微分形式とベクトル解析

　コーヒー・ブレイクです。物理学の話はちょっとお休みにして物理数学の軽い話題を述べてみます。

　エリ・カルタン(Elie Cartan)が創始したと言われる微分形式,または外微分の概念は,最近は向き付け可能な微分可能多様体の上でのテンソル場などと関連して導入されることが多いらしく,何か前提として微分幾何学などの知識がなければいけないかのように感じ,かなり敷居が高いなどと思われ勝ちです。

　私が35年以上も前に大学の物理学科で留年した年に,１年間数学科で浮気をしていた際,数学科の専門講義の中で解析学の一部として学んだ記憶がある微分形式は幾何学と関連があるといっても平面上の四角形はアファイン変換でもやはり四角形になる,という程度の初等幾何の話で十分なものでした。

　微分形式を抽象数学として厳密に扱おうとするなら,それを微分幾何学,多様体などの概念と結び付け,曲面上での特殊な多重線形変換の場,あるいは交代テンソルの場の一部として導入するべきかも知れません。

　しかし,古典物理での物理数学のような応用数学に利用するだけであれば,積分が微分の逆演算であること,および積分変数,あるいは微分変数の変換における不変式との関連の話で導入をする程度でお茶を濁すのがイメージを掴むやり方としては,はるかに入り易いと思います。

　ここではそうした方法での説明にトライしてみます。

　要するに,私がはじめてそれを学んだときには,微分形式というのは素朴な１変数関数の積分での変数置換に伴う単純な置換積分の公式を多変数関数の重積分の場合のそれに拡張したとき,積分形式における変換規則を微分形式の規則に翻訳するための便法として編み出した記号に過ぎないものと把握したものでした。

　ただ,そうした記号的手法を用いれば計算が非常に楽になるということだけは確かであり,特に直交座標とか極座標とかの点の異なる座標表現を気にすることなく同じ形式で考察できるという意味では,重宝で便利な道具であるとは思います。

　１変数関数ｙ＝ｆ(ｘ)の不定積分:Ｆ(ｘ)＝∫^xｆ(ｔ)ｄｔは積分変数ｔをｔ＝φ(ｕ)によってｕに変更するとき,この対応が同相,つまりφが１価連続で逆写像もまた連続なら,ｘ＝φ(ｖ)のとき,これが∫^vｆ(φ(ｕ))φ'(ｕ)ｄｕ (ただしφ'(ｕ)≡ｄφ/ｄｕ)なる積分に一致する:∫^xｆ(ｔ)ｄｔ＝∫^vｆ(φ(ｕ))φ'(ｕ)ｄｕなる不変式が成立する,というのが置換積分法の規則です。

　これは微分規則での合成関数の微分法の規則:ｄＦ(φ(ｖ))/ｄｖ＝(ｄＦ/ｄｘ)φ'(ｖ)に対応するものです。

　では２変数関数ｇ(ｘ,ｙ)の積分の場合にはどうでしょうか？

　１変数関数のときには便宜上,積分を不定積分としましたが,今度はある決まった点(ｘ,ｙ)の連結した点集合から成る２次元の領域Ｄの上での定積分として,２重積分:∫_Dｇ(ｘ,ｙ)ｄｘｄｙを考えます。

　そして,１変数の場合と同様にｘ＝φ(ｕ,ｖ),ｙ＝ψ(ｕ,ｖ)と変数変換して,φ,ψを(ｕ,ｖ)の連結した領域Ｄ_uvから(ｘ,ｙ)の領域Ｄの上への同相写像とします。

　すなわち,この写像の組φ,ψをベクトル表示で ^t(ｘ,ｙ)＝Φ(ｕ,ｖ)≡^t(φ(ｕ,ｖ),ψ(ｕ,ｖ))と書くとき,Ｄ＝Φ(Ｄ_uv)となるとします。

　そして,先の１変数の積分不変式∫^xｆ(ｔ)ｄｔ＝∫^vｆ(φ(ｕ))φ'(ｕ)ｄｕが２変数関数ｇ(ｘ,ｙ)の積分でも成立するとして,形式的に∫_Dｇ(ｘ,ｙ)ｄｘｄｙ＝∫_Duvｇ(φ(ｕ,ｖ),ψ(ｕ,ｖ))Φ'(ｕ,ｖ)ｄｕｄｖと書きます。

　形式的にこう書いたとしても,それだけでは,右辺の最後のΦ'(ｕ,ｖ)ｄｕｄｖなる表記の記号の意味がまだ不明のなので,これが明確に定義されない限り,この表現式に意味はありません。

　しかし,^t(ｘ,ｙ)＝Φ(ｕ,ｖ)≡^t(φ(ｕ,ｖ),ψ(ｕ,ｖ))という変数変換は,局所的な微分量の変換に対応する微小変換では通常の１次元の１変数の場合の変換ｘ＝φ(ｕ)における微分と微分係数の関係:ｄｘ＝(ｄφ/ｄｕ)ｄｕ＝φ'(ｕ)ｄｕのアナロジーとして理解されます。

　すなわち,"全微分係数＝全ての偏微分係数をその要素とする行列"を記号的にｄΦ(ｕ,ｖ)/ｄ(ｕ,ｖ)と書けば,^t(ｄｘ,ｄｙ)＝{ｄΦ(ｕ,ｖ)/ｄ(ｕ,ｖ)}^t(ｄｕ,ｄｖ)と書けます。

　これは陽な成分表現では,^t(ｄｘ,ｄｙ)＝^t((∂φ/∂ｕ)ｄｕ＋(∂φ/∂ｖ)ｄｖ,(∂ψ/∂ｕ)ｄｕ＋(∂ψ/∂ｖ)ｄｖ)と書けます。

　そして,こうした２重積分ではｄｘｄｙ,およびｄｕｄｖは何を表わしているかというと,これらの量は縦と横の辺の長さの組が(ｄｘ,ｄｙ),および(ｄｕ,ｄｖ)で与えられる微小長方形の面積を表わしています。

　ところで,一般にｎ次元ベクトル空間Ｒⁿの上のベクトル:ｕ≡^t(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n)∈Ｒⁿを別の点ｘ≡^t(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)∈Ｒⁿに写す線形写像をアファイン(or アフィン)変換と呼びますが,これは線形変換なので,あるｎ次の正方行列Ａが存在してｘ＝Ａｕなる式に書けます。

始点の一致した２つのベクトルｕ,ｖで作られる平行四辺形の面積は,ｕとｖの成す角をθとするとき,|ｕ||ｖ||sinθ|で与えられます。

これはもしもｕ,ｖが３次元空間のベクトルなら,外積,あるいはベクトル積ｕ×ｖの大きさを表わしています。

さらに行列Ａで表現されるこうした線形変換によって,ｕ,ｖがそれぞれｘ,ｙに写されるとき,つまりｘ＝Ａｕ,かつｙ＝Ａｖが成立するとき,外積の変換はｘ×ｙ＝(detＡ)(ｕ×ｖ)となります。

ただし,detＡは行列Ａの行列式を示しています。

つまり,アファイン変換では平行四辺形は平行四辺形に写され,その面積の比は,変換行列Ａの行列式の絶対値＝|detＡ|になるわけです。

したがって,微小変換^t(ｄｘ,ｄｙ)＝{ｄΦ(ｕ,ｖ)/ｄ(ｕ,ｖ)}^t(ｄｕ,ｄｖ)でも,これは微分量同士の関係としては線形変換なので,(ｄｘ,ｄｙ),および(ｄｕ,ｄｖ)の成分はそれぞれｘ軸,ｙ軸に平行な２つの微小ベクトル,およびｕ軸,ｖ軸に平行な２つの微小ベクトルを示していると考えると,それらの作る微小長方形の面積要素の比はdet{ｄΦ(ｕ,ｖ)/ｄ(ｕ,ｖ)}の絶対値で与えらます。

こうしたことは一般のｎ次元空間でも,もちろん成立します。

このときには^t(ｄｘ₁,ｄｘ₂,..,ｄｘ_n)＝{ｄΦ(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n)/ｄ(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n)}^t(ｄｕ₁,ｄｕ₂,..,ｄｕ_n)なる線形変換式を満たすｎ行ｎ列の行列{ｄΦ(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n)/ｄ(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n)}は,慣習的にヤコービ行列(Jacobi matrix)と呼ばれ,記号{∂(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)/∂(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n)}で表わされます。

そして,その行列式:det{ｄΦ(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n)/ｄ(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n)}はヤコービアン(Jacobian)と呼ばれ,記号:Ｊ≡|∂(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)/∂(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n)|で表わされます。

２次元の場合の変換式^t(ｄｘ,ｄｙ)＝{ｄΦ(ｕ,ｖ)/ｄ(ｕ,ｖ)}^t(ｄｕ,ｄｖ)において,(ｄｕ,ｄｖ),および(ｄｘ,ｄｙ)で作られる長方形の微小面積を,それぞれ記号ｄｕ∧ｄｖ,およびｄｘ∧ｄｙで表わしこれらを２次の微分形式と定義します。

すると,お互いの積分変数の微小面積要素の比を与える公式はｄｘ∧ｄｙ＝±det{ｄΦ(ｕ,ｖ)/ｄ(ｕ,ｖ)}ｄｕ∧ｄｖ＝±Ｊｄｕ∧ｄｖ＝±|∂(ｘ,ｙ)/∂(ｕ,ｖ)|ｄｕ∧ｄｖと表現されます。

この時点ではｄｕ∧ｄｖとｄｘ∧ｄｙなる記号は,これらを微小な面積という非負の量に同一視しているので,行列式の符号如何で,右辺にはプラス,またはマイナスの符号が必要です。

ところが,１次の置換積分の公式:∫^xｆ(ｔ)ｄｔ＝∫^vｆ(φ(ｕ))φ'(ｕ)ｄｕにおいてはφ(ｕ)がｕの増加関数であるか減少関数であるかによって,積分区間の始点と終点を逆転させると規約すれば一々符号を付ける必要なく常にこの積分不変式が成立するようにできます。

微分積分法などの初等的なテキストでは重積分における変数変換に際してヤコービアン:Ｊの絶対値をとって,置換積分の変換公式を∫_Φ(D)ｇ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)ｄｘ₁ｄｘ₂..ｄｘ_n＝∫_Dｇ(Φ(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n))|Ｊ|ｄｕ₁ｄｕ₂..ｄｕ_nと書き,単なる行列式Ｊを用いる代わりに,その絶対値|Ｊ|を用いた式で表わすことが多いようです。

しかし,微分形式の記号ｄｕ∧ｄｖ etc.を積分等式の両辺の積分領域ＤとΦ(Ｄ)の相対的な向きの指定をも含めた形で定義するなら,±符号を除いた簡単な積分公式∫_Φ(D)ｇ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)ｄｘ₁ｄｘ₂..ｄｘ_n＝∫_Dｇ(Φ(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n))Ｊｄｕ₁ｄｕ₂..ｄｕ_n,および対応する微分公式ｄｘ₁∧ｄｘ₂∧..∧ｄｘ_n＝Ｊｄｕ₁∧ｄｕ₂∧..∧ｄｕ_nが常に成立するようにできます。 

さらに,この公式の微分形も任意の関数ｇ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)を含めた一般的表現ではｇ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)ｄｘ₁∧ｄｘ₂∧..∧ｄｘ_n＝ｇ(Φ(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n))Ｊｄｕ₁∧ｄｕ₂∧..∧ｄｕ_nと表わすことができます。

こうした微分による変換形式を,その本質的に反対称で外積代数と同じ性質を持つという演算規則の定義をも含めてｎ次の微分形式と呼ぶわけです。 

そして,ω≡Σ_i1,i2,.._ikｆ_i1,i2,..,_ik (ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)ｄｘ_i1∧ｄｘ_i2∧...∧ｄｘ_ik(0≦ｋ≦ｎ)なる線形結合で与えられる形式が,ｎ次元空間を土俵にした全く一般的なｋ次微分形式の定義です。

また,(ｎ－1)以下のｋについてのこうしたｋ次微分記式ωに対し,その外微分ｄωをｄω≡Σ_i1,i2,.._ikΣ_j=1ⁿ(∂ｆ_i1,i2,.._ik/∂ｘ_j)ｄｘ_j∧ｄｘ_i1∧ｄｘ_i2∧..∧ｄｘ_ikによって定義します。

こうした外微分に関しては,一般に"ポアンカレの補題ｄ(ｄΩ)＝0 ",および一般的な"ストークスの定理∫_Ωｄω＝∫_∂Ωω"が成立します。

この定義での微分式をなぜ外微分と呼ぶのかと言うと,微分形式や外微分の演算がいわゆる外積代数に従うからです。

上に述べたポアンカレの補題は「完全形式(exact form):ω＝ｄΩは閉形式(closed form):ｄω＝0 である。」という定理ですが「可縮な領域では,閉形式ｄω＝0 は完全形式である,つまりω＝ｄΩと書ける微分形式Ωが存在する。」というこれの逆命題も成立します。

後者もポアンカレの補題と呼ばれることが多いです。

後者が成立することの証明については,私のブログの2006年10/21の記事「ポアンカレの補題」にやや詳しく記述しているので,よかったら参照してください。

逆命題としての後者のポアンカレの補題は,物理学で多用される伝統的なベクトル解析に翻訳した場合,結構重要な定理に対応しています。

例えばベクトル場が"渦無し＝非回転的"である,ベクトル場の回転がゼロであることは,対象としている場が保存的である,すなわち場のスカラーポテンシャル(位置エネルギー)が存在して元のベクトル場はそのスカラーポテンシャルの勾配として表現可能であることを意味します。

また,ベクトル場の発散がゼロであることは,場のベクトルポテンシャルが存在して,場はそれの回転で表現されることを意味するという定理などに対応しています。

ここで,上述の定理も含め,こうした微分形式の言葉を物理学でよく使われるベクトル解析の言葉に翻訳して互いに関連付けるため,スカラー場,ベクトル場etc.の再定義,およびそうした言葉の翻訳作業に必要な道具として場の関数に対するいくつかの演算の定義や,関連した記号と記法を導入したいと思います。

Ｕを３次元ユークリッド空間の開集合とし,物理学での一般的なベクトル場の表記Ｖ＝(Ｖ^x,Ｖ^y,Ｖ^z)に対応した数学としての幾何学的表記を多様体上の線形演算子の場,あるいは余接空間上のベクトル場の形式としてＶ≡Ｖ^x(∂/∂ｘ)＋Ｖ^y(∂/∂ｙ)＋Ｖ^z(∂/∂ｚ)で表わします。

そして,接空間上でのそれに双対(dual)なベクトル場としての微分形式をＶ^*≡Ｖ^xｄｘ＋Ｖ^yｄｙ＋Ｖ^zｄｚで表わすことにします。 

さらに３次元ユークリッド空間においては,微分１形式:ｕ＝ｕ¹ｄｘ＋ｕ²ｄｙ＋ｕ³ｄｚに対して,*ｕを*ｕ≡ｕ¹ｄｙ∧ｄｚ＋ｕ²ｄｚ∧ｄｘ＋ｕ³ｄｘ∧ｄｙで,

微分２形式:ｖ≡ｖ²³ｄｙ∧ｄｚ＋ｖ³¹ｄｚ∧ｄｘ＋ｕ¹²ｄｘ∧ｄｙに対して*ｖを*ｖ≡ｖ²³ｄｘ＋ｖ³¹ｄｙ＋ｕ¹²ｄｚで,

そして微分３形式:ｗ≡ｆｄｘ∧ｄｙ∧ｄｚに対して,*ｗを*ｗ≡ｆで定義する演算,

すなわち,ｎ次元ユークリッド空間のｋ次微分形式に対して,その左側に*印をつけることで(ｎ－ｋ)次微分形式を対応させる演算＝星印作用(star operation)を定義します。

このときの演算記号である*印を,この演算を始めた人の名を取ってホッジ作用素,あるいは星印(スター)作用素と呼びます。

上の記述では書きませんでしたが,特に0-形式,単なるスカラー関数ｇ(ｘ,ｙ,ｚ)に対しての*印演算は,*ｇ≡ｇｄｘ∧ｄｙ∧ｄｚです。

そうして,これらの星印演算については一般に任意の微分形式ωに対して*(*ω)＝ωなる等式が成立します。

星印演算を用いると任意のスカラー場ｆの勾配:gradｆ＝∇ｆ＝(∂ｆ/∂ｘ,∂ｆ/∂ｙ,∂ｆ/∂ｚ),あるいは(∂ｆ/∂ｘ)(∂/∂ｘ)＋(∂ｆ/∂ｙ)(∂/∂ｙ)＋(∂ｆ/∂ｙ)(∂/∂ｚ)なる演算子表現に双対なベクトルの表現は,(gradｆ)^*＝(∂ｆ/∂ｘ)ｄｘ＋(∂ｆ/∂ｙ)ｄｙ＋(∂ｆ/∂ｙ)ｄｚとなります。

そこで,スカラー場ｆの勾配に関する等式として(gradｆ)^*＝ｄｆが得られます。

また,任意のベクトル場Ｖ＝(Ｖ^x,Ｖ^y,Ｖ^z)＝Ｖ^x(∂/∂ｘ)＋Ｖ^y(∂/∂ｙ)＋Ｖ^z(∂/∂ｚ)に対して,双対なものはＶ^*＝Ｖ^xｄｘ＋Ｖ^yｄｙ＋Ｖ^zｄｚなので,

ｄ(Ｖ^*)＝(∂Ｖ^y/∂ｚ－∂Ｖ^z/∂ｙ)ｄｙ∧ｄｚ＋(∂Ｖ^x/∂ｚ－∂Ｖ^z/∂ｘ)ｄｚ∧ｄｘ＋(∂Ｖ^y/∂ｘ－∂Ｖ^x/∂ｙ)ｄｘ∧ｄｙです。

そこでベクトル場Ｖの回転に関する等式として*{(rotＶ)^*}＝ｄ(Ｖ^*)が得られます。

さらに,*(Ｖ)^*＝Ｖ^xｄｙ∧ｄｚ＋Ｖ^yｄｚ∧ｄｘ＋Ｖ^zｄｘ∧ｄｙなのでｄ{*(Ｖ)^*}＝(∂Ｖ^x/∂ｘ＋∂Ｖ^y/∂ｙ＋∂Ｖ^z/∂ｚ)ｄｘ∧ｄｙ∧ｄｚより,ベクトル場Ｖの発散に関する等式:*(divＶ)＝ｄ{*(Ｖ)^*}が得られます。

したがって,ポアンカレの補題ｄ(ｄｆ)＝0 は,ｄ{(gradｆ)^*}＝0 およびrot(gradｆ)＝0 と等価です。一方,ｄ{ｄ(Ｖ^*)}＝0 はｄ[*{(rotＶ)^*]＝0 となり,結局div(rotＶ)＝0 とも等価です。

また,ストークスの定理∫_Ωｄω＝∫_∂Ωωによれば,ω≡*(Ｗ)^*とすれば,∫_Vｄ{*(Ｗ)^*}＝∫_S*(Ｗ)^*により∫_V(divＷ)ｄｘｄｙｄｚ＝∫_SＷｄＳをなる恒等式を得ます。

これは物理数学ではガウスの法則と呼ばれています。

また,ω≡Ｗ^*とすれば,∫_Sｄ(Ｗ^*)＝∫_C(Ｗ^*)によって∫_S(rotＷ)ｄＳ＝∫_CＷｄｓなる等式を得ます。

物理学では,２次元曲面Ｓとその境界閉曲線Ｃに対するこの公式だけをストークスの法則と呼んでいます。 

本当は,ここで終わりにするのがキレイな終わり方なのでしょうが,そもそも息抜きのついでにこの記事を書く気になったきっかけは,すぐ前の12月15日の記事「理想気体の圧力と気体分子運動論」にあります。

その中では積分形の運動方程式:ｄ[∫_V1ｐｄＶ]/ｄｔ＝－∫_SＰｄＳの右辺が直感的に－∫_V1∇ＰｄＶと書き換えられて微分形の方程式ｄｐ/ｄｔ＝－∇Ｐになると書いたのですが,実は自分でもこの手順がすっきりしなくて,これの解決にホッジスのスター作用素が役立つのではないか？と考えたのがこの記事を書いた動機なのです。

そこで,私自身の問題意識としては,この問題をすっきりさせない限りこの記事を書くことに意味がありません。

ところが,ちょっと考えてみたところ,上に求めた公式では等式の両辺の被積分値は全てスカラー量です。

しかし,∫_SＰｄＳ＝∫_V1∇ＰｄＶなる等式を証明する場合には両辺の被積分値はベクトル量ですから上で実施した手順に類似した推論を単純に適用することはできないことがわかります。

結局,両辺でのベクトルの成分ごとにそれぞれスカラー量として等式を導くほかはなさそうです。

実際,ω≡Ｐｄｙ∧ｄｚと置けば,ｄω＝(∂Ｐ/∂ｘ)ｄｘ∧ｄｙ∧ｄｚなので,ストークスの定理∫_Sω＝∫_V1ｄωは∫_SＰｄｙｄｚ＝∫_V1(∂Ｐ/∂ｘ)ｄＶとなります。

そして空間の一様性から直交座標系:Ｏ-ｘｙｚのｘ軸の向きはどのように取っても同じです。

さらに,(∂Ｐ/∂ｘ)は圧力Ｐの勾配ベクトル∇Ｐ＝gradＰの面ｄｙ∧ｄｚに垂直な軸成分ですが,∇Ｐ＝gradＰ自身も常に面ｄＳの法線ｎの向きを持ち,法線成分(∂Ｐ/∂ｎ)に等しい大きさを持つベクトルですから∫_SＰｄＳ＝∫_V1∇ＰｄＶが成立するのは明らかです。

ということで私自身の問題も解決したのでこれで終わります。 

参考文献:深谷賢治 著「解析力学と微分形式」(岩波書店),木村利栄,菅野礼司著「微分形式による解析力学」(吉岡書店) 　

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