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2007年12月15日 (土)

ヤングの干渉実験(4)(量子論)

ヤングの干渉実験(Young's experiment)の量子論の続きです。

電磁場(,t)の生成消滅演算子akλ+,akλによる陽なフーリエ(Fourier)展開の表現(,t)=Σk{hc/(ε0Vωk)}1/2εkλ[akλexp(-iωkt+ikr)+akλ+exp(iωkt-ikr)]とakλ+,akλの交換関係[akλ,ak'λ'+]=δkk'δλλ',[akλ,ak'λ']=[akλ+,ak'λ'+]=0 から,場の演算子や場の強さの演算子の様々な同時刻交換関係を計算することができます。

具体的計算の詳細を省略して結果だけ書きます。

 

まず,[ETi(,t),Aj(',t)]={ih/(2ε0V)}Σλ=12Σkεkiεkλj[exp{i(')}+exp{-i(')}]です。

 

ここでΣλ=12εkλiεkλj=δij(kij/k2)であり,しかも有限体積Vについての-空間での総和ΣkはV→ ∞では{V/(2π)3}∫dとなるので,結局[ETi(,t),Aj(',t)]=[ih/{ε0(2π)3}]∫dij-(kij/k2)}exp{i(')}となります。

右辺は積分を実行すると特異になり,初等関数では表現できません。そしてこの表式によれば,一般に(,t)=T(,t)+L(,t)をT(,t)と可換なベクトル場とするとき,∫d'[T(,t),(',t)(',t)]=(ih/ε0)T(,t)となります。

また,[ETi(,t),ETj(',t)]=[Bi(,t),Bj(',t)]=[Ai(,t),Aj(',t)]=[Bi(,t),Aj(',t)]=0 です。

 

さらに,[ETi(,t),Bj(',t)]=εijk[h/{ε0(2π)3}]∫dkexp{i(')}となります。

 

εijkはレヴィ・チビタ(Levi-Civita)の反対称テンソルの記号です。

次に,状態ベクトル|nk1λ1,nk2λ2,nk3λ3..>=|nk1λ1>|nk2λ2>|nk3λ3>..=|{nkλ}>において,nk1λ1=nk2λ2=nk3λ3=..=0 なる状態を想定してこれを場の真空状態と呼ぶことにします。

 

この状態は励起状態ではないにも関わらず,全エネルギーがゼロではないという興味深い性質を持っています。

つまり,状態|{nkλ}>に対するrad=Σk[hcωk(akλ+kλ+1/2)]のエネルギー固有値はε{nkλ}=Σkεkλ=Σk[hcωk(nkλ+1/2)]ですから,nk1λ1=nk2λ2=nk3λ3=..=0 なる真空状態の全エネルギーはε0=Σk(hcωk/2)となりゼロではなく無限大です。

 

このε0を零点エネルギーと呼びます。

しかし,幸いなことに実験と比較される理論的な量は真空状態からの差で与えられ,それらは有限な値なので零点エネルギーが無限大であっても大して困らないことがわかっています。

 

すなわち,例えば実際のエネルギーの観測値はε{nk,λ}-ε0≡Σkkλcωkで与えられることになります。

ここで,特定のモード,λのみを持つ電磁場に着目します。

 

この条件下では電場,磁場はスカラーで表現できます。

 

このとき光波の古典論では,これは複素電場E(,t)=E0exp(ikr-iωt+iφ)で表現されますが,たった今与えた量子論での実電場表現に対応するものはE(,t)=(E0/2){exp(-iωt+ikr+iφ)+exp(iωt-ikr-iφ)}です。

量子力学においてもこうした古典論に類似した表現方法を実行する場合には,位相概念をとり入れる必要があります。

 

量子論での単一モードの電場演算子は先に与えたk=i{hcωk/(ε0V)}1/2Σεkεkλ[akλexp(-iωkt+ikr)-akλ+exp(iωkt-ikr)]によって,E(,t)=i{hcω/(ε0V)}1/2[aexp(-iωt+ikr)-a+exp(iωt-ikr)]です。

これと古典論の表示との対比から量子論の消滅演算子aは規格化因子を除けば古典論の極限で位相因子:exp(iφ)に比例する量であると想像されます。

 

そして演算子としてaa+=a+a+1=n^+1 (n^はエルミート)なる等式が成立するので形式的にa≡(n^+1)1/2exp^(iφ)と定義すれば,exp^(-iφ)≡exp^(iφ)+と定義するとき,a+=exp^(-iφ)(n^+1)1/2となります。

 

これらはexp^(iφ)=(n^+1)-1/2a,exp^(-iφ)=a+(n^+1)-1/2と同等で,exp^(iφ)exp^(-iφ)=1が成立します。

しかし,exp^(-iφ)exp^(iφ)=1は成立しません。それ故,exp^(iφ)はあるエルミートな位相演算子:φ^の指数関数と同一視することはできません。

 

その意味で,exp(iφ^)と表記せず,exp^(iφ)と表記したわけです。

exp^(iφ)|n>=(n^+1)-1/21/2|n-1>ですから,n≠0 ならexp^(iφ)|n>=|n-1>,n=0 ならexp^(iφ)|n>=0 です。

 

同様にexp^(-iφ)|n>=|n+1>です。

 

そこで,演算子exp^(iφ)とexp^(-iφ)のゼロではない行列要素は<n-1|exp^(iφ)|n>=1(n≠0),および<n+1|exp^(iφ)|n>=1のみです。

これら,exp^(iφ),exp^(-iφ)は先に述べたようにエルミート演算子ではありません。

 

しかし,形式的三角関数:cos^φ≡(1/2){exp^(iφ)+exp^(-iφ)},sin^φ≡(-i/2){exp^(iφ)-exp^(-iφ)}を作ると,これらはエルミートです。

 

そしてこれらの演算子のゼロでない行列要素は<n-1|cos^φ|n>=<n|cos^φ|n-1>=1/2,<n-1|sin^φ|n>=-<n|sin^φ|n-1>=-i/2 のみです。

 

演算子cos^φ,sin^φはエルミートなので,これらを位相と関連した観測可能な物理量として採用することができます。

そうして,[cos^φ,sin^φ]={a+(n^+1)-1a-1}/(2i)と書けます。それ故,[cos^φ,sin^φ]の行列要素のうちでゼロでないものは<0|[cos^φ,sin^φ]|0>=-1/(2i)のみです。

 

また,交換関係:[n^,a]=-a,[n^,a]=aを用いると,[n^,cos^φ]=-isin^φ,かつ[n^,sin^φ]=icos^φが成立することがわかります。

したがって,個数演算子n^と位相演算子は可換ではなく,これらの演算子が同時に固有状態となるような輻射場の状態を作ることは原理的には不可能である,ということになります。

 

すなわち,不確定性関係としてΔnΔcosφ≧(1/2)|<sin^φ>|,ΔnΔsinφ≧(1/2)|<cos^φ>|が成立します。

例えば単一モードの1個の光子が確定した位相を持つことは不可能です。正確にn個の光子が励起されている単一モードの個数状態はその電磁場に伴なう調和振動子のエネルギー固有状態です。

 

個数状態はそのモードに関する非常に便利な完全系を作っていて,それはまた簡単な性質を有しています。

実際の光源では生成される電磁場は光子数が一定ではないので,通常はこうした個数確定の状態は実験の解釈にとって直接重要ではありませんが,以下,簡単に個数状態の特徴を述べておきます。

|n>に対しては明らかにΔn=0 です。そして<n|cos^φ|n>=<n|sin^φ|n>=0 で<n|cos^2φ|n>=<n|sin^2φ|n>=1/2(n≠0),1/4(n=0)です。そこでΔcosφ=Δcosφ=(1/2)1/2(n≠0),1/2(n=0)です。

 

また,電場とその2乗期待値はE=i{hcω/(ε0V)}1/2[aexp(-iωt+ikr)-aexp(iωt-ikr)]より,<n|E|n>=0 ,<n|E2|n>={hcω/(ε0V)}(n+1/2)になります。

 

したがって電場の根平均2乗偏差はΔE={hcω/(ε0V)}1/2(n+1/2)1/2です。

古典論ではE(,t)=(E0/2){exp(-iωt+ikr+iφ)+exp(iωt-ikr-iφ)}=E0cos(ωt-kr-φ)なので,<E2c=E02/2ですから対応原理によって,量子論でのn光子個数状態:|n>の電磁波は振幅がE0={2hcω/(ε0V)}1/2(n+1/2)1/2の古典波に相当することがわかります。

単一モードの状態で物理的に重要なのは,個々の個数状態ではなくそれら個数状態|n>の1次結合,重ね合わせで与えられる状態です。

 

可能な重ね合わせ状態は無数にありますが,特に重要なのは次に定義されるコヒーレント状態(coherent state)と呼ばれるものです。

すなわち,|α>≡exp(-|α|2/2)Σnn/(n!)1/2}|n>で定義される状態をコヒーレント状態と呼びます。この定義でのαは一般に複素数でコヒーレント状態はαの実部と虚部の値の連続的な範囲で2重に連続な状態です。

 

容易にわかるように<α|α>=exp(-|α|2n{|α|2n/(n!)}=1が成立しますから|α>は規格化されています。

しかし,2つの異なる複素数α,βに対して<α|β>=exp(-|α|2/2-|β|2/2+α*β)となるので,2つの状態は直交しません。

 

かくして,全ての|α>が独立であるというわけでははなく,個数状態:|n>よりもコヒーレント状態|α>の方がはるかに数が多いということがわかります。

 

つまり,集合{|α>}は調和振動子に対する状態の超完全系を作っていて直交性がありません。

 

しかし,|<α|β>|2=exp(-|α|2-|β|2)となるので|α-β|>>1のときには|α>と|β>は近似的に直交しています。

コヒーレント状態|α>に対し,a|α>=exp(-|α|2/2)Σnn/(n!)1/2}n!1/2|n-1>=α|α>が成立するので,|α>は消滅演算子aの固有値αに属する固有状態となっています。しかし,コヒーレント状態|α>は生成演算子a+の固有状態ではありません。

 

また,|n>=(n!)-1/2(a+)n|0>なる表現を用いると|α>=exp(-|α|2/2)Σnn/(n!)1/2}|n>=exp(αa-|α|2/2)|0>=exp(αa-α*a)|0>とも書けます。

次にコヒーレント状態の性質を挙げます。 

まず,<n>=<α|n^|α>=|α|2です。一方,<n2>=<α|n^2|α>=|α|4+|α|2ですから,根平均2乗偏差はΔn=[<n2>-|<n>|2]1/2=|α|=|<n>|1/2と書けます。

 

つまり,複素数αに対応するコヒーレント状態|α>の平均光子数は|α|2であり,不確定さは平均光子数の平方根に等しいわけです。そこでこの空洞モードでの不確定さの比率(ratio)はΔn/|<n>|=1/|α|=1/|<n>|1/2となります。

 

これは光子数の不確定さの度合いが,"光子数の増加=励起の増大"と共に減少していくことを示しています。

そして,コヒーレント状態|α>における観測において実際にn個の特定の光子数が見出される確率は|<n|α>|2=exp(-|α|2){|α|2n/n!)となります。

 

これは光子数の平均値|α|2のまわりのポアソン分布を示しており,コヒーレント状態は確率的には非常に有りそうな状態であることがわかります。

コヒーレント状態|α>における位相演算子の期待値はα=|α|exp(iθ)のとき,<α|cos^φ|α>=|α|cosθexp(-|α|2n[|α|2n/{n!(n+1)1/2}] ~ cosθ{1-1/(8|α|2)+..}(|α|2>>1),

 

<α|cos^2φ|α>=1/2-(1/4)exp(-|α|2)+|α|2(cos2θ-1/2) exp(-|α|2n[|α|2n/{n!(n+1)1/2(n+2)1/2}]~ cos2θ-(cos2θ-1/2)/(2|α|2)-.. (|α|2>>1)となります。

 

故に(Δcosφ)2 ~ (1-cos2θ)/(4|α|2)={sinθ/(2|α|)}2,すなわち,Δcosφ ~ sinθ/(2|α|)(|α|2>>1)です。

それ故,コヒーレント状態|α>での不確定性関係は平均光子数が大きいとき,つまり|α|2>>1のとき,ΔnΔcosφ ~ sinθ/2 (|α|2>>1)となります。

 

一方,<α|sin^φ|α> ~ sinθ(|α|2>>1)ですから,ΔnΔcosφ=(1/2)<α|sin^φ|α>=(1/2)|<sin^φ>|が成立しています。

 

これはコヒーレント状態が先に与えた不確定性原理のΔnΔcosφ≧(1/2)|<sin^φ>|で許される不確定積の最小値を取る場合に相当しており,古典的に最もコヒーレント(coherent:可干渉)な状態に対応していることを示しています。

コヒーレント状態|α>での電場演算子:E=i{hcω/(ε0V)}1/2[aexp(-iωt+ikr)-a+exp(iωt-ikr)]の期待値は<α|E|α>=-2{hcω/(ε0V)}1/2|α|sin(ωt-kr+θ),また<α|E2|α>={hcω/(ε0V)}[4|α|2sin2(ωt-kr+θ)+1]です。

 

それ故,電場の根2乗平均偏差はΔE={hcω/(ε0V)}1/2です。

<α|E|α>=-2{hcω/(ε0V)}1/2|α|sin(ωt-kr+θ)=2{hcω/(ε0V)}1/2|α|cos(ωt-kr+θ+π/2)を古典論のE=E0cos(ωt-kr-φ)と比較すると,E0=2{hcω/(ε0V)}1/2|α|なる古典波に相当することがわかります。

 

そしてθをθ=-π/2と取れば<α|E|α>=2{hcω/(ε0V)}1/2|α|cos(ωt-kr)=E0cos(ωt-kr)となりα=|α|exp(iθ)=-i|α|です。

これまでは空洞内の輻射場の量子状態が状態の完全系の1次結合として表現される,いわゆる純粋状態として表現される場合のみを考察してきましたが,一般にカオス光源から出た光ビームの電場は古典論では一定の振幅と位相の古典的安定波ではなく,これらが特定の値を持つ確率のテーブルによって指定され得るのみです。

 

この状況は量子論でも同様で,カオス光源の性格上,輻射された場の状態の明確な予測は不可能であり,確率的既述のみが可能です。

 

こうした情報の欠如のために確率的性格を持つ量子状態は統計的混合状態と呼ばれます。

すなわち,カオス光源によって発生する光では場の状態が純粋状態|R>にある既知確率がPRで与えられるような空洞輻射場であると設定されます。

 

これの例としてはプランクの黒体輻射の法則を導く段階で,熱励起された光子がエネルギーEn=hcω(n+1/2)を持つ状態|n>にある確率がPn=exp{-En/(kBT)}/[Σnexp{-En/(kBT)}]で与えられるとされるケースがあります。

 

このPnは混合状態を指定する確率PRの1例です。

状態間がエンタングルしていない混合状態では,量子力学の観測量Oの期待値は集団平均として<O>=ΣRR<R|O|R>;ΣRR=1で与えられますが,完全系を{|S>}として右辺に等式1=ΣS|S><S|を挿入すれば<O>=ΣRΣSR<S|R><R|O|S>=Tr(ρO)となります。

ここで"密度演算子=密度行列 or 統計作用素"をρ≡ΣRR|R><R|で定義しました。

 

さらに"物理量=エルミート演算子X"の"対角和=トレース(trace or spur)"ΣS<S|X|S>に対する表記として一般的な記号Tr(X)を用いました。

 

Tr(X)=ΣS<S|X|S>=ΣT<T|X|T>であり,対角和の値は完全系{|S>},{|T>}の選択に依らないことは簡単にわかります。

また,Tr(ρ)=1でTr(ρ2)=ΣRR2≦(ΣRR)2=1より,Tr(ρ)≦1ですが,特に確率がPR=1で完全に状態|R>にある純粋状態では,ρ=|R><R|なのでρ2=ρですから,純粋状態ならTr(ρ2)=1です。

完全系を個数状態{|n>}に取ってρ=Σnn|n><n|とし,確率PnをPn=exp{-nhcω/(kBT)}/[Σnexp{-nhcω/(kBT)}]で与えると,ρ=[1-exp{-hcω/(kBT)}]/[Σnexp{-nhcω/(kBT)}]|n><n|となります。

 

そして平均光子数<n>はO=n^=a+aの期待値ですから,<n>=Tr(ρa+a)ですが,これを用いるとρ=Σnn|n><n|=Σn[<n>n/(1+<n>)n+1]|n><n|,あるいはρ=[1-exp{-hcω/(kBT)}]exp{-hcωa+a/(kBT)}と書けます。

単一モードではなくて全モードの完全系{|{nkλ}k>}を考えた一般的な場合なら,密度演算子はρ=Σ{nkλ}{nkλ}|{nkλ}><{nkλ}|となり,確率はP{nkλ}=Πk[<nkλkλ/(1+<nkλ>)kλ+1]です。熱励起の空洞輻射の場合なら<nkλ>は<nkλ>=1/[exp{hcωk/(kBT)}-1]と陽に表現できます。

これらは熱励起の空洞輻射現象に限らず,統計的性質が適当にランダムである広範な励起光子の現象にも当てはまります。

 

したがってカオス光源から発生した光ビームの場合であっても,上述の混合状態での密度行列ρの表現を採用できます。

そして,<nkλ>ωkの大きさをωkに関しての分布がローレンツ型の依存性を持つように取れば,ρ=Σ{nkλ}Πk[<nkλkλ/(1+<nkλ>)kλ+1]|{nkλ}><{nkλ}|はカオス光源から出たローレンツ型周波数分布の光ビームに対する正しい密度演算子になります。

カオス光と結びついた型の光子のランダムな励起に対しては,ρ=Σn[<n>n/(1+<n>)n+1]|n><n|なる単一モードの密度演算子は光子数(励起準位)のゆらぎの時間尺度について何の情報も与えません。

 

しかし,一般に実験的な平均はゆらぎの時間尺度に比べて十分長い時間にわたる一連の測定結果に従って計算する必要があります。

"2個=1対"の空洞モードを持つ同じ偏りの2個の光子の電場は古典的には,進行方向をz軸の正の向きに取ればE(z,t)=E1exp(ik1z-iω1t)+E2exp(ik2z-iω2t)ですが,これに類似の2光子モードの量子力学的記述は密度演算子ρ=|α1>|α2><α2|<α1|を持つ純粋状態です。

今日はここで終わります。 

参考文献:R.Loudon 著(小島忠宣,小島和子 共訳)「光の量子論(第2版)」(内田老鶴圃)

   

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