ヤングの干渉実験(3)(量子論)

ヤングの干渉実験(Young's experiment)の量子論の続きです。

まず,前記事の終わりの部分を再掲します。

自由場の波動方程式は□Ａ＝∇²Ａ－(1/ｃ²)(∂²Ａ/∂ｔ²)＝0 です。電磁場の量子化はポテンシャル:Ａ(ｒ,ｔ)を量子力学の演算子と読み換えることから始まります。

簡単のために,便宜上,１辺がＬの立方体空洞の中の電磁場を想定し,しかも周期的境界条件を満たすとします。こう設定しても一般性を失なうわけではありません。

このとき波動方程式の解はＡ(ｒ,ｔ)＝Σ_k[Ａ_k(ｔ)exp(iｋｒ)＋Ａ_k^*(ｔ)exp(－iｋｒ)]とフーリエ級数で表現されます。

ここで周期的境界条件を満たす波動ベクトル:ｋ＝(ｋ_x,ｋ_y,ｋ_z)は,ｋ_x＝2πν_x/Ｌ,ｋ_y＝2πν_y/Ｌ,ｋ_z＝2πν_z/Ｌ(ν_x,ν_y,ν_z＝0,±1,±2,±3,..)で与えられます。

クーロンゲージの条件:∇Ａ(ｒ,ｔ)＝0 はｋＡ_k(ｔ)＝0 であれば満たされます。

Ａ(ｒ,ｔ)の相異なるフーリエ成分Ａ_k(ｔ)は互いに独立であり,個別に波動方程式を満たす必要があります。

すなわち,ｋ²Ａ_k(ｔ)＋(1/ｃ²)(ｄ²Ａ_k(ｔ)/ｄｔ²)＝0 です。これの複素共役Ａ_k^*(ｔ)も同じ方程式を満足します。

ω_k≡ｃｋ≡ｃ|ｋ|と置いたとき,Ａ_k,Ａ_k^*の満たす方程式:ｄ²Ａ_k/ｄｔ²＝－ω_k²Ａ_kは,通常の単振動,あるいは調和振動の方程式を表わしています。

そこで電磁場を量子力学における調和振動子の集まりとみなすことで,これを量子化できます。

Ａ_k(ｔ)＝Ａ_kexp(－iω_kｔ)と表わせば,Ａ(ｒ,ｔ)＝Σ_k[Ａ_kexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)＋Ａ_k^*exp(iω_kｔ－iｋｒ)]と書けます。

ここからが,今日の記事の始まりです。

単一のモードｋのサイクル平均のエネルギーをε_kとすると,Ｅ_k,Ｂ_kが実電場,実磁場であるとするとき,ε_k＝(1/2)∫_(空洞)＜ε₀Ｅ_k²＋μ₀^-1Ｂ_k²＞_cｄＶです。

ベクトルポテンシャルＡのフーリエ展開:Ａ(ｒ,ｔ)＝Σ_k[Ａ_kexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)＋Ａ_k^*exp(iω_kｔ－iｋｒ)]によれば,電場はＥ(ｒ,ｔ)＝－(∂Ａ(ｒ,ｔ)/∂ｔ)＝Σ_k(iω_k)[Ａ_kexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)－Ａ_k^*exp(iω_kｔ－iｋｒ)]＝Σ_kＥ_k(ｒ,ｔ),磁場はＢ(ｒ,ｔ)＝∇×Ａ(ｒ,ｔ)＝Σ_k[iｋ×{Ａ_kexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)－Ａ_k^*exp(iω_kｔ－iｋｒ)}]＝Σ_kＢ_k(ｒ,ｔ)となります。

そこで,電場のフーリエ成分:Ｅ_k＝Ｅ_k(ｒ,ｔ)と磁場のフーリエ成分:Ｂ_k＝Ｂ_k(ｒ,ｔ)は,Ｅ_k＝(iω_k){Ａ_kexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)－Ａ_k^*exp(iω_kｔ－iｋｒ)},およびＢ_k＝iｋ×{Ａ_kexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)－Ａ_k^*exp(iω_kｔ－iｋｒ)}と表現されます。

実電場の意味でのＥ_kでは＜Ｅ_k²＞_c＝ω_k²Ａ_kＡ_k^*であり,実磁場の意味でのＢ_kでは＜Ｂ_k²＞_c＝ｋ²Ａ_kＡ_k^*＝(ω_k/ｃ)²Ａ_kＡ_k^*です。

したがってε_k＝(1/2)∫_(空洞)＜ε₀Ｅ_k²＋μ₀^-1Ｂ_k²＞_cｄＶ＝ε₀Ｖω_k²Ａ_kＡ_k^*となります。

ここにＶ≡Ｌ³は立方体空洞の体積(volume)です。

2006年7/22の記事「黒体輻射(空洞輻射)と空洞の形状」において証明したように,輻射の分布やその性質はここで仮定した立方体形状やその１辺の長さＬと関わる特殊な周期的境界条件の選択とは無関係です。

ただ空洞の大きさが有限であって,その体積がＶであるということのみが場にとって本質的なのです。つまり特定な形状の選択によって議論の一般性は失われません。

ここで,Ａ_k≡(2ε₀Ｖω_k²)^-1/2Σ_λ=1²(ω_kＱ_kλ＋iＰ_kλ)ε_kλ,Ａ_k^*≡(2ε₀Ｖω_k²)^-1/2Σ_λ=1²(ω_kＱ_kλ－iＰ_k,λ)ε_kλと置きます。

ε_kλはε_kλｋ＝0,|ε_kλ|^2­＝1なるｋに垂直な横波の偏光(偏り or 偏極)を示す２つの独立な単位ベクトルです。

そしてＡ_kＡ_k^*≡(2ε₀Ｖω_k²)^-1Σ_λ=1²(Ｐ_kλ²＋ω_k²Ｑ_kλ²)となり,モードエネルギーはε_k＝(1/2)Σ_λ=1²(Ｐ_kλ²＋ω_k²Ｑ_kλ²)となります。これは単位質量を持つ位置座標:Ｑ_kλ,運動量座標:Ｐ_kλを持つ通常の古典的１次元調和振動子のエネルギーの形になっています。

そこで,"総エネルギー＝電磁場全体のハミルトニアンＨ_rad"はＨ_rad＝(1/2)∫_(空洞)＜ε₀Ｅ²＋μ₀^-1Ｂ²＞_cｄＶ＝Σ_kε_k＝(1/2)Σ_λ=1²(Ｐ_kλ²＋ω_k²Ｑ_kλ²)となります。

ここで量子力学における１次元調和振動子の理論を復習します。

単位質量を仮定すると１次元調和振動子のハミルトニアンＨ はｑを位置演算子,ｐを運動量演算子としてＨ＝(ｐ²＋ω²ｑ²)と書けます。

そしてｐ,ｑは通常の交換関係:[ｑ,ｐ]＝iｈ_cに従います。(ただしｈ_c≡ｈ/(2π)はプランク定数です。) 

ｐ,ｑに代わる１対の演算子ａ,ａ⁺をａ≡(2ｈ_cω)^-1/2(ωｑ＋iｐ),ａ⁺≡(2ｈ_cω)^-1/2(ωｑ－iｐ),あるいは逆にｑ≡{ｈ_c/(2ω)}^1/2(ａ＋ａ⁺),ｐ≡{ｈ_c/(2ω)}^1/2(ａ－ａ⁺)によって定義します。

これからａ⁺ａ＝(ｈ_cω)^-1(Ｈ－ｈ_cω/2),かつａａ⁺＝(ｈ_cω)^-1(Ｈ＋ｈ_cω/2)が得られます。

したがって,[ａ,ａ⁺]＝1,Ｈ＝ｈ_cω(ａ⁺ａ＋1/2)と書けます。

ここで個数演算子ｎ^をｎ^≡ａ⁺ａによって定義すればＨ＝ｈ_cω(ｎ^＋1/2)です。

固有値Ｅ_nに属するＨ のエネルギー固有状態を|ｎ＞とします。すなわち,Ｈ |ｎ＞＝ｈ_cω(ａ⁺ａ＋1/2)|ｎ＞＝Ｅ_n|ｎ＞です。

このときａ⁺Ｈ |ｎ＞＝ｈ_cω(ａ⁺ａａ⁺－ａ⁺＋ａ⁺/2)|ｎ＞＝Ｅ_nａ⁺|ｎ＞です。

故に,ｈ_cω(ａ⁺ａ＋1/2)ａ⁺|ｎ＞＝Ｈａ⁺|ｎ＞＝(Ｅ_n＋ｈ_cω)ａ⁺|ｎ＞となります。そこで,|ｎ＋1＞≡ａ⁺|ｎ＞,Ｅ_n+1≡Ｅ_n＋ｈ_cωと定義すると,上式はＨ|ｎ＋1＞＝Ｅ_n+1|ｎ＋1＞と書けます。

同様に,Ｈａ|ｎ＞＝(Ｅ_n－ｈ_cω)ａ|ｎ＞です。そこで,|ｎ－1＞≡ａ|ｎ＞,Ｅ_n-1≡Ｅ_n－ｈ_cωと定義すると,上式はＨ|ｎ－1＞＝Ｅ_n-1|ｎ－1＞とあります。

それ故,準位のはしごが等間隔ｈ_cωで上下に伸びていくという描像になります。

しかし,＜ψ|Ｈ |ψ＞＝＜φ|φ＞＋(1/2)＜ψ|ψ＞,|φ＞≡ａ|ψ＞であって,状態ベクトルの空間では状態|ψ＞のノルムは|ψ|≡＜ψ|ψ＞^1/2≧0 で定義され,＜ψ|ψ＞は非負の値を取るはずですから,＜ψ|Ｈ |ψ＞≧0 です。

つまり,ハミルトニアンＨ は演算子,あるいは行列として正値なので,その期待値は負になることはありません。したがってその固有値も非負で下に有界です。

そこで"Ｈ の固有値＝エネルギー固有値"の最小値をＥ₀≧0 とし,エネルギー固有値Ｅ₀に属する状態を基底状態(真空)と呼んで,|0＞という記号で表わすことにします。すなわちＨ |0＞＝Ｅ₀|0＞です。

|0＞がエネルギー最低の状態なので,必然的に必要条件であるＨａ|0＞＝(Ｅ₀－ｈ_cω)ａ|0＞を満たす解はａ|0＞＝0 を満たすものしかありません。それ故,Ｈ|0＞＝ｈ_cω(ａ^＋ａ＋1/2)|0＞＝(ｈ_cω/2)|0＞＝Ｅ₀|0＞,つまりＥ₀＝ｈ_cω/2 です。

これから,結局Ｅ_n＝(ｎ＋1/2)ｈ_cω(ｎ＝0,1,2,..)と書けることがわかりました。特に,|ｎ＞はＨとｎ^≡ａ⁺ａの共通の固有状態になっていてｎ^|ｎ＞＝ａ⁺ａ|ｎ＞＝ｎ|ｎ＞です。

先に規格化定数を無視して,暫定的に|ｎ＋1＞≡ａ⁺|ｎ＞,|ｎ－1＞≡ａ|ｎ＞と定義しましたが,＜ｎ－1|ｎ－1＞＝＜ｎ|ｎ＞＝＜ｎ－1|ｎ－1＞＝1を満たすようにａ|ｎ＞＝ｂ_n|ｎ－1＞,ａ⁺|ｎ＞＝ｃ_n|ｎ＋1＞と置くと,|ｂ_n|²＝ｎ,|ｃ_n|²＝ｎ＋1ですから,位相をゼロにとるとｂ_n＝ｎ^1/2,ｃ_n＝(ｎ＋1)^1/2,つまりａ|ｎ＞＝ｎ^1/2|ｎ－1＞,ａ⁺|ｎ＞＝(ｎ＋1)^1/2|ｎ＋1＞と書けます。

こうとれば個数状態は|ｎ＞＝(ｎ!)^-1/2(ａ⁺)ⁿ|0＞と陽に表わすことができます。

ここで,ｐ,ｑはエルミート演算子ですがａ,ａ⁺はエルミートではないので観測可能量ではないということを特に注意しておきます。

さて,準備が整ったので輻射場の各モード(ｋ,λ);λ＝1,2に各々調和振動子を結びつけることによって自由電磁場を量子化します。

つまり,波動ベクトルがｋ,偏りがλの空洞電磁場の各調和振動子モード(ｋ,λ)に対応する状態をｈ_cω_kだけ励起することを,エネルギーがｈ_cω_kの１個の"量子＝光子(photon)"を生成することと同一視して調和振動子のエネルギーを昇降させる演算子ａ_kλ⁺を光子の生成演算子,ａ_kλを光子の消滅演算子と呼びます。

具体的には,Ａ_k≡(2ε₀Ｖω_k²)^-1/2Σ_λ=1²(ω_kＱ_kλ＋iＰ_kλ)ε_kλ,Ａ_k^*≡(2ε₀Ｖω_k²)^-1/2Σ_λ=1²(ω_kＱ_kλ－iＰ_kλ)ε_kλにおいてａ_kλ≡(2ｈ_cω_k)^-1/2(ω_kＱ_kλ＋iＰ_k,λ),ａ_kλ^＋≡(2ｈ_cω_k)^-1/2(ω_kＱ_kλ－iＰ_kλ)と書き換えます。

Ａ_k＝(2ε₀Ｖω_k²)^-1/2Σ_λ=1²(ω_kＱ_kλ＋iＰ_kλ)ε_kλ＝{ｈ_c/(ε₀Ｖω_k)}^1/2Σ_λ=1²ａ_kλε_kλ,およびＡ_k^*＝(2ε₀Ｖω_k²)^-1/2Σ_λ=1²(ω_kＱ_kλ－iＰ_kλ)ε_kλ＝{ｈ_c/(ε₀Ｖω_k)}^1/2Σ_λ=1²ａ_kλ⁺ε_kλと書き換えられます。

これにより,Ｐ_kλ,Ｑ_kλを量子力学における調和振動子の運動量演算子,位置演算子とする表現になります。

全ベクトルポテンシャルＡの量子化した表現はＡ(ｒ,ｔ)＝Σ_k,λ{ｈ_c/(ε₀Ｖω_k)}^1/2ε_kλ[ａ_kλexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)＋ａ_kλ⁺exp(iω_kｔ－iｋｒ)]となります。

そして全横電場Ｅ_Tと磁場ＢはＥ_T(ｒ,ｔ)＝Σ_kＥ_k;Ｅ_k＝i{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2Σ_λ=1²ε_kλ[ａ_kλexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)－ａ_kλ⁺exp(iω_kｔ－iｋｒ)],Ｂ(ｒ,ｔ)＝Σ_kＢ_k ;Ｂ_k＝i{ｈ_c/(ε₀Ｖω_k)}^1/2Σ_λ=1²(ｋ×ε_kλ)[ａ_kλexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)－ａ_kλ⁺exp(iω_kｔ－iｋｒ)]なる表式で与えられます。

また,自由な輻射電磁場の総エネルギーは,もちろんＨ_rad＝Σ_kε_k＝(1/2)Σ_kλ(Ｐ_kλ²＋ω_k²Ｑ_kλ²)＝Σ_k,λｈ_cω_k(ａ_kλ⁺ａ_kλ ＋1/2)で与えられます。

そして量子論にとって重要な(正準)交換関係(canonical commutation relations)は調和振動子のそれ:[ａ_kλ,ａ_k'λ'⁺]＝δ_kk'δ_λλ',[ａ_kλ,ａ_k'λ']＝[ａ_kλ⁺,ａ_k'λ'⁺]＝0 です。

これらによって例えば[Ｈ_rad,Ａ]＝iｈ_cＥ_Tなる関係式を得ます。

そうして,ａ_kλ|ｎ_kλ＞＝ｎ_kλ^1/2|ｎ_kλ－1＞,ａ_kλ^＋|ｎ_kλ＞＝(ｎ_kλ＋1)^1/2|ｎ_kλ＋1＞です。

空洞内の場全体の個々の状態は,モード(ｋ₁,λ₁),(ｋ₂,λ₂),(ｋ₃,λ₃)..(ただしλ₁＝λ₂＝λ₃＝..＝1,2)の作る完全系に対して,個数演算子ｎ^_kiλi≡ａ_kiλi^＋ａ_kiλiの固有値ｎ_kiλiで与えられる励起光子数の順列:ｎ_k1λ1,ｎ_k2λ2,ｎ_k3λ3..によって指定されます。

すなわち,ある順序を指定した空洞モードについて,規格化された個数表示の固有状態ベクトル|ｎ_k1,λ1,ｎ_k2,λ2,ｎ_k3,λ3..＞＝|ｎ_k1λ1＞|ｎ_k2λ2＞|ｎ_k3λ3＞..の全体から成る集合が電磁場の状態の完全系を張ると考えるわけです。

以下では,この状態の個々の基底ベクトルを|{ｎ_k,λ}＞と略記することにします。

こうした量子化の手続きを個数量子化,第２量子化,あるいは場の量子化といいます。

切りがいいので今日はここまでにします。

参考文献:R.Loudon 著(小島忠宣,小島和子 共訳)「光の量子論(第２版)」(内田老鶴圃),J.D.Bjorken and S.D.Drell「Relativistic Quantum Field」(McGraw-Hill Book Company)

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