ヤングの干渉実験(2)(量子論)

ヤングの干渉実験(Young's double-slit experiment)の古典論について述べたので次は量子論について述べます。

基本的には光を示す古典電磁場を第２量子化して干渉の古典論において対応する部分を量子論の言葉に翻訳すればいいだけです。

電磁場のスカラーポテンシャルをφ(ｒ,ｔ),ベクトルポテンシャルをＡ(ｒ,ｔ)とします。電場Ｅ(ｒ,ｔ),磁場Ｂ(ｒ,ｔ)はこれらのポテンシャルによってＥ(ｒ,ｔ)＝－∇φ(ｒ,ｔ)－∂Ａ(ｒ,ｔ)/∂ｔ,Ｂ(ｒ,ｔ)＝∇×Ａ(ｒ,ｔ)と表現されます。

以下では,混乱のおそれがないときは引数ｒ,ｔを省略してＥ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×Ａなどと表記します。 

このφ,ＡによるＥ,Ｂの表現は任意関数Λ(ｒ,ｔ)に対するいわゆるゲージ変換:φ→φ＋∂Λ/∂ｔ,Ａ→Ａ－∇Λの下で不変です。これをゲージ不変性と言います。

電磁場を記述する基本方程式である真空中のマクスウェル方程式はポテンシャルＡ,φによって,∇(∇Ａ)－∇²Ａ＋(1/ｃ²)(∂∇φ/∂ｔ)＋(1/ｃ²)(∂²Ａ/∂ｔ²)＝μ₀Ｊ,－ε₀∇²φ－ε₀∇(∂Ａ/∂ｔ)＝ρなる形に表わされます。

ここでρ(ｒ,ｔ)は電荷密度,Ｊ(ｒ,ｔ)は電流密度です。

特に相対論的に共変なゲージであるローレンツ(Lorentz;ローレンス)ゲージ:∇Ａ＋(1/ｃ²)(∂φ/∂ｔ)＝0 を満たすように,φ→φ＋∂Λ/∂ｔ,Ａ→Ａ－∇Λなるゲージ関数Λを採用すれば,運動方程式は∇²Ａ－(1/ｃ²)(∂²Ａ/∂ｔ²)＝－μ₀Ｊ,∇²φ－(1/ｃ²)(∂²φ/∂ｔ²)＝－ρ/ε₀と対称的かつ簡明で共変性が自明な形になります。

ローレンツゲージのような共変ゲージを採用するメリットは運動方程式が簡単な形を取ることの他に４次元時空座標ｘ^μ＝(ｃｔ,ｒ)に対応する４元ポテンシャル:Ａ^μ＝(φ/ｃ,Ａ)について, ローレンツゲージは∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＝0 を意味するので,この条件が４次元時空座標の座標変換に対して不変になることです。

そこで,これ以外のゲージの採用では４次元時空座標の座標変換に対して４元ポテンシャルは通常の４元ベクトルのローレンツ変換のほかにゲージを合わせるために,その都度,別の補正変換を施す必要がありますから,実は４元ポテンシャルＡ^μ＝(φ/ｃ,Ａ)が正しい相対論的に共変な４元ベクトルを意味しないことになります。

つまり電磁ポテンシャルは局所性を破り,信号は光速を超えて相対論的因果律を破るわけです。

この問題点については,以前の2006年10/９の記事「非共変ゲージの非局所性(電磁場)」で論じました。

すなわち,現実に観測されるのは場の量を示す電磁ポテンシャルＡ^μ＝(φ/ｃ,Ａ)ではなく場の強さであるＥとＢ,つまりＦ^μν≡∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ_νであり,これらはゲージの選択に無関係に共変で局所的なので相対論を破らないわけです。

これは量子論で観測されるのは確率であって波動関数ではないというのと同じく,場の量を示す電磁ポテンシャルＡ^μ＝(φ/ｃ,Ａ)を実在であると考えなければ矛盾は生じないわけです。

余談はこれくらいにして,ここでは電磁場の量子化が簡単に行える非共変ですが便利なクーロンゲージ:∇Ａ＝0 を採用します。

このときには,電磁場の方程式は∇²Ａ－(1/ｃ²)(∂²Ａ/∂ｔ²)－(1/ｃ²)(∂∇φ/∂ｔ)＝－μ₀Ｊ,∇²φ＝－ρ/ε₀となります。

これらのうち,２番目の方程式は普通のポアソン方程式ですから無限遠でゼロという境界条件では簡単に解くことができて,解はφ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}∫ｄｒ'[ρ(ｒ',ｔ)/|ｒ－ｒ'|]と書けます。

これは一見したところ,静電場のクーロンポテンシャルと同じ形に見えますが,今の場合は右辺の"被積分関数の分子＝電荷密度:ρ(ｒ,ｔ)"が時間ｔの関数であり,定常な静電場の時間に依らず一定な電荷密度に対する解とは微妙に異なっています。

今の場合の解は,時刻ｔにおける電荷密度の瞬時の変化が即座に,つまり超光速で伝播することを示している式になっているので,これは丁度たった今上で述べた因果律を破る場の例になっています。

一方,電流密度Ｊ(ｒ,ｔ)はベクトル場の一般的な性質からＪ＝Ｊ_T＋Ｊ_Lと一意的に分解されます。ここに∇Ｊ_T＝0 を∇×Ｊ_L＝0 です。Ｊ_Tを横成分,またはソレノイド成分,Ｊ_Lを縦成分と呼びます。

ここで,縦成分Ｊ_Lの電磁ポテンシャルとの関係を求めます。電荷に対する連続の方程式:(∂ρ/∂ｔ)＋∇Ｊ＝0 を用いれば∇Ｊ_T＝0 より,∇Ｊ_L＝－∂ρ/∂ｔが得られます。

そして∇×Ｊ_L＝0 ですから,ある関数ψが存在してＪ_L＝∇ψと書けます。これを代入すると∂ρ/∂ｔ＝－∇²ψです。これと∇²φ＝－ρ/ε₀より∇²χ＝0 を満たすχの差を除いてψ＝ε₀(∂φ/∂ｔ)と置いていいです。それゆえＪ_L＝ε₀(∇∂φ/∂ｔ)が成立します。

最後の表式と等式:(1/ｃ²)＝ε₀μ₀によって電磁場の方程式∇²Ａ－(1/ｃ²)(∂²Ａ/∂ｔ²)－(1/ｃ²)(∂∇φ/∂ｔ)＝－μ₀Ｊは∇²Ａ－(1/ｃ²)(∂²Ａ/∂ｔ²)＝－μ₀Ｊ_Tなるより簡潔な式に帰着します。

これは,いわゆるダランベールの方程式:□Ａ＝－μ₀Ｊ_Tなので,遅延境界条件を取ると,解は遅延ポテンシャル:Ａ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}∫ｄｒ'Ｊ_T(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'|となります。

ここに,ｔ'≡ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃです。また,□≡∇²－(1/ｃ²)(∂²/∂ｔ²)はダランベルシャン(d'Alembertian)と呼ばれる微分演算子です。

一方,電場Ｅも横成分と縦成分に分けることができます。

Ｅ＝Ｅ_T＋Ｅ_L,∇Ｅ_T＝∇×Ｅ_L＝0 ですね。Ｅ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔで∇Ａ＝0 ∇×∇φ＝0 ですからＥ_T＝－∂Ａ/∂ｔ,Ｅ_L＝－∇φと陽に表現できます。一方,磁場Ｂは元々∇Ｂ＝0 を満たすので横成分しかありません。

そしてＪ_L＝ε₀(∇∂φ/∂ｔ)と組み合わせると,Ｊ_L＝－ε₀(∂Ｅ_L/∂ｔ)です。これが∇Ｅ_L＝ρ/ε₀,あるいは∇²φ＝－ρ/ε₀に対応しています。

したがって,縦成分の方程式は一見では静電気学の方程式と同じです。しかし静電気学ではρが位置ｒだけの関数ですからＪ_L＝ε₀(∂Ｅ_L/∂ｔ)もゼロです。

一方,クーロンゲージ∇Ａ＝0 では電磁場の横成分はＡだけと結びついています。横成分について整理します。波動方程式は□Ａ＝∇²Ａ－(1/ｃ²)(∂²Ａ/∂ｔ²)＝－μ₀Ｊ_Tです。そして電場はＥ_T＝－∂Ａ/∂ｔで与えられます。

真空中のマクスウェル方程式は∇×Ｅ_T＝－∂Ｂ/∂ｔ,μ₀^-1∇×Ｂ＝ε₀(∂Ｅ_T/∂ｔ)＋Ｊ_T,∇Ｅ_T＝0,∇Ｂ＝0 となります。

そして,媒質のない真空中を仮定してはいますが,例えば電磁場と共に電子のような物質場があって,それらは相対論的なディラック(Dirac)方程式:[γ^μ(ｐ_μ－ｅＡ_μ)－ｍｃ]ψ(ｒ,ｔ)＝0 ;ｐ_μ＝iｈ_c(∂/∂ｘ^μ),Ａ_μ＝(φ/ｃ,－Ａ);(ただしｈ_c≡ｈ/(2π)はプランク定数,ｘ^μ＝(ｃｔ,ｒ)は時空座標)を満たす４成分スピノール:ψ(ｒ,ｔ)で与えられるとします。 

この方程式は,[(γ⁰/ｃ){iｈ_c(∂/∂ｔ)－ｅφ}＋γ(iｈ_c∇＋ｅＡ)－ｍｃ)]ψ(ｒ,ｔ)＝0 とも書けます。

そして４元電磁カレント,つまり４元電流はＪ^μ(ｒ,ｔ)＝ｅψ⁺(ｒ,ｔ)γ⁰γ^μψ(ｒ,ｔ);簡単表記ではＪ^μ＝ｅψ⁺γ⁰γ^μψであたえられます。ρ(ｒ,ｔ)＝Ｊ⁰(ｒ,ｔ)/ｃ＝(ｅ/ｃ)ψ⁺(ｒ,ｔ)ψ(ｒ,ｔ),Ｊ(ｒ,ｔ)＝ｅψ⁺(ｒ,ｔ)γ⁰γψ(ｒ,ｔ)です。

それ故,φ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πｃε₀)}∫ｄｒ'[{ψ⁺(ｒ',ｔ)ψ(ｒ',ｔ)}/|ｒ－ｒ'|},かつＡ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀)}∫ｄｒ'[{ψ⁺(ｒ',ｔ')γ⁰γψ(ｒ',ｔ')]_T/|ｒ－ｒ'|};ｔ'≡ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃと形式的には陽に表現できます。

さて,電荷や電流の全くない(ρ＝Ｊ_T＝0)自由電磁場を第２量子化します。

自由場の波動方程式は□Ａ＝∇²Ａ－(1/ｃ²)(∂²Ａ/∂ｔ²)＝0 です。電磁場の量子化はポテンシャルＡ(ｒ,ｔ)を量子力学の演算子と読み換えることから始まります。

簡単のために便宜上,１辺がＬの立方体空間の中の電磁場を想定し周期的境界条件を満たすとします。このとき波動方程式の解はＡ(ｒ,ｔ)＝Σ_k[Ａ_k(ｔ)exp(iｋｒ)＋Ａ_k^*(ｔ)exp(－iｋｒ)]とフーリエ級数で表現されます。

ここで波動ベクトルｋ＝(ｋ_x,ｋ_y,ｋ_z)はｋ_x＝2πν_x/Ｌ,ｋ_y＝2πν_y/Ｌ,ｋ_z＝2πν_z/Ｌ, (ν_x,ν_y,ν_z＝0,±1,±2,±3,..)で与えられます。クーロンゲージの条件:∇Ａ(ｒ,ｔ)＝0 はｋＡ_k(ｔ)＝0 であれば満たされます。

Ａ(ｒ,ｔ)の相異なるフーリエ成分Ａ_k(ｔ)は互いに独立で個別に波動方程式を満たす必要があります。すなわち,ｋ²Ａ_k(ｔ)＋(1/ｃ²)(ｄ²Ａ_k(ｔ)/ｄｔ²)＝0 であり,Ａ_k^*(ｔ)もこれと同じ方程式を満足します。

これはω_k≡ｃｋ≡ｃ|ｋ|とおくとき通常の"単振動＝調和振動"の方程式:ｄ²Ａ_k/ｄｔ²＝－ω_k²Ａ_kです。そこで電磁場は量子力学における調和振動子の集まりとみなすことで量子化できます。

Ａ_k(ｔ)＝Ａ_kexp(－iω_kｔ)と表わせばＡ(ｒ,ｔ)＝Σ_k[Ａ_kexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)＋Ａ_k^*exp(iω_kｔ－iｋｒ)]となります。

途中ですが,今日はちょっと時間がないのでここで終わります。

参考文献:R.Loudon 著(小島忠宣,小島和子 共訳)「光の量子論(第２版)」(内田老鶴圃) 　

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