ヤングの干渉実験(4)(量子論)

ヤングの干渉実験(Young's experiment)の量子論の続きです。

電磁場Ａ(ｒ,ｔ)の生成消滅演算子ａ_kλ⁺,ａ_kλによる陽なフーリエ(Fourier)展開の表現Ａ(ｒ,ｔ)＝Σ_k,λ{ｈ_c/(ε₀Ｖω_k)}^1/2ε_kλ[ａ_kλexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)＋ａ_kλ⁺exp(iω_kｔ－iｋｒ)]とａ_kλ⁺,ａ_kλの交換関係[ａ_kλ,ａ_k'λ'⁺]＝δ_kk'δ_λλ',[ａ_kλ,ａ_k'λ']＝[ａ_kλ⁺,ａ_k'λ'⁺]＝0 から,場の演算子や場の強さの演算子の様々な同時刻交換関係を計算することができます。

具体的計算の詳細を省略して結果だけ書きます。

まず,[Ｅ_Tⁱ(ｒ,ｔ),Ａ^j(ｒ',ｔ)]＝{iｈ/(2ε₀Ｖ)}Σ_λ=1²Σ_kε_k,λⁱε_kλ^j[exp{iｋ(ｒ－ｒ')}＋exp{－iｋ(ｒ－ｒ')}]です。

ここでΣ_λ=1²ε_kλⁱε_kλ^j＝δ^ij－(ｋⁱｋ^j/ｋ²)であり,しかも有限体積Ｖについてのｋ-空間での総和Σ_kはＶ→ ∞では{Ｖ/(2π)³}∫ｄｋとなるので,結局[Ｅ_Tⁱ(ｒ,ｔ),Ａ^j(ｒ',ｔ)]＝[iｈ/{ε₀(2π)³}]∫ｄｋ{δ^ij－(ｋⁱｋ^j/ｋ²)}exp{iｋ(ｒ－ｒ')}となります。

右辺は積分を実行すると特異になり,初等関数では表現できません。そしてこの表式によれば,一般にＶ(ｒ,ｔ)＝Ｖ_T(ｒ,ｔ)＋Ｖ_L(ｒ,ｔ)をＥ_T(ｒ,ｔ)と可換なベクトル場とするとき,∫ｄｒ'[Ｅ_T(ｒ,ｔ),Ｖ(ｒ',ｔ)Ａ(ｒ',ｔ)]＝(iｈ/ε₀)Ｖ_T(ｒ,ｔ)となります。

また,[Ｅ_Tⁱ(ｒ,ｔ),Ｅ_T^j(ｒ',ｔ)]＝[Ｂⁱ(ｒ,ｔ),Ｂ^j(ｒ',ｔ)]＝[Ａⁱ(ｒ,ｔ),Ａ^j(ｒ',ｔ)]＝[Ｂⁱ(ｒ,ｔ),Ａ^j(ｒ',ｔ)]＝0 です。

さらに,[Ｅ_Tⁱ(ｒ,ｔ),Ｂ^j(ｒ',ｔ)]＝ε^ijk[ｈ/{ε₀(2π)³}]∫ｄｋｋ^kexp{iｋ(ｒ－ｒ')}となります。

ε^ijkはレヴィ・チビタ(Levi-Civita)の反対称テンソルの記号です。

次に,状態ベクトル|ｎ_k1λ1,ｎ_k2λ2,ｎ_k3λ3..＞＝|ｎ_k1λ1＞|ｎ_k2λ2＞|ｎ_k3λ3＞..＝|{ｎ_kλ}＞において,ｎ_k1λ1＝ｎ_k2λ2＝ｎ_k3λ3＝..＝0 なる状態を想定してこれを場の真空状態と呼ぶことにします。

この状態は励起状態ではないにも関わらず,全エネルギーがゼロではないという興味深い性質を持っています。

つまり,状態|{ｎ_kλ}＞に対するＨ_rad＝Σ_k,λ[ｈ_cω_k(ａ_kλ⁺ａ_kλ＋1/2)]のエネルギー固有値はε_{ｎkλ}＝Σ_k,λε_kλ＝Σ_k,λ[ｈ_cω_k(ｎ_kλ＋1/2)]ですから,ｎ_k1λ1＝ｎ_k2λ2＝ｎ_k3λ3＝..＝0 なる真空状態の全エネルギーはε₀＝Σ_k,λ(ｈ_cω_k/2)となりゼロではなく無限大です。

このε₀を零点エネルギーと呼びます。

しかし,幸いなことに実験と比較される理論的な量は真空状態からの差で与えられ,それらは有限な値なので零点エネルギーが無限大であっても大して困らないことがわかっています。

すなわち,例えば実際のエネルギーの観測値はε_{ｎk,λ}－ε₀≡Σ_k,λｎ_kλｈ_cω_kで与えられることになります。

ここで,特定のモードｋ,λのみを持つ電磁場に着目します。

この条件下では電場,磁場はスカラーで表現できます。

このとき光波の古典論では,これは複素電場Ｅ(ｒ,ｔ)＝Ｅ₀exp(iｋｒ－iωｔ＋iφ)で表現されますが,たった今与えた量子論での実電場表現に対応するものはＥ(ｒ,ｔ)＝(Ｅ₀/2){exp(－iωｔ＋iｋｒ＋iφ)＋exp(iωｔ－iｋｒ－iφ)}です。

量子力学においてもこうした古典論に類似した表現方法を実行する場合には,位相概念をとり入れる必要があります。

量子論での単一モードの電場演算子は先に与えたＥ_k＝i{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2Σ_εkε_kλ[ａ_kλexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)－ａ_kλ⁺exp(iω_kｔ－iｋｒ)]によって,Ｅ(ｒ,ｔ)＝i{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2[ａexp(－iωｔ＋iｋｒ)－ａ⁺exp(iωｔ－iｋｒ)]です。

これと古典論の表示との対比から量子論の消滅演算子ａは規格化因子を除けば古典論の極限で位相因子:exp(iφ)に比例する量であると想像されます。

そして演算子としてａａ⁺＝ａ⁺ａ＋1＝ｎ＾＋1 (ｎ^はエルミート)なる等式が成立するので形式的にａ≡(ｎ^＋1)^1/2exp^(iφ)と定義すれば,exp^(－iφ)≡exp^(iφ)⁺と定義するとき,ａ⁺＝exp^(－iφ)(ｎ^＋1)^1/2となります。

これらはexp^(iφ)＝(ｎ^＋1)^-1/2ａ,exp^(－iφ)＝ａ⁺(ｎ^＋1)^-1/2と同等で,exp^(iφ)exp^(－iφ)＝1が成立します。

しかし,exp^(－iφ)exp^(iφ)＝１は成立しません。それ故,exp^(iφ)はあるエルミートな位相演算子:φ^の指数関数と同一視することはできません。

その意味で,exp(iφ^)と表記せず,exp^(iφ)と表記したわけです。

exp^(iφ)|ｎ＞＝(ｎ^＋1)^-1/2ｎ^1/2|ｎ－1＞ですから,ｎ≠0 ならexp^(iφ)|ｎ＞＝|ｎ－1＞,ｎ＝0 ならexp^(iφ)|ｎ＞＝0 です。

同様にexp^(－iφ)|ｎ＞＝|ｎ＋1＞です。

そこで,演算子exp^(iφ)とexp^(－iφ)のゼロではない行列要素は＜ｎ－1｜exp^(iφ)|ｎ＞＝1(ｎ≠0),および＜ｎ＋1｜exp^(iφ)|ｎ＞＝1のみです。

これら,exp^(iφ),exp^(－iφ)は先に述べたようにエルミート演算子ではありません。

しかし,形式的三角関数:cos^φ≡(1/2){exp^(iφ)＋exp^(－iφ)},sin^φ≡(－i/2){exp^(iφ)－exp^(－iφ)}を作ると,これらはエルミートです。

そしてこれらの演算子のゼロでない行列要素は＜ｎ－1｜cos^φ|ｎ＞＝＜ｎ｜cos^φ|ｎ－1＞＝1/2,＜ｎ－1｜sin^φ|ｎ＞＝－＜ｎ｜sin^φ|ｎ－1＞＝－i/2 のみです。

演算子cos^φ,sin^φはエルミートなので,これらを位相と関連した観測可能な物理量として採用することができます。

そうして,[cos^φ,sin^φ]＝{ａ⁺(ｎ^＋1)^-1ａ－1}/(2i)と書けます。それ故,[cos^φ,sin^φ]の行列要素のうちでゼロでないものは＜0|[cos^φ,sin^φ]|0＞＝－1/(2i)のみです。

また,交換関係:[ｎ^,ａ]＝－ａ,[ｎ^,ａ^＋]＝ａ^＋を用いると,[ｎ^,cos^φ]＝－isin^φ,かつ[ｎ^,sin^φ]＝icos^φが成立することがわかります。

したがって,個数演算子ｎ^と位相演算子は可換ではなく,これらの演算子が同時に固有状態となるような輻射場の状態を作ることは原理的には不可能である,ということになります。

すなわち,不確定性関係としてΔｎΔcosφ≧(1/2)|＜sin^φ＞|,ΔｎΔsinφ≧(1/2)|＜cos^φ＞|が成立します。

例えば単一モードの１個の光子が確定した位相を持つことは不可能です。正確にｎ個の光子が励起されている単一モードの個数状態はその電磁場に伴なう調和振動子のエネルギー固有状態です。

個数状態はそのモードに関する非常に便利な完全系を作っていて,それはまた簡単な性質を有しています。

実際の光源では生成される電磁場は光子数が一定ではないので,通常はこうした個数確定の状態は実験の解釈にとって直接重要ではありませんが,以下,簡単に個数状態の特徴を述べておきます。

|ｎ＞に対しては明らかにΔｎ＝0 です。そして＜ｎ|cos^φ|ｎ＞＝＜ｎ|sin^φ|ｎ＞＝0 で＜ｎ|cos^²φ|ｎ＞＝＜ｎ|sin^²φ|ｎ＞＝1/2(ｎ≠0),1/4(ｎ＝0)です。そこでΔcosφ＝Δcosφ＝(1/2)^1/2(ｎ≠0),1/2(ｎ＝0)です。

また,電場とその２乗期待値はＥ＝i{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2[ａexp(－iωｔ＋iｋｒ)－ａ^＋exp(iωｔ－iｋｒ)]より,＜ｎ|Ｅ|ｎ＞＝0 ,＜ｎ|Ｅ²|ｎ＞＝{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}(ｎ＋1/2)になります。

したがって電場の根平均２乗偏差はΔＥ＝{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2(ｎ＋1/2)^1/2です。

古典論ではＥ(ｒ,ｔ)＝(Ｅ₀/2){exp(－iωｔ＋iｋｒ＋iφ)＋exp(iωｔ－iｋｒ－iφ)}＝Ｅ₀cos(ωｔ－ｋｒ－φ)なので,＜Ｅ²＞_c＝Ｅ₀²/2ですから対応原理によって,量子論でのｎ光子個数状態:|ｎ＞の電磁波は振幅がＥ₀＝{2ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2(ｎ＋1/2)^1/2の古典波に相当することがわかります。

単一モードの状態で物理的に重要なのは,個々の個数状態ではなくそれら個数状態|ｎ＞の１次結合,重ね合わせで与えられる状態です。

可能な重ね合わせ状態は無数にありますが,特に重要なのは次に定義されるコヒーレント状態(coherent state)と呼ばれるものです。

すなわち,|α＞≡exp(－|α|²/2)Σ_n{αⁿ/(ｎ!)^1/2}|ｎ＞で定義される状態をコヒーレント状態と呼びます。この定義でのαは一般に複素数でコヒーレント状態はαの実部と虚部の値の連続的な範囲で２重に連続な状態です。

容易にわかるように＜α|α＞＝exp(－|α|²)Σ_n{|α|²ⁿ/(ｎ!)}＝1が成立しますから|α＞は規格化されています。

しかし,２つの異なる複素数α,βに対して＜α|β＞＝exp(－|α|²/2－|β|²/2＋α^*β)となるので,２つの状態は直交しません。

かくして,全ての|α＞が独立であるというわけでははなく,個数状態:|ｎ＞よりもコヒーレント状態|α＞の方がはるかに数が多いということがわかります。

つまり,集合{|α＞}は調和振動子に対する状態の超完全系を作っていて直交性がありません。

しかし,|＜α|β＞|²＝exp(－|α|²－|β|²)となるので|α－β|＞＞1のときには|α＞と|β＞は近似的に直交しています。

コヒーレント状態|α＞に対し,ａ|α＞＝exp(－|α|²/2)Σ_n{αⁿ/(ｎ!)^1/2}ｎ!^1/2|ｎ－1＞＝α|α＞が成立するので,|α＞は消滅演算子ａの固有値αに属する固有状態となっています。しかし,コヒーレント状態|α＞は生成演算子ａ⁺の固有状態ではありません。

また,|ｎ＞＝(ｎ!)^-1/2(ａ⁺)ⁿ|0＞なる表現を用いると|α＞＝exp(－|α|²/2)Σ_n{αⁿ/(ｎ!)^1/2}|ｎ＞＝exp(αａ^＋－|α|²/2)|0＞＝exp(αａ^＋－α^*ａ)|0＞とも書けます。

次にコヒーレント状態の性質を挙げます。 

まず,＜ｎ＞＝＜α|ｎ^|α＞＝|α|²です。一方,＜ｎ²＞＝＜α|ｎ^²|α＞＝|α|⁴＋|α|²ですから,根平均２乗偏差はΔｎ＝[＜ｎ²＞－|＜ｎ＞|²]^1/2＝|α|＝|＜ｎ＞|^1/2と書けます。

つまり,複素数αに対応するコヒーレント状態|α＞の平均光子数は|α|²であり,不確定さは平均光子数の平方根に等しいわけです。そこでこの空洞モードでの不確定さの比率(ratio)はΔｎ/|＜ｎ＞|＝1/|α|＝1/|＜ｎ＞|^1/2となります。

これは光子数の不確定さの度合いが,"光子数の増加＝励起の増大"と共に減少していくことを示しています。

そして,コヒーレント状態|α＞における観測において実際にｎ個の特定の光子数が見出される確率は|＜ｎ|α＞|²＝exp(－|α|²){|α|²ⁿ/ｎ!)となります。

これは光子数の平均値|α|²のまわりのポアソン分布を示しており,コヒーレント状態は確率的には非常に有りそうな状態であることがわかります。

コヒーレント状態|α＞における位相演算子の期待値はα＝|α|exp(iθ)のとき,＜α|cos^φ|α＞＝|α|cosθexp(－|α|²)Σ_n[|α|²ⁿ/{ｎ!(ｎ＋1)^1/2}] ～ cosθ{1－1/(8|α|²)＋..}(|α|²＞＞1),

＜α|cos^²φ|α＞＝1/2－(1/4)exp(－|α|²)＋|α|²(cos²θ－1/2) exp(－|α|²)Σ_n[|α|²ⁿ/{ｎ!(ｎ＋1)^1/2(ｎ＋2)^1/2}]～ cos²θ－(cos²θ－1/2)/(2|α|²)－.. (|α|²＞＞1)となります。

故に(Δcosφ)² ～ (1－cos²θ)/(4|α|²)＝{sinθ/(2|α|)}²,すなわち,Δcosφ ～ sinθ/(2|α|)(|α|²＞＞1)です。

それ故,コヒーレント状態|α＞での不確定性関係は平均光子数が大きいとき,つまり|α|²＞＞1のとき,ΔｎΔcosφ ～ sinθ/2 (|α|²＞＞1)となります。

一方,＜α|sin^φ|α＞ ～ sinθ(|α|²＞＞1)ですから,ΔｎΔcosφ＝(1/2)＜α|sin^φ|α＞＝(1/2)|＜sin^φ＞|が成立しています。

これはコヒーレント状態が先に与えた不確定性原理のΔｎΔcosφ≧(1/2)|＜sin^φ＞|で許される不確定積の最小値を取る場合に相当しており,古典的に最もコヒーレント(coherent:可干渉)な状態に対応していることを示しています。

コヒーレント状態|α＞での電場演算子:Ｅ＝i{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2[ａexp(－iωｔ＋iｋｒ)－ａ⁺exp(iωｔ－iｋｒ)]の期待値は＜α|Ｅ|α＞＝－2{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2|α|sin(ωｔ－ｋｒ＋θ),また＜α|Ｅ²|α＞＝{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}[4|α|²sin²(ωｔ－ｋｒ＋θ)＋1]です。

それ故,電場の根２乗平均偏差はΔＥ＝{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2です。

＜α|Ｅ|α＞＝－2{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2|α|sin(ωｔ－ｋｒ＋θ)＝2{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2|α|cos(ωｔ－ｋｒ＋θ＋π/2)を古典論のＥ＝Ｅ₀cos(ωｔ－ｋｒ－φ)と比較すると,Ｅ₀＝2{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2|α|なる古典波に相当することがわかります。

そしてθをθ＝－π/2と取れば＜α|Ｅ|α＞＝2{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2|α|cos(ωｔ－ｋｒ)＝Ｅ₀cos(ωｔ－ｋｒ)となりα＝|α|exp(iθ)＝－i|α|です。

これまでは空洞内の輻射場の量子状態が状態の完全系の１次結合として表現される,いわゆる純粋状態として表現される場合のみを考察してきましたが,一般にカオス光源から出た光ビームの電場は古典論では一定の振幅と位相の古典的安定波ではなく,これらが特定の値を持つ確率のテーブルによって指定され得るのみです。

この状況は量子論でも同様で,カオス光源の性格上,輻射された場の状態の明確な予測は不可能であり,確率的既述のみが可能です。

こうした情報の欠如のために確率的性格を持つ量子状態は統計的混合状態と呼ばれます。

すなわち,カオス光源によって発生する光では場の状態が純粋状態|Ｒ＞にある既知確率がＰ_Rで与えられるような空洞輻射場であると設定されます。

これの例としてはプランクの黒体輻射の法則を導く段階で,熱励起された光子がエネルギーＥ_n＝ｈ_cω(ｎ＋1/2)を持つ状態|ｎ＞にある確率がＰ_n＝exp{－Ｅ_n/(ｋ_BＴ)}/[Σ_nexp{－Ｅ_n/(ｋ_BＴ)}]で与えられるとされるケースがあります。

このＰ_nは混合状態を指定する確率Ｐ_Rの１例です。

状態間がエンタングルしていない混合状態では,量子力学の観測量Ｏの期待値は集団平均として＜Ｏ＞＝Σ_RＰ_R＜Ｒ|Ｏ|Ｒ＞;Σ_RＰ_R＝1で与えられますが,完全系を{|Ｓ＞}として右辺に等式1＝Σ_S|Ｓ＞＜Ｓ|を挿入すれば＜Ｏ＞＝Σ_RΣ_SＰ_R＜Ｓ|Ｒ＞＜Ｒ|Ｏ|Ｓ＞＝Ｔr(ρＯ)となります。

ここで"密度演算子＝密度行列 or 統計作用素"をρ≡Σ_RＰ_R|Ｒ＞＜Ｒ|で定義しました。

さらに"物理量＝エルミート演算子Ｘ"の"対角和＝トレース(trace or spur)"Σ_S＜Ｓ|Ｘ|Ｓ＞に対する表記として一般的な記号Ｔr(Ｘ)を用いました。

Ｔr(Ｘ)＝Σ_S＜Ｓ|Ｘ|Ｓ＞＝Σ_T＜Ｔ|Ｘ|Ｔ＞であり,対角和の値は完全系{|Ｓ＞},{|Ｔ＞}の選択に依らないことは簡単にわかります。

また,Ｔr(ρ)＝1でＴr(ρ²)＝Σ_RＰ_R²≦(Σ_RＰ_R)²＝1より,Ｔr(ρ)≦1ですが,特に確率がＰ_R＝1で完全に状態|Ｒ＞にある純粋状態では,ρ＝|Ｒ＞＜Ｒ|なのでρ²＝ρですから,純粋状態ならＴr(ρ²)＝1です。

完全系を個数状態{|ｎ＞}に取ってρ＝Σ_nＰ_n|ｎ＞＜ｎ|とし,確率Ｐ_nをＰ_n＝exp{－ｎｈ_cω/(ｋ_BＴ)}/[Σ_nexp{－ｎｈ_cω/(ｋ_BＴ)}]で与えると,ρ＝[1－exp{－ｈ_cω/(ｋ_BＴ)}]/[Σ_nexp{－ｎｈ_cω/(ｋ_BＴ)}]|ｎ＞＜ｎ|となります。

そして平均光子数＜ｎ＞はＯ＝ｎ＾＝ａ⁺ａの期待値ですから,＜ｎ＞＝Ｔr(ρａ⁺ａ)ですが,これを用いるとρ＝Σ_nＰ_n|ｎ＞＜ｎ|＝Σ_n[＜ｎ＞ⁿ/(1＋＜ｎ＞)ⁿ⁺¹]|ｎ＞＜ｎ|,あるいはρ＝[1－exp{－ｈ_cω/(ｋ_BＴ)}]exp{－ｈ_cωａ⁺ａ/(ｋ_BＴ)}と書けます。

単一モードではなくて全モードの完全系{|{ｎ_kλ}_k,λ＞}を考えた一般的な場合なら,密度演算子はρ＝Σ_{ｎkλ}Ｐ_{ｎkλ}|{ｎ_kλ}＞＜{ｎ_kλ}|となり,確率はＰ_{ｎkλ}＝Π_k,λ[＜ｎ_kλ＞^ｎkλ/(1＋＜ｎ_kλ＞)^ｎkλ+1]です。熱励起の空洞輻射の場合なら＜ｎ_kλ＞は＜ｎ_kλ＞＝1/[exp{ｈ_cω_k/(ｋ_BＴ)}－1]と陽に表現できます。

これらは熱励起の空洞輻射現象に限らず,統計的性質が適当にランダムである広範な励起光子の現象にも当てはまります。

したがってカオス光源から発生した光ビームの場合であっても,上述の混合状態での密度行列ρの表現を採用できます。

そして,＜ｎ_kλ＞ω_kの大きさをω_kに関しての分布がローレンツ型の依存性を持つように取れば,ρ＝Σ_{ｎkλ}Π_k,λ[＜ｎ_kλ＞^ｎkλ/(1＋＜ｎ_kλ＞)^ｎkλ+1]|{ｎ_kλ}＞＜{ｎ_kλ}|はカオス光源から出たローレンツ型周波数分布の光ビームに対する正しい密度演算子になります。

カオス光と結びついた型の光子のランダムな励起に対しては,ρ＝Σ_n[＜ｎ＞ⁿ/(1＋＜ｎ＞)ⁿ⁺¹]|ｎ＞＜ｎ|なる単一モードの密度演算子は光子数(励起準位)のゆらぎの時間尺度について何の情報も与えません。

しかし,一般に実験的な平均はゆらぎの時間尺度に比べて十分長い時間にわたる一連の測定結果に従って計算する必要があります。

"２個＝１対"の空洞モードを持つ同じ偏りの２個の光子の電場は古典的には,進行方向をｚ軸の正の向きに取ればＥ(ｚ,ｔ)＝Ｅ₁exp(iｋ₁ｚ－iω₁ｔ)＋Ｅ₂exp(iｋ₂ｚ－iω₂ｔ)ですが,これに類似の２光子モードの量子力学的記述は密度演算子ρ＝|α₁＞|α₂＞＜α₂|＜α₁|を持つ純粋状態です。

今日はここで終わります。 

参考文献:R.Loudon 著(小島忠宣,小島和子 共訳)「光の量子論(第２版)」(内田老鶴圃)

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