ヤングの干渉実験(5)(量子論)

ちょっと間があきましたが,光の干渉(Young's double-slit experiment)関連の続きです。

これまでは自由電磁場について述べてきましたが,完全な量子理論を得るためには原子と電磁場の相互作用の完全な議論を経由する必要があります。

原子番号がＺの重い原子核が座標原点に事実上静止していて,Ｚ個の電子が位置ｒ_j(ｊ＝1,2,..,Ｚ)にある中性原子を考えます。

このとき素電荷をｅ＞0 とすると,電荷密度ρと電流密度Ｊはρ(ｒ,ｔ)＝－Σ_j=1^Zｅδ(ｒ－ｒ_j(ｔ))＋Ｚｅδ(ｒ),Ｊ(ｒ,ｔ)＝－Σ_j=1^Zｅｖ_j(ｔ)δ(ｒ－ｒ_j(ｔ))；ｖ_j(ｔ)≡ｄｒ_j/ｄｔです。

ここでδ(ｒ－ｒ_j)はδ(ｒ－ｒ_j)＝{1/(2π)³}∫exp{iｋ(ｒ－ｒ_j)}ｄｋとフーリエ(Fourier)積分による表示もできます。

そして,今まで通りクーロンゲージ:∇Ａ(ｒ,ｔ)＝0 を採用するとスカラーポテンシャルはφ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}∫ｄｒ'ρ(ｒ',ｔ)/|ｒ－ｒ'|で与えられます。

そこで,これにρ(ｒ,ｔ)＝－Σ_j=1^Zｅδ(ｒ－ｒ_j(ｔ))＋Ｚｅδ(ｒ)を代入して,φ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}{－Σ_j=1^Z(ｅ/|ｒ－ｒ_j(ｔ)|)＋Ｚｅ/ｒ}となります。

一方,ベクトルポテンシャルはＡ(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(4π)}∫ｄｒ'Ｊ_T(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'| ;ｔ'≡ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃに,電流密度Ｊ(ｒ,ｔ)＝－Σ_j=1^Zｅｖ_j(ｔ)δ(ｒ－ｒ_j(ｔ)) ;ｖ_j(ｔ)≡ｄｒ_j/ｄｔの横成分Ｊ_T(ｒ,ｔ)を代入すれば得られるはずです。

ところで原子と電磁場の相互作用の記述には原子の電荷に関連した分極Ｐ(ｒ,ｔ)と磁化Ｍ(ｒ,ｔ)を用いた現象論的な表式を立てるのが都合がいいです。

すなわち,ρ(ｒ,ｔ)＝－∇Ｐ(ｒ,ｔ),Ｊ(ｒ,ｔ)＝ｄＰ(ｒ,ｔ)/ｄｔ＋∇×Ｍ(ｒ,ｔ)なる式を介して電荷密度や電流密度から逆に,これらの量を決定します。

一見してわかるように,これらを満たすＰ(ｒ,ｔ)とＭ(ｒ,ｔ)の解には任意性があります。

例えば,任意のベクトルは横成分と縦成分に分解できるのでρ(ｒ,ｔ)＝－∇Ｐ(ｒ,ｔ)からは∇Ｐ(ｒ,ｔ)の縦成分しか決まりません。

すなわち,ρ(ｒ,ｔ)＝－∇Ｐ_L(ｒ,ｔ)ですが,以前書いた式∇Ｅ_L＝ρ/ε₀と比較すると,定数の任意性を無視してＰ_L(ｒ,ｔ)＝ε₀Ｅ_L(ｒ,ｔ)です。

また,Ｊ(ｒ,ｔ)＝ｄＰ(ｒ,ｔ)/ｄｔ＋∇×Ｍ(ｒ,ｔ)からは,Ｍ(ｒ,ｔ)の縦成分が決まりません。そして,これらを満たすＰ(ｒ,ｔ),Ｍ(ｒ,ｔ)の横成分の選択にも幅があります。

ここで,ρ(ｒ,ｔ)＝－Σ_j=1^Zｅδ(ｒ－ｒ_j(ｔ))＋Ｚｅδ(ｒ),Ｊ(ｒ,ｔ)＝－Σ_j=1^Zｅｖ_j(ｔ)δ(ｒ－ｒ_j(ｔ))；ｖ_j(ｔ)≡ｄｒ_j/ｄｔを代入したρ(ｒ,ｔ)＝－∇Ｐ(ｒ,ｔ),Ｊ(ｒ,ｔ)＝ｄＰ(ｒ,ｔ)/ｄｔ＋∇×Ｍ(ｒ,ｔ)なる連立方程式に対して,次の形に書いたＰ(ｒ,ｔ),Ｍ(ｒ,ｔ)がその解になることを証明を省略して述べておきます。

すなわち,Ｐ(ｒ,ｔ)＝－ｅΣ_j=1^Zｒ_j(ｔ)∫₀¹ｄλδ(ｒ－λｒ_j(ｔ)),Ｍ(ｒ,ｔ)＝－ｅΣ_j=1^Zｒ_j(ｔ)×(ｄｒ_j/ｄｔ)∫₀¹ｄλλδ(ｒ－λｒ_j(ｔ))です。

解のこの積分形は便利であり相互作用エネルギーの多極展開がこれから導かれます。

すなわち,横電場Ｅ_T(ｒ,ｔ)の中にある原子のポテンシャルエネルギーをＶ_E(ｔ)とすると,Ｖ_E(ｔ)＝－∫Ｐ(ｒ,ｔ)Ｅ_T(ｒ,ｔ)ｄｒ＝ｅΣ_j=1^Z∫₀¹ｄλｒ_j(ｔ)Ｅ_T(λｒ_j(ｔ),ｔ)と書くことができます。

何故なら,静電場Ｅがあってその中に1つの双極子ｐがあるときの静電エネルギーＵはよく知られているように,Ｕ＝－ｐＥで,働く力はＦ＝－∇(ｐＥ)＝－(ｐ∇)Ｅですから,これはそれからのアナロジーです。

ところで,一般に任意のベクトルＶ(ｒ,ｔ)は,Ｖ(ｒ,ｔ)＝Ｖ_T(ｒ,ｔ)＋Ｖ_L(ｒ,ｔ);∇Ｖ_T(ｒ,ｔ)＝0 ,∇×Ｖ_L(ｒ,ｔ)＝0 と分割可能です。

Ｖ(ｒ,ｔ)＝{1/(2π)³}∫ｄｋＶ^(ｋ,ｔ)exp(iｋｒ),Ｖ_T(ｒ,ｔ)＝{1/(2π)³}∫ｄｋＶ^_T(ｋ,ｔ)exp(iｋｒ),Ｖ_L(ｒ,ｔ)＝{1/(2π)³}∫ｄｋＶ^_L(ｋ,ｔ)exp(iｋｒ)とフーリエ展開すると,Ｖ^(ｋ,ｔ)＝Ｖ^_T(ｋ,ｔ)＋Ｖ^_L(ｋ,ｔ);ｋＶ^_T(ｋ,ｔ)＝0 ,ｋ×Ｖ^_L(ｋ,ｔ)＝0 です。

そこでＶ^_T(ｋ,ｔ)≡Ａ(ｋ,ｔ)×ｋ,(ｋＡ(ｋ,ｔ)＝0),Ｖ^_L(ｋ,ｔ)≡Ｂ(ｋ,ｔ)ｋと置くと,Ａ(ｋ,ｔ)×ｋ＋Ｂ(ｋ,ｔ)ｋ＝Ｖ^(ｋ,ｔ)より,Ｂ(ｋ,ｔ)＝Ｖ^(ｋ,ｔ)/ｋ²,Ａ(ｋ,ｔ)＝ｋ×Ｖ^(ｋ,ｔ)/ｋ²。

すなわち,Ｖ_T(ｒ,ｔ)＝{1/(2π)³}∫ｄｋ[({ｋ×Ｖ^(ｋ,ｔ)}×ｋ)/ｋ²]exp(iｋｒ),Ｖ_L(ｒ,ｔ)＝{1/(2π)³}∫ｄｋ[({Ｖ^(ｋ,ｔ)ｋ}ｋ)/ｋ²]exp(iｋｒ)と書けます。

これを用いると,任意の２つのベクトル場Ｖ(ｒ,ｔ)とＷ(ｒ,ｔ)に対して∫Ｖ_T(ｒ,ｔ)Ｗ_L(ｒ,ｔ)ｄｒ＝{1/(2π)³}∫ｄｋ[({ｋ×Ｖ^(ｋ,ｔ)}×ｋ)({Ｗ^(－ｋ,ｔ)ｋ}ｋ)/ｋ⁴]により,∫Ｖ_T(ｒ,ｔ)Ｗ_L(ｒ,ｔ)ｄｒ＝0 が成立することがわかります。

したがって,Ｖ_E(ｔ)＝－∫Ｐ(ｒ,ｔ)Ｅ_T(ｒ,ｔ)ｄｒ＝ｅΣ_j=1^Z∫₀¹ｄλｒ_j(ｔ)Ｅ_T(λｒ_j(ｔ),ｔ)においてＶ_E(ｔ)＝－∫Ｐ(ｒ,ｔ)Ｅ_T(ｒ,ｔ)ｄｒ＝－∫Ｐ_T(ｒ,ｔ)Ｅ_T(ｒ,ｔ)ｄｒであり,積分に寄与するのは分極ベクトルの横成分Ｐ_T(ｒ,ｔ)だけです。

しかし,とりあえず縦成分も含めた形でＶ_E(ｔ)＝ｅΣ_j=1^Z∫₀¹ｄλｒ_j(ｔ)Ｅ_T(λｒ_j(ｔ),ｔ)の右辺の電場をテイラー展開するとＶ_E(ｔ)＝ｅΣ_j=1^Z[∫₀¹ｄλｒ_j(ｔ)(1＋λｒ_j(ｔ)∇＋(1/2!){λｒ_j(ｔ)∇}²＋...)Ｅ_T(0,ｔ)]＝ｅΣ_j=1^Zｒ_j(ｔ)[1＋(1/2!)ｒ_j(ｔ)∇＋(1/3!){ｒ_j(ｔ)∇}²＋...]Ｅ_T(0,ｔ)となります。

ただし,[ ]内の各項での空間微分∇ⁱの実行の後ではその都度ｒ_j(ｔ)をゼロと置く操作をします。これは電気ポテンシャルエネルギーに対して"原子の電荷分布の多極モーメントによる展開＝多極展開"を行ったものです。

そして,展開の第１項ｅΣ_j=1^Zｒ_j(ｔ)Ｅ_T(0,ｔ)は電場Ｅの中で原子内の原点にＺｅの原子核があってそのまわりにＺ個の電子がある場合の全電気双極子モーメント:－ｅＤ(ｔ)≡－Σ_j=1^Zｅｒ_jに対する電気双極子相互作用ハミルトニアンＨ＝ｅＤＥと等価です。

また,展開の第２項には電気４重極子モーメント:Ｑ＝－(1/2)Σ_j=1^Zｅｒ_jｒ_jと電場の勾配との積が含まれています。

同様に,磁場Ｂ(ｒ,ｔ)の中における原子のポテンシャルエネルギーはＶ_M(ｔ)＝－∫Ｍ(ｒ,ｔ)Ｂ(ｒ,ｔ)ｄｒ＝ｅΣ_j=1^Z∫₀¹ｄλ[{ｒ_j(ｔ)×(ｄｒ_j/ｄｔ)}Ｂ(λｒ_j(ｔ),ｔ)]で与えられます。

磁場には元々横成分しかありません。常に,divＢ＝0 なのでＢ＝Ｂ_Tなんですね。

右辺の磁場をテイラー展開するとＶ_M(ｔ)＝ｅΣ_j=1^Z∫₀¹ｄλ[{ｒ_j(ｔ)×(ｄｒ_j/ｄｔ)}(1＋λｒ_j(ｔ)∇＋(1/2!){λｒ_j(ｔ)∇}²＋...)Ｂ(0,ｔ)]＝(ｅ/ｍ)Σ_j=1^Z[ｌ_j(ｔ)((1/2!)＋(2/3!)ｒ_j(ｔ)∇＋(3/4!){ｒ_j(ｔ)∇}²＋...)Ｂ(0,ｔ)]となります。ここにｌ_j(ｔ)≡ｍｒ_j(ｔ)×(ｄｒ_j/ｄｔ)は電子ｊの角運動量です。

ここでも展開の第１項(ｅ/ｍ)Σ_j=1^Zl_j(ｔ)Ｂ(0,ｔ)は磁場Ｂの中で原子内の原点にＺｅの原子核があってそのまわりにＺ個の電子がある場合の磁気双極子モーメント:－ｅＤ_M(ｔ)≡－(1/2)Σ_j=1^Z(ｅ/ｍ)ｌ_jに対する磁気双極子相互作用ハミルトニアンＨ_M＝ｅＤ_MＢと等価です。

また,展開の第２項には磁気４重極子モーメント:Ｑ_M＝－(2/3!)Σ_j=1^Z(ｅ/ｍ)ｒ_jｌ_jと磁場の勾配との積が含まれています。

ここで原子と電磁場との極小相互作用(minimal coupling)を含むクーロンゲージでの全体系のハミルトニアンをＨ_totとすると,Ｈ_tot＝{1/(2ｍ)}Σ_j=1^Z{ｐ_j＋ｅＡ(ｒ_j(ｔ),ｔ)}²＋(1/2)∫ρ(ｒ,ｔ)φ(ｒ,ｔ)ｄｒ＋(1/2)∫(ε₀Ｅ_T(ｒ,ｔ)²＋μ₀^-1Ｂ(ｒ,ｔ)²)ｄｒと書けます。

ここまでが,丁度１年前心臓病が発覚したころの2006年12月段階で既に私が"勉強＝読解"していた内容です。

これ以降は新しい項目になるのでたった１行の式をチェックするのさえ,ときには何日もかかる恐れがあるため,かなりスピードが落ちると思います。

その上,22日から風邪を引いてしまって治りません。

私の場合,単なる風邪でも,糖尿病かつ心臓病なのでなかなか治りにくく,こじらせて肺炎にでもなると命取りなので,少し体に気を付けたいと思います。

今日はここで終わります。

参考文献:R.Loudon 著(小島忠宣,小島和子 共訳)「光の量子論(第２版)」(内田老鶴圃)

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