Σj=1Z(e/|j(t)|)+Ze/r}を代入すればクーロン相互作用エネルギーを全て含んでいることがわかります。

この第2項は輻射場を含んでいないので,第2量子化されていても量子場の演算子を含んでいません。一方,第3項は原子の運動に関わるエネルギーを含まない"輻射場=横波光子"単独のエネルギーです。

結局,第1項のみが相互作用に関わる極小結合部分で,原子と輻射場の相互作用はint={e/(2m)}Σj=1Z{j(j(t),t)+(j(t),t)j}+{e2/(2m)}Σj=1Z(j(t),t)2で与えられます。

 

これ自身を用いた厳密な計算結果はゲージの選択によらないはずですが,実際の多くの計算はほとんど近似計算なのでベクトルポテンシャルによる表式ではゲージ依存になります。

そこで基本的には理論を不変に保つユニタリ変換を用いてハミルトニアンを便利な形に変えることを試みます。

すなわち,ユニタリ演算子:U^(t)≡exp[{i/(chc)}∫T(,t)(,t)d](ただし,hc≡h/(2π)はプランク定数)を定義します。

 

(,t)=0 なので,∫T(,t)(,t)d=∫(,t)(,t)dが成立します。(,t)=-eΣj=1Zj(t)∫01dλδ(-λj(t))を代入すると,U^(t)≡exp[(-ie/hcj=1Z01dλ{j(t)j(t),t)}]となります。

このU^(t)によって変換されたハミルトニアン=U^-1(t)'U^(t)と書けます。

 

一方,',に対応する波動関数を,それぞれψ',ψと書くとψ=U^(t)ψ'です。

j=-ihcjなる陽な表示によって,U^-1(t){j+e(j(t),t)}U^(t)=j-ej01dλ{j(t)j(t),t)}+e(j(t),t)となります。

  

(j(t),t)=∫01dλ[{1+j(t)j}j(t),t)],

 

故にU^-1(t){j+e(j(t),t)}U^(t)=j-e∫01dλ[j{j(t)j(t),t)}-{1+j(t)j}j(t),t)]です。

 

ところで,[{rA(,t)}-{1+r∇}(,t)]i=rkik-rkki=rk(∂ik-∂ki)=εikjkεjlmlm={×(,t)}i;(ただし,(,t)=×(,t))と書けます。

 

結局,U^-1(t){j+e(j(t),t)}U^(t)=j-e∫01dλ{λj(t)×j(t),t)}です。

同様に,U^-1(t)T(,t)U^(t)=T(,t)-(1/ε0)T(,t) etc.から,=U^-1(t)'U^(t)={1/(2m)}Σj=1Z(j-e∫01dλ{λj(t)×j(t),t)})2+(1/2)∫ρ(,t)φ(,t)d+(1/2)∫(ε0T(,t)2+μ0-1(,t)2)d+eΣj=1Z01dλ{j(t)Tj(t),t)}+{1/(2ε0)}∫T(,t)2です。

  

結局,変換前のハミルトニアンの中からゲージ依存のベクトルポテンシャルを追い出すことに成功しました。

電子の座標軌道j(t)はボーア半径aB=4πε0c2/(me2)程度の大きさを持っていると思われます。また,勾配演算子Tに作用するとき,それは輻射の波動ベクトル程度の大きさです。

そこで,前にVE(t)=eΣj=1Z[∫01dλj(t)(1+λj(t)∇+(1/2!){λj(t)∇}2+...)T(0,t)]=eΣj=1Zj(t)[1+(1/2!)j(t)∇+(1/3!){j(t)∇}2+...]T(0,t),

  

M(t)=eΣj=1Z01dλ[{j(t)×(dj/dt)}(1+λj(t)∇+(1/2!){λj(t)∇}2+..)(0,t)]=(e/m)Σj=1Z[j(t)((1/2!)+(2/3!)j(t)∇+(3/4!){j(t)∇}2+..)(0,t)]と表現しました。

  

そこで見たような,Tj(t),t)やj(t),t)の多極展開において,λの高次のベキの項は急激に減衰するはずです。

したがって,-e∫01dλ{λj(t)×j(t),t)}は第1項の磁気双極子項だけ残して-{e/(2m)}{mj(t)×(0,t)}で近似し,e∫01dλ{j(t)Tj(t),t)}は第1項の電気双極子項ej(t)T(0,t)と第2項の4重極子項(e/2)j(t){j(t)∇}T(0,t)をとって近似することにします。

このとき,近似ハミルトニアンを改めてと書き,ERIと分解します。

 

E は孤立原子のハミルトニアンでE=Σj=1Z{j2/(2m)}+(1/2)∫ρ(,t)φ(,t)d,Rは輻射場のハミルトニアンでR=(1/2)∫(ε0T(,t)2+μ0-1(,t)2)dです。

 

そして,輻射場と原子の相互作用ハミルトニアンIをさらに4つに分けます。IEDEQMDNLです。

 

ここでEDEQ は電場との相互作用項で,ED=eΣj=1ZjT(0,t)=eDET(0,t)であり,eD=Σj=1Zjは電気双極子モーメントです。

 

また,EQ=(e/2)Σj=1Zj(t){j(t)∇}T(0,t)=-(∇Q)T(0,t)です。ここで,Q=-(1/2)Σj=1Zjjは電気4重極子モーメントです。

MDNLは磁場との相互作用項です。すなわち,MD =-{e/(4m)}Σj=1Z[j{j(t)×(0,t)}+{j(t)×(0,t)}j]={e/(2m)}MB(0,t)です。ただし,は角運動量の総和で≡Σj=1Zj=Σj=1Z{j(t)×j}です。

 

最後にNLは反磁性項と呼ばれ,NL={e2/(8m)}Σj=1Z{j(t)×(0,t)}2と表現されます。

j ~ aB4πε0c2/(me2),ω ~ ω0=(3/4)ωB=(3me4)/(128π2ε02c3),k~ω/cとして,各項のオーダーを評価します。

 

まず,ED ~ET(0,t){4πε0c2/(me)}です。次に∇T(0,t)~kET(0,t)=(ω/c)ET(0,t)により,EQ ~ET(0,t){3ehc/(16mc)}です。

一方,≡Σj=1Zj=Σj=1Z{j(t)×j}~hcと考えてMD ~ B(0,t){ehc/(2m)}~ET(0,t){ehc/(2mc)}です。

 

そこで,電磁相互作用の結合の大きさを特徴付ける無次元定数である微細構造定数α≡e2/(4πε0cc)~ 1/137を用いると,EQ ~ (3α/16)ED,MD ~(α/2)EDとなりますから,電気4重極子項EQと磁気双極子項MDは電気双極子項EDに比べてαの1次程度のオーダーになります。

以下では,電気双極子項EDに比べて電気4重極子項EQ,磁気双極子項MD,および非線形項の反磁性項NLを無視する電気双極子近似を採用してIEDとします。

 

 というのも後述の摂動論で述べるように状態ψif間の原子遷移に伴なって光子が放出,吸収される遷移速度は行列要素<ψf|Ii>の絶対値の2乗に比例するからです。

 電気双極子近似ではその対称性のために行列要素<ψf|Ii>がゼロになるような遷移の寄与が無視され,そうした遷移は禁止されることになります。

 

 例えばj は空間反転に対して符号を変えるので電気双極子相互作用e(ただし=Σjj)は奇のパリティ(偶奇性)を持つため,状態ψiとψfが互いに異なるパリティを持つ場合にみ,それらの間の遷移が許容されるわけです。

今日はこれで終わります。

参考文献:R.Loudon 著(小島忠宣,小島和子 共訳)「光の量子論(第2版)」(内田老鶴圃)

 

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2007年12月26日 (水)

アクセス数

 今夜ほんの少し前,2007年12月26日(水)午前2時頃に,私のブログのアクセスが10万ヒットを超えました。

 表示カウンターは少し遅れて反映されるらしく,まだ10万になっていませんが,おそらくカウンターも1両日中には10万に達するでしょう。

 今年中には到達するだろうと思っていましたが,2006年3月20日開始で1年9ヶ月(21ヶ月)=640日で10万というのは早いほうなのでしょうか?

 平均すると155(アクセス/日)程度ですが次第に増えているので初期の数よりは桁が違います。

 このうち私自身のアクセスが10(アクセス/日)程度です。アクセスしていただいた方、ありがとうございます。

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2007年12月25日 (火)

ヤングの干渉実験(5)(量子論)

ちょっと間があきましたが,光の干渉(Young's double-slit experiment)関連の続きです。

これまでは自由電磁場について述べてきましたが,完全な量子理論を得るためには原子と電磁場の相互作用の完全な議論を経由する必要があります。

原子番号がZの重い原子核が座標原点に事実上静止していて,Z個の電子が位置j(j=1,2,..,Z)にある中性原子を考えます。

 

このとき素電荷をe>0 とすると,電荷密度ρと電流密度はρ(r,t)=-Σj=1Zeδ(j(t))+Zeδ(),(r,t)=-Σj=1Zj(t)δ(j(t));j(t)≡dj/dtです。

 

ここでδ(j)はδ(j)={1/(2π)3}∫exp{i(j)}dとフーリエ(Fourier)積分による表示もできます。

そして,今まで通りクーロンゲージ:∇(,t)=0 を採用するとスカラーポテンシャルはφ(,t)={1/(4πε0)}∫d'ρ(',t)/|'|で与えられます。

 

そこで,これにρ(r,t)=-Σj=1Zeδ(j(t))+Zeδ()を代入して,φ(,t)={1/(4πε0)}{-Σj=1Z(e/|j(t)|)+Ze/r}となります。

一方,ベクトルポテンシャルは(,t)={μ0/(4π)}∫d'T(',t')/|'| ;t'≡t-|'|/cに,電流密度(r,t)=-Σj=1Zj(t)δ(j(t)) ;j(t)≡dj/dtの横成分T(,t)を代入すれば得られるはずです。

ところで原子と電磁場の相互作用の記述には原子の電荷に関連した分極(,t)と磁化(,t)を用いた現象論的な表式を立てるのが都合がいいです。

 

すなわち,ρ(,t)=-∇(,t),(,t)=d(,t)/dt+∇×(,t)なる式を介して電荷密度や電流密度から逆に,これらの量を決定します。

一見してわかるように,これらを満たす(,t)と(,t)の解には任意性があります。

 

例えば,任意のベクトルは横成分と縦成分に分解できるのでρ(,t)=-∇(,t)からは∇(,t)の縦成分しか決まりません。

 

すなわち,ρ(,t)=-∇L(,t)ですが,以前書いた式∇L=ρ/ε0と比較すると,定数の任意性を無視してL(,t)=ε0L(,t)です。

 

また,(,t)=d(,t)/dt+∇×(,t)からは,(,t)の縦成分が決まりません。そして,これらを満たす(,t),(,t)の横成分の選択にも幅があります。

ここで,ρ(r,t)=-Σj=1Zeδ(j(t))+Zeδ(),(r,t)=-Σj=1Zj(t)δ(j(t));j(t)≡dj/dtを代入したρ(,t)=-∇(,t),(,t)=d(,t)/dt+∇×(,t)なる連立方程式に対して,次の形に書いた(,t),(,t)がその解になることを証明を省略して述べておきます。

すなわち,(,t)=-eΣj=1Zj(t)∫01dλδ(-λj(t)),(,t)=-eΣj=1Zj(t)×(dj/dt)∫01dλλδ(-λj(t))です。

 

解のこの積分形は便利であり相互作用エネルギーの多極展開がこれから導かれます。

すなわち,横電場T(,t)の中にある原子のポテンシャルエネルギーをVE(t)とすると,VE(t)=-∫(,t)T(,t)dr=eΣj=1Z01dλj(t)Tj(t),t)と書くことができます。

 

何故なら,静電場があってその中に1つの双極子があるときの静電エネルギーUはよく知られているように,U=-pEで,働く力は=-∇(pE)=-(∇)ですから,これはそれからのアナロジーです。

ところで,一般に任意のベクトル(,t)は,(,t)=T(,t)+L(,t);∇T(,t)=0 ,∇×L(,t)=0 と分割可能です。

 

(,t)={1/(2π)3}∫dV^(,t)exp(ir),T(,t)={1/(2π)3}∫dkV^T(,t)exp(ir),L(,t)={1/(2π)3}∫dkV^L(,t)exp(ir)とフーリエ展開すると,^(,t)=^T(,t)+^L(,t);kV^T(,t)=0 ,×^L(,t)=0 です。

そこで^T(,t)≡(,t)×,(kA(,t)=0),^L(,t)≡B(,t)と置くと,(,t)×+B(,t)^(,t)より,B(,t)=^(,t)/k2,(,t)=×^(,t)/k2

 

すなわち,T(,t)={1/(2π)3}∫d[({×^(,t)}×)/k2]exp(ir),L(,t)={1/(2π)3}∫d[({^(,t)})/k2]exp(ir)と書けます。

これを用いると,任意の2つのベクトル場(,t)と(,t)に対して∫T(,t)L(,t)d={1/(2π)3}∫d[({×^(,t)}×)({^(-,t)})/k4]により,∫T(,t)L(,t)d=0 が成立することがわかります。

したがって,VE(t)=-∫(,t)T(,t)dr=eΣj=1Z01dλj(t)Tj(t),t)においてVE(t)=-∫(,t)T(,t)dr=-∫T(,t)T(,t)dであり,積分に寄与するのは分極ベクトルの横成分T(,t)だけです。

しかし,とりあえず縦成分も含めた形でVE(t)=eΣj=1Z01dλj(t)Tj(t),t)の右辺の電場をテイラー展開するとVE(t)=eΣj=1Z[∫01dλj(t)(1+λj(t)∇+(1/2!){λj(t)∇}2+...)T(0,t)]=eΣj=1Zj(t)[1+(1/2!)j(t)∇+(1/3!){j(t)∇}2+...]T(0,t)となります。

 

ただし,[ ]内の各項での空間微分∇iの実行の後ではその都度j(t)をゼロと置く操作をします。これは電気ポテンシャルエネルギーに対して"原子の電荷分布の多極モーメントによる展開=多極展開"を行ったものです。

そして,展開の第1項eΣj=1Zj(t)T(0,t)は電場の中で原子内の原点にZeの原子核があってそのまわりにZ個の電子がある場合の全電気双極子モーメント:-e(t)≡-Σj=1Zjに対する電気双極子相互作用ハミルトニアン=eDEと等価です。

 

また,展開の第2項には電気4重極子モーメント:Q=-(1/2)Σj=1Zjjと電場の勾配との積が含まれています。

同様に,磁場(,t)の中における原子のポテンシャルエネルギーはVM(t)=-∫(,t)(,t)dr=eΣj=1Z01dλ[{j(t)×(dj/dt)}j(t),t)]で与えられます。

 

磁場には元々横成分しかありません。常に,div=0 なのでTなんですね。

 

右辺の磁場をテイラー展開するとVM(t)=eΣj=1Z01dλ[{j(t)×(dj/dt)}(1+λj(t)∇+(1/2!){λj(t)∇}2+...)(0,t)]=(e/m)Σj=1Z[j(t)((1/2!)+(2/3!)j(t)∇+(3/4!){j(t)∇}2+...)(0,t)]となります。ここにj(t)≡mj(t)×(dj/dt)は電子jの角運動量です。

ここでも展開の第1項(e/m)Σj=1Zlj(t)(0,t)は磁場の中で原子内の原点にZeの原子核があってそのまわりにZ個の電子がある場合の磁気双極子モーメント:-eM(t)≡-(1/2)Σj=1Z(e/m)jに対する磁気双極子相互作用ハミルトニアンM=eMと等価です。

 

また,展開の第2項には磁気4重極子モーメント:QM=-(2/3!)Σj=1Z(e/m)jjと磁場の勾配との積が含まれています。

ここで原子と電磁場との極小相互作用(minimal coupling)を含むクーロンゲージでの全体系のハミルトニアンをtotとすると,tot={1/(2m)}Σj=1Z{j+e(j(t),t)}2+(1/2)∫ρ(,t)φ(,t)d+(1/2)∫(ε0T(,t)2+μ0-1(,t)2)dと書けます。

ここまでが,丁度1年前心臓病が発覚したころの2006年12月段階で既に私が"勉強=読解"していた内容です。

 

これ以降は新しい項目になるのでたった1行の式をチェックするのさえ,ときには何日もかかる恐れがあるため,かなりスピードが落ちると思います。

 

その上,22日から風邪を引いてしまって治りません。

 

私の場合,単なる風邪でも,糖尿病かつ心臓病なのでなかなか治りにくく,こじらせて肺炎にでもなると命取りなので,少し体に気を付けたいと思います。

今日はここで終わります。

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2007年12月22日 (土)

醜態

 昨夜は志村坂上の会社で,夜に時間つぶしにお気に入りの「ブラザー・サン-シスター・ムーン」 という聖フランチェスコと聖キアラの物語の映画をDVDで途中まで見て少し泣いた後,

 (You-Tube:Brother sun sister moon)

   

 近くの「彩」というスナックで夜9時過ぎから酒を飲み唄っていました。

 夜11時頃に,やっと待ち人が来て,それから私はまたカラオケで美空ひばりの「みだれ髪」を唄った後,急に意識が無くなり,しばらく後気が付いたら,カウンター席から落ちて床にころがっていた。。という醜態を演じてしまいました。

 床に,嘔吐などをして,「キイ・ハンター」の大川栄子に似た美人のママと鳳蘭に似た女姓に迷惑をかけてしまいました。

 どうもアルコール度数は25%くらいで決して高くないのですが,慣れない泡盛をお猪口くらいですが2杯,ストレートとロックで飲み,いつになく顔に出てご機嫌になっていたようです。

 倒れる直前,といってもほんの5分くらいでしょうが,何があったのか覚えていないという有様でした。

 こういうことは,今まで1度もありません。

 ただ,夏の退院直後の頃,大病で手術して1ヶ月も入院していたせいか?

 ときどき足にくることがあり,「おかしいな?弱くなったのかな?」と思ったことはありましたが,

 寒くなってきた今頃は,また調子は元に戻っていたので驚きました。

 普段は一人で飲みにいくので気を張っているのに,今夜は隣に7つくらい年上の"保護者"がいたので,気が緩んだせいかもしれません。

 酔いたいからこそ飲んでいるのに,いつもは全く酔えない性格なので,ある意味で数分程度でも人事不省になるというのは望むところだったのですが,迷惑を掛けた人には申し訳ありませんでした。

 30分程度,休んだ後にカウンターに戻ってウーロン茶を飲みながら,隣の人が河島英五の「時代おくれ」を唄ったので,つい唄を催して高倉健の「時代おくれの酒場」を唄いました。

 唄の方は元気に唄えましたが,もう1人の待ち人が来るまで体が持つかどうかわからなかったので,夜中の12時半~1時頃,1人でタクシーで帰宅しました。

 昔から,酒に酔うことは全くなくて,胃腸が弱いので,酔う前に嘔吐を催してまわりには気付かれていたかどうかわかりませんが,トイレで吐いてはまた元気になって飲むということを繰り返すという飲み方をよくしていたので,

 嘔吐くらいは別に気にしていませんでしたが,他人様のお世話になるという醜態をさらしてはいけないな。。と,

 何があっても決して反省することをしない私も少し反省しています。

 今朝はさわやかに目が覚めて今は朝の9時半です。

 これから帝京大病院の内科に今年最後の診察に行ってきます。

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2007年12月20日 (木)

微分形式とベクトル解析

 コーヒー・ブレイクです。物理学の話はちょっとお休みにして物理数学の軽い話題を述べてみます。

 エリ・カルタン(Elie Cartan)が創始したと言われる微分形式,または外微分の概念は,最近は向き付け可能な微分可能多様体の上でのテンソル場などと関連して導入されることが多いらしく,何か前提として微分幾何学などの知識がなければいけないかのように感じ,かなり敷居が高いなどと思われ勝ちです。

 

 私が35年以上も前に大学の物理学科で留年した年に,1年間数学科で浮気をしていた際,数学科の専門講義の中で解析学の一部として学んだ記憶がある微分形式は幾何学と関連があるといっても平面上の四角形はアファイン変換でもやはり四角形になる,という程度の初等幾何の話で十分なものでした。

 微分形式を抽象数学として厳密に扱おうとするなら,それを微分幾何学,多様体などの概念と結び付け,曲面上での特殊な多重線形変換の場,あるいは交代テンソルの場の一部として導入するべきかも知れません。

 

 しかし,古典物理での物理数学のような応用数学に利用するだけであれば,積分が微分の逆演算であること,および積分変数,あるいは微分変数の変換における不変式との関連の話で導入をする程度でお茶を濁すのがイメージを掴むやり方としては,はるかに入り易いと思います。

 

 ここではそうした方法での説明にトライしてみます。

 要するに,私がはじめてそれを学んだときには,微分形式というのは素朴な1変数関数の積分での変数置換に伴う単純な置換積分の公式を多変数関数の重積分の場合のそれに拡張したとき,積分形式における変換規則を微分形式の規則に翻訳するための便法として編み出した記号に過ぎないものと把握したものでした。

 ただ,そうした記号的手法を用いれば計算が非常に楽になるということだけは確かであり,特に直交座標とか極座標とかの点の異なる座標表現を気にすることなく同じ形式で考察できるという意味では,重宝で便利な道具であるとは思います。

 1変数関数y=f(x)の不定積分:F(x)=∫x(t)dtは積分変数tをt=φ(u)によってuに変更するとき,この対応が同相,つまりφが1価連続で逆写像もまた連続なら,x=φ(v)のとき,これが∫v(φ(u))φ'(u)du (ただしφ'(u)≡dφ/du)なる積分に一致する:x(t)dt=∫v(φ(u))φ'(u)duなる不変式が成立する,というのが置換積分法の規則です。

 

 これは微分規則での合成関数の微分法の規則:dF(φ(v))/dv=(dF/dx)φ'(v)に対応するものです。

 では2変数関数g(x,y)の積分の場合にはどうでしょうか?

 

 1変数関数のときには便宜上,積分を不定積分としましたが,今度はある決まった点(x,y)の連結した点集合から成る2次元の領域Dの上での定積分として,2重積分:∫D(x,y)dxdyを考えます。

 

 そして,1変数の場合と同様にx=φ(u,v),y=ψ(u,v)と変数変換して,φ,ψを(u,v)の連結した領域Duvから(x,y)の領域Dの上への同相写像とします。

 

 すなわち,この写像の組φ,ψをベクトル表示で t(x,y)=Φ(u,v)≡t(φ(u,v),ψ(u,v))と書くとき,D=Φ(Duv)となるとします。

 そして,先の1変数の積分不変式∫x(t)dt=∫v(φ(u))φ'(u)duが2変数関数g(x,y)の積分でも成立するとして,形式的に∫D(x,y)dxdy=∫Duv(φ(u,v),ψ(u,v))Φ'(u,v)dudvと書きます。

 

 形式的にこう書いたとしても,それだけでは,右辺の最後のΦ'(u,v)dudvなる表記の記号の意味がまだ不明のなので,これが明確に定義されない限り,この表現式に意味はありません。

 しかし,t(x,y)=Φ(u,v)≡t(φ(u,v),ψ(u,v))という変数変換は,局所的な微分量の変換に対応する微小変換では通常の1次元の1変数の場合の変換x=φ(u)における微分と微分係数の関係:dx=(dφ/du)du=φ'(u)duのアナロジーとして理解されます。

 

 すなわち,"全微分係数=全ての偏微分係数をその要素とする行列"を記号的にdΦ(u,v)/d(u,v)と書けば,t(dx,dy)={dΦ(u,v)/d(u,v)}t(du,dv)と書けます。

 

 これは陽な成分表現では,t(dx,dy)=t((∂φ/∂u)du+(∂φ/∂v)dv,(∂ψ/∂u)du+(∂ψ/∂v)dv)と書けます。

 そして,こうした2重積分ではdxdy,およびdudvは何を表わしているかというと,これらの量は縦と横の辺の長さの組が(dx,dy),および(du,dv)で与えられる微小長方形の面積を表わしています。

 ところで,一般にn次元ベクトル空間Rnの上のベクトル:t(u1,u2,..,un)∈Rnを別の点t(x1,x2,..,xn)∈Rnに写す線形写像をアファイン(or アフィン)変換と呼びますが,これは線形変換なので,あるn次の正方行列Aが存在して=Aなる式に書けます。

始点の一致した2つのベクトル,で作られる平行四辺形の面積は,の成す角をθとするとき,|||||sinθ|で与えられます。

 

これはもしも,が3次元空間のベクトルなら,外積,あるいはベクトル積×の大きさを表わしています。

さらに行列Aで表現されるこうした線形変換によって,,がそれぞれ,に写されるとき,つまり=A,かつ=Aが成立するとき,外積の変換は×=(detA)(×)となります。

 

ただし,detAは行列Aの行列式を示しています。

 

つまり,アファイン変換では平行四辺形は平行四辺形に写され,その面積の比は,変換行列Aの行列式の絶対値=|detA|になるわけです。

したがって,微小変換t(dx,dy)={dΦ(u,v)/d(u,v)}t(du,dv)でも,これは微分量同士の関係としては線形変換なので,(dx,dy),および(du,dv)の成分はそれぞれx軸,y軸に平行な2つの微小ベクトル,およびu軸,v軸に平行な2つの微小ベクトルを示していると考えると,それらの作る微小長方形の面積要素の比はdet{dΦ(u,v)/d(u,v)}の絶対値で与えらます。

こうしたことは一般のn次元空間でも,もちろん成立します。

このときにはt(dx1,dx2,..,dxn)={dΦ(u1,u2,..,un)/d(u1,u2,..,un)}t(du1,du2,..,dun)なる線形変換式を満たすn行n列の行列{dΦ(u1,u2,..,un)/d(u1,u2,..,un)}は,慣習的にヤコービ行列(Jacobi matrix)と呼ばれ,記号{∂(x1,x2,..,xn)/∂(u1,u2,..,un)}で表わされます。

 

そして,その行列式:det{dΦ(u1,u2,..,un)/d(u1,u2,..,un)}はヤコービアン(Jacobian)と呼ばれ,記号:J≡|∂(x1,x2,..,xn)/∂(u1,u2,..,un)|で表わされます。

2次元の場合の変換式t(dx,dy)={dΦ(u,v)/d(u,v)}t(du,dv)において,(du,dv),および(dx,dy)で作られる長方形の微小面積を,それぞれ記号du∧dv,およびdx∧dyで表わしこれらを2次の微分形式と定義します。

 

すると,お互いの積分変数の微小面積要素の比を与える公式はdx∧dy=±det{dΦ(u,v)/d(u,v)}du∧dv=±Jdu∧dv=±|∂(x,y)/∂(u,v)|du∧dvと表現されます。

 

この時点ではdu∧dvとdx∧dyなる記号は,これらを微小な面積という非負の量に同一視しているので,行列式の符号如何で,右辺にはプラス,またはマイナスの符号が必要です。

ところが,1次の置換積分の公式:x(t)dt=∫v(φ(u))φ'(u)duにおいてはφ(u)がuの増加関数であるか減少関数であるかによって,積分区間の始点と終点を逆転させると規約すれば一々符号を付ける必要なく常にこの積分不変式が成立するようにできます。

微分積分法などの初等的なテキストでは重積分における変数変換に際してヤコービアン:Jの絶対値をとって,置換積分の変換公式を∫Φ(D)(x1,x2,..,xn)dx1dx2..dxn=∫D(Φ(u1,u2,..,un))|J|du1du2..dunと書き,単なる行列式Jを用いる代わりに,その絶対値|J|を用いた式で表わすことが多いようです。

 

しかし,微分形式の記号du∧dv etc.を積分等式の両辺の積分領域DとΦ(D)の相対的な向きの指定をも含めた形で定義するなら,±符号を除いた簡単な積分公式∫Φ(D)(x1,x2,..,xn)dx1dx2..dxn=∫D(Φ(u1,u2,..,un))Jdu1du2..dun,および対応する微分公式dx1∧dx2∧..∧dxn=Jdu1du2∧..dunが常に成立するようにできます。 

さらに,この公式の微分形も任意の関数g(x1,x2,..,xn)を含めた一般的表現ではg(x1,x2,..,xn)dx1∧dx2∧..∧dxn=g(Φ(u1,u2,..,un))Jdu1∧du2..∧dunと表わすことができます。

 

こうした微分による変換形式を,その本質的に反対称で外積代数と同じ性質を持つという演算規則の定義をも含めてn次の微分形式と呼ぶわけです。 

そして,ω≡Σi1,i2,..iki1,i2,..,ik (x1,x2,..,xn)dxi1∧dxi2∧...∧dxik(0≦k≦n)なる線形結合で与えられる形式が,n次元空間を土俵にした全く一般的なk次微分形式の定義です。

 

また,(n-1)以下のkについてのこうしたk次微分記式ωに対し,その外微分dωをdω≡Σi1,i2,..ikΣj=1n(∂fi1,i2,..ik/∂xj)dxj∧dxi1∧dxi2∧..∧dxikによって定義します。

 

こうした外微分に関しては,一般に"ポアンカレの補題d(dΩ)=0 ",および一般的な"ストークスの定理∫Ωdω=∫∂Ωω"が成立します。

 

この定義での微分式をなぜ外微分と呼ぶのかと言うと,微分形式や外微分の演算がいわゆる外積代数に従うからです。

上に述べたポアンカレの補題は「完全形式(exact form):ω=dΩは閉形式(closed form):dω=0 である。」という定理ですが「可縮な領域では,閉形式dω=0 は完全形式である,つまりω=dΩと書ける微分形式Ωが存在する。」というこれの逆命題も成立します。

 

後者もポアンカレの補題と呼ばれることが多いです。

 

後者が成立することの証明については,私のブログの2006年10/21の記事「ポアンカレの補題」にやや詳しく記述しているので,よかったら参照してください。

逆命題としての後者のポアンカレの補題は,物理学で多用される伝統的なベクトル解析に翻訳した場合,結構重要な定理に対応しています。

 

例えばベクトル場が"渦無し=非回転的"である,ベクトル場の回転がゼロであることは,対象としている場が保存的である,すなわち場のスカラーポテンシャル(位置エネルギー)が存在して元のベクトル場はそのスカラーポテンシャルの勾配として表現可能であることを意味します。

  

また,ベクトル場の発散がゼロであることは,場のベクトルポテンシャルが存在して,場はそれの回転で表現されることを意味するという定理などに対応しています。

ここで,上述の定理も含め,こうした微分形式の言葉を物理学でよく使われるベクトル解析の言葉に翻訳して互いに関連付けるため,スカラー場,ベクトル場etc.の再定義,およびそうした言葉の翻訳作業に必要な道具として場の関数に対するいくつかの演算の定義や,関連した記号と記法を導入したいと思います。

Uを3次元ユークリッド空間の開集合とし,物理学での一般的なベクトル場の表記=(Vx,Vy,Vz)に対応した数学としての幾何学的表記を多様体上の線形演算子の場,あるいは余接空間上のベクトル場の形式として≡Vx(∂/∂x)+Vy(∂/∂y)+Vz(∂/∂z)で表わします。

 

そして,接空間上でのそれに双対(dual)なベクトル場としての微分形式を*≡Vxdx+Vydy+Vzdzで表わすことにします。 

さらに3次元ユークリッド空間においては,微分1形式:u=u1dx+u2dy+u3dzに対して,*uを*u≡u1dy∧dz+u2dz∧dx+u3dx∧dyで,

 

微分2形式:v≡v23dy∧dz+v31dz∧dx+u12dx∧dyに対して*vを*v≡v23dx+v31dy+u12dzで,

 

そして微分3形式:w≡fdx∧dy∧dzに対して,*wを*w≡fで定義する演算,

 

すなわち,n次元ユークリッド空間のk次微分形式に対して,その左側に*印をつけることで(n-k)次微分形式を対応させる演算=星印作用(star operation)を定義します。

 

このときの演算記号である*印を,この演算を始めた人の名を取ってホッジ作用素,あるいは星印(スター)作用素と呼びます。

 

上の記述では書きませんでしたが,特に0-形式,単なるスカラー関数g(x,y,z)に対しての*印演算は,*g≡gdx∧dy∧dzです。

そうして,これらの星印演算については一般に任意の微分形式ωに対して*(*ω)=ωなる等式が成立します。

星印演算を用いると任意のスカラー場fの勾配:gradf=∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z),あるいは(∂f/∂x)(∂/∂x)+(∂f/∂y)(∂/∂y)+(∂f/∂y)(∂/∂z)なる演算子表現に双対なベクトルの表現は,(gradf)*=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy+(∂f/∂y)dzとなります。

 

そこで,スカラー場fの勾配に関する等式として(gradf)*=dfが得られます。

また,任意のベクトル場=(Vx,Vy,Vz)=Vx(∂/∂x)+Vy(∂/∂y)+Vz(∂/∂z)に対して,双対なものは*=Vxdx+Vydy+Vzdzなので,

 

(*)=(∂Vy/∂z-∂Vz/∂y)dy∧dz+(∂Vx/∂z-∂Vz/∂x)dz∧dx+(∂Vy/∂x-∂Vx/∂y)dx∧dyです。

 

そこでベクトル場の回転に関する等式として*{(rot)*}=d(*)が得られます。

さらに,*()*=Vxdy∧dz+Vydz∧dx+Vzdx∧dyなのでd{*()*}=(∂Vx/∂x+∂Vy/∂y+∂Vz/∂z)dx∧dy∧dzより,ベクトル場の発散に関する等式:*(div)=d{*()*}が得られます。

したがって,ポアンカレの補題d(df)=0 は,d{(gradf)*}=0 およびrot(gradf)=0 と等価です。一方,d{d(*)}=0 はd[*{(rot)*]=0 となり,結局div(rot)=0 とも等価です。

また,ストークスの定理∫Ωdω=∫∂Ωωによれば,ω≡*()*とすれば,∫V{*()*}=∫S*()*により∫V(div)dxdydz=∫Sをなる恒等式を得ます。

 

これは物理数学ではガウスの法則と呼ばれています。

 

また,ω≡*とすれば,∫S(*)=∫C(*)によって∫S(rot)d=∫Cなる等式を得ます。

 

物理学では,2次元曲面Sとその境界閉曲線Cに対するこの公式だけをストークスの法則と呼んでいます。 

本当は,ここで終わりにするのがキレイな終わり方なのでしょうが,そもそも息抜きのついでにこの記事を書く気になったきっかけは,すぐ前の12月15日の記事「理想気体の圧力と気体分子運動論」にあります。

 

その中では積分形の運動方程式:d[∫V1dV]/dt=-∫SPdの右辺が直感的に-∫V1∇PdVと書き換えられて微分形の方程式d/dt=-∇Pになると書いたのですが,実は自分でもこの手順がすっきりしなくて,これの解決にホッジスのスター作用素が役立つのではないか?と考えたのがこの記事を書いた動機なのです。

 

そこで,私自身の問題意識としては,この問題をすっきりさせない限りこの記事を書くことに意味がありません。

ところが,ちょっと考えてみたところ,上に求めた公式では等式の両辺の被積分値は全てスカラー量です。

しかし,∫SPdS=V1∇PdVなる等式を証明する場合には両辺の被積分値はベクトル量ですから上で実施した手順に類似した推論を単純に適用することはできないことがわかります。

結局,両辺でのベクトルの成分ごとにそれぞれスカラー量として等式を導くほかはなさそうです。

 

実際,ω≡Pdy∧dzと置けば,dω=(∂P/∂x)dx∧dy∧dzなので,ストークスの定理∫Sω=∫V1dωは∫SPdydz=∫V1(∂P/∂x)dVとなります。

 

そして空間の一様性から直交座標系:O-xyzのx軸の向きはどのように取っても同じです。

 

さらに,(∂P/∂x)は圧力Pの勾配ベクトル∇P=gradPの面dy∧dzに垂直な軸成分ですが,∇P=gradP自身も常に面dSの法線の向きを持ち,法線成分(∂P/∂n)に等しい大きさを持つベクトルですから∫SPdS=V1∇PdVが成立するのは明らかです。

 

ということで私自身の問題も解決したのでこれで終わります。 

参考文献:深谷賢治 著「解析力学と微分形式」(岩波書店),木村利栄,菅野礼司著「微分形式による解析力学」(吉岡書店)  

 

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2007年12月18日 (火)

麿赤兒(まろ・あかじ)氏の思い出

 昼間,TV朝日の「徹子の部屋」に麿赤兒(まろ・あかじ)氏が出演していて,つい二十数年前を思い出してなつかしい気分になりました。

       

 そのころは普通のサラリーマンだったのですが会社の先輩に薦められて西武線沿線の新桜台で,彼の主催する半裸に白塗りの前衛的舞踏集団「大駱駝鑑」をよく見に言っていたものでした。

    ↓「大駱駝鑑 」 at 新桜台

    

 私は当時も前衛を気取っていて,何かわかったようなふりをして観ていました。確かに喜劇的な部分は少しは理解できましたし,出演者の舞踊のためであろう鍛えられた肉体美には少なからず感動しました。

 その後,俳優として東京タワーの近くのテントで上映された鈴木清順氏が監督で藤田敏八や原田芳雄,大谷直子らの出演した「ツィゴイネルワイゼン」という映画で女性だったら瞽女(ごぜ:差別用語かな?)と呼ぶのでしょうか盲目の芸人役で麿赤兒氏が出ているのを観て,踊りだけじゃなくて俳優もやるんだなあ,と思った記憶があります。

 彼は恐い顔をしていますが優しい人です。個人的につきあったわけではありませんが,歳をとったなあとなつかしく思いました。

 話を聞くと「大駱駝鑑」ってまだ存在して活動してるんですね。。驚きました。  

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2007年12月17日 (月)

理想気体の圧力と分子運動論

 気体,液体,固体などの物質を莫大な個数の"微視的な粒子=分子"の集まりとみなし,その統計的な平均量を熱力学的な諸量と同定する,いわゆる統計熱物理学の見方では,気体の圧力:Pは次のようにして計算されます。

 分子の位置や運動量,あるいは:速度ごとの分子数密度の比率を与える統計分布に基づいて,まず気体の内部エネルギー:Uを求め,然る後に熱力学第1法則:dU=TdS-PdVを用いて,エントロピー:Sが一定の下での体積VによるUの偏微分:P=-(∂U/∂V)Sによって圧力Pが得られます。 

 ここでTは系の絶対温度,Sはエントロピー,Vは系の体積です。

 

 熱力学第1法則の微分表現dU=TdS-PdV可逆過程を想定した式です。

具体的には,次のようになります。

 

対象とする系の絶対温度がTのときに系がエネルギーEを取る確率は一般にボルツマン(Boltzmann)因子:exp{-E/(kB)}(ただしkBはボルツマン定数)に比例する関数で与えられます。

この分布はカノニカル分布(正準分布),マクスェル・ボルツマン(Maxwell-Boltzmann)分布(M-B分布),あるいはギブス(Gibbs)分布と呼ばれています。

 

これは系の総分子数をN,古典的状態,または量子状態がrのときの系のエネルギーをεr,この状態を占める分子数をnrとするとき,その比率がnr/N=exp(-βεr)/{Σrexp(-βεr)} (ただしβ≡1/(kB))なる関係式で与えられることを意味しています。

 

ただし古典的状態rというのは莫大な個数の全ての分子の各々が占める位置と運動量(速度)の組合せで与えられます。

"状態和=分配関数"をZ≡Σrexp(-βεr)によって定義します。

 

このZを用いて内部エネルギーUはU=Σrrεr(N/Z)Σrεrexp(-βεr)=-N[∂(lnZ)/∂β]なる式で,圧力PはP=-Σrr(∂εr/∂V)=(N/Z)Σrexp(-βεr)(∂εr/∂V)=(N/β)[∂(lnZ)/∂V]なる式で表わされます。

そして,状態和の定義式Z≡Σrexp(-βεr)は各項が体積に無関係にエネルギーεrが与えられれば,全てexp(-βεr)という同じ形をしているので,結局は系の状態の総数に比例する量であると考えられます。

 

状態と位置座標の対応から総状態数は単純に体積に比例すると思われるので理想気体ではZは示量的な量であってZ=cV(cは比例定数)という形として書けるはずです。

 

したがって,∂(lnZ)/∂V=1/Vとなり,P=(N/β)[∂(lnZ)/∂V]=N/βV=NkB/Vとなって,よく知られた理想気体の状態方程式:PV=NkBが得られるわけです。

最近は局所平衡にある散逸構造とかを扱う非平衡統計力学なるものもあるようですが,伝統的な統計物理学は平衡統計力学で,系の確率分布はエントロピーSが最大で停留値を取ること,つまりdS=0 を満たす熱平衡状態,つまり釣り合いの状態にあることを条件として導かれた平衡分布です。

 

そこで,上の圧力の導出手続きにおいては,熱力学でのP=-(∂U/∂V)Sなる表式におけるエントロピーSが一定という条件は当然満足されています。

一方,初歩的な気体分子運動論では,1辺の長さがLの立方体の容器の中に質量がmの総個数がN個の気体分子が閉じ込められている模型を考えます。

  

"気体分子は単に時折互いに弾性衝突をする以外には相互作用をしない"という熱平衡状態での理想気体の仮定の下で多数の分子が容器の壁に衝突して反射するときの"各分子の運動量の変化=壁から受ける力積"の総和=合力の力積の反作用が容器の壁面の受ける力積であるとして壁に対する気体の圧力Pを求めます。

これは,具体的には次のようにして圧力を計算します。

分子の速度をv=(vx,vy,vz)とすると,その運動量は=mですから,1つの分子がx軸に垂直な壁との弾性衝突によって壁に受け渡す運動量は壁に垂直で大きさが 2mxのベクトル量です。

 

この,分子が距離Lだけ隔たった左右の壁を往復するのに要する平均時間は2L/vxなので,十分な時間間隔τの間の衝突回数はvxτ/(2L)であり,その間に壁に及ぼす力積はfxτ=(2mx){xτ/(2L)}=mvx2τ/Lとなります。

それ故,N個の気体分子全体が壁に与える力積の総和を求めるとx2の平均値を<x2>と表記して,xτ=Nm<vx2>τ/Lとなります。

 

そこで,壁に受け渡す合力FxはFx=Nm<vx2/Lとなります。

 

ところで,2x2+vy2+vy2であり熱平衡状態では気体分子の速度分布は等方的であると考えられますから,<x2>=<y2>=<y2>=<2/3としてよいはずです。

 

そこで,x(1/3)Nm<2/Lと書けます。

壁に及ぼす圧力Pは単位面積当たりの力で定義されますから,P=Fx/L2(1/3)Nm<2/Vと書けます。

 

ここにV≡L3は立方体容器の体積です。

 

ここで統計力学における常温でのエネルギー等分配の法則によって,(1/2)m<2>=(3/2)kBTなる等式が成立するので,これを代入するとPV=NkBTとなり通常の理想気体の状態方程式であるボイル・シャルルの法則,あるいはボイル・ゲイリュサックの法則が得られます。

次に本日のメイン・テーマですが,気体運動論の1例として伝統的に記述されることの多い上述の容器の壁面における気体の圧力の導出ではなく,同じ気体分子運動論によって,容器内の任意の場所における圧力を計算で求めることを考えます。

容器内の任意の領域1を囲む閉曲面をSとするとき,その領域内の気体に対するニュートンの運動方程式はd[∫V1dV]/dt=-∫SPdで与えられます。

 

右辺は-∫V1∇PdVですから,微分形で書けばd/dt=-∇Pではないかと思います。

 

しかし,莫大な数の気体分子の平均としては,左辺はd<>/dt=0 であり,右辺も容器内では圧力Pは一様なので-∇P=0 です。

 

これは積分形でもd[<>V1]/dt=-∫SPdS=0 なので,気体に対する運動方程式からは圧力Pに関して何の情報も得られないように見えます。

ところが,d[∫V1dV]/dt=-∫SPdなる等式をよく見ると,左辺は単位時間に領域V1を囲む閉曲面Sを通過してV1に流入する運動量の総量-∫Sp・vを示しています。

 

Sがある領域を囲む閉曲面ならこれももちろんゼロですが,Sを閉曲面ではなく単なる断面と考えて左辺を面Sをたたいて通過する運動量の総量と見ることにより,新しい知見が得られます。

 

ただし,は気体分子全体の運動量,は流速で,記号p・vはそのi成分がΣj=13ijdSjで与えられるベクトル量を表わします。

 

そして,微小断面積を通る単位面積当たりの運動量の流れを示すテンソルp・vは流体力学ではおなじみの量ですが,これは運動量流束と呼ばれています。

結局,-∫Sp・v=-∫SPdと書くことができて,面Sの任意の微小断面dSを通って外部から流入する総運動量-p・vはその断面に加わる力-Pdに等しいと考えられます。

 

つまり面を通過する運動量流束をその面での圧力と同一視する新しい見方が得られたわけです。

したがって,Σj=13ijdSj=PdSiですからij=Pδijが成立します。

 

両辺でi=j=1,2,3としたものを全て加え合わせる(縮約する,あるいは対角和(trace)を取る)とpv=3Pが得られます。

 

左辺は単位体積当りの平均分子数=数密度(/V)を用いてpv(N/V)(m2)と書けますが,この面S上の各点における局所的な2値は面全体を考えたときには,それを平均値<2>で置き換えるのが妥当と思われるのでpv(N/V)(m<2>)とします。

したがってP=(1/3)pv(2/3)(N/V){(1/2)m<2>}であり,先に述べたように(1/2)m<2>=(3/2)kBTですから,P=NkBT/V=nRT/V (ただしR=N0Bは気体定数;N0アヴォガドロ数;n=N/N0はモル数)と書けます。

 

やはりP=nRT/VあるいはPV=nRTなる理想気体の状態方程式を得ます。

 

まあ,実際には任意の点における微小断面でその両側からの運動量流束は相殺されてゼロとなり,それゆえ閉曲面で囲まれた任意の領域で運動量の流入量の収支がゼロである,という先述の積分表式があったわけです。

 

これは圧力に関わらず,静止時には各断面の両側での応力は釣り合っていて,各点での合力としてはゼロである,という応力の本質的な性質に根ざすもので,運動量流束が圧力に等しいと同定するのが合理的と考えたのは本質的には直感によるものです。

参考文献: 中村 伝 著「統計力学」(岩波全書)

 

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2007年12月15日 (土)

ヤングの干渉実験(4)(量子論)

ヤングの干渉実験(Young's experiment)の量子論の続きです。

電磁場(,t)の生成消滅演算子akλ+,akλによる陽なフーリエ(Fourier)展開の表現(,t)=Σk{hc/(ε0Vωk)}1/2εkλ[akλexp(-iωkt+ikr)+akλ+exp(iωkt-ikr)]とakλ+,akλの交換関係[akλ,ak'λ'+]=δkk'δλλ',[akλ,ak'λ']=[akλ+,ak'λ'+]=0 から,場の演算子や場の強さの演算子の様々な同時刻交換関係を計算することができます。

具体的計算の詳細を省略して結果だけ書きます。

 

まず,[ETi(,t),Aj(',t)]={ih/(2ε0V)}Σλ=12Σkεkiεkλj[exp{i(')}+exp{-i(')}]です。

 

ここでΣλ=12εkλiεkλj=δij(kij/k2)であり,しかも有限体積Vについての-空間での総和ΣkはV→ ∞では{V/(2π)3}∫dとなるので,結局[ETi(,t),Aj(',t)]=[ih/{ε0(2π)3}]∫dij-(kij/k2)}exp{i(')}となります。

右辺は積分を実行すると特異になり,初等関数では表現できません。そしてこの表式によれば,一般に(,t)=T(,t)+L(,t)をT(,t)と可換なベクトル場とするとき,∫d'[T(,t),(',t)(',t)]=(ih/ε0)T(,t)となります。

また,[ETi(,t),ETj(',t)]=[Bi(,t),Bj(',t)]=[Ai(,t),Aj(',t)]=[Bi(,t),Aj(',t)]=0 です。

 

さらに,[ETi(,t),Bj(',t)]=εijk[h/{ε0(2π)3}]∫dkexp{i(')}となります。

 

εijkはレヴィ・チビタ(Levi-Civita)の反対称テンソルの記号です。

次に,状態ベクトル|nk1λ1,nk2λ2,nk3λ3..>=|nk1λ1>|nk2λ2>|nk3λ3>..=|{nkλ}>において,nk1λ1=nk2λ2=nk3λ3=..=0 なる状態を想定してこれを場の真空状態と呼ぶことにします。

 

この状態は励起状態ではないにも関わらず,全エネルギーがゼロではないという興味深い性質を持っています。

つまり,状態|{nkλ}>に対するrad=Σk[hcωk(akλ+kλ+1/2)]のエネルギー固有値はε{nkλ}=Σkεkλ=Σk[hcωk(nkλ+1/2)]ですから,nk1λ1=nk2λ2=nk3λ3=..=0 なる真空状態の全エネルギーはε0=Σk(hcωk/2)となりゼロではなく無限大です。

 

このε0を零点エネルギーと呼びます。

しかし,幸いなことに実験と比較される理論的な量は真空状態からの差で与えられ,それらは有限な値なので零点エネルギーが無限大であっても大して困らないことがわかっています。

 

すなわち,例えば実際のエネルギーの観測値はε{nk,λ}-ε0≡Σkkλcωkで与えられることになります。

ここで,特定のモード,λのみを持つ電磁場に着目します。

 

この条件下では電場,磁場はスカラーで表現できます。

 

このとき光波の古典論では,これは複素電場E(,t)=E0exp(ikr-iωt+iφ)で表現されますが,たった今与えた量子論での実電場表現に対応するものはE(,t)=(E0/2){exp(-iωt+ikr+iφ)+exp(iωt-ikr-iφ)}です。

量子力学においてもこうした古典論に類似した表現方法を実行する場合には,位相概念をとり入れる必要があります。

 

量子論での単一モードの電場演算子は先に与えたk=i{hcωk/(ε0V)}1/2Σεkεkλ[akλexp(-iωkt+ikr)-akλ+exp(iωkt-ikr)]によって,E(,t)=i{hcω/(ε0V)}1/2[aexp(-iωt+ikr)-a+exp(iωt-ikr)]です。

これと古典論の表示との対比から量子論の消滅演算子aは規格化因子を除けば古典論の極限で位相因子:exp(iφ)に比例する量であると想像されます。

 

そして演算子としてaa+=a+a+1=n^+1 (n^はエルミート)なる等式が成立するので形式的にa≡(n^+1)1/2exp^(iφ)と定義すれば,exp^(-iφ)≡exp^(iφ)+と定義するとき,a+=exp^(-iφ)(n^+1)1/2となります。

 

これらはexp^(iφ)=(n^+1)-1/2a,exp^(-iφ)=a+(n^+1)-1/2と同等で,exp^(iφ)exp^(-iφ)=1が成立します。

しかし,exp^(-iφ)exp^(iφ)=1は成立しません。それ故,exp^(iφ)はあるエルミートな位相演算子:φ^の指数関数と同一視することはできません。

 

その意味で,exp(iφ^)と表記せず,exp^(iφ)と表記したわけです。

exp^(iφ)|n>=(n^+1)-1/21/2|n-1>ですから,n≠0 ならexp^(iφ)|n>=|n-1>,n=0 ならexp^(iφ)|n>=0 です。

 

同様にexp^(-iφ)|n>=|n+1>です。

 

そこで,演算子exp^(iφ)とexp^(-iφ)のゼロではない行列要素は<n-1|exp^(iφ)|n>=1(n≠0),および<n+1|exp^(iφ)|n>=1のみです。

これら,exp^(iφ),exp^(-iφ)は先に述べたようにエルミート演算子ではありません。

 

しかし,形式的三角関数:cos^φ≡(1/2){exp^(iφ)+exp^(-iφ)},sin^φ≡(-i/2){exp^(iφ)-exp^(-iφ)}を作ると,これらはエルミートです。

 

そしてこれらの演算子のゼロでない行列要素は<n-1|cos^φ|n>=<n|cos^φ|n-1>=1/2,<n-1|sin^φ|n>=-<n|sin^φ|n-1>=-i/2 のみです。

 

演算子cos^φ,sin^φはエルミートなので,これらを位相と関連した観測可能な物理量として採用することができます。

そうして,[cos^φ,sin^φ]={a+(n^+1)-1a-1}/(2i)と書けます。それ故,[cos^φ,sin^φ]の行列要素のうちでゼロでないものは<0|[cos^φ,sin^φ]|0>=-1/(2i)のみです。

 

また,交換関係:[n^,a]=-a,[n^,a]=aを用いると,[n^,cos^φ]=-isin^φ,かつ[n^,sin^φ]=icos^φが成立することがわかります。

したがって,個数演算子n^と位相演算子は可換ではなく,これらの演算子が同時に固有状態となるような輻射場の状態を作ることは原理的には不可能である,ということになります。

 

すなわち,不確定性関係としてΔnΔcosφ≧(1/2)|<sin^φ>|,ΔnΔsinφ≧(1/2)|<cos^φ>|が成立します。

例えば単一モードの1個の光子が確定した位相を持つことは不可能です。正確にn個の光子が励起されている単一モードの個数状態はその電磁場に伴なう調和振動子のエネルギー固有状態です。

 

個数状態はそのモードに関する非常に便利な完全系を作っていて,それはまた簡単な性質を有しています。

実際の光源では生成される電磁場は光子数が一定ではないので,通常はこうした個数確定の状態は実験の解釈にとって直接重要ではありませんが,以下,簡単に個数状態の特徴を述べておきます。

|n>に対しては明らかにΔn=0 です。そして<n|cos^φ|n>=<n|sin^φ|n>=0 で<n|cos^2φ|n>=<n|sin^2φ|n>=1/2(n≠0),1/4(n=0)です。そこでΔcosφ=Δcosφ=(1/2)1/2(n≠0),1/2(n=0)です。

 

また,電場とその2乗期待値はE=i{hcω/(ε0V)}1/2[aexp(-iωt+ikr)-aexp(iωt-ikr)]より,<n|E|n>=0 ,<n|E2|n>={hcω/(ε0V)}(n+1/2)になります。

 

したがって電場の根平均2乗偏差はΔE={hcω/(ε0V)}1/2(n+1/2)1/2です。

古典論ではE(,t)=(E0/2){exp(-iωt+ikr+iφ)+exp(iωt-ikr-iφ)}=E0cos(ωt-kr-φ)なので,<E2c=E02/2ですから対応原理によって,量子論でのn光子個数状態:|n>の電磁波は振幅がE0={2hcω/(ε0V)}1/2(n+1/2)1/2の古典波に相当することがわかります。

単一モードの状態で物理的に重要なのは,個々の個数状態ではなくそれら個数状態|n>の1次結合,重ね合わせで与えられる状態です。

 

可能な重ね合わせ状態は無数にありますが,特に重要なのは次に定義されるコヒーレント状態(coherent state)と呼ばれるものです。

すなわち,|α>≡exp(-|α|2/2)Σnn/(n!)1/2}|n>で定義される状態をコヒーレント状態と呼びます。この定義でのαは一般に複素数でコヒーレント状態はαの実部と虚部の値の連続的な範囲で2重に連続な状態です。

 

容易にわかるように<α|α>=exp(-|α|2n{|α|2n/(n!)}=1が成立しますから|α>は規格化されています。

しかし,2つの異なる複素数α,βに対して<α|β>=exp(-|α|2/2-|β|2/2+α*β)となるので,2つの状態は直交しません。

 

かくして,全ての|α>が独立であるというわけでははなく,個数状態:|n>よりもコヒーレント状態|α>の方がはるかに数が多いということがわかります。

 

つまり,集合{|α>}は調和振動子に対する状態の超完全系を作っていて直交性がありません。

 

しかし,|<α|β>|2=exp(-|α|2-|β|2)となるので|α-β|>>1のときには|α>と|β>は近似的に直交しています。

コヒーレント状態|α>に対し,a|α>=exp(-|α|2/2)Σnn/(n!)1/2}n!1/2|n-1>=α|α>が成立するので,|α>は消滅演算子aの固有値αに属する固有状態となっています。しかし,コヒーレント状態|α>は生成演算子a+の固有状態ではありません。

 

また,|n>=(n!)-1/2(a+)n|0>なる表現を用いると|α>=exp(-|α|2/2)Σnn/(n!)1/2}|n>=exp(αa-|α|2/2)|0>=exp(αa-α*a)|0>とも書けます。

次にコヒーレント状態の性質を挙げます。 

まず,<n>=<α|n^|α>=|α|2です。一方,<n2>=<α|n^2|α>=|α|4+|α|2ですから,根平均2乗偏差はΔn=[<n2>-|<n>|2]1/2=|α|=|<n>|1/2と書けます。

 

つまり,複素数αに対応するコヒーレント状態|α>の平均光子数は|α|2であり,不確定さは平均光子数の平方根に等しいわけです。そこでこの空洞モードでの不確定さの比率(ratio)はΔn/|<n>|=1/|α|=1/|<n>|1/2となります。

 

これは光子数の不確定さの度合いが,"光子数の増加=励起の増大"と共に減少していくことを示しています。

そして,コヒーレント状態|α>における観測において実際にn個の特定の光子数が見出される確率は|<n|α>|2=exp(-|α|2){|α|2n/n!)となります。

 

これは光子数の平均値|α|2のまわりのポアソン分布を示しており,コヒーレント状態は確率的には非常に有りそうな状態であることがわかります。

コヒーレント状態|α>における位相演算子の期待値はα=|α|exp(iθ)のとき,<α|cos^φ|α>=|α|cosθexp(-|α|2n[|α|2n/{n!(n+1)1/2}] ~ cosθ{1-1/(8|α|2)+..}(|α|2>>1),

 

<α|cos^2φ|α>=1/2-(1/4)exp(-|α|2)+|α|2(cos2θ-1/2) exp(-|α|2n[|α|2n/{n!(n+1)1/2(n+2)1/2}]~ cos2θ-(cos2θ-1/2)/(2|α|2)-.. (|α|2>>1)となります。

 

故に(Δcosφ)2 ~ (1-cos2θ)/(4|α|2)={sinθ/(2|α|)}2,すなわち,Δcosφ ~ sinθ/(2|α|)(|α|2>>1)です。

それ故,コヒーレント状態|α>での不確定性関係は平均光子数が大きいとき,つまり|α|2>>1のとき,ΔnΔcosφ ~ sinθ/2 (|α|2>>1)となります。

 

一方,<α|sin^φ|α> ~ sinθ(|α|2>>1)ですから,ΔnΔcosφ=(1/2)<α|sin^φ|α>=(1/2)|<sin^φ>|が成立しています。

 

これはコヒーレント状態が先に与えた不確定性原理のΔnΔcosφ≧(1/2)|<sin^φ>|で許される不確定積の最小値を取る場合に相当しており,古典的に最もコヒーレント(coherent:可干渉)な状態に対応していることを示しています。

コヒーレント状態|α>での電場演算子:E=i{hcω/(ε0V)}1/2[aexp(-iωt+ikr)-a+exp(iωt-ikr)]の期待値は<α|E|α>=-2{hcω/(ε0V)}1/2|α|sin(ωt-kr+θ),また<α|E2|α>={hcω/(ε0V)}[4|α|2sin2(ωt-kr+θ)+1]です。

 

それ故,電場の根2乗平均偏差はΔE={hcω/(ε0V)}1/2です。

<α|E|α>=-2{hcω/(ε0V)}1/2|α|sin(ωt-kr+θ)=2{hcω/(ε0V)}1/2|α|cos(ωt-kr+θ+π/2)を古典論のE=E0cos(ωt-kr-φ)と比較すると,E0=2{hcω/(ε0V)}1/2|α|なる古典波に相当することがわかります。

 

そしてθをθ=-π/2と取れば<α|E|α>=2{hcω/(ε0V)}1/2|α|cos(ωt-kr)=E0cos(ωt-kr)となりα=|α|exp(iθ)=-i|α|です。

これまでは空洞内の輻射場の量子状態が状態の完全系の1次結合として表現される,いわゆる純粋状態として表現される場合のみを考察してきましたが,一般にカオス光源から出た光ビームの電場は古典論では一定の振幅と位相の古典的安定波ではなく,これらが特定の値を持つ確率のテーブルによって指定され得るのみです。

 

この状況は量子論でも同様で,カオス光源の性格上,輻射された場の状態の明確な予測は不可能であり,確率的既述のみが可能です。

 

こうした情報の欠如のために確率的性格を持つ量子状態は統計的混合状態と呼ばれます。

すなわち,カオス光源によって発生する光では場の状態が純粋状態|R>にある既知確率がPRで与えられるような空洞輻射場であると設定されます。

 

これの例としてはプランクの黒体輻射の法則を導く段階で,熱励起された光子がエネルギーEn=hcω(n+1/2)を持つ状態|n>にある確率がPn=exp{-En/(kBT)}/[Σnexp{-En/(kBT)}]で与えられるとされるケースがあります。

 

このPnは混合状態を指定する確率PRの1例です。

状態間がエンタングルしていない混合状態では,量子力学の観測量Oの期待値は集団平均として<O>=ΣRR<R|O|R>;ΣRR=1で与えられますが,完全系を{|S>}として右辺に等式1=ΣS|S><S|を挿入すれば<O>=ΣRΣSR<S|R><R|O|S>=Tr(ρO)となります。

ここで"密度演算子=密度行列 or 統計作用素"をρ≡ΣRR|R><R|で定義しました。

 

さらに"物理量=エルミート演算子X"の"対角和=トレース(trace or spur)"ΣS<S|X|S>に対する表記として一般的な記号Tr(X)を用いました。

 

Tr(X)=ΣS<S|X|S>=ΣT<T|X|T>であり,対角和の値は完全系{|S>},{|T>}の選択に依らないことは簡単にわかります。

また,Tr(ρ)=1でTr(ρ2)=ΣRR2≦(ΣRR)2=1より,Tr(ρ)≦1ですが,特に確率がPR=1で完全に状態|R>にある純粋状態では,ρ=|R><R|なのでρ2=ρですから,純粋状態ならTr(ρ2)=1です。

完全系を個数状態{|n>}に取ってρ=Σnn|n><n|とし,確率PnをPn=exp{-nhcω/(kBT)}/[Σnexp{-nhcω/(kBT)}]で与えると,ρ=[1-exp{-hcω/(kBT)}]/[Σnexp{-nhcω/(kBT)}]|n><n|となります。

 

そして平均光子数<n>はO=n^=a+aの期待値ですから,<n>=Tr(ρa+a)ですが,これを用いるとρ=Σnn|n><n|=Σn[<n>n/(1+<n>)n+1]|n><n|,あるいはρ=[1-exp{-hcω/(kBT)}]exp{-hcωa+a/(kBT)}と書けます。

単一モードではなくて全モードの完全系{|{nkλ}k>}を考えた一般的な場合なら,密度演算子はρ=Σ{nkλ}{nkλ}|{nkλ}><{nkλ}|となり,確率はP{nkλ}=Πk[<nkλkλ/(1+<nkλ>)kλ+1]です。熱励起の空洞輻射の場合なら<nkλ>は<nkλ>=1/[exp{hcωk/(kBT)}-1]と陽に表現できます。

これらは熱励起の空洞輻射現象に限らず,統計的性質が適当にランダムである広範な励起光子の現象にも当てはまります。

 

したがってカオス光源から発生した光ビームの場合であっても,上述の混合状態での密度行列ρの表現を採用できます。

そして,<nkλ>ωkの大きさをωkに関しての分布がローレンツ型の依存性を持つように取れば,ρ=Σ{nkλ}Πk[<nkλkλ/(1+<nkλ>)kλ+1]|{nkλ}><{nkλ}|はカオス光源から出たローレンツ型周波数分布の光ビームに対する正しい密度演算子になります。

カオス光と結びついた型の光子のランダムな励起に対しては,ρ=Σn[<n>n/(1+<n>)n+1]|n><n|なる単一モードの密度演算子は光子数(励起準位)のゆらぎの時間尺度について何の情報も与えません。

 

しかし,一般に実験的な平均はゆらぎの時間尺度に比べて十分長い時間にわたる一連の測定結果に従って計算する必要があります。

"2個=1対"の空洞モードを持つ同じ偏りの2個の光子の電場は古典的には,進行方向をz軸の正の向きに取ればE(z,t)=E1exp(ik1z-iω1t)+E2exp(ik2z-iω2t)ですが,これに類似の2光子モードの量子力学的記述は密度演算子ρ=|α1>|α2><α2|<α1|を持つ純粋状態です。

今日はここで終わります。 

参考文献:R.Loudon 著(小島忠宣,小島和子 共訳)「光の量子論(第2版)」(内田老鶴圃)

   

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2007年12月12日 (水)

ロートレアモンとサド(その2)

 20069/2の記事「ロートレアモンとサド」において,モーリス・ブランショの書いたこの記事の題名と同名の評論書籍に関連して思うところを書いて見ましたが,今日はその続きです。

 

      

 サドの代表作「ジュリエット=悪徳」と「ジュスチーヌ=美徳」についてはモーリス・ブランショが評論した当時は画期的なインモラル小説であったと想像されます。

 

 モーリス・ブランショの評論で目を引くのはこれらが単に相反するモラルを持った姉妹の対照を表現したのではなく,サドにあっては両者が同じテーマを表現したものであるということでしょう。 

 つまり,ジュスチーヌが受けた言うに及ばぬ辛苦の数々は彼女の不幸を体現したものですが,そうした辛苦は妹ジュスチーヌだけではなく姉ジュリエットもまた経験するわけです。

 

 しかし,"美徳=ジュスチーヌ"が不幸と感じることを"悪徳=ジュリエット"はむしろ快楽あるいは官能として幸福と感じる,ところに,当時のフランス,あるいはヨーロッパでのマルキ・ド・サドの先見的卓越性が見てとれるわけです。 

  

 一方,ロートレアモン,特に「マルドロールの歌」については松岡正剛氏の記事http://www.isis.ne.jp/mnn/senya/senya0680.html が興味深いです。

 

 巷間では,比較的有名な「手術台の上のこうもり傘とミシンの出会いのように美しい」というフレーズがシュールレアリスムの典型のように言われていますが,私自身はこれにはむしろダダイズムの響きを感じます。

 

 これの無味乾燥な響きは私の捉えるシュールのイメージとは若干異なるものだと思いますね。

 

 私自身は理科系の大学生の時代に,まずはサド,次にロートレアモンの洗礼を受け,当時から詩人になりたい,ということも人生の目標の1つに入りました。

 

 関係ないですが,別の目標としてはマラソンランナーになりたいというのもありましたが,これは今となってはほぼ不可能になってしまいました。

 

PS:ロートレアモンは「ポエジー」については詩ではないので比較的訳者を選ばないと思うのですが,「マルドロールの歌」については渡辺広士さんの「ロ-トレアモン詩集」の訳が最もお気に入りです。

 

 原文で読めたらいいのですが,生憎フランス語では私の語力では理解できませんからね。。

 

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2007年12月 9日 (日)

ヤングの干渉実験(3)(量子論)

ヤングの干渉実験(Young's experiment)の量子論の続きです。

 

まず,前記事の終わりの部分を再掲します。

自由場の波動方程式は□2(1/c2)(∂2/∂t2)=0 です。電磁場の量子化はポテンシャル:(,t)を量子力学の演算子と読み換えることから始まります。

簡単のために,便宜上,1辺がLの立方体空洞の中の電磁場を想定し,しかも周期的境界条件を満たすとします。こう設定しても一般性を失なうわけではありません。

 

このとき波動方程式の解は(,t)=Σk[k(t)exp(ikr)+k*(t)exp(-ikr)]とフーリエ級数で表現されます。

 

ここで周期的境界条件を満たす波動ベクトル:k=(kx,ky,kz)は,kx=2πνx/L,ky=2πνy/L,kz=2πνz/L(νxyz=0,±1,±2,±3,..)で与えられます。

 

クーロンゲージの条件:∇(,t)=0 はkAk(t)=0 であれば満たされます。

(,t)の相異なるフーリエ成分k(t)は互いに独立であり,個別に波動方程式を満たす必要があります。

 

すなわち,2k(t)+(1/c2)(d2k(t)/dt2)=0 です。これの複素共役k*(t)も同じ方程式を満足します。

ωk≡ck≡c||と置いたとき,k,k*の満たす方程式:d2k/dt2=-ωk2kは,通常の単振動,あるいは調和振動の方程式を表わしています。

 

そこで電磁場を量子力学における調和振動子の集まりとみなすことで,これを量子化できます。

k(t)=kexp(-iωkt)と表わせば,(,t)=Σk[kexp(-iωkt+ikr)+k*exp(iωkt-ikr)]と書けます。

ここからが,今日の記事の始まりです。

単一のモードのサイクル平均のエネルギーをεkとすると,k,kが実電場,実磁場であるとするとき,εk=(1/2)∫(空洞)<ε0k2+μ0-1k2cdVです。

ベクトルポテンシャルのフーリエ展開:(,t)=Σk[kexp(-iωkt+ikr)+k*exp(iωkt-ikr)]によれば,電場は(,t)=-(∂(,t)/∂t)=Σk(iωk)[kexp(-iωkt+ikr)-k*exp(iωkt-ikr)]=Σkk(,t),磁場は(,t)=∇×(,t)=Σk[i×{kexp(-iωkt+ikr)-k*exp(iωkt-ikr)}]=Σkk(,t)となります。

そこで,電場のフーリエ成分:kk(,t)と磁場のフーリエ成分:kk(,t)は,k=(iωk){kexp(-iωkt+ikr)-k*exp(iωkt-ikr)},およびk=i×{kexp(-iωkt+ikr)-k*exp(iωkt-ikr)}と表現されます。

実電場の意味でのkでは<k2c=ωk2kk*であり,実磁場の意味でのkでは<k2c=k2kk*=(ωk/c)2kk*です。

 

したがってεk=(1/2)∫(空洞)<ε0k2+μ0-1k2cdV=ε0Vωk2kk*となります。

 

ここにV≡L3は立方体空洞の体積(volume)です。

2006年7/22の記事「黒体輻射(空洞輻射)と空洞の形状」において証明したように,輻射の分布やその性質はここで仮定した立方体形状やその1辺の長さLと関わる特殊な周期的境界条件の選択とは無関係です。

  

ただ空洞の大きさが有限であって,その体積がVであるということのみが場にとって本質的なのです。つまり特定な形状の選択によって議論の一般性は失われません。

ここで,k(2ε0Vωk2)-1/2Σλ=12kkλ+iPkλ)εkλ,k*≡(2ε0Vωk2)-1/2Σλ=12kkλ-iPk)εkλと置きます。

 

εkλεkλ=0,|εkλ|=1なるに垂直な横波の偏光(偏り or 偏極)を示す2つの独立な単位ベクトルです。

 

そしてkk*≡(2ε0Vωk2)-1Σλ=12(Pkλ2+ωk2kλ2)となり,モードエネルギーはεk=(1/2)Σλ=12(Pkλ2+ωk2kλ2)となります。これは単位質量を持つ位置座標:Qkλ,運動量座標:Pkλを持つ通常の古典的1次元調和振動子のエネルギーの形になっています。

そこで,"総エネルギー=電磁場全体のハミルトニアンrad"はrad=(1/2)∫(空洞)<ε02+μ0-12cdV=Σkεk=(1/2)Σλ=12(Pkλ2+ωk2kλ2)となります。

ここで量子力学における1次元調和振動子の理論を復習します。

 

単位質量を仮定すると1次元調和振動子のハミルトニアンはqを位置演算子,pを運動量演算子として=(p2+ω22)と書けます。

 

そしてp,qは通常の交換関係:[q,p]=ihcに従います。(ただしc≡h/(2π)はプランク定数です。) 

,qに代わる1対の演算子a,a+をa≡(2hcω)-1/2(ωq+ip),a+≡(2hcω)-1/2(ωq-ip),あるいは逆にq≡{hc/(2ω)}1/2(a+a+),p≡{hc/(2ω)}1/2(a-a+)によって定義します。

 

これからa+a=(hcω)-1(-hcω/2),かつaa+=(hcω)-1(+hcω/2)が得られます。

したがって,[a,a+]=1,=hcω(a+a+1/2)と書けます。

 

ここで個数演算子n^をn^≡a+aによって定義すれば=hcω(n^+1/2)です。

固有値nに属する のエネルギー固有状態を|n>とします。すなわち, |n>=hcω(a+a+1/2)|n>=En|n>です。

 

このときa+ |n>=hcω(a+aa+-a++a+/2)|n>=En+|n>です。

 

故に,hcω(a+a+1/2)a+|n>=+|n>=(En+hcω)a+|n>となります。そこで,|n+1>≡a+|n>,En+1≡En+hcωと定義すると,上式は|n+1>=En+1|n+1>と書けます。

同様に,a|n>=(En-hcω)a|n>です。そこで,|n-1>≡a|n>,En-1≡En-hcωと定義すると,上式は|n-1>=En-1|n-1>とあります。

それ故,準位のはしごが等間隔hcωで上下に伸びていくという描像になります。

 

しかし,<ψ| |ψ>=<φ|φ>+(1/2)<ψ|ψ>,|φ>≡a|ψ>であって,状態ベクトルの空間では状態|ψ>のノルムは|ψ|≡<ψ|ψ>1/2≧0 で定義され,<ψ|ψ>は非負の値を取るはずですから,<ψ| |ψ>≧0 です。

 

つまり,ハミルトニアンは演算子,あるいは行列として正値なので,その期待値は負になることはありません。したがってその固有値も非負で下に有界です。

そこで"の固有値=エネルギー固有値"の最小値をE0≧0 とし,エネルギー固有値E0に属する状態を基底状態(真空)と呼んで,|0>という記号で表わすことにします。すなわち |0>=E0|0>です。

 

|0>がエネルギー最低の状態なので,必然的に必要条件であるa|0>=(E0-hcω)a|0>を満たす解はa|0>=0 を満たすものしかありません。それ故,|0>=hcω(aa+1/2)|0>=(hcω/2)|0>=E0|0>,つまりE0=hcω/2 です。

これから,結局En=(n+1/2)hcω(n=0,1,2,..)と書けることがわかりました。特に,|n>はとn^≡a+aの共通の固有状態になっていてn^|n>=a+a|n>=n|n>です。

先に規格化定数を無視して,暫定的に|n+1>≡a+|n>,|n-1>≡a|n>と定義しましたが,<n-1|n-1>=<n|n>=<n-1|n-1>=1を満たすようにa|n>=bn|n-1>,a+|n>=cn|n+1>と置くと,|bn|2=n,|cn|2=n+1ですから,位相をゼロにとるとbn=n1/2,cn=(n+1)1/2,つまりa|n>=n1/2|n-1>,a+|n>=(n+1)1/2|n+1>と書けます。

こうとれば個数状態は|n>=(n!)-1/2(a+)n|0>と陽に表わすことができます。

 

ここで,p,qはエルミート演算子ですがa,a+はエルミートではないので観測可能量ではないということを特に注意しておきます。

さて,準備が整ったので輻射場の各モード(,λ);λ=1,2に各々調和振動子を結びつけることによって自由電磁場を量子化します。

つまり,波動ベクトルが,偏りがλの空洞電磁場の各調和振動子モード(,λ)に対応する状態をhcωkだけ励起することを,エネルギーがhcωkの1個の"量子=光子(photon)"を生成することと同一視して調和振動子のエネルギーを昇降させる演算子akλ+を光子の生成演算子,akλを光子の消滅演算子と呼びます。

具体的には,k≡(2ε0Vωk2)-1/2Σλ=12kkλ+iPkλ)εkλ,k*≡(2ε0Vωk2)-1/2Σλ=12kkλ-iPkλ)εkλにおいてakλ≡(2hcωk)-1/2kkλ+iPk),akλ≡(2hcωk)-1/2kkλ-iPkλ)と書き換えます。

 

k=(2ε0Vωk2)-1/2Σλ=12kkλ+iPkλ)εkλ={hc/(ε0Vωk)}1/2Σλ=12kλεkλ,およびk*=(2ε0Vωk2)-1/2Σλ=12kkλ-iPkλ)εkλ={hc/(ε0Vωk)}1/2Σλ=12kλ+εkλと書き換えられます。

 

これにより,Pkλ,Qkλを量子力学における調和振動子の運動量演算子,位置演算子とする表現になります。

全ベクトルポテンシャルの量子化した表現は(,t)=Σk{hc/(ε0Vωk)}1/2εkλ[akλexp(-iωkt+ikr)+akλ+exp(iωkt-ikr)]となります。

 

そして全横電場Tと磁場T(,t)=Σkk;k=i{hcωk/(ε0V)}1/2Σλ=12εkλ[akλexp(-iωkt+ikr)-akλ+exp(iωkt-ikr)],(,t)=Σkk ;k=i{hc/(ε0Vωk)}1/2Σλ=12(×εkλ)[akλexp(-iωkt+ikr)-akλ+exp(iωkt-ikr)]なる表式で与えられます。

また,自由な輻射電磁場の総エネルギーは,もちろんrad=Σkεk=(1/2)Σkλ(Pkλ2+ωk2kλ2)=Σkcωk(akλ+kλ +1/2)で与えられます。

 

そして量子論にとって重要な(正準)交換関係(canonical commutation relations)は調和振動子のそれ:[akλ,ak'λ'+]=δkk'δλλ',[akλ,ak'λ']=[akλ+,ak'λ'+]=0 です。

 

これらによって例えば[rad,A]=ihcTなる関係式を得ます。

 

そうして,akλ|nkλ>=nkλ1/2|nkλ-1>,akλ|nkλ>=(nkλ+1)1/2|nkλ+1>です。

空洞内の場全体の個々の状態は,モード(11),(22),(33)..(ただしλ1=λ2=λ3=..=1,2)の作る完全系に対して,個数演算子n^kiλi≡akiλikiλiの固有値nkiλiで与えられる励起光子数の順列:nk1λ1,nk2λ2,nk3λ3..によって指定されます。

 

すなわち,ある順序を指定した空洞モードについて,規格化された個数表示の固有状態ベクトル|nk1,λ1,nk2,λ2,nk3,λ3..>=|nk1λ1>|nk2λ2>|nk3λ3>..の全体から成る集合が電磁場の状態の完全系を張ると考えるわけです。

 

以下では,この状態の個々の基底ベクトルを|{nk}>と略記することにします。

こうした量子化の手続きを個数量子化,第2量子化,あるいは場の量子化といいます。

切りがいいので今日はここまでにします。

参考文献:R.Loudon 著(小島忠宣,小島和子 共訳)「光の量子論(第2版)」(内田老鶴圃),J.D.Bjorken and S.D.Drell「Relativistic Quantum Field」(McGraw-Hill Book Company)

 

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2007年12月 6日 (木)

ヤングの干渉実験(2)(量子論)

ヤングの干渉実験(Young's double-slit experiment)の古典論について述べたので次は量子論について述べます。

 

基本的には光を示す古典電磁場を第2量子化して干渉の古典論において対応する部分を量子論の言葉に翻訳すればいいだけです。

電磁場のスカラーポテンシャルをφ(,t),ベクトルポテンシャルを(,t)とします。電場(,t),磁場(,t)これらのポテンシャルによって(,t)=-∇φ(,t)-∂(,t)/∂t,(,t)∇×(,t)と表現されます。

以下では,混乱のおそれがないときは引数,tを省略して=-∇φ-∂/∂t,∇×などと表記します。 

このφ,によるE,Bの表現は任意関数Λ(,t)に対するいわゆるゲージ変換:φ→φ+∂Λ/∂t,-∇Λの下で不変です。これをゲージ不変性と言います。

電磁場を記述する基本方程式である真空中のマクスウェル方程式はポテンシャル,φによって,()-2(1/c2)(∂∇φ/∂t)+(1/c2)(∂2/∂t2)=μ0,-ε02φ-ε0(∂/∂t)=ρなる形に表わされます。

 

ここでρ(,t)は電荷密度,(,t)は電流密度です。

特に相対論的に共変なゲージであるローレンツ(Lorentz;ローレンス)ゲージ:(1/c2)(∂φ/∂t)=0 を満たすように,φ→φ+∂Λ/∂t,-∇Λなるゲージ関数Λを採用すれば,運動方程式は∇2(1/c2)(∂2/∂t2)=-μ0,2φ-(1/c2)(∂2φ/∂t2)=-ρ/ε0と対称的かつ簡明で共変性が自明な形になります。

ローレンツゲージのような共変ゲージを採用するメリットは運動方程式が簡単な形を取ることの他に4次元時空座標xμ=(ct,)に対応する4元ポテンシャル:Aμ=(φ/c,)について, ローレンツゲージは∂Aμ/∂xμ=0 を意味するので,この条件が4次元時空座標の座標変換に対して不変になることです。

そこで,これ以外のゲージの採用では4次元時空座標の座標変換に対して4元ポテンシャルは通常の4元ベクトルのローレンツ変換のほかにゲージを合わせるために,その都度,別の補正変換を施す必要がありますから,実は4元ポテンシャルAμ=(φ/c,)が正しい相対論的に共変な4元ベクトルを意味しないことになります。

 

つまり電磁ポテンシャルは局所性を破り,信号は光速を超えて相対論的因果律を破るわけです。

この問題点については,以前の2006年10/9の記事「非共変ゲージの非局所性(電磁場)」で論じました。

 

すなわち,現実に観測されるのは場の量を示す電磁ポテンシャルAμ=(φ/c,)ではなく場の強さであるEとB,つまりFμν≡∂Aν/∂xμ-∂Aμ/∂xνであり,これらはゲージの選択に無関係に共変で局所的なので相対論を破らないわけです。

これは量子論で観測されるのは確率であって波動関数ではないというのと同じく,場の量を示す電磁ポテンシャルAμ=(φ/c,)を実在であると考えなければ矛盾は生じないわけです。

余談はこれくらいにして,ここでは電磁場の量子化が簡単に行える非共変ですが便利なクーロンゲージ:0 を採用します。

このときには,電磁場の方程式は2(1/c2)(∂2/∂t2)-(1/c2)(∂∇φ/∂t)=-μ0,2φ=-ρ0となります。

 

これらのうち,2番目の方程式は普通のポアソン方程式ですから無限遠でゼロという境界条件では簡単に解くことができて,解はφ(,t)={1/(4πε0)}∫d'[ρ(',t)/|'|]と書けます。

これは一見したところ,静電場のクーロンポテンシャルと同じ形に見えますが,今の場合は右辺の"被積分関数の分子=電荷密度:ρ(,t)"が時間tの関数であり,定常な静電場の時間に依らず一定な電荷密度に対する解とは微妙に異なっています。

 

今の場合の解は,時刻tにおける電荷密度の瞬時の変化が即座に,つまり超光速で伝播することを示している式になっているので,これは丁度たった今上で述べた因果律を破る場の例になっています。

一方,電流密度(,t)はベクトル場の一般的な性質からTLと一意的に分解されます。ここにT0 を∇×L0 です。Tを横成分,またはソレノイド成分,Lを縦成分と呼びます。

ここで,縦成分Lの電磁ポテンシャルとの関係を求めます。電荷に対する連続の方程式:(∂ρ/∂t)+∇=0 を用いればT0 より,∇L=-∂ρ/∂tが得られます。

 

そして∇×L0 ですから,ある関数ψが存在してL=∇ψと書けます。これを代入すると∂ρ/∂t=-∇2ψです。これと2φ=-ρ0より2χ=0 を満たすχの差を除いてψ=ε0(∂φ/∂t)と置いていいです。それゆえL=ε0(∇∂φ/∂t)が成立します。

最後の表式と等式:(1/c2)=ε0μ0によって電磁場の方程式2(1/c2)(∂2/∂t2)-(1/c2)(∂∇φ/∂t)=-μ02(1/c2)(∂2/∂t2)=-μ0Tなるより簡潔な式に帰着します。

 

これは,いわゆるダランベールの方程式:□=-μ0Tなので,遅延境界条件を取ると,解は遅延ポテンシャル:(,t)={1/(4πε0)}∫d'T(',t')/|'|となります。

 

ここに,t'≡t-|'|/cです。また,□≡2(1/c2)(∂2/∂t2)はダランベルシャン(d'Alembertian)と呼ばれる微分演算子です。

一方,電場も横成分と縦成分に分けることができます。

 

TL,T∇×L0 ですね。=-∇φ-∂/∂tで∇=0 ∇×∇φ=0 ですからT=-∂/∂t,L=-∇φと陽に表現できます。一方,磁場は元々∇=0 を満たすので横成分しかありません。

 

そしてL=ε0(∇∂φ/∂t)と組み合わせると,L=-ε0(∂L/∂t)です。これがL=ρ0,あるいは∇2φ=-ρ/ε0に対応しています。

したがって,縦成分の方程式は一見では静電気学の方程式と同じです。しかし静電気学ではρが位置だけの関数ですからL=ε0(∂L/∂t)もゼロです。

一方,クーロンゲージ∇=0 では電磁場の横成分はだけと結びついています。横成分について整理します。波動方程式は□2(1/c2)(∂2/∂t2)=-μ0Tです。そして電場はT=-∂/∂tで与えられます。

 

真空中のマクスウェル方程式は∇×T=-∂/∂t,μ0-1∇×=ε0(∂T/∂t)+T,∇T=0,∇=0 となります。

そして,媒質のない真空中を仮定してはいますが,例えば電磁場と共に電子のような物質場があって,それらは相対論的なディラック(Dirac)方程式:[γμ(pμ-eAμ)-mc]ψ(,t)=0 ;pμ=ihc(∂/∂xμ),Aμ(φ/c,-);(ただしc≡h/(2π)はプランク定数,xμ(ct,)は時空座標)を満たす4成分スピノール:ψ(,t)で与えられるとします。 

この方程式は,[(γ0/c){ihc(∂/∂t)-eφ}+γ(ihc∇+e)-mc)]ψ(,t)=0 とも書けます。

 

そして4元電磁カレント,つまり4元電流はJμ(,t)=eψ+(,t)γ0γμψ(,t);簡単表記ではJμ=eψ+γ0γμψであたえられます。ρ(,t)=J0(,t)/c=(e/c)ψ+(,t)ψ(,t),(,t)=eψ+(,t)γ0γψ(,t)です。

それ故,φ(,t)={e/(4πcε0)}∫d'[{ψ+(',t)ψ(',t)}/|'|},かつ(,t)={e/(4πε0)}∫d'[{ψ+(',t')γ0γψ(',t')]T/|'|};t'≡t-|'|/cと形式的には陽に表現できます。

さて,電荷や電流の全くない(ρ=T=0)自由電磁場を第2量子化します。

自由場の波動方程式は□2(1/c2)(∂2/∂t2)=0 です。電磁場の量子化はポテンシャル(,t)を量子力学の演算子と読み換えることから始まります。

簡単のために便宜上,1辺がLの立方体空間の中の電磁場を想定し周期的境界条件を満たすとします。このとき波動方程式の解は(,t)=Σk[k(t)exp(ikr)+k*(t)exp(-ikr)]とフーリエ級数で表現されます。

 

ここで波動ベクトルk=(kx,ky,kz)はkx=2πνx/L,ky=2πνy/L,kz=2πνz/L, (νxyz=0,±1,±2,±3,..)で与えられます。クーロンゲージの条件:∇(,t)=0 はkAk(t)=0 であれば満たされます。

(,t)の相異なるフーリエ成分k(t)は互いに独立で個別に波動方程式を満たす必要があります。すなわち,2k(t)+(1/c2)(d2k(t)/dt2)=0 であり,k*(t)もこれと同じ方程式を満足します。

これはωk≡ck≡c||とおくとき通常の"単振動=調和振動"の方程式:d2k/dt2=-ωk2kです。そこで電磁場は量子力学における調和振動子の集まりとみなすことで量子化できます。

k(t)=kexp(-iωkt)と表わせば(,t)=Σk[kexp(-iωkt+ikr)+k*exp(iωkt-ikr)]となります。

途中ですが,今日はちょっと時間がないのでここで終わります。

参考文献:R.Loudon 著(小島忠宣,小島和子 共訳)「光の量子論(第2版)」(内田老鶴圃)  

  

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 おやおや、そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

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2007年12月 3日 (月)

ヤングの干渉実験(1)(古典論)

以前の記事2006年5/26の「光子の干渉とコヒーレンス」,および2007年5/11,5/13の「光電効果と光の量子論(1)」,「光電効果と光の量子論(2)」の続きとして「ヤングの干渉実験」について本格的に論じてみたいと思います。

まず,分光(spectroscopy)に用いる光源ですが一般に2つの型があります。

 

まず,第1の型は普通の実用的な照明器具と同じ統計性を持つ気体放電分光器であり,それは気体の個々の原子が放電によって励起され,それらが相互に無関係に光を輻射するものです。

 

発光源の形態は原子の運動速度の統計的広がりと不規則に起こる衝突によって決定されます。

こうした気体放電と同じような原理で実用的で広範に使用されているフィラメントランプや,熱空洞などを含め,この種の光源をカオス(chaos)光源と呼びます。

 

どんな種類のカオス光源から出た光ビ-ムでも,同じような統計的特徴を持っています。ただ統計的分布のパラメータがカオス光のビームごとに異なっているだけです。

第2の型の光源はレーザー(laser)ですが,これはカオス光源とは全く別の非常に規則正しい統計的性質を持っています。

しかし,ここでは第1の型の通常のカオス光源のみを対象として,これによる分光と干渉について考察するので,第2の型の光源であるレーザーの詳細については割愛します。

光ビームが通過する固定した観測点において,電場の時間依存性を測定する実験を考えます。

以下では,主として光源の性質から,ビームの電場とそのゆらぎ(fluctuation)の性質が決定される過程を考えてみます。

 

また,簡単のために対象としている"光=電磁波"の電場ベクトルは一定の偏りを持つとして,重ね合わせの原理に従ってそのまま代数的に加えることができるとします。

固定観測点における電場の波が複素電場としてE(t)なる関数で与えられるとき,光の周波数スペクトルは,E(ω)≡{1/(2π)}∫-∞(t)exp(iωt)dtで与えられる電場のフーリエ(Fourier)成分E(ω)で決まります。

 

これのフーリエ逆変換はE(t)=∫-∞(ω)exp(-iωt)dωとなります。

実際の電場は実数(real)であり,それは複素電場の実部,あるいは虚部で与えられます。

 

複素電場が単一の角周波数ω0によって0exp(-iω0)と与えられるときには,電場の強さのサイクル平均は周期をT02π/ω0として,<E2c(1/T0)∫0T0|Re|2dtで定義されます。

 

これは,<E2c(02/T0)∫0T0cos2ω0tdt=02/2=||2/2となります。記号< >cの添字cはサイクル平均を表わしています。

そこで,角周波数ωの単色スペクトルの光のサイクル平均強度は|E(ω)|2=E*(ω)E (ω)={1/(4π2)}∫-∞dt1-∞dt2*(t1)E(t2)exp{iω(t2-t1)}={1/(4π2)}∫-∞dt∫-∞dτE*(t)E(t+τ)exp(iωτ)に比例します。

そして,ω~ω+dωの間における光のサイクル平均強度は|E(ω)|2dωに比例します。

 

 これらを全ての周波数について総和すると∫-∞|E(ω)|2dω={1/(4π2)}∫-∞dω∫-∞dt∫-∞dτE*(t)E(t+τ)exp(iωτ)={1/(2π)}∫-∞dt|E(t)|2となります。 

しかし,積分∫-∞dt∫-∞dτE*(t)E(t+τ)exp(iωτ)がカバーするtの期間は,現実の実験では,-∞<t<∞なる無限大長さでは有り得ないので,無限大区間(-∞,∞)を十分大きいが有限な時間Tで置き換えることにします。

このTを用いて電場の1次相関関数(correlation function)を<E*(t)E(t+τ)>≡(1/T)∫*(t)E(t+τ)dtによって定義します。左辺の< >tの添字tは長時間平均を表わしています。

 

この量は,時刻tでの電場が時刻t+τで取り得る種々の電場の値の確率に影響する様子を記述します。相関関数の形は,光源の作り出すゆらぎの種類によって決まります。

 

特に,ゆらぎの統計を支配する要因が全て時間的に不変である場合,すなわち光源の性質が定常的でTがゆらぎに固有の時間スケールに比べて十分長い場合には,平均値<E*(t)E(t+τ)>≡(1/T)∫*(t)E(t+τ)dtは積分の特定の開始時刻に無関係です。

 

そして,この時間平均操作によって光源の統計的性質が許容するあらゆる電場の値を,それぞれ適当な相対確率で標本抽出できて,その結果はTの大きさに依存しません。

実験的に,こうした相関関数を決定するには(1/T)∫*(t)E(t+τ)dtのような時間平均を取ればいいのですが,統計的性質が定常的な場合なら,これはtとt+Tにおける場のあらゆる値にわたる統計平均(アンサンブル平均)で置き換えることができます。

 

こうした平均化処理が可能であることを"エルゴード定理(Ergodic theorem)"といいます。そして,このとき相関関数はτだけの関数になります。

そして,|E(ω)|2{T/(4π2)}∫-∞<E*(t)E(t+τ)>exp(iωτ)dτですから,∫-∞|E(ω)|2dω={T/(2π)}<E*(t)E(t)>となります。

 

ここで< >は"アンサンブル平均=長時間平均"を表わしています。以下では,話題をこうしたエルゴード定理が成立するカオス光源に関するものに限定します。

ここで,光の電場の周波数スペクトル分布関数として1に規格化されたものをF(ω)とします。すなわち,F(ω)≡|E(ω)|2/[∫-∞|E(ω)|2dω]となります。

 

さらに規格化された1次相関関数g1(τ)をg1(τ)≡<E*(t)E(t+τ)>/<E*(t)E(t)>によって導入すると,F(ω)={1/(2π)}∫-∞1(τ)exp(iωτ)dτと書けます。

 

1(τ)で定義される量は,光の1次の時間コヒーレンス度(時間可干渉性)と呼ばれています。

光のスペクトルと1次相関関数を結ぶ式:F(ω)={1/(2π)}∫-∞1(τ)exp(iωτ)dτはウィーナー・ヒンチンの定理(Wiener-Khinchine's theorem)の1つの形です。

 

(2006年8/26の記事「ホワイトノイズ,1/f ゆらぎ」参照)

 

これは分光実験の結果と時間に依存する光のゆらぎの特性との間の形式的な関係を与える式になっています。

"この関係=ウィーナー・ヒンチンの定理"F(ω)={1/(2π)}∫-∞1(τ)exp(iωτ)dτは,正の時間間隔τのみの式にできます。

 

F(ω)={1/(2π)}∫01(τ)exp(iωτ)dτ+{1/(2π)}∫01(-τ)exp(-iωτ)dτとなります。1(-τ)≡<E*(t)E(t-τ)>/<E*(t)E(t)>=<E*(t+τ)E(t)>/<E*(t)E(t)>=g1(τ)*ですから,F(ω)=(1/π)Re[∫01(τ)exp(iωτ)dτ]と表わすことができます。

ここで,角周波数ω0の光を輻射する1つの特定の気体励起原子が他の気体原子と弾性衝突することによって,周波数スペクトルに見かけの線幅が生じる現象=衝突広がりが起こる現象を考えてみます。

原子が他の原子と衝突するまでの間は光は定常的に輻射されて規則正しい電磁輻射の波列を構成しています。

 

しかし,衝突の瞬間には光を輻射する原子のエネルギー準位は2つの原子間の相互作用によってずれを生じ,そのために規則正しかった波列は衝突の間は中断することになります。

 

気体粒子の衝突は弾性衝突なので衝突後には再び同じ角周波数ω0の光波動の放出を回復します。衝突後の波はその位相(phase)が衝突前の位相と無関係な値に変わること以外には,特性は全て衝突前のそれと同じです。

衝突の間には,輻射波の周波数はω0からずれてωになりますが,その期間は非常に短いとして,衝突期間中の輻射を無視することにします。

 

これは,各励起原子は常に周波数ω0で光を輻射するが,衝突のたびに波の位相が不連続に変わるという模型を想定することになります。

1つの衝突から次の衝突までの平均自由飛行時間をτ0と置けば,気体原子について代表的な値はτ03×10-11secであることがわかっています。

 

このとき,ω0として可視光の周波数を採用すると,これは大体ω03×1015Hzなので,ω0τ09×104となります。これらの数値によれば,1個の原子から輻射された波列は,引き続く衝突の間に平均約15000回の振動を行なう勘定になります。

こうした波の場の振幅は複素形式で,E(t)=E0exp{-iω0t+iφ(t)}と書けます。そして位相φ(t)は自由飛行期間中は一定に保たれ,衝突のたびに不連続に変化します。

 

カオス光源から出た波全体は各輻射原子において1つずつi(t)=E0exp{-iω0t+i(t)}(i=1,2,..,)なる形に表わされた項の総和で与えられます。

すなわち,励起原子がν個あるとするなら,総和としてのE(t)は(t)=E1(t)+E2(t)+..Eν(t)=E0exp(-iω0)[exp{1(t)}+exp{2(t)}+..exp{ν(t)}]=0exp(-iω0)a(t)exp{iΦ(t)}と書けるわけです。

 

これによって得られる実電場は不規則な振幅変調a(t)と位相変調Φ(t)を受けた周波数ω0の搬送波という構成の形式で表現されます。

ここで真空の誘電率をε0,透磁率をμ0とし,気体放電分光器の気体は比透磁率が1で比誘電率がη2の誘電体から成るとして,光ビームの強さI(,t)を"光=電磁波"の流れを表わすポインティングベクトル(Poynting vector)の大きさで定義します。I(,t)=||です。

 

光の実電場を(,t),実磁場を(,t)(=μ0(,t))とするとポインティングベクトルは,S≡(,t)×(,t)=μ0-1(,t)×(,t)で与えられます。

 

電磁波ではは直交しているので,光ビームの強さはI(,t)=μ0-1|(,t)||(,t)|と書けます。

"光=電磁波"では,等式μ0-1(,t)2=ε0η2(,t)2が正確に成り立ちますから,I(,t)=(ε00)1/2η(,t)2=ε0cη(,t)2です。

 

ここで,c=1/(ε0μ0)1/2は真空中の光速を表わす定数です。

 

しかし通常は(,t)は実電場ではなく複素電場で表現されていて,しかも我々が実験で検知できるエネルギー密度や電場の強さは瞬時値ではなくサイクル平均で与えられると考えられます。

 

そこで,光ビームの強さもそのサイクル平均で与えられるとし,それを改めて同じ記号I(,t)で表わすことにすれば,I(,t)=(1/2)ε0cη<|(,t)|2cなる表式になります。

それ故,先述の原子の衝突の効果を含めた輻射電場の固定観測点の位置座標の引数を省略した表現:E(t)=0exp(-iω0)a(t)exp{iΦ(t)}に対しては,光ビームの強さはI(t)=(1/2)ε0cη02(t)2cとなります。

 

以下では比誘電率η2をη ~1と近似して,I(t)=(1/2)ε0c<|E(t)|2c=(1/2)ε002(t)2cとします。

ここで,光の電磁場のエネルギー密度W(t)はW(t)=(1/2)ε0η2<|E(t)|2c=(η/c)I(t)=(1/2)ε0η202(t)2cと書けますから,電磁場のエネルギー密度W(t)と光波の強さI(t)は互いに比例関係にあります。

 

そこで,電磁場のエネルギー密度を光波の強さと定義しても,今までの論旨は定係数を除いて同じです。

前と同様,1つの原子が他の原子と衝突せずに自由に飛行できる平均自由飛行時間をτ0とすると,時間τとτ+dτの間にそれぞれの原子が他の原子と衝突しない確率は明らかに指数分布p(τ)dτ=(1/τ0)exp(-τ/τ0)dτになります。

(t)=E0exp{-iω0t+iφ(t)}における位相φ(t)はこうした確率法則の反映です。時間τ0の間には強度や位相にかなりの変化が生じることもありますが,期間Δt<<τ0内ではこれらの量はほぼ一定であると見てよいわけです。

こうしたスペクトルの線幅を広げる効果は衝突以外にもありますが,そうしたメカニズムにはどれも衝突広がりの平均自由飛行時間τ0に類似した不規則なゆらぎの時間スケールを定めるある特徴的な時間が存在します。

 

今の場合には,輻射自身の幅を除き,衝突を含むあらゆる効果を衝突広がりの時間スケールτ0の中に含めています。

 

τ0の他に輻射自身の幅をも含めた,特徴的な時間をτcと書いてコヒーレンス時間と呼びます。このτcの大きさはビームの周波数の幅の逆数程度です。

以下では,周波数の幅Δω~1/τcが平均周波数ω0に比べて十分小さいケース,つまりω0τc>>1なる光ビームのケースに話を限定します。例えば黒体輻射などは考えません。

コヒーレンス時間τcに関連して,λc≡cτcなる量をコヒーレンス長と呼びます。今考えているケースのビームでは,このコヒーレンス長は光の波長よりもはるかに長いことになります。

光の検知器の分解時間(resolution time)はコヒーレンス時間τcよりずっと短くて,エルゴード定理が成立しているとすると,時間平均は統計平均と同一視されます。

 

そして相関関数は<E*(t)E(t+τ)>=E02exp(-iω0τ)<[exp{-iφi(t)}+..+exp{-iφν(t)}] [exp{iφi(t+τ)}+..+exp{-iφν(t+τ)}]>で与えられます。

別々の原子から出た波列の位相はそれぞれ全くバラバラの値を取るので,異なる原子の位相φi(t)とφj(t)(i≠j)の交差項の寄与は平均すると消えるはずです。

 

そしてν個の輻射原子の各々は統計的には全て等価なので,結局<E*(t)E(t+τ)>02exp(-iω0τi=1νexp[i{φi(t+τ)-φi(t)}]>=ν<Ei*(t)Ei(t+τ)>となるはずです。 

話を気体原子の衝突の場合に戻すと,個々の原子iについての相関<Ei*(t)Ei(t+τ)>=E02exp(-iω0τ)<exp[i{φi(t+τ)-φi(t)}]>において,各波列の位相角はその原子が衝突した後には勝手な値に飛ぶので,衝突の後で平均を取るとその寄与はゼロです。

 

そこで,τ>0 とすれば,この相関関数は原子がτより長い自由飛行期間を持つ確率に比例します。

それ故,τ>0 なら<Ei*(t)Ei(t+τ)>02exp(-iω0τ)∫τp(τ)dτ=02exp(-iω0τ)∫τdτ(1/τ0)exp(-τ/τ0)02exp{-iω0τ-(τ/τ0)}と書くことができます。

 

そこで,<E*(t)E(t+τ)>=νE02exp{-iω0τ-(τ/τ0)}となりますから,1次コヒーレンス度はg1(τ)=exp{-iω0τ-(τ/τ0)}です。

以上から,衝突広がりのみを考慮した光のスペクトルF(ω)はF(ω)=(1/π)Re[∫01(τ)exp(iωτ)dτ]=(1/πτ0)/[(ω0-ω)2(1/τ0)2]です。

 

これを規格化されたローレンツ型(Lorentz type)の分布曲線形と呼びます。

一方,元々輻射遷移現象には,光ビームの照射に伴う誘導輻射とは別に,蛍光の原因となる量子論特有の全く確率的な現象である自発放出,または自然輻射のプロセスがあります。

 

時間に依存する摂動論によれば自然輻射に伴なう量子遷移によって,励起状態の波動関数は減衰因子exp(-γt)(t>0)を持ちます。これは確率としては,その平方(square)であるexp(-2γt)(t>0)なる減衰因子として出現します

それ故τRを蛍光寿命とすると2γ=1/τRであり,この輻射の幅:2γが存在する結果として,光のスペクトルFL(ω)はFL(ω)=(γ/π)/[(ω0-ω)2+γ2]なるローレンツ型のブライト・ウィグナーの式(Breit-Wigner's formula)によって表わされます。

そこで衝突広がりの幅:2/τ0に起因する吸収係数をγcoll1/τ0と置けば,衝突広がりのみがある場合には,コヒーレンス度,および光のスペクトルは,それぞれ1(τ)=exp(-iω0τ-γcollτ),およびF(ω)=(1/πτ0)/[(ω0-ω)2(1/τ0)2]=(γcoll/π)/[(ω0-ω)2+γcoll2]です。

 

もしも,輻射広がりと衝突広がりの両方がある一般的な場合のそれらの寄与をγ'=γ+γcoll,または 2/τc1/τR+20で表現すれば,光のスペクトルはF(ω)=(γ'/π)/[(ω0-ω)2+γ'2]となります。

このとき,相関関数は<E*(t)E(t+τ)>=νE02exp{-iω0τ-γ'|τ|},1次コヒーレンス度はg1(τ)=exp(-iω0τ-γ'|τ|)と修正されることになります。

 

ここで相関関数のτに関する減衰特性を考慮して,一部τの代わりにその絶対値を取りました。

さて,ヤング(Young)の干渉実験は点光源から出たカオス光がレンズによってほぼ平行な平面波にされて右前方に進み,次に2つのスリットを備えた第1スクリーンを通過した後,その右側遠方にある第2スクリーンの上で生じる干渉縞を観測するものです。

 

以下では光源は完全な点光源であると理想化し,光源が有限な直径を持つとか,ビームが完全には平行ではないなどの複雑さは無視します。

観測スクリーンの位置における時刻tでの輻射の全電場をE(,t)とします。

 

この電場は光速cによって定まるtより前の時刻t1,t2におけるスリット,またはピンホ-ル1,2での電場の1次の重ねあわせであるはずです。すなわち,形式的にはE(,t)=u1(1,t1)+u2(2,t2)と書けます。

ここにt1,t2はそれぞれ1,s2を光が第1スクリーン上の1,2から第2スクリーンまで到達するまでの距離としてt1≡t-s1/c,t2≡t-s2/cで指定される時刻です。

 

そしてu1,u2は球面波(spherical wave)に対応して,それぞれs1,s2に反比例する量です。

 

ところで,ホイヘンス・フレネルの原理によれば1次球面波ψ(,t)=(A/r)exp{-i(ωt-2πr/λ)}キルヒホッフの積分表示から2次波の包絡面として,ψ(,t)={iπA/(λr)}exp{-i(ωt-2πr'/λ)}r-r'r+r'dR(1+cosχ)exp{i(2πR/λ)}と表わされます。

  

(↑ 2006年10/3の私のブログ記事「ホイヘンスの原理の正当性)

 

そこで,ピンホールからの2次波は1次波から"1/4-波長=π/2"だけ位相がずれていて,係数u1,u2は純虚数になります。 

したがって,(,t)=(1/2)ε0c<|E(,t)|2c=(1/2)ε0c[|1|2<|E(1,t1)|2c+|2|2<|E(2,t2)|2c+21*2Re<E*(1,t1)(2,t2)>cと書けます。

 

ヤングの干渉実験での記録時間Tはコヒーレンス時間τcよりずっと長いので,この"時間平均=統計平均"を()で表わせば,I()=<I(,t)>=(1/2)ε0c[|1|2<|E(1,t1)|2>+|2|2<|E(2,t2)|2>+21*2Re<E*(1,t1)(2,t2)>です。

光の波動性に由来する干渉縞は右辺の2つのピンホール位置1,2での相関関数を含む第3項から生じます。

 

電場の相関関数を,これまでの1つの固定点でのそれとは異なる場合に一般化し,形式的な定義を<E*(1,t1)(2,t2)>=(1/T)∫*(1,t1)E(2,t1+t21)dt1によって与えます。

 

ただし,t21≡t2-t1と置きました。 

ここで,ヤングの干渉実験では,第1スクリーンにおける1次波の(1,t1)と(2,t2)は,レンズによって第1スクリーンに向かってz方向に直進する平面波とされているので,その区間では(,t)はE(z,t)=E(t-z/c)と表現できます。

 

故に,<E*(1,t1)(2,t2)>は<E*(z1,t1)(z2,t2)>=<E*(t1-z1/c)(t2-z2/c)>となります。

これを見ると,今の場合は相関関数のτが単純な時間差τ=t2-t1ではなくて,τ≡t2-z2/c-(t1-z1/c)に変わっていますが,それを除けば,これまでの議論でのそれと本質的に違いはありません。

 

そこで,<E*(z1,t1)(z2,t2)>=νE02exp(-iω0τ-γ'|τ|)と書くことができます。

 

これを第2スクリーン上での光ビームの強さ()を表わす式に代入すると,最終的な表現としてI()=<I(,t)>=(1/2)ε0νE02[|1|2+|2|2+21*2 exp(γ'|τ|)cos(ω0τ)]を得ます 

実は,スクリーン上ではz座標は等しい:12ですから,τ=t2-t1(s1-s2)/cとなります。

 

慣例に従って,第2スクリーン上での縞の鮮明度を[()max-I()min]/[()max+I()min]で定義すると,これは,2|1*2|exp(γ'|1-s2|/c)/[|1|2+|2|2]となります。

 

この式によると,縞の鮮明度はスクーリンの中央では1ですが,そこ以外の軸から離れたところでは,u1≠u2,s1≠s2であるために1より小さくなります。 

光源のカオス性は指数因子exp(γ'|1-s2|/c)を通して縞の鮮明度に影響します。そのため,s1とs2が十分異なるときには原則的に縞は全く消えてしまいます。

 

しかし,ω0>>γ'のような幅の狭い光源の場合には,τ=(s1-s2)/cが十分大きいため,指数因子により縞がぼやける前に余弦項cos(ω0τ)により非常に多くの縞が作り出されます。

今日はこのくらいにしておきます。

 

※追伸:量子力学を用いているのに,なぜタイトルが古典論なのかというと,確かに媒質としての気体原子,つまりその束縛電子については量子論を用いていますが,"光=電磁波"は量子化されていない古典電磁場であるからです。

 

正確には半古典論(semi-classical theory)と言います。

 

という意味では,直接関係はないですが,既述したように誘導反応である光電効果も半古典論だけで説明可能です。自発反応(自然輻射)のみが量子論でないと説明できない現象ですね。

 

そして,後述するように電磁波を量子化して1個,2個,..の光子が干渉するという描像にすれば,それは確かに全てが量子論なので量子論と呼びます。

参考文献:R.Loudon 著(小島忠宣,小島和子 共訳)「光の量子論(第2版)」(内田老鶴圃) 

 

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