ヤングの干渉実験(6)(量子論)

光の干渉関連(Young's experiment)の続きです。

前記事の最後で原子と電磁場との極小相互作用(minimal coupling)を含むクーロンゲージでの全体系のハミルトニアンがＨ'＝{1/(2ｍ)}Σ_j=1^Z{ｐ_j＋ｅＡ(ｒ_j(ｔ),ｔ)}²＋(1/2)∫ρ(ｒ,ｔ)φ(ｒ,ｔ)ｄｒ＋(1/2)∫(ε₀Ｅ_T(ｒ,ｔ)²＋μ₀^-1Ｂ(ｒ,ｔ)²)ｄｒと表わされると書きました。

これの右辺の第２項:(1/2)∫ρ(ｒ,ｔ)φ(ｒ,ｔ)ｄｒ＝(－1/2)ε₀∫φ(ｒ,ｔ)∇²φ(ｒ,ｔ)ｄｒ＝(1/2)ε₀∫{∇φ(ｒ,ｔ)}²ｄｒ＝(1/2)ε₀∫Ｅ_L²(ｒ,ｔ)ｄｒ＝{1/(2ε₀)}∫Ｐ_L²(ｒ,ｔ)ｄｒは,形の上では電荷による静電エネルギー,ρ(ｒ,ｔ)＝－Σ_j=1^Zｅδ(ｒ－ｒ_j(ｔ))＋Ｚｅδ(ｒ),およびφ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}{－Σ_j=1^Z(ｅ/|ｒ－ｒ_j(ｔ)|)＋Ｚｅ/ｒ}を代入すればクーロン相互作用エネルギーを全て含んでいることがわかります。

この第２項は輻射場を含んでいないので,第２量子化されていても量子場の演算子を含んでいません。一方,第３項は原子の運動に関わるエネルギーを含まない"輻射場＝横波光子"単独のエネルギーです。

結局,第１項のみが相互作用に関わる極小結合部分で,原子と輻射場の相互作用はＨ_int＝{ｅ/(2ｍ)}Σ_j=1^Z{ｐ_jＡ(ｒ_j(ｔ),ｔ)＋Ａ(ｒ_j(ｔ),ｔ)ｐ_j}＋{ｅ²/(2ｍ)}Σ_j=1^ZＡ(ｒ_j(ｔ),ｔ)²で与えられます。

これ自身を用いた厳密な計算結果はゲージの選択によらないはずですが,実際の多くの計算はほとんど近似計算なのでベクトルポテンシャルによる表式ではゲージ依存になります。

そこで基本的には理論を不変に保つユニタリ変換を用いてハミルトニアンを便利な形に変えることを試みます。

すなわち,ユニタリ演算子:Ｕ^(ｔ)≡exp[{i/(ｃｈ_c)}∫Ｐ_T(ｒ,ｔ)Ａ(ｒ,ｔ)ｄｒ](ただし,ｈ_c≡ｈ/(2π)はプランク定数)を定義します。

∇Ａ(ｒ,ｔ)＝0 なので,∫Ｐ_T(ｒ,ｔ)Ａ(ｒ,ｔ)ｄｒ＝∫Ｐ(ｒ,ｔ)Ａ(ｒ,ｔ)ｄｒが成立します。Ｐ(ｒ,ｔ)＝－ｅΣ_j=1^Zｒ_j(ｔ)∫₀¹ｄλδ(ｒ－λｒ_j(ｔ))を代入すると,Ｕ^(ｔ)≡exp[(－iｅ/ｈ_c)Σ_j=1^Z∫₀¹ｄλ{ｒ_j(ｔ)Ａ(λｒ_j(ｔ),ｔ)}]となります。

このＵ^(ｔ)によって変換されたハミルトニアンＨ はＨ ＝Ｕ^^-1(ｔ)Ｈ'Ｕ^(ｔ)と書けます。

一方,Ｈ',Ｈ に対応する波動関数を,それぞれψ',ψと書くとψ＝Ｕ^(ｔ)ψ'です。

ｐ_j＝－iｈ_c∇_jなる陽な表示によって,Ｕ^^-1(ｔ){ｐ_j＋ｅＡ(ｒ_j(ｔ),ｔ)}Ｕ^(ｔ)＝ｐ_j－ｅ∇_j∫₀¹ｄλ{ｒ_j(ｔ)Ａ(λｒ_j(ｔ),ｔ)}＋ｅＡ(ｒ_j(ｔ),ｔ)となります。

Ａ(ｒ_j(ｔ),ｔ)＝∫₀¹ｄλ[{1＋ｒ_j(ｔ)∇_j}Ａ(λｒ_j(ｔ),ｔ)],

故にＵ^^-1(ｔ){ｐ_j＋ｅＡ(ｒ_j(ｔ),ｔ)}Ｕ^(ｔ)＝ｐ_j－ｅ∫₀¹ｄλ[∇_j{ｒ_j(ｔ)Ａ(λｒ_j(ｔ),ｔ)}－{1＋ｒ_j(ｔ)∇_j}Ａ(λｒ_j(ｔ),ｔ)]です。

ところで,[∇{ｒＡ(ｒ,ｔ)}－{1＋ｒ∇}Ａ(ｒ,ｔ)]_i＝ｒ_k∂_iＡ_k－ｒ_k∂_kＡ_i＝ｒ_k(∂_iＡ_k－∂_kＡ_i)＝ε_ikjｒ_kε_jlm∂_lＡ_m＝{ｒ×Ｂ(ｒ,ｔ)}_i;(ただし,Ｂ(ｒ,ｔ)＝∇×Ａ(ｒ,ｔ))と書けます。

結局,Ｕ^^-1(ｔ){ｐ_j＋ｅＡ(ｒ_j(ｔ),ｔ)}Ｕ^(ｔ)＝ｐ_j－ｅ∫₀¹ｄλ{λｒ_j(ｔ)×Ｂ(λｒ_j(ｔ),ｔ)}です。

同様に,Ｕ^^-1(ｔ)Ｅ_T(ｒ,ｔ)Ｕ^(ｔ)＝Ｅ_T(ｒ,ｔ)－(1/ε₀)Ｐ_T(ｒ,ｔ) etc.から,Ｈ＝Ｕ^^-1(ｔ)Ｈ'Ｕ^(ｔ)＝{1/(2ｍ)}Σ_j=1^Z(ｐ_j－ｅ∫₀¹ｄλ{λｒ_j(ｔ)×Ｂ(λｒ_j(ｔ),ｔ)})²＋(1/2)∫ρ(ｒ,ｔ)φ(ｒ,ｔ)ｄｒ＋(1/2)∫(ε₀Ｅ_T(ｒ,ｔ)²＋μ₀^-1Ｂ(ｒ,ｔ)²)ｄｒ＋ｅΣ_j=1^Z∫₀¹ｄλ{ｒ_j(ｔ)Ｅ_T(λｒ_j(ｔ),ｔ)}＋{1/(2ε₀)}∫Ｐ_T(ｒ,ｔ)²ｄｒです。

結局,変換前のハミルトニアンの中からゲージ依存のベクトルポテンシャルを追い出すことに成功しました。

電子の座標軌道ｒ_j(ｔ)はボーア半径ａ_B＝4πε₀ｈ_c²/(ｍｅ²)程度の大きさを持っていると思われます。また,勾配演算子∇がＥ_TやＢに作用するとき,それは輻射の波動ベクトルｋ程度の大きさです。

そこで,前にＶ_E(ｔ)＝ｅΣ_j=1^Z[∫₀¹ｄλｒ_j(ｔ)(1＋λｒ_j(ｔ)∇＋(1/2!){λｒ_j(ｔ)∇}²＋...)Ｅ_T(0,ｔ)]＝ｅΣ_j=1^Zｒ_j(ｔ)[1＋(1/2!)ｒ_j(ｔ)∇＋(1/3!){ｒ_j(ｔ)∇}²＋...]Ｅ_T(0,ｔ),

Ｖ_M(ｔ)＝ｅΣ_j=1^Z∫₀¹ｄλ[{ｒ_j(ｔ)×(ｄｒ_j/ｄｔ)}(1＋λｒ_j(ｔ)∇＋(1/2!){λｒ_j(ｔ)∇}²＋..)Ｂ(0,ｔ)]＝(ｅ/ｍ)Σ_j=1^Z[ｌ_j(ｔ)((1/2!)＋(2/3!)ｒ_j(ｔ)∇＋(3/4!){ｒ_j(ｔ)∇}²＋..)Ｂ(0,ｔ)]と表現しました。

そこで見たような,Ｅ_T(λｒ_j(ｔ),ｔ)やＢ(λｒ_j(ｔ),ｔ)の多極展開において,λの高次のベキの項は急激に減衰するはずです。

したがって,－ｅ∫₀¹ｄλ{λｒ_j(ｔ)×Ｂ(λｒ_j(ｔ),ｔ)}は第１項の磁気双極子項だけ残して－{ｅ/(2ｍ)}{ｍｒ_j(ｔ)×Ｂ(0,ｔ)}で近似し,ｅ∫₀¹ｄλ{ｒ_j(ｔ)Ｅ_T(λｒ_j(ｔ),ｔ)}は第１項の電気双極子項ｅｒ_j(ｔ)Ｅ_T(0,ｔ)と第２項の４重極子項(ｅ/2)ｒ_j(ｔ){ｒ_j(ｔ)∇}Ｅ_T(0,ｔ)をとって近似することにします。

このとき,近似ハミルトニアンを改めてＨと書き,Ｈ≡Ｈ_E＋Ｈ_R＋Ｈ_Iと分解します。

Ｈ_E は孤立原子のハミルトニアンでＨ_E＝Σ_j=1^Z{ｐ_j²/(2ｍ)}＋(1/2)∫ρ(ｒ,ｔ)φ(ｒ,ｔ)ｄｒ,Ｈ_Rは輻射場のハミルトニアンでＨ_R＝(1/2)∫(ε₀Ｅ_T(ｒ,ｔ)²＋μ₀^-1Ｂ(ｒ,ｔ)²)ｄｒです。

そして,輻射場と原子の相互作用ハミルトニアンＨ_Iをさらに４つに分けます。Ｈ_I≡Ｈ_ED＋Ｈ_EQ＋Ｈ_MD＋Ｈ_NLです。

ここでＨ_EDとＨ_EQ は電場との相互作用項で,Ｈ_ED＝ｅΣ_j=1^Zｒ_jＥ_T(0,ｔ)＝ｅＤＥ_T(0,ｔ)であり,ｅＤ＝Σ_j=1^Zｅｒ_jは電気双極子モーメントです。

また,Ｈ_EQ＝(ｅ/2)Σ_j=1^Zｒ_j(ｔ){ｒ_j(ｔ)∇}Ｅ_T(0,ｔ)＝－(∇Ｑ)Ｅ_T(0,ｔ)です。ここで,Ｑ＝－(1/2)Σ_j=1^Zｅｒ_jｒ_jは電気４重極子モーメントです。

Ｈ_MDとＨ_NLは磁場との相互作用項です。すなわち,Ｈ_MD ＝－{ｅ/(4ｍ)}Σ_j=1^Z[ｐ_j{ｒ_j(ｔ)×Ｂ(0,ｔ)}＋{ｒ_j(ｔ)×Ｂ(0,ｔ)}ｐ_j]＝{ｅ/(2ｍ)}ＭＢ(0,ｔ)です。ただし,Ｍは角運動量の総和でＭ≡Σ_j=1^Zｌ_j＝Σ_j=1^Z{ｒ_j(ｔ)×ｐ_j}です。

最後にＨ_NLは反磁性項と呼ばれ,Ｈ_NL＝{ｅ²/(8ｍ)}Σ_j=1^Z{ｒ_j(ｔ)×Ｂ(0,ｔ)}²と表現されます。

ｒ_j ～ ａ_B＝4πε₀ｈ_c²/(ｍｅ²),ω ～ ω₀＝(3/4)ω_B＝(3ｍｅ⁴)/(128π²ε₀²ｈ_c³),ｋ～ω/ｃとして,各項のオーダーを評価します。

まず,Ｈ_ED ～Ｅ_T(0,ｔ){4πε₀ｈ_c²/(ｍｅ)}です。次に∇Ｅ_T(0,ｔ)～ｋＥ_T(0,ｔ)＝(ω/ｃ)Ｅ_T(0,ｔ)により,Ｈ_EQ ～Ｅ_T(0,ｔ){3ｅｈ_c/(16ｍｃ)}です。

一方,Ｍ≡Σ_j=1^Zｌ_j＝Σ_j=1^Z{ｒ_j(ｔ)×ｐ_j}～ｈ_cと考えてＨ_MD ～ Ｂ(0,ｔ){ｅｈ_c/(2ｍ)}～Ｅ_T(0,ｔ){ｅｈ_c/(2ｍｃ)}です。

そこで,電磁相互作用の結合の大きさを特徴付ける無次元定数である微細構造定数α≡ｅ²/(4πε₀ｈ_cｃ)～ 1/137を用いると,Ｈ_EQ ～ (3α/16)Ｈ_ED,Ｈ_MD ～(α/2)Ｈ_EDとなりますから,電気４重極子項Ｈ_EQと磁気双極子項Ｈ_MDは電気双極子項Ｈ_EDに比べてαの１次程度のオーダーになります。

以下では,電気双極子項Ｈ_EDに比べて電気４重極子項Ｈ_EQ,磁気双極子項Ｈ_MD,および非線形項の反磁性項Ｈ_NLを無視する電気双極子近似を採用してＨ_I～Ｈ_EDとします。

　というのも後述の摂動論で述べるように状態ψ_i,ψ_f間の原子遷移に伴なって光子が放出,吸収される遷移速度は行列要素＜ψ_f|Ｈ_I|ψ_i＞の絶対値の２乗に比例するからです。

　電気双極子近似ではその対称性のために行列要素＜ψ_f|Ｈ_I|ψ_i＞がゼロになるような遷移の寄与が無視され,そうした遷移は禁止されることになります。

　例えばｒ_j は空間反転に対して符号を変えるので電気双極子相互作用ｅＤ (ただしＤ＝Σ_jｒ_j)は奇のパリティ(偶奇性)を持つため,状態ψ_iとψ_fが互いに異なるパリティを持つ場合にみ,それらの間の遷移が許容されるわけです。

今日はこれで終わります。

参考文献:R.Loudon 著(小島忠宣,小島和子 共訳)「光の量子論(第２版)」(内田老鶴圃)

緊急告知！！　Attention!! [広告宣伝]です。

　年末、クリスマスにつき、2007年中に期間限定で下記URLの「TRS健康ランド」でご注文の方にはＳＣＳを除く全商品を３割引きにて提供致します。

　そこのお酒のみの方や年末で飲食の機会の増えたあなた、体によいし特に肝臓によいウコンがいいですよ！！　そして特に今回提供する沖縄原産の純粋な黒ウコンは当店が専売の新製品ですが古くから沖縄地方ではいわゆる男性機能に効果があると言われています。

　おやおや、そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

　それから農薬を落とした後の皮がピカピカに光っているリンゴなど商品として販売する際の見栄えをよくするなどのために化学処理をした食品を安全に洗浄する新商品の洗浄液SCSはいかがですか。。。

　http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/「ＴＲＳ健康ランド」-- 黒ウコン,ＳＣＳ(洗浄剤)専売などの店：  私が店長 です。

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン！メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）